1
00:00:02,859 --> 00:00:08,220
Hola, ¿qué tal estáis todos, alumnas y alumnos de Matemáticas II de segundo bachillerato?

2
00:00:08,720 --> 00:00:15,119
Vamos a empezar unos vídeos en los que intentamos explicaros en qué consiste la integración por partes.

3
00:00:17,219 --> 00:00:22,280
Primero, tenemos que recordar un poquito qué cosas sabemos de la integración hasta ahora.

4
00:00:22,539 --> 00:00:24,219
No sabemos mucho, pero algo sí sabemos, mira.

5
00:00:24,920 --> 00:00:29,460
Algo que sabemos importantísimo es que la integral de la suma es la suma de las integrales.

6
00:00:29,460 --> 00:00:46,179
Entonces, muy bien, cuando digo suma, ya sabéis que puedo decir resta, pues perfectamente. También sabemos que la integral de un número por una función es la integral del número, perdón, es el número por la integral de la función. Estas son dos cosas importantes que sabemos.

7
00:00:46,179 --> 00:01:03,179
Bien, y lo otro que sabemos, que es algo que al principio cuesta un poco, es que yo para poder integrar una expresión a la fuerza, aquí tiene que aparecer una función haciendo lo que quiera la función.

8
00:01:03,179 --> 00:01:19,299
Eso significa que puede ser seno de f, puede ser logaritmo de f, puede ser 1 partido por raíz de f, puede ser elevado a f, puede ser 1 partido por 1 más f elevado al cuadrado, puede ser lo que se quiera.

9
00:01:19,299 --> 00:01:27,760
Ahí está una función. Puede ser f elevado a 7, muy bien. Pero tiene que estar también multiplicado por la derivada.

10
00:01:28,340 --> 00:01:36,579
Esta es la clave de todo. ¿Por qué? Porque la regla de la cadena ya nos decía que al derivar una expresión siempre al final hay que terminar por la derivada.

11
00:01:36,959 --> 00:01:42,140
Como la integral es lo contrario, para poder integrar tiene que aparecer esto. Ya está. Esto ya lo tenemos claro.

12
00:01:42,140 --> 00:02:07,019
Muy bien, pero lo que vamos a intentar hacer hoy es qué pasa si tenemos la integral de un producto de dos expresiones, las pongo así, esto por esto, en las cuales estas dos expresiones no están relacionadas unas con otras.

13
00:02:07,019 --> 00:02:14,340
¿Qué quiere decir que no está relacionado? ¿Que aquí no pone f y aquí por f'? No, esto está relacionado, pues no, no pone eso.

14
00:02:15,000 --> 00:02:21,719
¿Que tampoco va a poner f elevado a 3 y aquí por la derivada? Pues no, tampoco va a ser así.

15
00:02:22,340 --> 00:02:30,840
Muy bien, bueno, otro ejemplo más. ¿Que no va a poner aquí elevado a f y aquí por la derivada? Pues no, no lo va a poner.

16
00:02:30,840 --> 00:02:37,560
entonces va a ser como es como integramos expresiones que son un

17
00:02:37,560 --> 00:02:42,599
producto pero que no tienen a que no están relacionadas unas con otras

18
00:02:42,599 --> 00:02:47,599
vamos a ver cómo lo hacemos esto lo que se llama la integración por partes

19
00:02:47,599 --> 00:02:54,340
entonces todo esto viene de aquí viene de aquí si yo quiero explicar algo de

20
00:02:54,340 --> 00:02:59,819
integrales tengo que hablaros de derivadas porque ya sabéis que la

21
00:02:59,819 --> 00:03:02,560
La integral es el proceso inverso de la derivada.

22
00:03:02,639 --> 00:03:02,900
Muy bien.

23
00:03:05,240 --> 00:03:07,719
¿Cuál es la derivada de un producto de dos funciones?

