1
00:00:03,500 --> 00:00:07,000
Vamos a ver una pequeña introducción a los logaritmos.

2
00:00:07,580 --> 00:00:08,900
Lo primero es la definición.

3
00:00:09,599 --> 00:00:19,219
Se llama logaritmo en base a de p y se escribe log a p al exponente al que hay que elevar la base a para obtener p.

4
00:00:21,390 --> 00:00:30,890
Dicho de otra forma, logaritmo en base a de p es igual a x, si y solo si, es decir, si se cumple esto, se cumple esto otro, a elevado a x es igual a p.

5
00:00:31,750 --> 00:00:34,689
Por tanto, un logaritmo no es otra cosa que un exponente.

6
00:00:35,070 --> 00:00:38,350
Es el exponente al que tienes que elevar a para que nos dé b.

7
00:00:39,789 --> 00:00:41,570
Por ejemplo, ¿cuándo lo vamos a utilizar?

8
00:00:41,689 --> 00:00:45,729
Cuando queremos resolver ecuaciones en las que la integral con mitad está en el exponente.

9
00:00:46,149 --> 00:00:47,969
Entonces usamos los llamados logaritmos.

10
00:00:47,969 --> 00:00:50,890
Por ejemplo, si tenemos 3 elevado a x igual a 18,

11
00:00:51,689 --> 00:00:58,170
entonces lo que hacemos es que la x es el logaritmo en base 3 de 18.

12
00:00:58,670 --> 00:01:01,429
Cogeríamos la calculadora y lo calcularíamos.

13
00:01:01,429 --> 00:01:06,170
Los logaritmos, igual que las potencias, tienen una serie de propiedades

14
00:01:06,170 --> 00:01:10,450
Estas propiedades son que el logaritmo en base a de 1 es igual a 0

15
00:01:10,450 --> 00:01:13,849
Porque a elevado a 0 es 1

16
00:01:13,849 --> 00:01:18,609
Otra propiedad es que el logaritmo en base a de a es igual a 1

17
00:01:18,609 --> 00:01:21,890
Porque a elevado a 1 es a

18
00:01:21,890 --> 00:01:28,000
Aquí tenemos una de ellas, empezamos con las propiedades más importantes

19
00:01:28,000 --> 00:01:32,400
Que es el producto, un logaritmo del producto lo convertimos en suma

20
00:01:32,400 --> 00:01:35,840
Igual que recordamos en las potencias

21
00:01:35,840 --> 00:01:38,719
Si teníamos un producto de la misma base

22
00:01:38,719 --> 00:01:40,400
Se sumaban los exponentes

23
00:01:40,400 --> 00:01:42,280
Eso es lo que estamos haciendo aquí

24
00:01:42,280 --> 00:01:46,400
Si en vez de un producto tenemos un cociente, una división

25
00:01:46,400 --> 00:01:48,939
Pues en vez de sumar, lo que hacemos es restar

26
00:01:48,939 --> 00:01:53,980
Ahora si tenemos el logaritmo de una potencia

27
00:01:53,980 --> 00:01:55,799
¿Qué se hacía con las potencias?

28
00:01:55,920 --> 00:01:57,640
Cuando tenían una potencia y una potencia

29
00:01:57,640 --> 00:01:58,939
Se multiplicaban los exponentes

30
00:01:58,939 --> 00:01:59,879
Pues aquí pasa lo mismo

31
00:01:59,879 --> 00:02:02,920
El exponente pasa multiplicando

32
00:02:02,920 --> 00:02:05,519
n por el logaritmo de base a de b.

33
00:02:06,439 --> 00:02:12,699
Y por último, si lo que tenemos es un radical, el radical recordamos lo podemos poner como potencia

34
00:02:12,699 --> 00:02:16,680
y al expresarlo como potencia el índice pasa al denominador,

35
00:02:17,740 --> 00:02:22,560
una vez lo podemos aplicar la propiedad 5 y el exponente pasa multiplicando

36
00:02:22,560 --> 00:02:26,460
y nos queda la fracción k partido por n por el logaritmo de base a de b.

37
00:02:27,379 --> 00:02:30,939
Vamos a ver una serie de ejercicios que son los que vamos a ver durante el curso.

