1 00:00:09,199 --> 00:00:20,100 Hola, buenas tardes. Empezamos la clase de matemáticas nivel 1 a distancia. 2 00:00:21,379 --> 00:00:29,239 Voy a abrir los apuntes, el primer tema. Un momentito mientras me meto. 3 00:00:36,329 --> 00:00:42,570 Números y operaciones. Seguimos con este tema. 4 00:00:42,570 --> 00:00:48,579 Vale, hoy vamos a ver los números racionales 5 00:00:48,579 --> 00:00:52,159 Números racionales o fracción 6 00:00:52,159 --> 00:00:55,840 Una fracción es una división 7 00:00:55,840 --> 00:01:03,859 Es lo mismo escribirla 2 partido de 3 que 2 en horizontal, lo ponemos 2, 3 8 00:01:03,859 --> 00:01:06,519 O 2 entre 3, es lo mismo 9 00:01:06,519 --> 00:01:10,560 Entonces, a la hora de representar una fracción, ya digo 10 00:01:10,560 --> 00:01:18,760 se diría dos tercios y se representaría tanto en horizontal como con los dos puntitos 11 00:01:18,760 --> 00:01:22,819 significa que la primera cifra divide a la de abajo 12 00:01:22,819 --> 00:01:26,780 la de arriba es el numerador, la de abajo es el denominador 13 00:01:26,780 --> 00:01:38,040 y pues eso significa que el numerador cogemos tantas partes como la unidad la dividamos 14 00:01:38,040 --> 00:01:43,079 O sea, si la unidad la hemos dividido en tres y cogemos dos, eso sería dos tercios. 15 00:01:43,640 --> 00:01:54,859 Por ejemplo, una pizza. Si en una pizza que llevamos a casa la partimos en cuatro trozos y de esos cuatro trozos nos cogemos uno para nosotros, eso sería un cuarto. 16 00:01:55,700 --> 00:02:07,400 Bueno, pues ya digo, las fracciones en el numerador representan las partes que tomamos y en el denominador representan las partes en las que dividimos la unidad. 17 00:02:08,039 --> 00:02:11,759 ¿Cómo podemos saber si dos fracciones son equivalentes o no? 18 00:02:11,759 --> 00:02:28,099 Pues lo que haríamos sería multiplicar en cruz el numerador de la primera, a ver, lo voy a aumentar esto un poquito, vale, el numerador de la primera multiplicado por el denominador de la segunda y hacemos este producto. 19 00:02:28,099 --> 00:02:45,099 Y luego, el denominador de la primera multiplicado por el numerador de la segunda es otro producto y vemos si es igual. ¿Qué es lo mismo? 2 por 15 que 3 por 10, esas fracciones son equivalentes. No son iguales, pero equivalen a lo mismo. 20 00:02:45,099 --> 00:03:10,659 Por ejemplo, en el ejemplo anterior yo cojo la pizza en casa y la divido entre dos y me cojo la mitad, entonces me cojo uno partido entre dos, con lo cual estoy representando una fracción de un medio de una pizza. 21 00:03:10,659 --> 00:03:23,639 Pero si yo la divido entre 4 y me cojo 2 trozos, me cojo 2 cuartos, sería fracción equivalente al 1 medio que hemos dicho antes. 22 00:03:23,919 --> 00:03:32,919 ¿Por qué? Porque lo multiplicamos en cruz, 2 cuartos y 1 medio y nos daría lo mismo. 23 00:03:33,240 --> 00:03:37,240 Eso quiere decir que esas fracciones no son iguales pero equivalen a lo mismo. 24 00:03:38,199 --> 00:03:48,780 Bueno, pues para ver, por ejemplo, si esta fracción es equivalente a esta, multiplicaríamos 3 por 14, 6 por 7, 42, nos da lo mismo, sí que lo son. 25 00:03:49,780 --> 00:03:56,759 Y en este caso lo mismo, 10 por 5, 50, 50 por 1, 50, serían fracciones equivalentes. 26 00:03:57,919 --> 00:04:03,650 ¿Cuándo una fracción podemos hacerla más pequeñita? 27 00:04:03,650 --> 00:04:11,870 La podemos simplificar cuando podemos numerador y denominador dividirlo por la misma cantidad 28 00:04:11,870 --> 00:04:24,009 Si yo en 30 y en 25 encuentro un número que sea el mismo y puedo dividir tanto el numerador 30, por ejemplo, entre 5 es 6 29 00:04:24,009 --> 00:04:26,029 25 entre 5 es 5 30 00:04:26,029 --> 00:04:34,209 Si yo puedo a las dos, al numerador y al denominador, dividirlo por la misma cantidad, entonces esa fracción se simplifica. 