1
00:00:02,779 --> 00:00:17,059
Este es el ejercicio de la EBAU de Madrid, de Matemáticas 2, del año 2017, del examen de junio, coincidentes, el modelo B, el ejercicio 2.

2
00:00:17,820 --> 00:00:30,039
Nos dicen, dado el punto 5, 7, 10 y el plano x más 2 y más 3 de t igual a 7, se pide, calcula el punto p' simétrico de p respecto a pi.

3
00:00:30,039 --> 00:00:38,280
Este es el plano y vamos a alejarnos para que se vea bien el punto P

4
00:00:38,280 --> 00:00:45,880
Y entonces lo que tenemos que hacer es calcular el punto simétrico

5
00:00:45,880 --> 00:00:52,460
Para ello, ya sabéis que lo que tenemos que hacer es calcular la perpendicular al plano que pasa por P

6
00:00:52,460 --> 00:01:00,039
para ello lo que hacemos es simplemente utilizar el punto P, 5, 7, 10

7
00:01:00,039 --> 00:01:05,140
y como vector director de la recta el normal al plano

8
00:01:05,140 --> 00:01:08,920
x más 2y más 3z, 1, 2, 3

9
00:01:08,920 --> 00:01:11,359
así que ya tenemos la recta R

10
00:01:11,359 --> 00:01:16,780
lo siguiente que vamos a hacer es calcular el punto de corte de esa recta con ese plano

11
00:01:16,780 --> 00:01:20,599
para poder calcular el simétrico

12
00:01:20,599 --> 00:01:38,459
Lo hacemos con el CAS de GeoGebra. Todo lo que he hecho ha sido meter la recta en forma paramétrica. 5 más lambda lo he sustituido en x. 7 más 2 lambda lo he sustituido en y. Y 10 más 3 lambda lo he sustituido en z.

13
00:01:38,459 --> 00:01:46,560
Simplificado la ecuación, la resolvemos y nos dice GeoGebra que lambda tiene que valer menos 3

14
00:01:46,560 --> 00:01:58,340
Si yo sustituyo lambda por menos 3 en la ecuación de la recta, calculo el punto M que sería la proyección de P sobre pi

15
00:01:58,340 --> 00:02:01,120
Suponiendo que eso fuera lo que me pidiera

16
00:02:01,120 --> 00:02:27,099
Y para calcular el punto simétrico, pues no es demasiado complicado porque lo que vamos a hacer es decir, utilizando los vectores directores de los puntos, si yo para llegar a M tengo que hacer OP menos 3 veces lambda, para llegar a prima tendré que hacer menos 6 veces lambda.

17
00:02:27,099 --> 00:02:31,120
esto es una fórmula que funciona siempre

18
00:02:31,120 --> 00:02:34,319
si yo he utilizado para la expresión de la recta

19
00:02:34,319 --> 00:02:37,240
el punto del que quiero hacer el simétrico

20
00:02:37,240 --> 00:02:42,620
siempre me valdrá para calcular el simétrico el doble de lambda

21
00:02:42,620 --> 00:02:46,439
así que voy a sustituir lambda por menos 6

22
00:02:46,439 --> 00:02:49,699
y tengo el punto menos 1 menos 5 menos 8

23
00:02:49,699 --> 00:02:53,860
si lo intentáis hacer con vectores pues os saldrá lo mismo

24
00:02:53,860 --> 00:03:01,860
Aquí se ve perfectamente que P' es el simétrico a P y que el ejercicio está correcto.

25
00:03:02,900 --> 00:03:08,539
Pues con esto habríamos acabado el apartado A.

26
00:03:09,180 --> 00:03:10,759
Vamos con el apartado B.