38
00:02:31,500 --> 00:02:32,539
Por ejemplo, tenemos este.

39
00:02:32,979 --> 00:02:37,099
Nos dice calcular el término que falta en cada uno de los siguientes logaritmos usando la definición.

40
00:02:38,020 --> 00:02:41,860
Tenemos todos estos ejemplos, todos estos ejercicios, vamos a ir haciéndolos poco a poco.

41
00:02:42,419 --> 00:02:44,740
Ejercicio, logaritmo en base 2 de 32.

42
00:02:45,639 --> 00:02:51,319
Cuando nos piden calcular el logaritmo usando la definición, lo que vamos a hacer es factorizar el número.

43
00:02:52,699 --> 00:03:00,219
Lo primero, ponemos la definición, que el logaritmo en base a de p es igual a x, si y solo si, a elevado a x es igual a p.

44
00:03:00,699 --> 00:03:05,719
Por tanto, lo que vamos a intentar es factorizar cuando nos den p, vamos a factorizarlo.

45
00:03:06,300 --> 00:03:09,900
Intentar ponerlo con la misma base que a y que el exponente sea x.

46
00:03:11,599 --> 00:03:15,719
Entonces, logaritmo en base 2 de 32, 32 es 2 elevado a 5.

47
00:03:16,400 --> 00:03:19,780
Como las bases coinciden, la base de la potencia y la base del logaritmo coinciden,

48
00:03:19,780 --> 00:03:23,680
pues el exponente y el resultado del logaritmo también deben de conseguir.

49
00:03:24,280 --> 00:03:26,199
Por tanto, x es igual a 5.

50
00:03:26,199 --> 00:03:33,539
En este caso lo que nos piden es p, digamos, el número que está dentro del logaritmo.

51
00:03:34,120 --> 00:03:40,960
Entonces, como sabemos que la base es 3 y el exponente es 4, pues x va a ser 3 elevado a 4,

52
00:03:41,199 --> 00:03:44,219
porque tienen que coincidir las bases y tienen que coincidir los exponentes.

53
00:03:45,259 --> 00:03:48,960
Por lo tanto, x3 elevado a 4 es 81, pues x es igual a 81.

54
00:03:50,460 --> 00:03:50,960
Bien, y vamos.

55
00:03:50,960 --> 00:03:57,580
Ahora lo que nos piden es la base. Pues vamos a factorizar, 125, buscando que el exponente sea 3.

56
00:03:58,699 --> 00:04:05,840
En este caso, 125 es 5 elevado a 3. Como coinciden los exponentes, pues la x va a ser 5.

57
00:04:08,259 --> 00:04:10,740
Bueno, aquí tenemos uno que no es fácil de factorizar.

58
00:04:11,099 --> 00:04:13,539
Pero ¿qué pasa? Que este número es más pequeño que 1.

59
00:04:14,020 --> 00:04:17,720
Entonces vamos a intentar poner el 0,016 de otra forma.

60
00:04:17,720 --> 00:04:32,240
¿Cómo lo conseguimos? Pues 0,016 es 1,625. ¿Cómo he conseguido el 625? Pues si hacemos 1 entre 0,016 nos sale 625.

61
00:04:32,819 --> 00:04:39,740
Entonces de esta forma ya lo tenemos. Ahora, una vez que ya tenemos 625 y que ya es más grande que 5, pues factorizamos.

62
00:04:39,740 --> 00:04:43,579
Y nos queda que 5 es igual a 1 partido por 5 elevado a 4.

63
00:04:44,680 --> 00:04:49,300
La base nosotros es 5, la tenemos en el denominador, nosotros la tenemos en el numerador.

64
00:04:49,779 --> 00:04:52,220
Por tanto, lo que hacemos es aplicando la propiedad de las potencias,

65
00:04:53,000 --> 00:04:57,500
que si está en el denominador, para pasarlo al numerador, cambiamos el signo al exponente.

66
00:04:58,560 --> 00:05:04,319
Por tanto, ya tenemos que tener la misma base, el exponente debe coincidir con la x, pues x es igual a menos 4.

67
00:05:07,379 --> 00:05:10,560
Otro tipo de ejercicio, en este caso tenemos logaritmo neperiano.

