1
00:00:00,000 --> 00:00:03,640
En este vídeo vamos a hablar un poco de las ecuaciones de la recta.

2
00:00:04,040 --> 00:00:10,720
Vamos a hablar de la ecuación vectorial, la ecuación paramétrica, la en forma continua, la general y la explícita.

3
00:00:13,169 --> 00:00:15,929
Para la ecuación vectorial vamos a empezar por la ecuación vectorial.

4
00:00:16,829 --> 00:00:19,890
Una cosa que tenemos que saber es que para dibujar una recta necesitamos dos puntos.

5
00:00:20,489 --> 00:00:23,789
E y Q, porque por dos puntos pasa una única recta.

6
00:00:24,170 --> 00:00:28,850
Por lo que es equivalente un punto y un vector director.

7
00:00:28,850 --> 00:00:34,490
porque el vector director, que si no tenemos el vector director

8
00:00:34,490 --> 00:00:39,630
pues lo podemos sacar de las coordenadas del vector, del punto P y del punto B

9
00:00:39,630 --> 00:00:44,859
tenemos, por ejemplo, tenemos una recta

10
00:00:44,859 --> 00:00:48,840
fijamos, nos tenemos nuestro punto P y tenemos nuestro vector director

11
00:00:48,840 --> 00:00:54,840
nos vemos que cualquier punto de la recta lo podemos poner como la suma

12
00:00:54,840 --> 00:00:57,320
de las coordenadas del punto P

13
00:00:57,320 --> 00:01:02,240
más un número por el vector D.

14
00:01:02,719 --> 00:01:06,760
Si ese número es positivo, tendremos los puntos que van en el mismo sentido que el vector,

15
00:01:07,359 --> 00:01:10,420
y si ese número es negativo, tendremos los de sentido contrario.

16
00:01:12,219 --> 00:01:14,659
Entonces, para hablarlo de forma analítica,

17
00:01:15,219 --> 00:01:17,859
vamos a llamar x y a las coordenadas del punto x,

18
00:01:18,000 --> 00:01:19,579
de cualquier punto de la recta.

19
00:01:19,579 --> 00:01:22,560
Puede ser este, puede ser este, cualquier punto.

20
00:01:22,560 --> 00:01:31,180
Vamos a llamar P1, P2 a las coordenadas del punto P que sabemos ya de que pasa por ahí la recta

21
00:01:31,180 --> 00:01:37,260
Y vamos a llamar D1, D2 a las coordenadas del vector director D

22
00:01:37,260 --> 00:01:42,599
Una vez que ya sabemos estas cosas, pues como hemos dicho cualquier punto en la recta

23
00:01:42,599 --> 00:01:53,120
lo podemos expresar como las coordenadas del punto P más un número por las coordenadas del vector director.

24
00:01:54,859 --> 00:01:58,719
El T es un número que pertenece a R, a los reales.

25
00:01:59,819 --> 00:02:10,379
Entonces, XI, XI igual a P2 más T por D1, D2, que pertenece a R, es la ecuación vectorial de la recta.

26
00:02:12,849 --> 00:02:14,469
Pasamos a las ecuaciones paramétricas.

27
00:02:15,110 --> 00:02:18,110
Para ver las ecuaciones paramétricas vamos a partir de la ecuación vectorial.

28
00:02:19,330 --> 00:02:20,550
Ya hemos visto antes.

29
00:02:21,110 --> 00:02:24,229
El punto más un número por el vector.

30
00:02:25,590 --> 00:02:31,030
Lo que vamos a hacer para las ecuaciones paramétricas es separar las primeras coordenadas de las segundas coordenadas.

31
00:02:31,469 --> 00:02:33,270
Vamos a obtener en este caso dos ecuaciones.

32
00:02:33,810 --> 00:02:38,729
Una para la primera coordenada, x con p1 más t por d1,

33
00:02:38,729 --> 00:02:45,210
y Y, P sub 2 más T por D sub 2, la segunda coordenada.

34
00:02:46,009 --> 00:02:50,169
T, hemos dicho que pertenece a los reales, puede ser cualquier número.

35
00:02:51,689 --> 00:02:55,729
Entonces, esto de aquí son las ecuaciones paramétricas de la regla.

