1 00:00:01,840 --> 00:00:08,580 Hola, buenos días. Vamos a empezar a hacer un pequeño repaso de lo que es el tema de matrices, ¿de acuerdo? 2 00:00:09,820 --> 00:00:22,000 He pensado grabaros este vídeo para que, aparte de lo que comentemos en clase, podáis echarle un vistazo y ver qué es lo que podéis aprender de nuevo. 3 00:00:22,000 --> 00:00:30,379 Lo que vamos a seguir es el libro de Matemáticas 2, de Apuntes de la Marea Verde, y es el primer capítulo que se llama Matrices. 4 00:00:30,379 --> 00:00:46,140 Bien, entonces aquí vienen, para que sepáis quiénes son los que lo han escrito y demás, este sería como un resumen de lo que va y lo primero sería el concepto de matriz. 5 00:00:46,140 --> 00:00:56,579 Las matrices, aunque ahora os parezca como algo nuevo que os contamos, en realidad simplemente es disposición en filas y columnas de número, funciones, objetos. 6 00:00:57,159 --> 00:01:03,679 Bien, entonces estamos acostumbrados a ver tablas de este tipo de doble entrada que al final lo que dan es una representación de una matriz. 7 00:01:05,120 --> 00:01:10,939 Operando con esas matrices se podrían resolver un montón de problemas como los que plantean ahí arriba. 8 00:01:10,939 --> 00:01:14,719 Si queréis lo leéis lentamente y lo reflexionéis un poco. 9 00:01:14,900 --> 00:01:18,319 Lo que me interesa fundamentalmente es la definición de matriz. 10 00:01:18,620 --> 00:01:29,099 Es un conjunto de m por n elementos que están ordenados en m filas y en n columnas. 11 00:01:30,239 --> 00:01:35,359 Os remarco aquí las filas y las columnas. 12 00:01:36,060 --> 00:01:39,060 M filas, n columnas. 13 00:01:40,939 --> 00:01:48,709 Es muy importante que tengamos claro cómo nos vamos a referir a los puntos. 14 00:01:49,090 --> 00:01:53,849 Por ejemplo, ¿qué significa una matriz de este estilo? 15 00:01:53,849 --> 00:02:00,650 Bueno, pues las matrices, como hemos dicho, tienen m filas, n columnas, pues dimensión de una matriz es m por n. 16 00:02:01,390 --> 00:02:09,530 Si la matriz fuera lo que se dice cuadrada, es decir, si m es igual a n, muchas veces veréis que dice dimensión de la matriz m, 17 00:02:09,530 --> 00:02:16,310 simplemente porque las dos son iguales en este caso el ejemplo que me dan es a madrid 2 por 3 18 00:02:16,310 --> 00:02:25,610 y lo que me interesaría saber por ejemplo es como yo nombro a los elementos bien entonces por 19 00:02:25,610 --> 00:02:36,849 ejemplo que es el elemento 1 3 pues el a 13 es un elemento que está en la fila 1 posición 3 20 00:02:36,849 --> 00:03:04,030 Pues el A13 es el número 4. Por ejemplo, ¿qué es el ASU22? El ASU22 es el 5. ¿De acuerdo? Es decir, cada uno de estos tiene una posición. Eso es lo que se llama elemento ASUIJ. ¿De acuerdo? 21 00:03:04,030 --> 00:03:20,259 dos matrices son iguales vamos a borrar visto esto vamos a borrarlo dos matrices son iguales 22 00:03:20,259 --> 00:03:29,000 si tienen iguales sus elementos entonces aquí si comparo esta y esta pues tiene que de primera 23 00:03:29,000 --> 00:03:33,879 posición igual a la primera lo que sería la segunda de la primera fila igual a la segunda 24 00:03:33,879 --> 00:03:36,979 la tercera igual a la tercera, ¿de acuerdo? 25 00:03:37,840 --> 00:03:44,939 Entonces, en general, por ejemplo, estas dos matrices serán iguales, 26 00:03:45,020 --> 00:03:48,500 bueno, pues yo veo que tienen que tener el mismo número de filas y de columnas, 27 00:03:48,599 --> 00:03:53,439 para que no me sobre nada, y para que sean iguales, la A, que es la 1,1, 28 00:03:53,639 --> 00:03:57,860 tiene que ser igual a 3, la B, que está en la posición 1,2, 29 00:03:58,000 --> 00:04:02,000 tiene que ser igual a menos 1, ¿de acuerdo? 