68
00:05:10,560 --> 00:05:13,899
Recordamos, logaritmo neperiano, la base es el número e

69
00:05:13,899 --> 00:05:17,279
Como queremos x, pues la base es el número e

70
00:05:17,279 --> 00:05:19,000
Y el exponente es 2 tercios

71
00:05:19,000 --> 00:05:22,379
¿Es una fracción? Pues nada, lo ponemos como una fracción

72
00:05:22,379 --> 00:05:23,279
2 tercios

73
00:05:23,279 --> 00:05:26,920
Y ahora lo único que tenemos que hacer es, como es una fracción el exponente

74
00:05:26,920 --> 00:05:28,540
Transformarlo en radical

75
00:05:28,540 --> 00:05:31,500
Raíz cúbica de al cuadrado

76
00:05:31,500 --> 00:05:35,040
Vamos al siguiente

77
00:05:35,040 --> 00:05:37,439
Tenemos logaritmo, nos piden la base

78
00:05:37,439 --> 00:05:39,300
Y tiene que ser 2 quintos

79
00:05:39,600 --> 00:05:42,439
¿Qué pasa que nosotros valorizamos 16?

80
00:05:42,639 --> 00:05:53,019
16 es 2 elevado a 4, sería 4 quintos que no coinciden, pero sin embargo, si en vez de esto, en vez de 16 lo ponemos como 2 elevado a 4, lo ponemos como 4 al cuadrado,

81
00:05:53,680 --> 00:05:59,819
y así tenemos 4 elevado a 2 quintos que en exponente nos coinciden con el resultado que nos daban.

82
00:06:00,399 --> 00:06:02,579
Por tanto, nuestra x vale 4.

83
00:06:02,759 --> 00:06:14,500
Y por último, en este caso nos dice que el logaritmo de x de 25 es igual a menos 2, pero nosotros tenemos que el logaritmo de x, si factorizamos 25, es 5 al cuadrado.

84
00:06:14,519 --> 00:06:17,839
¿Cómo conseguimos que el exponente no sea negativo?

85
00:06:18,620 --> 00:06:20,620
Pues lo que hacemos para que el logaritmo sea negativo

86
00:06:20,620 --> 00:06:21,540
Cambiamos

87
00:06:21,540 --> 00:06:24,360
Entonces nos queda 1 partido por 5 menos 2

88
00:06:24,360 --> 00:06:25,800
Que es igual a menos 2

89
00:06:25,800 --> 00:06:27,120
Y como ya coinciden los exponentes

90
00:06:27,120 --> 00:06:29,040
Nuestra x es un quinto

91
00:06:29,040 --> 00:06:32,519
Pues así se hacen este tipo de ejercicios

92
00:06:32,519 --> 00:06:35,220
Lo único que tenemos es que pensar en algunos casos

93
00:06:35,220 --> 00:06:40,199
Pues razonar para conseguir llegar a lo que nos dice la fórmula

94
00:06:40,199 --> 00:06:43,120
A poner p como la base elevada al exponente

95
00:06:43,120 --> 00:06:47,480
otro ejercicio que puede ser el más complicado

96
00:06:47,480 --> 00:06:48,860
pero que tampoco lo es tanto

97
00:06:48,860 --> 00:06:50,180
una vez que hayamos hecho varios

98
00:06:50,180 --> 00:06:53,980
es que si nos dicen que sabemos el valor de varios logaritmos

99
00:06:53,980 --> 00:06:55,819
en este caso el logaritmo en base 5 de A

100
00:06:55,819 --> 00:06:57,660
y el logaritmo en base 5 de B

101
00:06:57,660 --> 00:06:58,939
nos dicen su valor

102
00:06:58,939 --> 00:07:01,600
y nos dicen que calculamos el logaritmo en base 5

103
00:07:01,600 --> 00:07:02,579
de una expresión

104
00:07:02,579 --> 00:07:05,519
entonces para utilizar esto lo que necesitamos

105
00:07:05,519 --> 00:07:07,500
son las propiedades de los logaritmos

106
00:07:07,500 --> 00:07:11,300
que las vamos a poner aquí

107
00:07:11,300 --> 00:07:12,500
para tener la sabiduría

108
00:07:12,500 --> 00:07:18,139
Entonces, logaritmo en base 5 de 25 por A4 partido por B4 a 2 raíz cúbica de A.

