1
00:00:00,000 --> 00:00:13,660
Comencemos estudiando algunas funciones elementales.

2
00:00:14,480 --> 00:00:20,580
La función constante siempre tiene el mismo valor, independientemente del valor que toma la variable x.

3
00:00:21,100 --> 00:00:29,219
Su ecuación es de la forma f de x igual a k, donde k es el valor constante que toma la función.

4
00:00:30,000 --> 00:00:38,719
k es un número real. Veamos como ejemplo cómo se representa la función f de x o y igual a 2.

5
00:00:38,719 --> 00:00:51,600
Si dibujamos la tabla de valores poniendo a la izquierda la columna de la variable independiente x y a la derecha el valor de la variable dependiente, que en este caso es 2

6
00:00:51,600 --> 00:00:56,200
Para todos los valores de x que asignemos siempre la y vale 2

7
00:00:56,200 --> 00:01:01,179
Es decir, para 0 tendremos y2, nos proporciona el punto 0,2

8
00:01:01,179 --> 00:01:07,039
Para x1 la y vale 2, nos proporciona el punto 1,2 del plano

9
00:01:07,040 --> 00:01:14,940
Y si X es menos 1, la Y vale 2. Esto nos proporciona el punto menos 1, 2.

10
00:01:16,000 --> 00:01:27,800
Representando los puntos en nuestro sistema de ejes cartesianos, recuerda que primero X y después Y, observamos que obtenemos tres puntos alineados que son paralelos al eje X.

11
00:01:29,020 --> 00:01:31,840
Podemos coger la regla y unir estos puntos.

12
00:01:31,840 --> 00:01:39,240
De esta forma obtenemos la representación de la función constante igual a 2

13
00:01:39,240 --> 00:01:48,120
Observar que es una recta paralela al eje X que corta al eje Y por el punto Y2

14
00:02:01,840 --> 00:02:08,420
Veamos el siguiente ejemplo. La entrada a un museo cuesta 5 euros.

15
00:02:08,819 --> 00:02:16,420
Vamos a realizar una tabla de valores que relacione el precio en euros frente al tiempo, expresado en horas de estancia en el museo.

16
00:02:17,900 --> 00:02:24,240
Representaremos la función y escribiremos la fórmula de la función, así como explicaremos de qué tipo es.

17
00:02:24,920 --> 00:02:31,340
Escribimos en las columnas de nuestra tabla de valores la variable independiente tiempo que se mide en horas

18
00:02:31,340 --> 00:02:38,060
y a la derecha la variable dependiente, que es el precio, que en este caso se mide en euros.

19
00:02:39,680 --> 00:02:48,620
Observar que nada más llegar pagamos el precio de 5 euros, es decir, para tiempo 0 horas tenemos que pagar 5 euros.

20
00:02:49,180 --> 00:02:53,080
Si vamos una hora en el museo, el precio sigue siendo de 5 euros.

21
00:02:53,740 --> 00:02:56,920
Para 2 horas también tenemos 5 euros.

22
00:02:56,920 --> 00:03:03,920
Si estamos 3 horas, el precio seguirá siendo de 5 euros

23
00:03:03,920 --> 00:03:08,380
Estos valores de la tabla nos proporcionan puntos en el plano

24
00:03:08,380 --> 00:03:12,940
El punto 0,5

25
00:03:12,940 --> 00:03:17,100
El punto 1,5

26
00:03:17,100 --> 00:03:20,960
El punto 2,5

27
00:03:20,960 --> 00:03:24,440
Y el punto 3,5

28
00:03:24,439 --> 00:03:31,699
Dado que nuestros valores de la tabla son todos positivos, dibujamos los ejes del primer cuadrante

29
00:03:31,699 --> 00:03:38,079
El eje horizontal, hemos elegido la escala de 1 en 1

30
00:03:38,079 --> 00:03:46,319
Y se representa la variable independiente, que es el tiempo en horas de estancia en el museo

31
00:03:46,319 --> 00:03:51,919
La escala del eje vertical también la hemos elegido de 1 en 1

32
00:03:51,920 --> 00:04:00,260
y en el eje vertical siempre se representa la variable dependiente, que en este problema es el precio, que se mide en euros.

33
00:04:00,620 --> 00:04:10,160
Comenzamos dibujando los puntos 0 de tiempo 5, 1, 5, 2, 5 y 3, 5.

34
00:04:10,640 --> 00:04:16,340
Observar que salen unos puntos alineados paralelos al eje horizontal tiempo.

35
00:04:17,600 --> 00:04:21,040
Podemos unir los puntos dado que el tiempo es una variable continua.

36
00:04:21,040 --> 00:04:27,860
En el museo podríamos haber estado en lugar de una hora a media hora y el precio seguiría siendo de 5 euros.