31 00:04:34,870 --> 00:04:42,430 Y conseguimos otra que es la misma, sería una fracción equivalente, como estamos diciendo, pero más pequeña. 32 00:04:43,569 --> 00:04:44,470 Significa lo mismo. 33 00:04:46,389 --> 00:04:51,990 Hay algunas que no se pueden simplificar, por ejemplo, tres séptimos, cinco novenos. 34 00:04:51,990 --> 00:04:55,490 En este caso pues porque son números primos 35 00:04:55,490 --> 00:05:01,449 Entonces, bueno, 9 no, pero 3, 7, 5, 13 son números primos y no se pueden simplificar 36 00:05:01,449 --> 00:05:07,149 Cuando encontramos fracciones que no se pueden simplificar se llaman irreducibles 37 00:05:07,149 --> 00:05:13,050 O también puede ser que no se puedan simplificar porque uno de los dos, numerador o denominador 38 00:05:13,050 --> 00:05:16,990 No tiene divisores y sin embargo el otro sí 39 00:05:16,990 --> 00:05:25,350 Bueno, pues la fracción irreducible es la más pequeña a la que podemos llegar simplificando unas fracciones más grandes. 40 00:05:26,329 --> 00:05:44,089 Por ejemplo, cuando una fracción sí que podemos simplificar numerador y denominador, dice, bueno, pues vamos a ver, 120 y 504 nos vas a estar dividiendo ahora por 2 y ahora por 2 y vamos a ver cuánto podemos simplificarle. 41 00:05:44,089 --> 00:06:00,490 Por ejemplo, hallamos el máximo común divisor, que ya se ha estudiado en sesiones anteriores, y de 120, descomponiendo factores primos, tendríamos 2 al cubo por 3 y por 5. 42 00:06:01,910 --> 00:06:09,750 504 nos da, al descomponer los factores primos, 2 al cubo por 3 al cuadrado y por 7. 43 00:06:09,750 --> 00:06:15,689 Dices, vale, ¿y yo por qué número puedo dividir tanto el numerador como el denominador? 44 00:06:16,129 --> 00:06:19,089 Para dejarlo más sencillo, más simplificado 45 00:06:19,089 --> 00:06:24,230 Bueno, pues vemos que son los comunes de menor exponente 46 00:06:24,230 --> 00:06:26,930 Por ejemplo, el 2 y el 3 47 00:06:26,930 --> 00:06:33,970 Y si es 2 al cubo, pues también, porque comunes, 2 al cubo y 2 al cubo son comunes 48 00:06:33,970 --> 00:06:38,149 Pero el 3 y el 3 al cuadrado de menor exponente solo sería el 3 49 00:06:38,149 --> 00:06:56,089 con lo cual 2 al cubo por 3 comunes de menor exponente, entonces el 7 no, el 5 tampoco, no son comunes y 2 al cubo por 3 da 24, 2 por 2 por 2 y por 3 es 24, 50 00:06:56,089 --> 00:07:00,910 hemos encontrado un denominador común, el más pequeño 51 00:07:00,910 --> 00:07:06,649 que al dividir 120 entre 24 nos da 5 52 00:07:06,649 --> 00:07:10,069 y 504 entre 24 nos da 21 53 00:07:10,069 --> 00:07:13,509 hemos hallado la fracción más pequeña y reducible 54 00:07:13,509 --> 00:07:16,129 que ya no puede ser simplificada más 55 00:07:16,129 --> 00:07:20,069 y eso lo hemos hecho con el máximo común divisor 56 00:07:20,069 --> 00:07:46,970 Entonces, con 30 cuarenta y dos agos operaríamos igual y iríamos buscando un denominador común a 30 y a 42 y a 18 y a 72 y buscaríamos la fracción irreducible de estas cifras, ya digo, dividiendo numerador y denominador por la misma cantidad. 57 00:07:46,970 --> 00:07:58,879 Vamos a ver que a veces necesitamos que nuestras fracciones tengan el mismo denominador 58 00:07:58,879 --> 00:08:05,300 Entonces, para un mismo denominador tenemos que hallar el mínimo común múltiplo 59 00:08:05,300 --> 00:08:08,459 Que también se explicó en clases anteriores 60 00:08:08,459 --> 00:08:13,420 Entonces, con el mínimo común múltiplo buscamos un múltiplo común 61 00:08:13,420 --> 00:08:18,560 No como en el ejercicio anterior que estábamos buscando un divisor común 62 00:08:18,560 --> 00:08:24,139 sino un múltiplo que esté en la tabla del 3, del 6 y del 4 y que sea común a los 3. 