27
00:03:11,759 --> 00:03:18,180
Ahora me dice que hallemos la posición relativa del plano con la recta que pasa por el punto 1, 1, 1

28
00:03:18,180 --> 00:03:26,259
y el punto 1, 1, 1 y tiene dirección menos 10, 2, 2

29
00:03:26,259 --> 00:03:28,539
bueno, vamos a acercarnos un poquito

30
00:03:28,539 --> 00:03:32,240
ahí tenemos el plano y la recta

31
00:03:32,240 --> 00:03:37,319
hemos construido la recta a partir del punto 1, 1, 1, Q

32
00:03:37,319 --> 00:03:39,439
y del vector V que nos dan

33
00:03:39,439 --> 00:03:41,360
con lo cual esa es la recta

34
00:03:41,360 --> 00:03:44,680
uno podría pensar, si mira GeoGebra

35
00:03:44,680 --> 00:03:47,860
que está sobre el plano

36
00:03:47,860 --> 00:04:05,099
Pero si somos cuidadosos y nos ponemos así, nos seguimos acercando, resulta que vemos que no es cierto, que la recta está paralela al plano, ¿de acuerdo?

37
00:04:05,099 --> 00:04:11,259
Vamos a hacerlo con GeoGebra para hallarlo.

38
00:04:11,860 --> 00:04:19,740
Entonces lo que hacemos es, en el plano x más 2y más 3z menos 7 igual a 0,

39
00:04:19,860 --> 00:04:22,720
que era el plano que nos da en principio pi,

40
00:04:23,579 --> 00:04:27,980
sustituyo la recta de sempramétricas,

41
00:04:28,379 --> 00:04:35,040
x por 1 menos 10 lambda, y por 1 más 2 lambda, y z por 1 más 2 lambda,

42
00:04:35,100 --> 00:04:38,319
Resuelvo, veo que se me va lambda

43
00:04:38,319 --> 00:04:41,939
Y lo que me queda es mentira

44
00:04:41,939 --> 00:04:43,199
Menos 1 igual a 0

45
00:04:43,199 --> 00:04:45,920
Eso ya sabéis que si al sustituir lambda

46
00:04:45,920 --> 00:04:48,060
Se me va lambda y lo que me queda es verdad

47
00:04:48,060 --> 00:04:51,019
Es un sistema compatible indeterminado

48
00:04:51,019 --> 00:04:52,959
Y sería que la recta está sobre el plano

49
00:04:52,959 --> 00:04:56,399
Si se me va lambda y me queda una cosa que es mentira

50
00:04:56,399 --> 00:04:58,600
Como aquí, es que es un sistema incompatible

51
00:04:58,600 --> 00:05:00,480
Y la recta es paralela al plano

52
00:05:00,480 --> 00:05:03,139
Y por último, si no se me va lambda

53
00:05:03,139 --> 00:05:04,519
Hay un punto de corte

54
00:05:04,519 --> 00:05:09,939
y la recta es secante al plano, esa es la teoría que hemos aplicado para el apartado B

55
00:05:09,939 --> 00:05:15,680
así que la respuesta es que es paralela al plano

56
00:05:15,680 --> 00:05:23,939
vamos ya con el punto C y nos piden que calculemos el área de este triángulo

57
00:05:23,939 --> 00:05:27,899
de acuerdo, formado por el origen P y Q

58
00:05:27,899 --> 00:05:30,939
entonces yo he decidido utilizar como fórmula

59
00:05:30,939 --> 00:05:35,620
pues el módulo del producto vectorial

60
00:05:35,620 --> 00:05:38,600
que es el área del paralelogramo definido por OP y Q

61
00:05:38,600 --> 00:05:41,620
dividido por 2 porque me piden de un triángulo

62
00:05:41,620 --> 00:05:47,639
bueno, pues eso hacemos la matriz para el producto vectorial

63
00:05:47,639 --> 00:05:53,699
IJK, OP que es 5, 7, 10 y OQ 1, 1, 1

64
00:05:53,699 --> 00:06:01,199
por eso he elegido también acero P por Q en vez de PO por PQ o alguna cosa de estas,

65
00:06:02,060 --> 00:06:09,439
me sale este vector, menos 3, 5, menos 2, si calculo su módulo por Pitágoras me da raíz de 38,

66
00:06:10,019 --> 00:06:15,420
dividido por 2, me dice que el área del triángulo es un medio de la raíz de 38.

67
00:06:16,000 --> 00:06:20,860
Por cierto, que lo tenemos aquí, que GeoGebra cuando lo ha construido nos ha dicho 3,08,

68
00:06:20,860 --> 00:06:27,920
que es exactamente lo que estábamos buscando

69
00:06:27,920 --> 00:06:31,680
así que ya hemos terminado también el apartado C