24
00:03:08,280 --> 00:03:14,020
Bueno, profesor, a estas alturas, claro que lo sé, es la derivada de la venida por el segundo más f por la derivada.

25
00:03:14,240 --> 00:03:14,979
Muy bien.

26
00:03:14,979 --> 00:03:30,139
Por tanto, esto significa que la integral de esta expresión azul, la integral de la expresión azul es la expresión roja.

27
00:03:30,280 --> 00:03:34,939
Pues claro que sí, muy bien, pues lo pongo, y lo pongo, y lo pongo.

28
00:03:34,939 --> 00:03:39,900
es decir, la integral de f' por g más f por g'

29
00:03:40,180 --> 00:03:45,139
mirad que no estoy poniendo de x y eso para no atorsigaros con la notación

30
00:03:45,139 --> 00:03:47,340
pues la integral de esto es f por g

31
00:03:47,340 --> 00:03:49,800
claro que sí, muy bien

32
00:03:49,800 --> 00:03:51,919
vamos a manipular un poquito esto

33
00:03:51,919 --> 00:03:56,360
¿qué opinamos de esta primera integral?

34
00:03:56,360 --> 00:04:03,800
pues como es una suma yo la puedo transformar en 2

35
00:04:03,800 --> 00:04:23,660
así que la integral de f' por g más la integral de f por g' es igual a f por g, muy bien, y de aquí, yo puedo despejar, entonces esta integral, a ver, estoy despejando esto,

36
00:04:24,439 --> 00:04:29,060
Esto será igual a lo que había en el segundo miembro, es decir, f por g,

37
00:04:31,259 --> 00:04:36,980
y ahora esto de aquí va a pasar al segundo miembro, pues, restando, bueno, pues, igual.

38
00:04:39,709 --> 00:04:42,930
Bueno, pues aquí tengo una fórmula que me va a dar muchas alegrías.

39
00:04:42,930 --> 00:04:44,889
Mira, vamos a investigarlo un poquito.

40
00:04:45,709 --> 00:04:55,850
Bien, esta fórmula me está diciendo que la integral de esto de aquí, de f por g',

41
00:04:55,850 --> 00:05:00,550
una función por la derivada de otro, mirad que f y g yo no he puesto que tengan nada que ver una con otra,

42
00:05:01,329 --> 00:05:09,069
es igual a la, el producto de f por g, fenomenal, multiplicar dos funciones, lo hace un niño pequeño,

43
00:05:10,189 --> 00:05:12,149
menos esta integral.

44
00:05:14,480 --> 00:05:20,699
Entonces fijaros, lo que os estoy diciendo es que para hallar la integral roja,

45
00:05:20,699 --> 00:05:24,980
tiquití, tenemos que hacer esto

46
00:05:24,980 --> 00:05:28,579
y calcular una integral esta de aquí azul

47
00:05:28,579 --> 00:05:35,300
¿qué os parece esto? ¿os parece bien? si estuviéramos viéndonos cara a cara

48
00:05:35,300 --> 00:05:40,000
yo os preguntaría, pero a ver, ¿qué os parece? ¿os parece esto interesante?

49
00:05:40,459 --> 00:05:43,819
que para hallar la integral azul, la roja, yo tenga que hallar

50
00:05:43,819 --> 00:05:47,420
la integral azul, pues entonces alguien rápidamente me dirá, profesor pues vaya

51
00:05:47,420 --> 00:05:51,560
gracia que tienes y para calcular una integral, tienes que calcular

52
00:05:51,560 --> 00:05:56,220
Para otra integral, pues, estamos en las mismas, ¿no?

53
00:05:56,779 --> 00:06:04,139
Esto hay una expresión castellana muy gráfica que dice, estás desvistiendo a un santo para vestir a otro.

54
00:06:04,759 --> 00:06:06,959
Pues claro, estoy para hallar una integral, hallar otra.

55
00:06:07,279 --> 00:06:08,959
Pues sí, tenéis razón, en parte.