37
00:04:28,760 --> 00:04:36,439
Por ello, unimos los puntos, siendo el resultado una semirrecta con origen en el punto 0,5.

38
00:04:37,280 --> 00:04:48,140
Si llamamos y al precio, es decir, a la variable dependiente, podemos escribir la fórmula de esta función de la siguiente manera.

39
00:04:48,139 --> 00:04:58,159
y igual a 5. Se trata de la función constante cuya gráfica en este caso es una semirrecta

40
00:04:58,159 --> 00:05:05,939
paralela al eje horizontal. La función lineal o de proporcionalidad directa es una función

41
00:05:05,939 --> 00:05:13,139
cuya expresión algebraica viene dada de la forma f de x igual a m por x, siendo m un

42
00:05:13,139 --> 00:05:19,139
número real que llamamos la constante de proporcionalidad directa. x es la variable

43
00:05:19,139 --> 00:05:26,439
independiente y f de x o y es la variable dependiente. Todas estas funciones lineales

44
00:05:26,439 --> 00:05:31,579
o de proporcionalidad directa pasan siempre por el origen de coordenadas, es decir, por

45
00:05:31,579 --> 00:05:39,620
el punto 0,0. El número que multiplica a la variable independiente x que hemos representado

46
00:05:39,620 --> 00:05:48,560
con la letra m, es la pendiente de la recta. Esto es la inclinación que tiene la recta

47
00:05:48,560 --> 00:05:56,699
respecto al eje x. La recta será estrictamente creciente en todo su dominio si m es un número

48
00:05:56,699 --> 00:06:04,780
positivo. En el caso de que m sea un número negativo, entonces la recta será decreciente

49
00:06:04,780 --> 00:06:10,760
en todo el dominio de la función. Como ejemplo, vamos a representar la función

50
00:06:10,760 --> 00:06:17,480
igual a menos x entre 2. Fijaros que esto es lo mismo que escribir menos un medio por

51
00:06:17,480 --> 00:06:23,020
x. De esta manera podemos identificar cuál es la pendiente. Es menos un medio, que es

52
00:06:23,020 --> 00:06:30,480
el número que multiplica la variable independiente x. Esto significa que la recta va a ser decreciente

53
00:06:30,480 --> 00:06:33,240
puesto que la pendiente es un número negativo.

54
00:06:33,860 --> 00:06:38,460
Para representar nuestra función, ponemos nuestros sistemas de ejes cartesianos

55
00:06:38,460 --> 00:06:40,740
y vamos a realizar una tabla de valores.

56
00:06:41,240 --> 00:06:44,140
En la primera columna ponemos la variable independiente x

57
00:06:44,140 --> 00:06:47,800
y en la columna de la derecha la variable dependiente

58
00:06:47,800 --> 00:06:50,900
que viene dado por la expresión menos x entre 2.

59
00:06:53,240 --> 00:06:57,200
Asignando a x un valor sencillo como por ejemplo 0, calculamos y.

60
00:06:57,980 --> 00:06:59,819
0 entre 2 nos da 0.

61
00:06:59,819 --> 00:07:02,959
Esto nos proporciona al punto del plano 0,0

62
00:07:02,959 --> 00:07:08,800
Dado que nuestra expresión algebraica de la función es

63
00:07:08,800 --> 00:07:10,899
Y igual a menos X entre 2

64
00:07:10,899 --> 00:07:15,060
Y a la X que es la variable independiente le podemos dar cualquier valor

65
00:07:15,060 --> 00:07:18,219
Vamos a elegir que sea múltiplo de 2

66
00:07:18,219 --> 00:07:24,000
Con objeto de evitar que salgan fracciones en los valores de la variable dependiente

67
00:07:24,000 --> 00:07:26,079
Así si X vale 2

68
00:07:26,079 --> 00:07:34,079
La Y será menos 2 entre 2, menos 1. Así obtenemos el punto del plano 2, menos 1.

69
00:07:39,979 --> 00:07:54,240
Para X4, la Y vale menos 4 entre 2, es decir, menos 2. Así obtenemos el punto 4, menos 2.

70
00:07:56,079 --> 00:08:00,399
Vamos observando que los puntos aparecen alineados

71
00:08:00,399 --> 00:08:04,060
Vamos a dar un último punto para x menos 2

72
00:08:04,060 --> 00:08:09,319
La y vale menos menos 2 entre 2

73
00:08:09,319 --> 00:08:10,579
Cuidado al sustituir

74
00:08:10,579 --> 00:08:15,139
Esto nos queda 2 entre 2 igual a 1

75
00:08:15,139 --> 00:08:18,240
Y así obtenemos el punto menos 2, 1

76
00:08:18,240 --> 00:08:25,180
Uniendo los puntos con una regla obtenemos la representación gráfica de nuestra función

77
00:08:25,180 --> 00:08:29,840
Hemos puesto las flechas a la izquierda y a la derecha porque es una recta infinita.