30 00:04:02,000 --> 00:04:23,220 Vamos a coger algo para remarcar, que lo veáis. La posición 1-1 sería la B. Aquí la 2-2 debería de valer 5, ¿de acuerdo? Y así sucesivamente. 31 00:04:23,220 --> 00:04:30,500 seguimos 32 00:04:30,500 --> 00:04:33,199 vamos a borrar esto 33 00:04:33,199 --> 00:04:45,120 porque marca 34 00:04:45,120 --> 00:04:47,279 ok 35 00:04:47,279 --> 00:04:52,399 luego, ejercicios, dimensión de las siguientes matrices 36 00:04:52,399 --> 00:04:53,800 pues esta es una matriz 37 00:04:53,800 --> 00:04:55,279 que es 38 00:04:55,279 --> 00:04:59,579 esta es 2 por 3 39 00:04:59,579 --> 00:05:03,259 esta es 1 por 4 40 00:05:03,259 --> 00:05:07,579 esta es 3 por 1, esta es 3 por 3 41 00:05:07,579 --> 00:05:10,699 ¿de acuerdo? si 42 00:05:10,699 --> 00:05:15,439 nos fijamos las matrices según su forma, veremos que se les va 43 00:05:15,439 --> 00:05:18,939 dando una serie de nombres, entonces 44 00:05:18,939 --> 00:05:32,750 tipos de matrices 45 00:05:32,750 --> 00:05:36,410 matriz fila, una de este tipo, matriz columna 46 00:05:36,410 --> 00:05:40,769 ¿de acuerdo? solo por la forma ya se ve, matriz cuadrada, que la m y la n 47 00:05:40,769 --> 00:05:45,209 coinciden, como ya había dicho antes. Una matriz que es cuadrada 48 00:05:45,209 --> 00:05:50,110 tiene dos diagonales. La a sub 1, 1, a sub 2, 2, a sub 3, 3 49 00:05:50,110 --> 00:05:53,209 sería la diagonal principal. Y las 50 00:05:53,209 --> 00:05:57,310 a sub 3, 1, a sub 2, 2, a sub 51 00:05:57,310 --> 00:06:01,250 1, 3 sería la diagonal secundaria. ¿Vale? Si 52 00:06:01,250 --> 00:06:05,470 os fijáis, estaríamos hablando de esta diagonal 53 00:06:05,470 --> 00:06:08,990 principal y de esta diagonal secundaria. 54 00:06:08,990 --> 00:06:13,550 Vamos a moverlo esto para tenerlo más cerca 55 00:06:13,550 --> 00:06:23,750 Bien, entonces, a ver si puedo pillarlo aquí 56 00:06:23,750 --> 00:06:32,399 Ahora lo ponemos aquí más cerquita y así no tenemos que andar moviendo tanto 57 00:06:32,399 --> 00:06:34,920 Bueno, pues seguimos 58 00:06:34,920 --> 00:06:37,939 ¿Qué es una matriz triangular? 59 00:06:37,939 --> 00:06:45,939 Pues es una matriz cuadrada en la cual por debajo de la diagonal son todos ceros o por encima de la diagonal son todos ceros. 60 00:06:46,699 --> 00:06:57,500 Por lo tanto, si los ceros están por debajo se llama triangular superior, si los ceros están por encima se llama triangular inferior. 61 00:06:57,500 --> 00:07:15,170 Bueno, una matriz se llama escalar, si es cuadrada y todos los números de la escuadrada tienen todos ceros, salvo los elementos de la diagonal y los elementos de la diagonal son el mismo número. 62 00:07:15,410 --> 00:07:27,829 De las escalares la más importante es la matriz identidad, que se le llama matriz unidad para el producto de matrices, que ya contaremos cómo se resuelve dicho producto de matrices. 63 00:07:27,829 --> 00:07:48,490 ¿De acuerdo? Luego está la matriz nula, que es la que tiene todos ceros, y a partir de aquí tenéis este ejercicio, lo echáis un vistazo, vamos a ver, ejemplos de matrices, ¿cómo se suman dos matrices? 