109
00:07:18,459 --> 00:07:20,439
Lo primero que vamos a utilizar es la propiedad 4.

110
00:07:20,660 --> 00:07:25,360
Es decir, cuando tengamos un cociente, lo vamos a separar en una resta.

111
00:07:26,180 --> 00:07:27,259
Pues simplemente lo escribimos.

112
00:07:27,740 --> 00:07:32,300
Logaritmo en base 5 del numerador menos logaritmo en base 5 del denominador.

113
00:07:33,680 --> 00:07:37,959
Una vez que ya tenemos eso, nos fijamos y dentro de los logaritmos lo que tenemos son productos.

114
00:07:38,620 --> 00:07:40,680
Pues los vamos a utilizar es la propiedad 3.

115
00:07:40,680 --> 00:07:48,500
Entonces estamos haciendo esto porque nosotros queremos expresarlo que aunque no solamente dentro del logaritmo nos aparezca la letra a o la letra b.

116
00:07:49,379 --> 00:07:52,779
Entonces vamos a aplicar la propiedad b que nos dice que nos lo separa.

117
00:07:54,000 --> 00:08:05,079
Entonces el logaritmo en base 5 de 25 más el logaritmo en base 5 de a elevado a 4 menos, como aquí tenemos este menos, tenemos que ponerlo entre corchetes

118
00:08:05,079 --> 00:08:11,579
porque este menos afecta tanto al logaritmo en base 5 de b al cuadrado como al logaritmo en base 5 de raíz cúbica de a.

119
00:08:12,360 --> 00:08:18,399
Podríamos haber escrito menos logaritmo en base 5 de b al cuadrado menos logaritmo en base 5 de raíz cúbica de a.

120
00:08:21,149 --> 00:08:27,009
Una vez que ya tenemos esto vamos a pasar los números que nos faltan a potencias, el 25 y la raíz.

121
00:08:28,009 --> 00:08:33,129
Entonces 25 es 5 al cuadrado y la raíz cúbica de a es a elevado a un tercio.

122
00:08:35,549 --> 00:08:42,269
Ahora, ya que tenemos todo el pretarjado con potencias, pues pues reubricamos la propiedad número 5.

123
00:08:42,549 --> 00:08:44,970
Es decir, que el exponente lo salga más bueno.

124
00:08:45,929 --> 00:08:50,990
El 2 pasa multiplicando, el 4 del logaritmo de a pasa también multiplicando,

125
00:08:52,190 --> 00:08:57,149
el 2 del logaritmo de 5 de b pasa multiplicando y el 1 tercio pasa multiplicando.

126
00:08:57,610 --> 00:09:03,669
Y ahora ya sí, ya tenemos que el logaritmo en base 5 de 5, por la propiedad 2, es 1.

127
00:09:03,669 --> 00:09:14,049
el logaritmo en base 5 de A nos dice en el enunciado que es 1,3, el logaritmo en base 5 de B es menos 0,4, el logaritmo en base 5 de A es 1,4.

128
00:09:14,409 --> 00:09:30,049
Pues sustituimos los valores y nos da 2 por 1 más 4 por 1,3 menos 7, 2 por 0 menos 0,4 más un tercio por 1,4, que cogemos la calculadora y eso nos sale 7,56 periodo.

129
00:09:30,049 --> 00:09:32,649
pues de este modo es como se hace

130
00:09:32,649 --> 00:09:34,450
hay que ir siguiendo paso por paso

131
00:09:34,450 --> 00:09:36,629
para llegar a una expresión

132
00:09:36,629 --> 00:09:38,309
en el que solamente nos aparezcan

133
00:09:38,309 --> 00:09:40,970
logaritmos en base a, logaritmos de a

134
00:09:40,970 --> 00:09:42,250
o logaritmos de b

135
00:09:42,250 --> 00:09:44,690
que son los que nos dan para poder sustituir los valores

136
00:09:44,690 --> 00:09:46,870
por último

137
00:09:46,870 --> 00:09:48,669
el último ejercicio es al revés

138
00:09:48,669 --> 00:09:50,809
que el anterior que nos dan una expresión

139
00:09:50,809 --> 00:09:52,870
y lo que queremos

140
00:09:52,870 --> 00:09:54,549
es expresarlo en un único logaritmo

141
00:09:54,549 --> 00:09:56,809
pues entonces lo primero

142
00:09:56,809 --> 00:09:58,490
las propiedades para

143
00:09:58,490 --> 00:10:03,009
podrías guiarnos y a partir de hoy tenemos que tener en cuenta que en todos los términos

144
00:10:03,009 --> 00:10:05,730
tiene que aparecer el logaritmo, si no, no nos podemos juntar.