36
00:02:57,860 --> 00:03:03,740
Primeras coordenadas, del punto, por más un número por la primera coordenada del vector,

37
00:03:04,520 --> 00:03:08,979
Y igual a la segunda coordenada del punto, más un número por la segunda coordenada del vector.

38
00:03:08,979 --> 00:03:13,159
de las paramétricas vamos a pasar a la forma continua

39
00:03:13,159 --> 00:03:18,020
como hemos visto vamos pasando de una a otra

40
00:03:18,020 --> 00:03:20,919
tenemos las ecuaciones en forma paramétrica

41
00:03:20,919 --> 00:03:23,439
y ahora lo que vamos a hacer es despejar la t

42
00:03:23,439 --> 00:03:25,639
la incógnita, la t

43
00:03:25,639 --> 00:03:28,280
la vamos a despejar de las dos ecuaciones

44
00:03:28,280 --> 00:03:32,400
entonces para despejarlo vamos a empezar con la primera

45
00:03:32,400 --> 00:03:36,659
el valor de p1 pasa al otro lado restando

46
00:03:36,659 --> 00:03:41,719
y el d sub 1, como está multiplicando, pasa dividiendo.

47
00:03:42,139 --> 00:03:44,879
Entonces ya tenemos la primera ecuación despejada a la t.

48
00:03:45,240 --> 00:03:48,259
Vamos a hacer lo mismo con la segunda ecuación.

49
00:03:49,039 --> 00:03:54,080
El p sub 2 pasa restando y el d sub 2 pasa dividiendo.

50
00:03:55,539 --> 00:03:59,840
Una vez que ya tenemos dos cosas que son igual a t, pues lo que podemos hacer es igualar.

51
00:04:00,099 --> 00:04:05,360
Como estas dos cosas son igual a t, significa que x menos p sub 1 partido por d sub 1

52
00:04:05,360 --> 00:04:08,219
es igual a y menos p sub 2

53
00:04:08,219 --> 00:04:09,099
partido por c sub

54
00:04:09,099 --> 00:04:11,599
y esta es la ecuación en forma

55
00:04:11,599 --> 00:04:17,660
contínua

56
00:04:17,660 --> 00:04:20,800
fijaros es x menos la primera

57
00:04:20,800 --> 00:04:21,620
coordenada del punto

58
00:04:21,620 --> 00:04:24,720
partido por la primera coordenada del vector director

59
00:04:24,720 --> 00:04:26,819
igual a y menos la

60
00:04:26,819 --> 00:04:28,060
segunda coordenada del punto

61
00:04:28,060 --> 00:04:30,139
partido por la segunda coordenada

62
00:04:30,139 --> 00:04:31,439
del vector director

63
00:04:31,439 --> 00:04:34,399
de la forma

64
00:04:34,399 --> 00:04:36,519
continua vamos a pasar

65
00:04:36,519 --> 00:04:37,459
a la ecuación general

66
00:04:37,459 --> 00:04:40,980
Hemos dicho que estamos en la ecuación en forma continua

67
00:04:40,980 --> 00:04:42,939
x menos p sub 1 partido por d sub 1

68
00:04:42,939 --> 00:04:45,720
Igual a y menos p sub 2 partido por d sub 2

69
00:04:45,720 --> 00:04:48,180
Y lo que vamos a hacer es quitar los denominadores

70
00:04:48,180 --> 00:04:52,500
Y vamos a pasar todo a un lado del signo igual

71
00:04:52,500 --> 00:04:53,500
Igualando a 0

72
00:04:53,500 --> 00:04:55,620
Entonces lo primero que hacemos es

73
00:04:55,620 --> 00:04:58,300
El d sub 2 pasa al otro lado multiplicando

74
00:04:58,300 --> 00:05:01,300
Y el d sub 1 pasa al otro lado multiplicando

75
00:05:01,300 --> 00:05:04,199
Lo que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando

76
00:05:04,199 --> 00:05:06,459
Ahora quitamos los paréntesis

77
00:05:06,459 --> 00:05:16,199
d sub 2 por x menos d sub 2 por p sub 1 igual a d sub 1 por y menos d sub 1 por p sub 2.

78
00:05:19,019 --> 00:05:23,740
Aquí hay una rata, acabo de ver una rata, aquí debería poner p sub 2.