64 00:07:48,490 --> 00:07:53,750 Bueno, pues lo primero, para poder sumar dos matrices tendrán que tener el mismo tamaño 65 00:07:53,750 --> 00:07:58,449 Solo puedo sumarlas si tienen el mismo número de elementos 66 00:07:58,449 --> 00:08:02,389 ordenados con el mismo número de filas y el mismo número de columnas 67 00:08:02,389 --> 00:08:03,430 ¿Y cómo se suman? 68 00:08:03,990 --> 00:08:06,889 Pues se suma el a sub 1, 1 con el b sub 1, 1 69 00:08:06,889 --> 00:08:09,370 el a sub 2, 2 con el b sub 2, 2 70 00:08:09,370 --> 00:08:11,750 como vais viendo aquí, ¿de acuerdo? 71 00:08:11,750 --> 00:08:14,670 Es decir, que se suman elementos que ocupan la misma posición 72 00:08:14,670 --> 00:08:23,250 Si os fijáis, resulta que como en realidad estoy sumando números reales, pues se cumple la propiedad asociativa 73 00:08:23,250 --> 00:08:29,610 Si yo cojo tres matrices iguales, puedo sumar A más B y lo que salga sumarlo con C 74 00:08:29,610 --> 00:08:35,649 O puedo coger y sumar B más C primero y lo que salga sumarlo con A 75 00:08:35,649 --> 00:08:37,509 ¿De acuerdo? La propiedad asociativa 76 00:08:37,509 --> 00:08:40,649 ¿Cuál será el elemento neutro? 77 00:08:40,909 --> 00:08:43,750 Pues el elemento neutro es lo que se conoce como la matriz nula 78 00:08:43,750 --> 00:08:56,669 Si yo a la matriz A, por ejemplo, la sumo una matriz que tiene todos ceros, pues al sumar si tiene todos ceros me vuelve a quedar A. 79 00:08:56,990 --> 00:08:59,470 Por eso, eso sería la matriz nula. 80 00:08:59,889 --> 00:09:09,990 ¿Y qué es el opuesto? Pues si a A le sumo una matriz que tenga todos estos mismos números, pero con todos sus signos cambiados, pues al sumarlo me saldrá la matriz cero. 81 00:09:10,110 --> 00:09:11,230 Eso es lo que se llama opuesto. 82 00:09:11,230 --> 00:09:22,990 Y luego tenemos la propiedad conmutativa. Si os fijáis, da lo mismo sumar A más B que B más A, porque al final, como sumo los elementos que están en las mismas posiciones, ¿de acuerdo? 83 00:09:23,769 --> 00:09:30,950 Bueno, siguiente operación con matrices. Multiplicar por un número escalar una matriz. 84 00:09:31,690 --> 00:09:38,529 Bien, ¿cómo multiplicaríais esta matriz, esta, por 2? 85 00:09:38,769 --> 00:09:42,250 Bueno, pues si la queréis multiplicar por 2, diríais, ¿qué multiplico? ¿Solo 1? 86 00:09:42,629 --> 00:09:47,230 No, lo normal es multiplicar todos los elementos por 2. 87 00:09:47,230 --> 00:09:55,190 Por ejemplo, aquí lo tenéis multiplicado por 5, pues si veis, 5 por 1, 5. 88 00:09:55,190 --> 00:10:01,110 5 por 2, 10, 5 por 4, 20. 89 00:10:01,529 --> 00:10:05,649 Bueno, pues esta operación tiene también una serie de propiedades. 90 00:10:05,889 --> 00:10:08,629 La propiedad distributiva respecto de la suma de matrices. 91 00:10:09,350 --> 00:10:10,590 ¿Qué hago primero? 92 00:10:10,909 --> 00:10:17,450 ¿La suma y multiplico por el número o el número por una matriz más el número por la otra? 93 00:10:17,570 --> 00:10:19,549 Bueno, pues esa es la distributiva. 94 00:10:20,190 --> 00:10:22,149 Da igual hacer una cosa o la otra. 95 00:10:22,149 --> 00:10:24,789 La distributiva con respecto a la suma de números. 96 00:10:24,789 --> 00:10:36,809 Da igual sumar primero los dos números, puedo sumar primero los dos números y luego multiplicarlo por la matriz, o el primer número por la matriz, el segundo número por la matriz. 97 00:10:37,590 --> 00:10:43,289 Y luego la asociativa de producto, que se ve más o menos lo que dice, que es muy sencillo, ¿no? 98 00:10:43,669 --> 00:10:49,049 Puedo multiplicar los números o ir multiplicando uno y luego el otro, ¿de acuerdo? 