145
00:10:06,409 --> 00:10:10,450
Entonces, si miramos en el último término, tenemos un menos 3 aquí,

146
00:10:10,529 --> 00:10:12,070
no nos aparece el logaritmo multiplicando.

147
00:10:12,830 --> 00:10:19,029
Entonces lo que vamos a utilizar es que 3 es 3 por 1 y entonces podemos utilizar la propiedad 2,

148
00:10:19,470 --> 00:10:22,090
que nos dice que el logaritmo en base a de a es igual a 1.

149
00:10:22,269 --> 00:10:24,470
Vamos a cambiar el 1 por el logaritmo en base a de a.

150
00:10:24,470 --> 00:10:27,389
como en este caso tenemos que la base es 2

151
00:10:27,389 --> 00:10:29,669
pues lo vamos a poner como lo haga el 1

152
00:10:29,669 --> 00:10:31,690
lo vamos a poner como lo haga ningún base 2 de 2

153
00:10:31,690 --> 00:10:35,500
ahora vamos a aplicar la propiedad 5

154
00:10:35,500 --> 00:10:38,500
es decir, los números que están multiplicando

155
00:10:38,500 --> 00:10:40,679
los pasamos dentro como potencias

156
00:10:40,679 --> 00:10:43,120
al contrario que antes

157
00:10:43,120 --> 00:10:45,960
entonces el 4 pasa arriba

158
00:10:45,960 --> 00:10:48,399
el 2 tercio lo pasamos, el 5 también

159
00:10:48,399 --> 00:10:51,259
y el 3 pasa arriba

160
00:10:51,259 --> 00:10:53,639
y ahora lo que vamos a hacer es

161
00:10:53,639 --> 00:11:01,139
vamos a utilizar para la propiedad 3 y la propiedad 4 al mismo tiempo, es decir, los que están sumándose

162
00:11:01,139 --> 00:11:07,720
vamos a ponerlos en el numerador multiplicando y los que están restando lo vamos a poner en el denominador

163
00:11:07,720 --> 00:11:14,080
multiplicándose entre sí. Entonces tenemos que el logaritmo de 2 como en base de 2 como son positivos

164
00:11:14,080 --> 00:11:19,539
a elevado a 4 y b elevado a 2 tercios pues lo ponemos en el numerador y como son negativos b elevado a 5

165
00:11:19,539 --> 00:11:21,720
y 2 elevado a 3 pues lo ponemos en el denominador

166
00:11:21,720 --> 00:11:23,960
y ya por último

167
00:11:23,960 --> 00:11:25,539
lo único que hacemos es

168
00:11:25,539 --> 00:11:27,220
transformar

169
00:11:27,220 --> 00:11:29,679
las potencias en radicales

170
00:11:29,679 --> 00:11:31,039
si es necesario

171
00:11:31,039 --> 00:11:33,259
o si tenemos algún número que

172
00:11:33,259 --> 00:11:35,259
podemos calcular la potencia lo hacemos

173
00:11:35,259 --> 00:11:37,139
y nos queda que abrimos

174
00:11:37,139 --> 00:11:39,700
ese 2 de a4 de raíz cúbica

175
00:11:39,700 --> 00:11:41,360
de b al cuadrado por

176
00:11:41,360 --> 00:11:43,039
8 por b

177
00:11:43,039 --> 00:11:46,039
partido por 8 por b elevado a 5

178
00:11:46,039 --> 00:11:47,759
el 8 lo he puesto delante

179
00:11:47,759 --> 00:11:51,179
porque queda un poquito más decente, pero se podría poner detrás.

180
00:11:51,879 --> 00:11:54,200
Y esto es todo lo que vamos a ver de logaritmos.