56
00:06:08,959 --> 00:06:23,579
¿Por qué? ¿Qué pasa si yo os digo que esta integral azul es muy fácil de hallar?

57
00:06:26,310 --> 00:06:27,850
¿Es muy fácil de calcular?

58
00:06:28,589 --> 00:06:33,410
¡Ah! Pues si os digo que esto es muy fácil de calcular, ya entonces tenéis que decir,

59
00:06:33,449 --> 00:06:35,629
ah, bueno, pues esta fórmula está muy bien, pues claro que sí.

60
00:06:36,170 --> 00:06:40,629
Porque yo voy a pasar, yo veo que para calcular una integral roja,

61
00:06:40,629 --> 00:06:43,350
tengo que hacer un producto de funciones que lo hace cualquiera

62
00:06:43,350 --> 00:06:45,170
y una integral azul que ya os aseguro

63
00:06:45,170 --> 00:06:46,730
que va a ser muy, muy, muy fácil

64
00:06:46,730 --> 00:06:49,189
muy bien, pues si

65
00:06:49,189 --> 00:06:51,110
estamos con eso, entonces ya vamos a poder hacer

66
00:06:51,110 --> 00:06:52,529
bueno, pues esto de aquí

67
00:06:52,529 --> 00:06:55,290
esto de aquí, esto de aquí

68
00:06:55,290 --> 00:06:56,949
este recuadro es lo que se llama

69
00:06:56,949 --> 00:06:57,490
la

70
00:06:57,490 --> 00:07:00,910
fórmula de la integración por partes

71
00:07:00,910 --> 00:07:03,209
la voy a

72
00:07:03,209 --> 00:07:05,250
borrar, no sé si os acordáis cual era

73
00:07:05,250 --> 00:07:06,470
a ver si lo sé

74
00:07:06,470 --> 00:07:09,430
borrar bien

75
00:07:09,430 --> 00:07:10,089
más o menos

76
00:07:10,089 --> 00:07:15,600
bueno, bueno, todo esto lo puedo borrar también

77
00:07:15,600 --> 00:07:16,439
porque ya no lo quiero

78
00:07:16,439 --> 00:07:18,199
y vamos a poner

79
00:07:18,199 --> 00:07:20,139
aquí tenemos

80
00:07:20,139 --> 00:07:24,370
vamos a ver

81
00:07:24,370 --> 00:07:25,649
¿qué vamos a hacer?

82
00:07:25,790 --> 00:07:27,769
pues lo primero que vamos a hacer es empezar

83
00:07:27,769 --> 00:07:33,720
esto quiero borrarlo

84
00:07:33,720 --> 00:07:34,860
muy bien, ya está borrado

85
00:07:34,860 --> 00:07:38,439
y ahora tengo aquí mi formulita preparada

86
00:07:38,439 --> 00:07:42,430
la vamos a poner

87
00:07:42,430 --> 00:07:43,689
esta es la fórmula de antes

88
00:07:43,689 --> 00:07:53,379
bueno, pues esta es

89
00:07:53,379 --> 00:07:55,660
mi fórmula de la interacción por partes

90
00:07:55,660 --> 00:07:57,220
vamos a estudiarla un poquito

91
00:07:57,220 --> 00:07:58,560
ahí, ya la tengo

92
00:07:58,560 --> 00:08:07,879
Esta es. Bien. Entonces, vamos a poner un ejemplo, que es lo mejor que podemos hacer. Un ejemplo.

93
00:08:09,439 --> 00:08:13,480
Este vídeo, ya lo digo, voy un poquito despacio porque hay que entenderlo perfectamente.

94
00:08:13,480 --> 00:08:24,540
Así que vamos a hacer este ejemplo. Integral de x por coseno de x, de x. Muy bien.

95
00:08:24,540 --> 00:08:27,259
Bien, pues vamos a intentar hacer esta integral.