99 00:10:49,049 --> 00:11:01,470 Y una propiedad, y es que si cojo el elemento neutro de la multiplicación de escalares, que es el 1, y lo multiplico por una matriz, sale la misma matriz, ¿de acuerdo? 100 00:11:01,950 --> 00:11:14,870 Bueno, pues a todo esto, al conjunto de matrices, verificando estas dos operaciones con sus respectivas propiedades, es lo que se llama espacio vectorial. 101 00:11:14,870 --> 00:11:18,610 entonces el espacio vectorial que nosotros vimos el año pasado 102 00:11:18,610 --> 00:11:21,429 pues era el de dimensión 2 103 00:11:21,429 --> 00:11:24,289 eran todo vectores de dos coordenadas 104 00:11:24,289 --> 00:11:28,129 este año vamos a usar mucho vectores de tres coordenadas 105 00:11:28,129 --> 00:11:29,690 pero ya conocemos por ejemplo 106 00:11:29,690 --> 00:11:33,870 que las matrices es un espacio vectorial 107 00:11:33,870 --> 00:11:35,850 ¿de acuerdo? ¿y de qué dimensión? 108 00:11:35,850 --> 00:11:38,350 pues como es de dimensión en este caso 109 00:11:38,350 --> 00:11:41,730 3 por 3, pues las matrices de esta forma 110 00:11:41,730 --> 00:11:43,990 tienen dimensión 9, quiere decir 111 00:11:43,990 --> 00:11:50,649 que cada una de las bases, como veíamos el año pasado, pues estaría formada por nueve elementos. 112 00:11:52,509 --> 00:11:55,009 Bueno, continuamos. 113 00:12:00,200 --> 00:12:05,440 Primera cosa que se sale un poco de lo normal, sería el producto de matrices. 114 00:12:06,039 --> 00:12:08,399 ¿Cómo puedo multiplicar dos matrices? 115 00:12:08,820 --> 00:12:12,700 Bueno, pues lo primero, no se pueden multiplicar dos matrices cualesquiera. 116 00:12:12,700 --> 00:12:18,919 No se pueden multiplicar tampoco dos matrices que tengan el mismo tamaño. 117 00:12:19,539 --> 00:12:35,759 Aparte, tiene que cumplir una cosa muy importante y es que el número de filas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda. 118 00:12:35,759 --> 00:12:50,779 ¿De acuerdo? Entonces, el... lo he dicho mal, a ver, sí que el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda, perdonad. 119 00:12:51,960 --> 00:12:58,259 Bien, bueno, pues, ¿y qué es lo que se hace? Lo que se hace es multiplicar filas por columnas. 120 00:12:58,259 --> 00:13:15,600 Aquí viene expresado pero de una manera un poco complicada. Si quisiéramos desarrollar este sumatorio, si desarrolláramos este sumatorio que hay aquí, en realidad lo que viene a decir es que si yo quiero multiplicar la matriz A por la matriz B, 121 00:13:15,600 --> 00:13:28,980 Lo primero que tengo que verificar es que aquí y aquí la cantidad coincide y lo que multiplicaré será toda esta fila por toda esta columna y esa será la primera posición. 122 00:13:28,980 --> 00:13:35,779 Por eso aquí pone el 1 por 2, el 2 por 3 y el 3 por 4, ¿bien? 123 00:13:36,440 --> 00:13:48,659 Para saber la posición de aquí sería toda esta por esta, por eso pone 1 por 1, 2 por 2, 3 por 1. 124 00:13:48,659 --> 00:14:12,639 Para saber esta posición, la posición 1, 2 sería este por este, 4 por 2, 5 por 3, 6 por 4, y la última sería 4, 5, 6 por el 1, 2, 1, resultado, haciendo estas sumas, sale esta. 125 00:14:12,639 --> 00:14:21,320 Y el resultado, como veis, es si tenía dos filas, tres columnas y tres columnas, dos filas, el resultado es una matriz 2 por 2. 126 00:14:22,639 --> 00:14:35,539 Bueno, a la vista de esto ya nos damos cuenta de algo muy importante, y es que el producto de matrices no va a ser conmutativo, no va a ser lo mismo A por B que B por A. 127 00:14:35,539 --> 00:14:55,799 Ahora, si yo multiplicara una matriz 3x2 por una 2x3, como estaría invertido el orden, me quedaría una 3x3, luego si sale una 3x3 nunca va a poder coincidir con una 2x2, ¿de acuerdo? 