63 00:08:24,800 --> 00:08:32,679 Entonces descomponemos, en este caso es muy sencillo, el 3 solo se puede descomponer en 3, el 6 2 por 3 y 2 al cuadrado. 64 00:08:33,240 --> 00:08:39,759 Y buscamos un múltiplo común entre comunes y no comunes de mayor exponente. 65 00:08:40,360 --> 00:08:43,879 Por ejemplo, entre 2 y 2 al cuadrado cogemos 2 al cuadrado. 66 00:08:43,879 --> 00:08:58,580 Y luego el 3 no está común en todos, pero comunes y no comunes. 2 al cuadrado por 3, 4 por 3, 12. Nuestro múltiplo común para ponerle en los tres denominadores igual sería el 12. 67 00:08:58,580 --> 00:09:03,500 ¿Cómo hacemos ahora para el numerador también cambiarlo? 68 00:09:03,500 --> 00:09:09,419 Pues el 12 lo dividiríamos entre 3 y nos da 4 por 2, 8 69 00:09:09,419 --> 00:09:15,299 El 12 lo dividiríamos entre 6 y nos da 2 por 5, 10 70 00:09:15,299 --> 00:09:19,580 Y el 12 entre 4, 3 por 3, 9 71 00:09:19,580 --> 00:09:26,480 Repito, a la hora de buscar una fracción equivalente con el mismo denominador 72 00:09:26,480 --> 00:09:31,159 buscamos un múltiplo común a los tres, al tres, al seis, al cuatro 73 00:09:31,159 --> 00:09:32,820 con el mínimo como múltiplo 74 00:09:32,820 --> 00:09:35,340 y luego cuando lo hemos hallado 75 00:09:35,340 --> 00:09:38,659 dividimos entre el denominador 76 00:09:38,659 --> 00:09:41,039 doce entre tres y por dos 77 00:09:41,039 --> 00:09:44,600 doce entre seis y por cinco 78 00:09:44,600 --> 00:09:47,440 y doce entre cuatro y por tres 79 00:09:47,440 --> 00:09:49,679 y estas tres fracciones 80 00:09:49,679 --> 00:09:55,080 no solo son fracciones equivalentes a ellas 81 00:09:55,080 --> 00:10:10,259 sino que tienen el mismo denominador. Y esto nos va a venir muy bien porque luego vamos a necesitar, a la hora de operar con las fracciones, sumar o restar fracciones que tengan el mismo denominador. 82 00:10:10,259 --> 00:11:01,000 Si no es el mismo denominador, nosotros no podemos operar esas fracciones. Por ejemplo, un momentito, perdonad. Vale. Mirar la suma o diferencia con el denominador común, con el mismo denominador de las fracciones, ¿cómo lo haríamos? 83 00:11:01,000 --> 00:11:18,490 Pues voy a aumentar esto un poco más. Si estas tres fracciones tienen el mismo denominador, pues fenomenal, ya no hay que buscarle, le ponemos como de la fracción resultante. 84 00:11:18,490 --> 00:11:25,250 En el numerador realizaríamos la suma de 2 más 4 menos 7 85 00:11:25,250 --> 00:11:28,529 Entonces 6 menos 7 menos 1 86 00:11:28,529 --> 00:11:34,529 Como ya hemos visto los números enteros podemos operar también con números positivos y negativos 87 00:11:34,529 --> 00:11:40,929 Repito, si las fracciones tienen el mismo denominador operamos los numeradores 88 00:11:40,929 --> 00:11:48,330 Pero el denominador no lo sumamos, conservamos el número que sea común, el 3 en este caso 89 00:11:48,330 --> 00:11:55,070 ¿Qué pasa si los denominadores no fueran iguales? 90 00:11:55,070 --> 00:12:07,929 Entonces, tendríamos el 5, el 6 y el 10, tendríamos que buscar un múltiplo común, tendríamos que hallar el mínimo común múltiplo de esos tres números 91 00:12:07,929 --> 00:12:14,129 y buscar una cifra para poder, por medio de fracciones equivalentes, 92 00:12:14,610 --> 00:12:19,370 convertir estas fracciones en otras que tengan el mismo denominador, las tres, 93 00:12:19,590 --> 00:12:22,190 para luego y así sumarlas o restarlas. 