78
00:08:30,780 --> 00:08:36,000
Observar que es una recta que pasa por el 0,0 y decreciente.

79
00:08:38,440 --> 00:08:43,519
Como ejemplo de función lineal o proporcionalidad directa vamos a ver el siguiente problema.

80
00:08:43,820 --> 00:08:47,940
2 kilos de tomates cuestan 1 euro y por 4 kilos pagamos 2 euros.

81
00:08:48,620 --> 00:08:53,159
Nos piden realizar una tabla de valores indicando la variable independiente y la dependiente.

82
00:08:53,159 --> 00:08:56,939
representarla y explicar el tipo de función.

83
00:08:57,539 --> 00:09:03,179
Además, tendremos que escribir su fórmula y hallar cuánto costarán 12 kilos de tomates.

84
00:09:03,579 --> 00:09:08,579
Reconocemos que la variable independiente es la masa de tomate que vamos a comprar,

85
00:09:09,259 --> 00:09:10,899
que se expresa en kilos,

86
00:09:11,379 --> 00:09:17,360
puesto que podemos elegir libremente la cantidad de tomates que queramos comprar.

87
00:09:17,939 --> 00:09:22,059
El precio depende de la cantidad de tomates.

88
00:09:24,159 --> 00:09:30,959
Fijaros que para 2 kilos, el precio es de 1 euro, por 4 kilos pagamos 2 euros.

89
00:09:33,179 --> 00:09:37,639
Observar que el cociente 1 entre 2 es igual a 2 entre 4.

90
00:09:37,639 --> 00:09:44,159
Se forma una proporción y esto da 0,5, que son los euros que nos cuesta 1 kilo.

91
00:09:45,079 --> 00:09:50,779
Nuestras magnitudes o variables masa de tomates y precio son directamente proporcionales.

92
00:09:50,779 --> 00:09:55,439
Y la constante de proporcionalidad vale 0,5.

93
00:09:59,159 --> 00:10:06,899
Si llevamos 0 kilos de tomates pagaremos 0 euros y por 1 kilo de tomates pagaremos 0,5 euros.

94
00:10:07,120 --> 00:10:17,519
La fórmula de nuestra función podría ser f de x igual a 0,5 por x, donde f de x es la variable dependiente.

95
00:10:17,519 --> 00:10:28,519
En este problema denominamos precio y x es la variable independiente que en este problema representa a la masa de tomates.

96
00:10:30,340 --> 00:10:33,939
Es una función de proporcionalidad directa o lineal.

97
00:10:38,639 --> 00:10:46,139
Para representarla dibujamos los ejes del primer cuadrante, puesto que todos los datos de la tabla son positivos.

98
00:10:46,139 --> 00:10:51,659
en el eje horizontal escribimos el nombre de la variable independiente que es la masa de tomates

99
00:10:51,659 --> 00:10:59,159
y elegimos la escala apropiada en este caso vamos a hacerlo de uno en uno dado en los datos de la

100
00:10:59,159 --> 00:11:08,699
tabla en el eje vertical ponemos el nombre de la variable dependiente que es el precio expresado

101
00:11:08,700 --> 00:11:15,340
euros. Como escala vamos a elegir a distancia de 2 cuadraditos poner la cantidad de 0,5.

102
00:11:15,980 --> 00:11:26,660
De esta manera va de 0,5 en 0,5. Comenzamos a representar los puntos. Para 0, 0. Para

103
00:11:26,659 --> 00:11:44,620
Para 1 kilo pagamos 0,5. Para 2, 1. Para 4, 2.

104
00:11:44,620 --> 00:11:50,299
Los puntos aparecen alineados y los unimos, puesto que la variable masa de tomates es

105
00:11:50,299 --> 00:11:56,600
continua. Podemos llevar una cantidad entre 0 y 1 kilo de tomates y pagaremos un precio

106
00:11:56,600 --> 00:12:03,820
por ello. Observar que la gráfica es una semirrecta con origen en 0,0. Es creciente

107
00:12:03,820 --> 00:12:11,240
y la pendiente o inclinación de esta semirrecta representa el precio que tiene un kilo de

108
00:12:11,240 --> 00:12:18,159
tomates, que es de 0,5 euros. Para terminar vamos a calcular cuánto nos

109
00:12:18,159 --> 00:12:25,500
costarán 12 kilos de tomates. Para ello vamos a sustituir en la fórmula de la función

110
00:12:25,500 --> 00:12:32,399
de proporcionalidad. Multiplicamos 0,5 por 12 que es lo que nos hemos llevado y nos da

111
00:12:32,399 --> 00:12:40,960
como resultado 6. La solución es por tanto que pagamos 6 euros por 12 kilos de tomates.