1 00:00:11,820 --> 00:00:20,219 bueno entonces aquí en los apuntes estos de derivadas tenemos al final de todo un 2 00:00:20,219 --> 00:00:25,719 ejemplo de aplicación que vamos a hacer en este vídeo para estudiar los intervalos de 3 00:00:25,719 --> 00:00:30,820 crecimiento y de crecimiento de esta función f de x igual a x al cubo partido por x al cuadrado 4 00:00:30,820 --> 00:00:35,640 menos 1 vámonos a ello y tenemos estudiar los intervalos de crecimiento y de crecimiento de 5 00:00:35,640 --> 00:00:41,399 la función f de x igual a x al cubo partido por x al cuadrado menos 1 aquí tenemos lo que hay que 6 00:00:41,399 --> 00:00:46,240 hacer. Primero, calcular el dominio de la función. Segundo, derivar la función. Vamos 7 00:00:46,240 --> 00:00:51,259 a hacer eso en dos partes. El dominio de f es igual a conjunto de números reales, tales 8 00:00:51,259 --> 00:00:56,500 que x al cuadrado menos uno, que es el denominador, es distinto de cero. x al cuadrado menos uno 9 00:00:56,500 --> 00:01:02,060 es igual a cero. Entonces x, tenemos dos soluciones, uno y menos uno. Por lo tanto, esto es el 10 00:01:02,060 --> 00:01:07,519 intervalo que va de menos infinito a menos uno, unión de menos uno a uno, unión de uno 11 00:01:07,519 --> 00:01:11,780 infinito. Es decir, todos los reales salvo el menos 1 y el 1. Bien, la segunda parte 12 00:01:11,780 --> 00:01:18,079 es derivar la función. Es un cociente, entonces la derivada será en el numerador, derivada 13 00:01:18,079 --> 00:01:24,359 del numerador por el denominador sin derivar, menos el numerador por la derivada del denominador 14 00:01:24,359 --> 00:01:30,159 y en el denominador, el denominador al cuadrado. Bien, vamos a derivar estas dos cosas y colocarlas 15 00:01:30,159 --> 00:01:36,280 ahí. Eso lo vamos a hacer en una parte. La derivada de x al cubo es 3x al cuadrado y 16 00:01:36,280 --> 00:01:40,000 Y la derivada de x al cuadrado menos 1 es 2x. 17 00:01:40,540 --> 00:01:45,920 Llevamos estas dos cosas a la derivada que estábamos calculando. 18 00:01:46,239 --> 00:01:55,239 Entonces esto será 3x al cuadrado multiplicado por x al cuadrado menos 1 menos x al cubo multiplicado por 2x. 19 00:01:55,400 --> 00:01:59,180 Y partido por x al cuadrado menos 1 elevado al cuadrado. 20 00:01:59,180 --> 00:02:00,879 Y esto lo dejamos así factorizado. 21 00:02:01,340 --> 00:02:04,939 Siempre que derivemos una función racional, el denominador lo dejamos factorizado. 22 00:02:04,939 --> 00:02:07,620 No hay que ponerse a hacer este cuadrado, ¿vale? 23 00:02:08,159 --> 00:02:14,379 Lo que sí que vamos a tener que hacer es lo de arriba, porque en el siguiente paso vamos a ver que hay que resolver la ecuación f'x igual a 0. 24 00:02:14,840 --> 00:02:17,539 Entonces me interesa tenerlo de arriba en forma polinómica. 25 00:02:17,900 --> 00:02:23,580 Entonces vamos a desarrollar esta operación de polinomios, que es una operación de polinomios de las que hacíais en segundo de eso. 26 00:02:23,919 --> 00:02:26,780 Entonces aquí todos lo sabemos hacer, hay que tener mucho cuidado de hacerlo bien. 27 00:02:26,780 --> 00:02:32,340 3x al cuadrado por x al cuadrado será 3x a la cuarta menos 3x al cuadrado. 28 00:02:32,340 --> 00:02:37,599 Y ahora aquí, menos x al cubo por 2x será menos 2x a la cuarta. 