128 00:14:55,799 --> 00:15:10,799 Entonces, primera cosa muy importante es el producto de matrices no es, vamos a borrar esta línea de aquí, el producto de matrices no es conmutativo. 129 00:15:10,799 --> 00:15:31,039 Es más, veremos que hay veces donde las matrices no se pueden multiplicar. Yo puedo multiplicar la matriz A por B porque tiene tres columnas y esta tiene tres filas, pero no puedo multiplicar B por A, ¿de acuerdo? 130 00:15:31,039 --> 00:15:34,399 Si este estuviera delante, no podría multiplicarla por esta. 131 00:15:36,340 --> 00:15:57,720 Bien, sí que se cumple la propiedad asociativa, sí que se cumple la propiedad del elemento neutro, pero donde la matriz identidad, en este caso hay que tener muy claro que es una matriz cuadrada, 132 00:15:57,720 --> 00:16:16,740 donde tiene 1, 1, 1, puntos suspensivos 1, por aquí encima todos son ceros, por aquí debajo todos son ceros, de acuerdo, vamos a borrar aquí un poquito, 133 00:16:16,740 --> 00:16:19,500 que me ha salido un poco mal 134 00:16:19,500 --> 00:16:24,679 de acuerdo 135 00:16:24,679 --> 00:16:27,340 entonces, muy importante 136 00:16:27,340 --> 00:16:30,659 y si veis, pone A por I 137 00:16:30,659 --> 00:16:33,179 y por A 138 00:16:33,179 --> 00:16:35,639 porque al no ser conmutativa 139 00:16:35,639 --> 00:16:38,639 hay que hacer la multiplicación por los dos lados 140 00:16:38,639 --> 00:16:42,100 lo bueno que tiene la identidad es que sí que es una matriz 141 00:16:42,100 --> 00:16:45,139 que conmuta con cualquier otra matriz 142 00:16:45,139 --> 00:16:48,320 y luego se da la propiedad distributiva 143 00:16:48,320 --> 00:17:07,599 A por B más C igual a A por B más A por C, pero muy importante, la A está a la izquierda, luego la A queda a la izquierda de B y la A queda a la izquierda de C. 144 00:17:07,599 --> 00:17:30,589 ¿De acuerdo? Bueno, pues borramos esto para pasar a la siguiente hoja y lo siguiente que vamos a contar es matriz inversa. 145 00:17:30,589 --> 00:17:49,470 Bueno, una vez que ya hemos visto que una matriz por otra matriz no tiene por qué ser conmutativo, pues resulta que hay determinados productores de matrices que nos interesaría saber si multiplicada por otra matriz me saldría la matriz identidad. 146 00:17:50,410 --> 00:17:52,509 Eso es lo que se conoce como matriz inversa. 147 00:17:52,509 --> 00:18:10,690 Bueno, pues, por lo que sabemos de las dimensiones, como debería de ocurrir que A por A menos 1 sea igual que A menos 1 por A e igual a la identidad, 148 00:18:11,009 --> 00:18:17,890 la primera condición importante es que la matriz debe de ser cuadrada. 149 00:18:17,890 --> 00:18:28,569 ¿Vale? Y a estas matrices, si dada la matriz A existe A-1, se la llama matriz regular o inversible. 150 00:18:29,210 --> 00:18:34,849 Y A es la inversa de A-1 o A-1 es la inversa de A. 151 00:18:35,170 --> 00:18:40,450 ¿De acuerdo? Si no tienen inversa y son cuadradas, se dice que es singular. 152 00:18:40,450 --> 00:18:53,190 Bueno, propiedades, si yo calculo la inversa de la inversa, me queda la matriz que yo tenía 153 00:18:53,190 --> 00:19:01,970 Si yo hago la inversa del producto, me queda el producto de las inversas, pero cambiados de orden 154 00:19:02,970 --> 00:19:10,890 ¿Esto por qué? Bueno, pues si yo tengo la matriz A por B 155 00:19:10,890 --> 00:19:21,109 y la pongo multiplicada por la b menos 1, a menos 1, 156 00:19:23,579 --> 00:19:25,799 ¿qué es lo que ocurre si yo cojo estas dos? 157 00:19:26,160 --> 00:19:30,559 Que como una es la inversa de la otra, me va a salir la identidad. 