1 00:00:12,339 --> 00:00:17,300 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,300 --> 00:00:21,679 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:21,679 --> 00:00:33,439 de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos 4 00:00:33,439 --> 00:00:37,000 las variaciones sin repetición y resolveremos el ejercicio propuesto 7. 5 00:00:38,280 --> 00:00:53,070 El siguiente patrón que vamos a estudiar en esta videoclase son las variaciones sin repetición. 6 00:00:53,070 --> 00:00:58,049 Es algo similar a las permutaciones sin repetición que vimos en la videoclase anterior. 7 00:00:58,270 --> 00:01:09,049 En este caso disponemos de los mismos n elementos distinguibles y lo que vamos a hacer es tomar no los n elementos y contar de cuántas formas posibles los podemos ordenar, 8 00:01:10,150 --> 00:01:18,049 sino que lo que vamos a hacer es contar cuántas ordenaciones podemos hacer, pero no con los n elementos, sino con un subconjunto, sólo con m elementos. 9 00:01:18,049 --> 00:01:23,609 elementos. Vamos a determinar las variaciones sin repetición de n elementos tomados de mnm, 10 00:01:23,650 --> 00:01:29,670 que se representan, como veis aquí, v sub nmn, el conjunto de elementos, de entre los cuales 11 00:01:29,670 --> 00:01:35,950 tomamos un subconjunto de tamaño m. La forma en la que vamos a razonar cómo se determinan las 12 00:01:35,950 --> 00:01:39,549 variaciones sin repetición va a ser similar a lo que ocurría en el caso de las permutaciones. 13 00:01:40,829 --> 00:01:46,790 Tengo n elementos, de entre los cuales seleccionar el primero, y tengo n posibilidades. Cuando he 14 00:01:46,790 --> 00:01:52,510 seleccionado el primero, para seleccionar el segundo tengo n menos una posibilidades. Cuando 15 00:01:52,510 --> 00:01:58,230 ya he seleccionado dos elementos, para seleccionar el tercero tengo n menos dos posibilidades y así 16 00:01:58,230 --> 00:02:03,209 sucesivamente. En la video clase anterior, hablando de permutaciones, esta cadena continuó hasta el 17 00:02:03,209 --> 00:02:09,449 final. Yo hacía n extracciones, las de los n elementos, y acababa n por n menos 1 por n menos 18 00:02:09,449 --> 00:02:16,129 2, acababa y por 3 y por 2 y por 1. Y había un total de n factores. En este caso, ¿qué hago 19 00:02:16,129 --> 00:02:23,949 solamente m extracciones, en esta cadena debo acabar cuando tengo aquí m factores, puesto que 20 00:02:23,949 --> 00:02:32,530 el m-ésimo elemento que yo extraeré será el último. En la cadena n, n-1, n-2, etcétera, el factor m-ésimo 21 00:02:32,530 --> 00:02:38,689 es este que veis aquí, n-m más 1. Así que aquí es donde tengo que acabar la multiplicación. Tengo 22 00:02:38,689 --> 00:02:45,030 m factores comenzando por n, n por n-1 por n-2 y el último, insisto, es n-m más 1. 23 00:02:45,870 --> 00:02:56,710 Esta fórmula se puede poner como este cociente que veis aquí a la derecha de números factoriales y lo podría representar como n factorial dividido entre n menos m factorial. 24 00:02:57,710 --> 00:03:04,129 Tened en cuenta que n factorial tiene la cadena completa empezando por n, por n menos 1, por n menos 2, hasta por 3 y por 2 y por 1. 25 00:03:05,330 --> 00:03:13,430 Si yo divido entre n menos m factorial, lo que estoy haciendo es cancelar del numerador. El primer factor sería n menos m, que por cierto es el siguiente a este. 26 00:03:14,289 --> 00:03:19,990 A continuación, n-m-1 y n-m-2 y así hasta el final por 3 y por 2 y por 1. 27 00:03:20,150 --> 00:03:23,449 Y como podéis comprobar, lo que me queda es realmente esta cadena que tengo aquí. 28 00:03:24,509 --> 00:03:27,469 Como ejemplo, supongamos que tengo una clase con 15 estudiantes, 29 00:03:27,689 --> 00:03:33,069 de entre los cuales hay que elegir un delegado, un subdelegado y un tercero que sea el encargado de reciclaje. 