29 00:02:37,719 --> 00:02:40,659 Y el denominador, x al cuadrado menos 1 al cuadrado. 30 00:02:40,819 --> 00:02:50,800 Bueno, arriba ahora ya se nos queda 3x a la cuarta menos 2x a la cuarta será x a la cuarta menos 3x al cuadrado partido por x al cuadrado menos 1 al cuadrado. 31 00:02:51,199 --> 00:02:53,620 Bien, vamos a ver los apuntes. Hemos hecho ya las dos primeras partes. 32 00:02:53,819 --> 00:02:54,879 Primero, calcular el dominio. 33 00:02:55,240 --> 00:02:56,719 Segundo, derivar la función. 34 00:02:56,719 --> 00:03:02,340 Vamos a ver. Resolvemos la ecuación f' de x igual a cero y obtenemos las soluciones de esa ecuación, 35 00:03:02,500 --> 00:03:06,219 que es lo que se llaman puntos críticos, los puntos que anulan la derivada. 36 00:03:06,580 --> 00:03:10,599 Tercero, vamos a resolver la ecuación f' de x igual a cero. 37 00:03:10,879 --> 00:03:14,000 Entonces, la ecuación es esto de aquí igual a cero. 38 00:03:14,340 --> 00:03:15,439 Entonces, vamos a hacerla. 39 00:03:15,639 --> 00:03:23,419 x a la cuarta menos 3x al cuadrado partido por x al cuadrado menos 1 al cuadrado igual a cero. 40 00:03:23,419 --> 00:03:26,439 Bien, una fracción es igual a cero si el numerador es igual a cero. 41 00:03:26,439 --> 00:03:34,560 Entonces solo tengo que resolver una ecuación polinómica que es el numerador x a la cuarta menos 3x al cuadrado igual a 0. 42 00:03:34,659 --> 00:03:37,680 Y esta es de grado 4, es bicuadrada, pero además es incompleta. 43 00:03:37,900 --> 00:03:45,520 Entonces factorizando directamente, sacando factor común x al cuadrado, me queda x al cuadrado por x al cuadrado menos 3 igual a 0. 44 00:03:45,759 --> 00:03:48,780 Y de aquí sacamos por un lado una solución doble que es x igual a 0. 45 00:03:48,780 --> 00:03:57,599 Y por otro lado, x al cuadrado igual a 3, luego sacamos las soluciones, x sub 1 igual a menos raíz de 3, y x sub 2 igual a raíz de 3. 46 00:03:57,780 --> 00:04:00,639 Por lo tanto, 1, 2, 3, tenemos 3 puntos críticos. 47 00:04:00,819 --> 00:04:04,659 Entonces tenemos ahí esos 3 puntos críticos, vamos a ver ahora qué hay que hacer con esos puntos críticos. 48 00:04:04,879 --> 00:04:09,939 Ahí tenemos, analizamos el signo de f' de x, de la misma forma que resolvíamos sin ecuaciones. 49 00:04:10,139 --> 00:04:17,220 Vamos a dividir el dominio de la función en intervalos, utilizando los puntos críticos, y vamos a analizar el signo de f' en cada uno de los intervalos. 50 00:04:17,220 --> 00:04:20,699 Entonces, vamos a escribir el dominio, que va de menos infinito, 51 00:04:21,100 --> 00:04:23,339 y lo vamos a ir partiendo por estos tres puntos críticos 52 00:04:23,339 --> 00:04:26,540 y por los dos puntos que no son del dominio, que es menos uno y uno. 53 00:04:26,740 --> 00:04:30,500 Es decir, en total vamos a tener cinco puntos en los que dividir el dominio, 54 00:04:30,600 --> 00:04:32,279 que va a quedar dividido entonces en seis trozos. 55 00:04:32,540 --> 00:04:35,300 Entonces, el primero será de menos infinito a menos raíz de tres. 56 00:04:35,660 --> 00:04:38,660 Después de menos raíz de tres, el siguiente sería el menos uno. 57 00:04:38,879 --> 00:04:40,379 Después el siguiente sería el cero. 58 00:04:40,620 --> 00:04:41,899 Después el siguiente sería el uno. 59 00:04:42,220 --> 00:04:43,939 Después el siguiente sería la raíz de tres. 60 00:04:44,220 --> 00:04:45,439 Y ya nos iríamos a infinito. 