158 00:19:30,559 --> 00:19:39,480 Y si esta es la identidad, me va a quedar a por la identidad y por a menos 1. 159 00:19:39,480 --> 00:19:44,500 ya, pero A por identidad es A 160 00:19:44,500 --> 00:19:47,059 y por A menos 1 queda la identidad 161 00:19:47,059 --> 00:19:51,359 es decir, que es verdad que B menos 1 162 00:19:51,359 --> 00:19:55,420 A menos 1 es la inversa de esta de aquí 163 00:19:55,420 --> 00:19:59,500 bueno, y luego hay una operación 164 00:19:59,500 --> 00:20:03,039 que contaremos un poquito más adelante, pero por si acaso 165 00:20:03,039 --> 00:20:07,240 la cuento aquí, que es la transposición 166 00:20:07,240 --> 00:20:13,019 es coger una matriz y cambiar las filas por las columnas, ¿de acuerdo? 167 00:20:13,519 --> 00:20:19,380 Entonces, si yo cojo a la inversa y calculo y cambio filas por columnas, 168 00:20:19,539 --> 00:20:25,440 sale lo mismo que si primero cambio filas por columnas y luego hago la inversa, ¿de acuerdo? 169 00:20:26,900 --> 00:20:31,660 Bueno, pues en principio esas serían las propiedades básicas. 170 00:20:31,660 --> 00:20:37,660 Lo borramos también, porque luego si no, al arrastrar, se vienen con nosotros las líneas. 171 00:20:45,160 --> 00:20:49,680 Bueno, cálculo de matrices inversas, ¿bien? 172 00:20:50,619 --> 00:21:00,700 Bueno, pues si yo tengo la matriz esta y quiero hallar la inversa, es encontrar una matriz de manera que cuando la multiplique por esta me salga la identidad, ¿vale? 173 00:21:00,700 --> 00:21:07,359 bueno vamos a hacer aquí vamos a ver primero este ejemplo que es muy sencillito y luego vamos a hacer 174 00:21:07,359 --> 00:21:17,819 otro ejemplo e incluso despejar en un en una ecuación de matrices vuelvo a repetir me dan 175 00:21:17,819 --> 00:21:25,359 esta matriz y lo que quieren es hallar a menos o no pues se tiene que cumplir que a por a menos 176 00:21:25,359 --> 00:21:52,400 1 sea igual a la identidad, ¿vale? Calculo aquí lo que vale a por a menos 1, sería esta por esta, 0 por a, 0, 1 por c, c, hago esta fila por esta columna, 0 por b, 0, 1 por d, d, esta por esta, que sale el 2a, y esta por esta, que sale el 2b. 177 00:21:52,400 --> 00:21:58,400 como esto tiene que ser igual a la identidad 178 00:21:58,400 --> 00:22:04,180 eso me sale que la C vale 1, que la D vale 0 179 00:22:04,180 --> 00:22:09,099 que el 2A vale 0 y que el 2B vale 1 180 00:22:09,099 --> 00:22:12,759 pues si el 2B vale 1 es porque la B vale un medio 181 00:22:12,759 --> 00:22:17,119 entonces esta sería la matriz A-1 182 00:22:17,119 --> 00:22:23,900 de acuerdo bueno vamos a hacer un caso un poquito más complejo 183 00:22:23,900 --> 00:22:32,299 este método de cálculo de inversas solamente es útil si la matriz que yo 184 00:22:32,299 --> 00:22:40,160 tengo es 2 por 2 o 3 por 3 con muchos ceros porque vais a ver que cuando yo 185 00:22:40,160 --> 00:22:46,519 resuelva el sistema vamos las ecuaciones me va a quedar dos sistemas de 2 por 2 186 00:22:46,519 --> 00:22:54,119 si la matriz A era 2 por 2. Y si la matriz A es 3 por 3, me saldría un sistema de 3 ecuaciones, 187 00:22:54,240 --> 00:22:58,220 vamos, perdón, 3 sistemas de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 188 00:22:58,900 --> 00:23:02,619 Entonces, si no fuera fácil de resolver, pues quedaría el tema complicado. 