94 00:12:22,529 --> 00:12:29,669 Por ejemplo, descomponemos el 5, nos da 5, 6 es 2 por 3, 10 es 2 por 5, 95 00:12:30,490 --> 00:12:33,929 el mínimo común múltiplo sería comunes y no comunes. 96 00:12:33,929 --> 00:12:42,389 comunes, comunes tenemos el 2, el 5 y el 3, cogemos los 3 que tenemos, el 2, el 3 y el 5 y nos da 30, 97 00:12:42,970 --> 00:12:55,350 30, procedemos como un poquito más arriba y 30 entre 5 y por 4, 30 entre 5, 6 por 4, 24 sería 98 00:12:55,350 --> 00:13:06,590 el numerador, 30 entre 6 y por 5, que es 5 por 5, 25, y 30 entre 10 y por 1, que es 3. 99 00:13:08,110 --> 00:13:14,850 Hemos buscado tres fracciones equivalentes a las primeras con el mismo denominador y 100 00:13:14,850 --> 00:13:21,669 ahora sí, ya las podemos sumar o restar y operarlas. Ponemos el resultado, el denominador 101 00:13:21,669 --> 00:13:52,610 30 para los 3 y en el numerador a 24 le sumamos 25, le restamos 3, operamos, esto da 46 y si podemos simplificar, por ejemplo, dividiendo entre 3, no, pero entre 2, 46 es divisible entre 2, 30 es divisible entre 2, pues 23 quinceavos, tendríamos esta fracción. 102 00:13:53,110 --> 00:14:02,080 Bien, ¿cómo conseguimos el producto de dos fracciones? 103 00:14:02,940 --> 00:14:10,120 Mirad, el producto de dos o más fracciones se consigue multiplicando los numeradores. 104 00:14:10,539 --> 00:14:14,860 Si solo fueran dos, pues el 2 por el 4 y el 3 por el 7. 105 00:14:15,240 --> 00:14:19,600 El 3 por el 7 sería el que pondríamos abajo. 106 00:14:19,600 --> 00:14:29,980 Pero si en este caso tenemos tres fracciones, pues multiplicaríamos el 2 por el 4 por el 5, 2 por 4, 8, 5 por 8, 40 107 00:14:29,980 --> 00:14:35,740 El 40 es el resultado de multiplicar los tres numeradores 108 00:14:36,139 --> 00:14:43,820 En el denominador hacemos lo mismo, 3 por 7 y por 8, 3 por 7, 21 por 8, 168 109 00:14:43,820 --> 00:14:51,980 Entonces, 40 168 es el producto de la primera por la segunda por la tercera fracción 110 00:14:51,980 --> 00:15:05,200 ¿Cómo se divide el cociente, la división, entre dos fracciones? 111 00:15:05,200 --> 00:15:11,879 Pues la división de dos fracciones es la multiplicación en cruz 112 00:15:11,879 --> 00:15:19,580 No llega a ser una división, es el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda y lo pondríamos arriba 113 00:15:19,580 --> 00:15:27,779 Y en el denominador pondríamos la otra parte de la cruz que nos falta, el 7 por el 2, 14, 11 por el 3, 33. 114 00:15:28,600 --> 00:15:38,580 Entonces ya digo, así como la multiplicación de fracciones multiplicamos los numeradores y lo dividimos por el producto de los denominadores, 115 00:15:38,580 --> 00:15:47,580 denominadores, en la división el ejercicio sería multiplicar en cruz el primer numerador 116 00:15:47,580 --> 00:15:57,379 por el denominador y el segundo por el de arriba, treinta y tres catorceavos. Por ejemplo, 117 00:15:57,379 --> 00:16:24,539 En este producto de fracciones, no, el producto de los numeradores sería 2 por 3, 6, por 5, 30, 30 tendríamos en el numerador y abajo tendríamos 5 por 3, 15, por 2, 30 también, entonces 30 en el numerador, 30 en el denominador, 30 entre 30 daría 1. 118 00:16:24,539 --> 00:16:35,000 Si sumáramos estas dos fracciones, esta no tiene denominador, pero multiplicamos por 2 119 00:16:35,000 --> 00:16:41,139 2 por 1 al 2 más 1, 3, 3 medios entre 2 por 1 al 2 menos 1, 1 120 00:16:41,139 --> 00:16:46,679 3 medios entre 1 medio, multiplicaríamos en cruz y se resolvería así 121 00:16:46,679 --> 00:16:52,159 Esto se haría de la misma manera, 3 por 3, 9 menos 5, 4 tercios 122 00:16:52,159 --> 00:17:09,359 y aquí tendríamos 3 por 3, 9, 9 más 5, 14 tercios, entonces 4 tercios entre 14 tercios, multiplicaríamos en cruz y así lo resolveríamos. 