79
00:05:26,110 --> 00:05:37,490
Bueno, si pasamos ahora todo al primer término, d sub 2 menos x menos d sub 2 por p sub 1 menos d sub 1 por y más d sub 1 por p sub 2.

80
00:05:37,490 --> 00:05:40,709
Cuando cambiamos de lado, cambiamos el signo. Igual a 0.

81
00:05:41,629 --> 00:05:45,029
Y ahora lo que vamos a hacer es agrupar, ponerlo en orden.

82
00:05:45,529 --> 00:05:49,629
Primero lo que tiene X, luego lo que tiene Y y luego lo que no tiene nada.

83
00:05:50,509 --> 00:05:55,569
Una vez que ya tenemos esto, para darle la forma general, lo que estamos haciendo en la forma general,

84
00:05:55,689 --> 00:06:00,569
simplemente vamos a nombrarlo, que se llama A mayúscula, lo que multiplica la X.

85
00:06:01,110 --> 00:06:03,490
B mayúscula, a lo que multiplica la Y.

86
00:06:03,490 --> 00:06:07,029
Y C, a lo que no tiene ni X ni Y.

87
00:06:07,490 --> 00:06:16,009
Y por tanto obtenemos la forma general, que la forma general es un número por x más un número por y más sub c igual a cero.

88
00:06:18,060 --> 00:06:20,579
Y esta es la ecuación en forma general.

89
00:06:24,980 --> 00:06:27,379
De la general pasamos a la explícita, muy fácil.

90
00:06:28,620 --> 00:06:33,079
Tenemos la general y tenemos esto y para pasar a la explícita lo único que tenemos que hacer es desplazar la y.

91
00:06:33,740 --> 00:06:38,160
Todo lo que no tiene y pasa al otro lado.

92
00:06:38,160 --> 00:06:40,160
Como están sumando pasan al otro lado restando.

93
00:06:40,160 --> 00:06:45,540
restando y ahora el número que está multiplicando a la y pasa dividiendo

94
00:06:45,540 --> 00:06:50,100
para acabar lo que vamos a hacer es separarlo el b está dividiendo todo

95
00:06:50,100 --> 00:06:55,399
ello entonces el b pasa dividiendo al menos a y pasa dividiendo a menos t

96
00:06:55,399 --> 00:07:00,019
para aclararnos un poquito más vamos a llamar a lo que multiplica a la x

97
00:07:00,019 --> 00:07:06,199
lo vamos a llamar m que es la pendiente de la recta y al término que no tiene x

98
00:07:06,199 --> 00:07:09,600
que vamos a llamar n, que es la ordenada en el origen.

99
00:07:10,480 --> 00:07:15,720
Y por tanto obtenemos que la fórmula en la ecuación explícita es y igual a mx más n,

100
00:07:16,439 --> 00:07:19,740
donde hemos dicho que la m es la pendiente, la inclinación que tiene la recta,

101
00:07:20,180 --> 00:07:21,500
y la n es la ordenada en el origen.

102
00:07:21,860 --> 00:07:25,379
Aquí a altura del eje y nos corta la recta.

103
00:07:26,339 --> 00:07:29,660
Y esto es la ecuación en forma explícita.

104
00:07:30,620 --> 00:07:31,720
Vamos a ver un ejemplo.

105
00:07:32,399 --> 00:07:36,120
Por ejemplo, nos dicen que hallemos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos.

106
00:07:36,199 --> 00:07:39,500
3, 2 y Q menos 1, 5.

107
00:07:40,399 --> 00:07:45,300
Lo primero que vamos a hacer para sacar la ecuación vectorial es buscar un vector director.

108
00:07:45,939 --> 00:07:52,500
Y entonces lo primero que elegimos es un punto, vamos a elegir el punto P que es más sencillo

109
00:07:52,500 --> 00:07:55,959
y el vector director que va desde P hasta Q.

110
00:07:57,199 --> 00:08:02,000
Para hacer el vector director que va desde P a Q, pues las coordenadas de Q le restamos las de P.