61 00:04:45,439 --> 00:04:49,620 Como digo, 1, 2, 3, 4, 5, 6 trozos con 5 puntos. 62 00:04:49,699 --> 00:04:55,279 Voy a poner cuadrados en azul los puntos críticos, que son los puntos que anulan la derivada. 63 00:04:55,560 --> 00:04:59,300 Y voy a poner en verde los puntos que no son del dominio. 64 00:04:59,519 --> 00:05:07,000 Todos estos puntos los tenemos que poner aquí, pero tenemos que ver que unos están aquí por una cosa y otros por otra. 65 00:05:07,139 --> 00:05:12,439 Unos son porque anulan la derivada, los que rodean en azul, y otros son los que anulan el denominador. 66 00:05:12,439 --> 00:05:14,959 En este caso, es decir, los puntos en los que no está definida la función. 67 00:05:15,439 --> 00:05:20,860 Bien, pues ahora ya tenemos dividido, aquí vamos a hacer la misma tabla que hacíamos para las inequaciones. 68 00:05:21,180 --> 00:05:26,120 Tenemos dividido la recta real en 6 trozos y aquí ahora vamos a ver el signo. 69 00:05:26,180 --> 00:05:33,379 ¿El signo de qué? De la derivada, porque el signo de la derivada es el que me va a dar el crecimiento de la función. 70 00:05:34,019 --> 00:05:39,300 Entonces aquí tengo que poner los diferentes factores que hay en la derivada. 71 00:05:39,300 --> 00:05:51,680 Entonces observamos, el numerador tengo, si factorizo, lo tengo factorizado como x al cuadrado por x más raíz de 3 y por x menos raíz de 3. 72 00:05:52,079 --> 00:06:01,120 Y el denominador ya lo tengo, bueno, el x al cuadrado menos 1 se podría factorizar más, pero bueno, realmente fijaos que como está elevado al cuadrado y solo me interesa el signo, lo podemos dejar así. 73 00:06:01,120 --> 00:06:02,759 nos fijamos también en una cosa 74 00:06:02,759 --> 00:06:05,139 x al cuadrado va a ser siempre positivo 75 00:06:05,139 --> 00:06:06,980 con lo cual yo lo puedo poner aquí 76 00:06:06,980 --> 00:06:09,920 ese factor, pero siempre aquí voy a poner 77 00:06:09,920 --> 00:06:12,100 más, más, más, más, más, no va a aportar nada 78 00:06:12,100 --> 00:06:13,959 entonces si lo pongo 79 00:06:13,959 --> 00:06:15,959 no va a pasar nada, pero si nos damos cuenta 80 00:06:15,959 --> 00:06:17,220 pues ese ya no lo ponemos 81 00:06:17,220 --> 00:06:18,899 entonces únicamente tenemos que poner 82 00:06:18,899 --> 00:06:21,079 x más raíz de 3 83 00:06:21,079 --> 00:06:23,819 es uno de los factores cuyo signo 84 00:06:23,819 --> 00:06:24,500 tengo que ver 85 00:06:24,500 --> 00:06:27,680 el otro es x menos raíz de 3 86 00:06:27,680 --> 00:06:32,560 y luego habría que poner los del 87 00:06:32,560 --> 00:06:33,180 denominador 88 00:06:33,180 --> 00:06:36,540 pero desde el denominador como al final está todo elevado al cuadrado 89 00:06:36,540 --> 00:06:38,839 pasa lo mismo que con este x al cuadrado de aquí 90 00:06:38,839 --> 00:06:41,000 si lo pongo no va a pasar nada 91 00:06:41,000 --> 00:06:42,819 va a ser más, más, más, más en todo 92 00:06:42,819 --> 00:06:44,399 el resultado va a ser el mismo 93 00:06:44,399 --> 00:06:46,199 pero si me doy cuenta no lo pongo 94 00:06:46,199 --> 00:06:49,319 y solamente realmente lo único que va a hacer que cambie el signo 