96
00:08:27,899 --> 00:08:31,459
Bueno, lo primero que tenemos que ver es lo siguiente.

97
00:08:32,460 --> 00:08:38,019
Que aquí tenemos un producto, que aquí pone x y aquí pone coseno de x.

98
00:08:38,320 --> 00:08:44,679
Muy bien, entonces, lo que estamos viendo es que, lo voy a poner en verde, que ya sé que os gusta más.

99
00:08:44,820 --> 00:08:49,200
Muy bien, lo que estoy viendo es que esta x y este coseno de x, pues no están relacionados entre sí.

100
00:08:49,200 --> 00:08:53,399
No es una función y su derivada, ni nada, ni lo puedo operar, ni nada.

101
00:08:53,399 --> 00:08:56,120
luego voy a aplicar la fórmula de la integración por partes

102
00:08:56,120 --> 00:08:57,919
entonces, ¿qué tengo que hacer?

103
00:08:58,279 --> 00:08:59,379
la integración por partes

104
00:08:59,379 --> 00:09:05,529
siempre lo vamos a hacer de la misma manera

105
00:09:05,529 --> 00:09:05,789
¿eh?

106
00:09:06,429 --> 00:09:08,769
una integración por partes, tengo que encontrar

107
00:09:08,769 --> 00:09:10,830
una función que la llamaré

108
00:09:10,830 --> 00:09:11,750
x

109
00:09:11,750 --> 00:09:15,110
aquí, una expresión que la llamaré

110
00:09:15,110 --> 00:09:17,149
x y otra expresión que la llamaré

111
00:09:17,149 --> 00:09:17,929
g' de x

112
00:09:17,929 --> 00:09:20,610
y para eso tengo que calcular aquí

113
00:09:20,610 --> 00:09:22,809
la g de x y aquí hay una derivada

114
00:09:22,809 --> 00:09:24,429
muy bien, pues esto entonces es muy fácil

115
00:09:24,429 --> 00:09:29,929
Yo siempre voy a tener que jugar con estas cuatro expresiones

116
00:09:29,929 --> 00:09:32,649
Digo expresiones para no decir función y derivada

117
00:09:32,649 --> 00:09:35,710
Muy bien, tengo f de x, g de m, muy bien

118
00:09:35,710 --> 00:09:40,029
Entonces, el problema que hay es aquí

119
00:09:40,029 --> 00:09:42,629
¿A quién llamo f de x?

120
00:09:42,990 --> 00:09:44,909
¿A quién llamo g' de x?

121
00:09:45,409 --> 00:09:46,330
Bueno, pues no lo sé

122
00:09:46,330 --> 00:09:47,929
No lo sé por ahora

123
00:09:47,929 --> 00:09:50,409
Pero lo vamos a hacer y vamos a ver que es fácil

124
00:09:50,409 --> 00:09:52,330
Muy bien, ¿a quién puedo llamar f de x?

125
00:09:52,330 --> 00:10:03,590
F de X se lo puedo llamar o a X o a coseno de X, ¿vale? Muy bien. Pues digo, se lo voy a llamar al coseno de X, ¿por qué queremos? Venga, pues sí, pues sí, llámaselo como quieras.

126
00:10:03,950 --> 00:10:16,889
Y a G' de X es la otra, ¿eh? Así que esto sería G' y esto sería la F, muy bien. Entonces vamos a ver, ¿quién es la derivada del coseno?

127
00:10:16,889 --> 00:10:28,629
La derivada del coseno, todos lo sabemos que es menos seno. Y ahora aquí es un poquito más difícil, hay que encontrar una función que al derivarla me dé x. Una función que al derivarla me dé x, x cuadrado partido por 2.

128
00:10:28,629 --> 00:10:46,720
Alguien me puede decir, ¿más 9? Bueno, pues sí, más 9 puedes poner, pero bueno, lo más fácil es poner esta. Muy bien. Entonces fijaros, esto de aquí es fundamental. Entonces si yo cuando aplique esta formulita, cuando aplique esta formulita, clic, clic, clic, empiezo.