123 00:17:09,359 --> 00:17:31,809 Veamos los números, las potencias a la hora de tener una fracción elevada a una potencia, lo que se hace es numerador y denominador elevarla a esa potencia, sería 2 al cuadrado por 5 al cuadrado. 124 00:17:31,809 --> 00:17:38,170 Pero en este caso vamos a multiplicar dos potencias que tienen la misma base 125 00:17:38,170 --> 00:17:45,410 Con lo cual no necesitamos resolver la primera fracción elevada a una potencia y la segunda fracción elevada a una potencia 126 00:17:45,410 --> 00:17:53,369 No hay que resolverlo porque tenemos aquí el producto de dos fracciones con la misma base 127 00:17:53,369 --> 00:17:56,529 Y el exponente es lo que tenemos que sumar 128 00:17:56,529 --> 00:18:16,170 Sumamos los exponentes, 3 más 2 es 5, la base es 2 quintos elevado a 5 y ahora ya sí, ahora ya podemos el numerador elevarlo al exponente que es 2 elevado a 5 partido del denominador elevado al exponente que también es 5 elevado a 5. 129 00:18:16,170 --> 00:18:24,029 las operaciones combinadas a los números enteros y las fracciones se siguen igual que con las mismas 130 00:18:24,029 --> 00:18:31,789 reglas que hemos tenido para los números enteros para las fracciones entonces qué se hace primero 131 00:18:31,789 --> 00:18:37,750 si tenemos una suma y una resta pues primero la suma y luego la resta pero si tenemos una suma y 132 00:18:37,750 --> 00:18:43,529 un producto lo primero que se resuelve es el producto y luego después se resolvería la suma 133 00:18:43,529 --> 00:18:59,589 En este caso tenemos paréntesis, resolveríamos esta resta de fracciones y después realizaríamos con lo que nos dé el resultado, realizaríamos la división, que hemos dicho que se multiplica en cruz. 134 00:19:00,329 --> 00:19:12,589 Y en este caso tenemos primero un paréntesis, resolveríamos el paréntesis, luego dividiríamos entre la fracción y lo siguiente, ya lo último, sería la multiplicación. 135 00:19:13,529 --> 00:19:30,029 En el caso que sean dos fracciones elevadas a una potencia, resolvemos primero la fracción que nos resulta de la resta de 1 medio menos 3 quintos. 136 00:19:30,029 --> 00:19:55,970 Aquí tendríamos que resolver 5 tercios más 3 cuartos, esta suma y esta resta no nos va a dar la misma fracción, entonces elevaríamos a la potencia, después quitaríamos paréntesis y con lo que nos quede ya multiplicaríamos en cruz, numerador por el denominador y en la segunda numerador por denominador. 137 00:19:55,970 --> 00:20:16,710 Igual que hemos visto a principio del tema la representación numérica de los números naturales y de los números enteros, las fracciones también se pueden representar en esta recta. 138 00:20:18,549 --> 00:20:27,529 Dices, pero bueno, ¿y yo cómo represento una fracción aquí? Vale, la tenemos que pasar a decimal, tendríamos que esa fracción convertirla en un decimal. 139 00:20:27,529 --> 00:20:46,089 Como hemos dicho que las fracciones son divisiones, 5 entre 4 daría 1,25, 1,25 lo buscaríamos en la recta real y estaría, bueno en este caso no estaría por aquí, sería entre el número 1 y el 2. 140 00:20:46,089 --> 00:21:04,549 Entonces, entre el número 1 y el 2 buscaríamos y colocaríamos el resultado, ya digo, de la fracción, el resultado de dividir el numerador entre el denominador, 1,25. 141 00:21:04,549 --> 00:21:24,190 Bien, pues hasta aquí la clase de hoy. Intentar hacer los ejercicios estos y los que tenemos colgado de actividades para distancia e ir practicando y nos vemos, bueno, o nos conectaremos a la semana que viene a la misma hora. Un saludo.