95 00:06:49,319 --> 00:06:51,180 son estos dos factores 96 00:06:51,180 --> 00:06:53,379 la multiplicación de todos estos factores 97 00:06:53,379 --> 00:06:54,639 de todos estos signos 98 00:06:54,639 --> 00:06:57,000 me va a dar el signo de f' 99 00:06:57,259 --> 00:06:59,839 y luego debajo vamos a añadir 100 00:06:59,839 --> 00:07:01,879 y lo indicaremos con una flechita 101 00:07:01,879 --> 00:07:06,220 que nos va a ayudar luego a visualizarlo mejor, si es creciente o decreciente la función. 102 00:07:06,699 --> 00:07:09,220 Cuando f' sea positiva, la función será creciente. 103 00:07:09,360 --> 00:07:12,560 Cuando f' sea negativa, la función será decreciente. 104 00:07:13,019 --> 00:07:16,779 Bien, pues ahora se trata de ver el signo de aquí, el signo de aquí y el signo del producto. 105 00:07:17,100 --> 00:07:21,899 Entonces, para ello, tomamos un valor cualquiera entre menos infinito y menos raíz de 3. 106 00:07:22,360 --> 00:07:24,180 Por ejemplo, menos 5. 107 00:07:24,379 --> 00:07:26,800 Entonces, menos 5 más raíz de 3 es negativo. 108 00:07:27,019 --> 00:07:29,279 Menos 5 menos raíz de 3 es negativo. 109 00:07:29,279 --> 00:07:31,759 Menos por menos, más positivo 110 00:07:31,759 --> 00:07:34,980 Por lo tanto la función en este intervalo va a ser creciente 111 00:07:34,980 --> 00:07:37,699 Siguiente intervalo entre menos raíz de 3 y menos 1 112 00:07:37,699 --> 00:07:40,360 Pues cogemos por ejemplo el menos 1,5 113 00:07:40,360 --> 00:07:42,920 Menos 1,5 más raíz de 3, positivo 114 00:07:42,920 --> 00:07:49,420 Bueno, yo realmente ya veo que este factor se anula aquí 115 00:07:49,420 --> 00:07:53,040 Por lo tanto, a la izquierda negativo, a la derecha positivo 116 00:07:53,040 --> 00:07:54,439 Y va a ser siempre positivo 117 00:07:54,439 --> 00:07:57,639 Si lo veo esto ya, pues lo pongo 118 00:07:57,639 --> 00:07:59,160 Con este va a pasar lo mismo 119 00:07:59,160 --> 00:08:02,060 ¿cuál es su raíz? su raíz es raíz de 3 120 00:08:02,060 --> 00:08:04,079 entonces a la izquierda de raíz de 3 121 00:08:04,079 --> 00:08:06,560 esto es una recta, entonces cambia de signo 122 00:08:06,560 --> 00:08:08,259 a la izquierda de raíz de 3 va a ser 123 00:08:08,259 --> 00:08:10,319 negativo, a la derecha de raíz de 3 124 00:08:10,319 --> 00:08:12,259 positivo, y entonces ya lo tengo todo 125 00:08:12,259 --> 00:08:13,980 vale, no falta estar aquí dando valores 126 00:08:13,980 --> 00:08:16,500 más por menos, menos, decreciente 127 00:08:16,500 --> 00:08:17,920 vale, entre menos 1 y 0 128 00:08:17,920 --> 00:08:19,680 bueno, ya lo tengo, pero bueno, si quisiéramos 129 00:08:19,680 --> 00:08:22,060 si no vemos esto claramente 130 00:08:22,060 --> 00:08:23,920 que he puesto yo, pues lo vamos comprobando 131 00:08:23,920 --> 00:08:25,259 con cada uno 132 00:08:25,259 --> 00:08:27,500 entonces bueno, aquí podríamos poner por ejemplo 133 00:08:27,500 --> 00:08:29,519 menos 0,5 y comprobar que 134 00:08:29,519 --> 00:08:31,439 efectivamente esto sale positivo y esto negativo 135 00:08:31,439 --> 00:08:33,500 más por menos, menos, también 136 00:08:33,500 --> 00:08:35,039 decreciente en este intervalo 137 00:08:35,039 --> 00:08:37,580 fijaos que este menos 1 es un punto que no es del dominio 138 00:08:37,580 --> 00:08:39,080 