129
00:10:46,720 --> 00:11:07,399
f por g, f por g, lo pongo ya bonito, venga, da igual coseno de x por x2 partido por 2, menos, menos, la integral de f' por g, menos esta integral, menos, menos seno de x por x cuadrado partido por 2.

130
00:11:07,399 --> 00:11:24,340
Y aquí el profesor se para, los alumnos protestan, levantan la mano y me dicen, profesor, mal, mal, porque fíjate, para hallar esta integral de aquí, ahora resulta que hay que hallar esta integral de aquí, complicadísima, complicadísima.

131
00:11:24,340 --> 00:11:43,899
Bueno, pues, ¿eso qué significa? Pues que he elegido mal, he elegido mal mi función f y mi función g'. Bueno, pues, como la he elegido mal, vuelve para atrás. No pasa nada, no pasa nada. Voy despacio, es el primer ejercicio, no pasa nada. Así que vuelvo para atrás, tranquilamente, y vamos a lo siguiente.

132
00:11:43,899 --> 00:12:26,169
Entonces vamos a cambiar, voy a llamar f de x a x, porque sale en rojo, no me gusta, vale, f de x le llamo a x y g' de x se lo llamo al coseno de x, jolines Esteban, muy bien, y ahora mirad, ya tengo f de x, x, ¿quién es f' de x? Pues uno, y aquí tengo g coseno de x, ¿qué funciona al derivar la da coseno? Pues el seno de x, muy bien, y entonces ahora ya aplico la formulita,

133
00:12:26,169 --> 00:12:34,370
me vengo aquí para que se vea un poquito mejor, esto siempre es lo mismo, es este por este, es sumando,

134
00:12:34,950 --> 00:12:44,759
o esto sería f por g, que ahí viene la fórmula, pues x por seno de x, menos, cuidado con ese signo menos,

135
00:12:44,840 --> 00:12:54,940
que es menos, la integral de esta por esta, este es más y este es menos, la integral de 1 por seno de x,

136
00:12:54,940 --> 00:13:03,450
1 por seno de x, seno de x, menos la integral del seno de x, diferencial de x.

137
00:13:03,590 --> 00:13:04,730
Bueno, pues ya he terminado.

138
00:13:05,570 --> 00:13:07,710
Esto es x seno de x.

139
00:13:08,149 --> 00:13:09,490
¿Cuál es la integral del seno?

140
00:13:09,549 --> 00:13:12,970
¿Qué función al derivarla me da seno?

141
00:13:13,289 --> 00:13:14,970
Pues es el coseno.

142
00:13:15,090 --> 00:13:16,129
¡Ah, no! ¿Qué la debe?

143
00:13:16,409 --> 00:13:17,330
Menos coseno.

144
00:13:17,809 --> 00:13:22,929
Pues sería menos, menos coseno de x, más t.

145
00:13:22,929 --> 00:13:29,070
Es decir, igual a X seno de X más coseno de X

146
00:13:29,070 --> 00:13:29,750
Muy bien

147
00:13:29,750 --> 00:13:31,710
Luego voy a poner

148
00:13:31,710 --> 00:13:32,909
Ya se ha acabado

149
00:13:32,909 --> 00:13:35,850
Y mirad que cosa tan bonita

150
00:13:35,850 --> 00:13:41,289
La integral de X por coseno de X diferencial de X es esto de aquí

151
00:13:41,289 --> 00:13:45,070
X seno de X más coseno de X

152
00:13:45,070 --> 00:13:47,529
No se me olvida, Marce

153
00:13:47,529 --> 00:13:50,659
Muy bien

154
00:13:50,659 --> 00:13:55,059
¿Qué hace un alumno, una alumna de segundo bachillerato?