30 00:03:33,069 --> 00:03:37,150 Y nos preguntan de cuántas formas posibles es posible cubrir estos cargos. 31 00:03:37,150 --> 00:03:55,710 Hay que seleccionar tres estudiantes y ver de cuántas formas posibles puedo tener delegado, subdelegado y encargado. Los estudiantes son distinguibles y no es lo mismo que A sea delegado, B subdelegado y C encargado de reciclaje a que C sea delegado, B sea subdelegado y A sea encargado de reciclaje. 32 00:03:55,710 --> 00:04:00,050 Estas combinaciones para nosotros en las variaciones sin repetición van a ser distintas. 33 00:04:00,629 --> 00:04:03,870 Bien, pues ¿de cuántas formas posibles podemos hacer esta selección? 34 00:04:04,490 --> 00:04:09,430 Podemos seleccionar de entre los 15 estudiantes a 1 para que sea el delegado y hay 15 posibilidades. 35 00:04:10,069 --> 00:04:16,350 Ahora que tengo delegado, de entre los 14 restantes puedo elegir a 1 para que sea el subdelegado y tengo 14 posibilidades. 36 00:04:16,949 --> 00:04:25,029 Y ahora que ya tengo delegado y subdelegado, de entre los 13 restantes puedo elegir a 1 para que sea el encargador de reciclaje y tengo 13 posibilidades. 37 00:04:25,029 --> 00:04:32,329 En total, 15 por 14 por 13, aplicando el principio de la multiplicación, tengo 2.730 posibilidades. 38 00:04:33,170 --> 00:04:45,509 Esta forma de contar es la misma y el resultado que obtendré será el mismo, así el primero que elija en lugar de delegado es, por ejemplo, el encargado de reciclaje, el segundo es el delegado y el tercero es el subdelegado. 39 00:04:45,889 --> 00:04:48,610 Obtendré las mismas posibilidades y el mismo número, por supuesto. 40 00:04:48,610 --> 00:04:55,970 fijaos que como decía antes este 2730 puede expresarse como el cociente de dos números 41 00:04:55,970 --> 00:05:01,569 factoriales en mi fórmula era n factorial entre n menos m factorial aquí en las variaciones de 15 42 00:05:01,569 --> 00:05:07,329 elementos tomados de 3 en 3 será 15 factorial dividido entre 15 menos 3 que es 12 entre 12 43 00:05:07,329 --> 00:05:13,550 factorial y lo que os decía en el numerador tengo 15 por 14 por 13 por 12 por 11 por 10 etcétera 44 00:05:13,550 --> 00:05:19,290 hasta por 3 por 2 y por 1 y en el denominador cancelo elementos del numerador comenzando por 45 00:05:19,290 --> 00:05:25,689 12 por 11 por 10 por 9 por 8 que es lo que me queda vivo del numerador 15 por 14 y por 13 tal 46 00:05:25,689 --> 00:05:32,410 y como yo pretendía fijaos que en este caso no tiene sentido que pretenda hacer este conteo o 47 00:05:32,410 --> 00:05:37,870 incluso ver cuáles son las distintas posibilidades y enumerarlas utilizando un diagrama de árbol y 48 00:05:37,870 --> 00:05:43,769 que aunque mi experimento conste de únicamente tres experimentos simples elijo a una persona 49 00:05:43,769 --> 00:05:49,610 para delegado otra para su delegado otra para encargado de reciclaje no se cumple lo que decía 50 00:05:49,610 --> 00:05:54,069 en la videoclase anterior de que el número de posibilidades en cada uno de estos experimentos 51 00:05:54,069 --> 00:06:00,870 sea pequeño fijaos que aquí para elegir delegado tengo 15 posibilidades para su delegado 14 y para 52 00:06:00,870 --> 00:06:05,829 encargado de reciclaje 13 el hecho de que estos números sean grandes hace que el número de hojas 53 00:06:05,829 --> 00:06:10,870 al final, cuando acabe en el árbol, sea demasiado grande y entonces ese tipo de representación 54 00:06:10,870 --> 00:06:12,629 no sea práctica para este caso. 55 00:06:12,949 --> 00:06:21,779 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 56 00:06:22,500 --> 00:06:26,600 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 57 00:06:27,420 --> 00:06:32,160 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 58 00:06:32,720 --> 00:06:34,120 Un saludo y hasta pronto.