aquí seguramente va a haber una asíntota 139 00:08:39,080 --> 00:08:41,139 y ya vemos que va a ser de ramas divergentes 140 00:08:41,139 --> 00:08:43,519 porque es decreciente y luego sigue siendo decreciente 141 00:08:43,519 --> 00:08:45,539 entre 0 y 1 y de nuevo 142 00:08:45,539 --> 00:08:47,759 sale positivo y negativo, más por menos 143 00:08:47,759 --> 00:08:49,580 menos, de nuevo 144 00:08:49,580 --> 00:08:51,779 decreciente, entre 1 y raíz de 3 145 00:08:51,779 --> 00:08:53,899 1,5, comprobaríamos 146 00:08:53,899 --> 00:08:55,340 más por menos, menos, de nuevo 147 00:08:55,340 --> 00:08:57,340 decreciente y entre raíz de 3 148 00:08:57,340 --> 00:08:59,419 y infinito, pongamos por ejemplo 149 00:08:59,419 --> 00:09:01,419 el 5, me va a salir positivo las dos 150 00:09:01,419 --> 00:09:03,220 y aquí creciente. Entonces 151 00:09:03,220 --> 00:09:05,399 observamos que este menos raíz de 3 152 00:09:05,399 --> 00:09:07,279 que está rodeado de color 153 00:09:07,279 --> 00:09:09,120 azul, es decir, es un punto que sigue 154 00:09:09,120 --> 00:09:11,100 en el que la función sí que está definida 155 00:09:11,100 --> 00:09:12,879 ahí no va a haber asíntota ninguna 156 00:09:12,879 --> 00:09:14,379 pues va a ser un máximo. 157 00:09:15,200 --> 00:09:17,679 A la izquierda es creciente la función, a la derecha es decreciente. 158 00:09:18,580 --> 00:09:19,440 Y luego en este 159 00:09:19,440 --> 00:09:21,419 0 era un punto crítico, podía 160 00:09:21,419 --> 00:09:23,279 ser un candidato porque la derivada se anula 161 00:09:23,279 --> 00:09:25,279 a ser un máximo o mínimo, sin embargo no es 162 00:09:25,279 --> 00:09:27,139 ni máximo ni mínimo, porque la función 163 00:09:27,139 --> 00:09:28,960 es decreciente y sigue siendo decreciente 164 00:09:28,960 --> 00:09:31,000 y en este raíz de 3 165 00:09:31,000 --> 00:09:32,620 va a ser un mínimo 166 00:09:32,620 --> 00:09:34,720 porque pasa de decreciente a creciente 167 00:09:34,720 --> 00:09:37,019 entonces ya por último, una vez analizado 168 00:09:37,019 --> 00:09:39,139 el punto 4, el punto 5 concluimos 169 00:09:39,139 --> 00:09:41,539 en los intervalos donde f' es positiva 170 00:09:41,539 --> 00:09:42,559 la función es creciente 171 00:09:42,559 --> 00:09:45,440 en los intervalos donde f' es negativa la función es decreciente 172 00:09:45,440 --> 00:09:46,600 esto que he puesto aquí 173 00:09:46,600 --> 00:09:48,899 con flechitas, ahora ya la concluimos 174 00:09:48,899 --> 00:09:49,940 y damos la respuesta 175 00:09:49,940 --> 00:09:53,740 creciente en menos infinito 176 00:09:53,740 --> 00:09:55,340 menos raíz de 3 177 00:09:55,340 --> 00:09:58,679 Unión, raíz de 3, infinito 178 00:09:58,679 --> 00:10:01,139 Y decreciente, pues es 179 00:10:01,139 --> 00:10:03,539 Cuidado aquí, porque podríamos decir 180 00:10:03,539 --> 00:10:06,059 Ah, pues como aquí todos son la flechita hacia abajo 181 00:10:06,059 --> 00:10:07,940 Pues desde menos raíz de 3 hasta raíz de 3 182 00:10:07,940 --> 00:10:10,299 No, porque aquí tengo estos dos 183 00:10:10,299 --> 00:10:12,139 Que no son del dominio, entre medias 184 00:10:12,139 --> 00:10:13,259 Y los tengo que excluir 185 00:10:13,259 --> 00:10:15,259 Por tanto, tengo que decir 186 00:10:15,259 --> 00:10:18,139 