155
00:13:55,340 --> 00:13:59,039
Pues decir, no me lo creo, voy a derivar esta expresión a ver qué me sale

156
00:13:59,039 --> 00:14:02,980
Venga hombre, así que venga, vamos a derivar esta expresión

157
00:14:02,980 --> 00:14:05,039
Bueno, y más c, ya os lo regalo

158
00:14:05,039 --> 00:14:08,679
Derivada de esto, esto es un producto, derivada de x, 1

159
00:14:08,679 --> 00:14:15,129
Por el seno de x, más x, por derivada del seno

160
00:14:15,129 --> 00:14:18,870
Coseno de x, más derivada del coseno

161
00:14:18,870 --> 00:14:21,009
menos seno de x

162
00:14:21,009 --> 00:14:22,230
¿y esto cuánto es?

163
00:14:23,809 --> 00:14:25,649
esto menos esto es

164
00:14:25,649 --> 00:14:27,370
cero y esto me sale

165
00:14:27,370 --> 00:14:29,690
x por coseno de x

166
00:14:29,690 --> 00:14:30,929
luego lo he integrado

167
00:14:30,929 --> 00:14:32,909
bueno

168
00:14:32,909 --> 00:14:35,230
pues esto hemos terminado

169
00:14:35,230 --> 00:14:37,350
ha sido un vídeo un poco largo pero

170
00:14:37,350 --> 00:14:38,649
todavía me queda por decir una cosa

171
00:14:38,649 --> 00:14:42,149
la única dificultad

172
00:14:42,149 --> 00:14:42,789
que hay

173
00:14:42,789 --> 00:14:44,970
para hacer

174
00:14:44,970 --> 00:14:47,389
el método este de

175
00:14:47,389 --> 00:14:50,049
por partes, es

176
00:14:50,049 --> 00:14:52,149
saber a quién

177
00:14:52,149 --> 00:14:54,529
vamos a llamar f de x

178
00:14:54,529 --> 00:14:56,370
y a quién voy a llamar g' de x

179
00:14:56,370 --> 00:15:00,110
así que eso es la única dificultad

180
00:15:00,110 --> 00:15:02,070
¿qué pasa si me confundo?

181
00:15:02,169 --> 00:15:04,230
pues no pasa nada, si te confundes vas a ver que te sale

182
00:15:04,230 --> 00:15:06,450
una integral muy complicada y vuelves atrás y haces el cambio

183
00:15:06,450 --> 00:15:08,090
y si quieres pensar un poquito

184
00:15:08,090 --> 00:15:09,169
pues es fácil

185
00:15:09,169 --> 00:15:12,450
las funciones más complicadas se ponen

186
00:15:12,450 --> 00:15:14,210
en f, porque al derivar se van

187
00:15:14,210 --> 00:15:15,509
haciendo más sencillas

188
00:15:15,509 --> 00:15:18,049
es decir, que si yo tengo una expresión que es

189
00:15:18,049 --> 00:15:20,110
x elevado a 3, a esto no le pongo

190
00:15:20,110 --> 00:15:21,230
como g' de x

191
00:15:21,230 --> 00:15:24,149
sino lo pongo como f de x para que

192
00:15:24,149 --> 00:15:25,809
al derivarlo se vaya

193
00:15:25,809 --> 00:15:27,549
haciendo más sencillo

194
00:15:27,549 --> 00:15:30,070
pero bueno, ahora tampoco hace mucho

195
00:15:30,070 --> 00:15:32,190
no es importante que os fijéis

196
00:15:32,190 --> 00:15:33,669
en esto, porque si no os sale bien

197
00:15:33,669 --> 00:15:35,669
pues cambiáis la elección y ya está

198
00:15:35,669 --> 00:15:38,110
bueno, siguen los vídeos

199
00:15:38,110 --> 00:15:39,690
que esto no ha hecho nada más que empezar

200
00:15:39,690 --> 00:15:40,990
muchas gracias por escuchar