111
00:08:02,000 --> 00:08:05,199
primera coordenada menos segunda coordenada

112
00:08:05,199 --> 00:08:07,500
y segunda coordenada menos segunda coordenada

113
00:08:07,500 --> 00:08:09,660
nos queda que el vector director es

114
00:08:09,660 --> 00:08:10,639
menos 4, 3

115
00:08:10,639 --> 00:08:13,480
y nuestro punto va a ser el punto 3, 2

116
00:08:13,480 --> 00:08:16,100
entonces la ecuación vectorial nos queda

117
00:08:16,100 --> 00:08:19,879
x, y igual a las coordenadas del punto

118
00:08:19,879 --> 00:08:21,939
3, 2 más t

119
00:08:21,939 --> 00:08:24,060
por las coordenadas de nuestro vector director

120
00:08:24,060 --> 00:08:26,939
con t perteneciente a los números reales

121
00:08:26,939 --> 00:08:29,459
una vez que tenemos esto

122
00:08:29,459 --> 00:08:31,240
para pasar a las ecuaciones paramétricas

123
00:08:31,240 --> 00:08:35,740
separamos primera coordenada por primera coordenada, y segunda coordenada por segunda coordenada.

124
00:08:36,299 --> 00:08:43,019
La x es igual a 3 menos 4t, pasamos la t detrás del número para que quede más bonito escrito,

125
00:08:44,039 --> 00:08:48,419
y la y es igual a 2 más 3 por t, con t perteneciente a y.

126
00:08:49,700 --> 00:08:53,120
Una vez que ya tenemos las paramétricas, pasamos a la forma continua.

127
00:08:53,960 --> 00:08:57,360
En la forma continua, pues lo primero que hemos dicho es que tenemos que despejar la t.

128
00:08:57,360 --> 00:09:04,019
Puede ser 3 que está en un lado, lo pasamos al otro lado restando, hacemos lo mismo con el 2

129
00:09:04,019 --> 00:09:07,840
Y ahora el número que está multiplicando a la t pasa dividiendo

130
00:09:07,840 --> 00:09:11,899
Entonces tenemos que x menos 3 partido por menos 4 es igual a t

131
00:09:11,899 --> 00:09:14,620
Y menos 2 partido por 3 igual a t

132
00:09:14,620 --> 00:09:19,980
Entonces nos queda que la ecuación en forma continua es x menos 3 partido por menos 4

133
00:09:19,980 --> 00:09:22,360
Igual a y menos 2 partido por 3

134
00:09:22,820 --> 00:09:26,639
Siempre os he dicho que no puede haber números negativos en el denominador

135
00:09:26,639 --> 00:09:33,639
Pero para dejarlo en forma continua, vamos a dejarlo para que se vea más claro cuál es el vector director.

136
00:09:34,879 --> 00:09:39,340
Para que veamos que las coordenadas del vector director son menos 4, 3.

137
00:09:39,799 --> 00:09:42,340
Y las coordenadas del punto es el 3, 2.

138
00:09:43,200 --> 00:09:47,419
Una vez que hemos visto la ecuación en forma continua, vamos a pasar a la ecuación general.

139
00:09:48,220 --> 00:09:51,580
Lo que hacemos, recordamos, el número que está dividiendo pasa al otro lado multiplicando.

140
00:09:52,500 --> 00:09:54,700
Y hacemos las multiplicaciones de los paréntesis.

141
00:09:54,700 --> 00:10:03,000
3 por x, 3x, 3 por menos 3, menos 9, menos 4 por y, menos 4y y menos 4 por menos 2, más 8

142
00:10:03,000 --> 00:10:14,460
pasamos todo a la izquierda y nos queda 3x, el menos pasa a ser más, más 4y, menos 9 y ese más pasa a ser menos, menos 8, igual a 0

143
00:10:14,659 --> 00:10:21,919
y entonces nos queda que es 3x más 4y, igual a 3x más 4y, menos 17, igual a 0

144
00:10:21,919 --> 00:10:23,860
esa sería la ecuación general

145
00:10:23,860 --> 00:10:43,019
Y para la ecuación explícita pues despejamos la y, 4y es igual a menos 3x más 17 y la y nos queda menos 3x más 17 partido por 4 que separándolo en los dos términos nos queda que la y es igual a menos 3 cuartos de x más 17 cuartos.

146
00:10:43,019 --> 00:10:57,909
Por tanto la solución será que la ecuación vectorial es esta, a continuación tenemos las ecuaciones paramétricas, la ecuación en forma continua, la general y la ecuación explícita.

147
00:10:59,759 --> 00:11:05,940
Espero que con este ejemplo nos haya quedado un poco más claro y ya podamos seguir haciendo los ejercicios.