Es decreciente, menos raíz de 3, menos 1 187 00:10:18,139 --> 00:10:20,240 Unión, menos 1, 1 188 00:10:20,240 --> 00:10:23,000 Unión, 1, raíz de 3 189 00:10:23,000 --> 00:10:26,299 no tengo que poner menos 1, 0, 0, 1 190 00:10:26,299 --> 00:10:28,080 porque en 0 sí que está definida 191 00:10:28,080 --> 00:10:29,860 entonces sí que pongo desde menos 1 hasta 1 192 00:10:29,860 --> 00:10:32,179 y aquí ya tendría completado 193 00:10:32,179 --> 00:10:34,259 el estudio de la monotonía de una función 194 00:10:34,259 --> 00:10:35,899 utilizando la derivada 195 00:10:35,899 --> 00:10:40,950 bueno, vamos simplemente ahora a comprobar esto 196 00:10:40,950 --> 00:10:42,929 esto lo vamos a utilizar para representar funciones 197 00:10:42,929 --> 00:10:44,529 en el tema siguiente, con lo cual 198 00:10:44,529 --> 00:10:46,389 tenemos que ser capaces de llevarnos esto 199 00:10:46,389 --> 00:10:49,110 a un sistema de referencia para obtener la gráfica de la función 200 00:10:49,110 --> 00:10:50,509 de momento lo vamos a hacer con GeoGebra 201 00:10:50,509 --> 00:10:52,470 para que veamos que efectivamente es así 202 00:10:52,470 --> 00:10:54,509 entonces si dibujamos la función f de x 203 00:10:54,509 --> 00:10:59,110 o primero vamos a ir diciendo, bueno, yo sé que va a haber una asíntota en x igual a menos 1 204 00:10:59,110 --> 00:11:01,950 la voy a ir dibujando, otra en x igual a 1 205 00:11:01,950 --> 00:11:05,990 y como f de x es x al cubo partido por x al cuadrado menos 1 206 00:11:05,990 --> 00:11:10,610 cuando x es 0, esto es 0, ¿no? 0 al cubo, 0, entre menos 1, 0 207 00:11:10,610 --> 00:11:15,210 pues el punto 0, 0 tiene un punto donde la derivada se anula 208 00:11:15,210 --> 00:11:21,509 pero pasa de decreciente a decreciente, es decir, no es un extremo 209 00:11:21,509 --> 00:11:27,830 Bueno, pues el punto 0, 0 lo voy a señalar y luego veremos qué significa eso de que la derivada se anule sin que haya un mínimo ni un máximo. 210 00:11:28,049 --> 00:11:35,250 Vale, pasa por ahí y luego sé que en raíz de, en menos raíz de 3, que está por aquí, y su imagen, que esa no la he calculado, 211 00:11:35,830 --> 00:11:38,789 y raíz de 3, que es una imagen que no la he calculado, en 1 va a haber un máximo y un mínimo. 212 00:11:38,929 --> 00:11:40,590 Vamos a ver cómo obtenemos eso. 213 00:11:40,850 --> 00:11:43,309 Vamos a dibujar ya la función y vamos a ver cómo cuadra todo eso. 214 00:11:44,129 --> 00:11:45,190 Vale, pues ahí tenemos la función. 215 00:11:45,190 --> 00:11:53,570 Bueno, efectivamente aquí en este punto donde hay un máximo, esta es para el menor raíz de 3 y el mínimo está en más raíz de 3, ¿vale? 216 00:11:53,610 --> 00:11:58,889 Y ahora aquí ya vemos una cosa que veremos a continuación, que es puntos donde la derivada se anula. 217 00:11:59,110 --> 00:12:03,970 Fijaos que ahí la pendiente, o sea, la recta tiene una pendiente horizontal, la derivada se anula. 218 00:12:03,970 --> 00:12:11,809 La pendiente llega a 0, pero luego es negativa y luego sigue siendo negativa, ¿vale? 219 00:12:11,809 --> 00:12:15,610 Pues en esos puntos es un punto que tiene una característica y es que lo que cambia 220 00:12:15,610 --> 00:12:19,929 no es el crecimiento sino la curvatura, que es lo siguiente que vamos a ver.