189 00:23:02,619 --> 00:23:32,460 Vamos a empezar entonces con el primer ejemplo. Sea A igual a la matriz 1, 2, 3, 5. Estoy buscando la matriz A menos 1, que no sé cuál es, que tiene A, B, C y D. 190 00:23:32,460 --> 00:23:58,420 Sé que es cuadrada. Bueno, pues lo primero que tiene que cumplir es que el 1, 2, 3, 5, multiplicado por A, B, C, D, salga la matriz de identidad, que es 1, 0, 0, 1. 191 00:23:58,420 --> 00:24:20,240 ¿De acuerdo? Bueno, pues al igual que antes, tengo que saber que tengo que multiplicar esta fila por esta columna, esta fila por esta columna, esta fila por esta columna, ¿de acuerdo? 192 00:24:20,240 --> 00:24:41,720 e igualarlo a esta matriz. Bueno, pues el resultado es el siguiente, 1 por A, A, 2 por C, 2C, y eso tiene que ser igual a la posición 1, 1, que es esta de aquí, 193 00:24:41,720 --> 00:24:46,859 1 por B 194 00:24:46,859 --> 00:24:50,619 2 por D 195 00:24:50,619 --> 00:24:52,299 2D 196 00:24:52,299 --> 00:24:56,960 y esto tiene que ser igual a esta posición de aquí 197 00:24:56,960 --> 00:24:59,480 que sería igual a 0 198 00:24:59,480 --> 00:25:02,940 ahora hago esta fila por esta columna 199 00:25:02,940 --> 00:25:04,019 3A 200 00:25:04,019 --> 00:25:09,180 más 5C 201 00:25:09,180 --> 00:25:24,180 que tendría que ser igual a la posición de aquí, 0, y 3B más 5D, que tendría que ser a la posición 2, 2, que es 1. 202 00:25:24,700 --> 00:25:32,180 Si os dais cuenta, aquí lo que me han salido son dos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. 203 00:25:33,460 --> 00:25:37,640 Bueno, he elegido una matriz sencilla para no liarnos muchos en las cuentas. 204 00:25:37,640 --> 00:25:50,319 Si a esta la multiplico, a esa ecuación la multiplico por menos 3, pues me queda menos 3A menos 6C igual a menos 3. 205 00:25:50,680 --> 00:26:05,579 Y si ahora sumo estas dos, pues me queda menos C igual a menos 3, luego ya tengo que la C vale 3. 206 00:26:05,579 --> 00:26:17,759 Y si la C vale 3, sustituida aquí, 2 por 3, 6, pasada al otro lado, la A vale menos 5. 207 00:26:18,299 --> 00:26:30,900 De la misma manera, si multiplico esta por menos 3, me queda menos 3B menos 6D igual a 1. 208 00:26:30,900 --> 00:26:51,079 Y si ahora sumo estas dos, este y este se van, me queda menos D igual a, perdón, aquí sería un 0, menos D igual a 1. 209 00:26:51,079 --> 00:26:56,420 luego quedaría que la D vale menos 1 210 00:26:56,420 --> 00:26:58,960 si la D vale menos 1 esto es menos 2 211 00:26:58,960 --> 00:27:01,819 luego la B vale 2 212 00:27:01,819 --> 00:27:14,960 por tanto la matriz A menos 1 213 00:27:14,960 --> 00:27:19,680 es igual a menos 5 214 00:27:19,680 --> 00:27:22,500 la B que vale 2 215 00:27:22,500 --> 00:27:25,900 la C que vale 3 216 00:27:25,900 --> 00:27:28,759 y la de que vale menos 1. 217 00:27:30,420 --> 00:27:35,759 Bueno, en selectividad siempre piden el cálculo de una inversa, 218 00:27:35,880 --> 00:27:37,819 suele ser una inversa 3x3. 219 00:27:38,539 --> 00:27:43,559 Bueno, como no cuesta nada, lo que yo recomiendo siempre es comprobar. 220 00:27:43,819 --> 00:27:49,339 No cuesta nada hacer una pequeña comprobación. 221 00:27:50,339 --> 00:27:53,460 Cojo la matriz. 222 00:27:54,680 --> 00:27:58,940 1, 2, 3, 5. 223 00:27:59,480 --> 00:28:09,900 Y lo multiplico por la menos 5, 2, 3, menos 1. 224 00:28:10,460 --> 00:28:19,880 Cuando hago este producto queda 1 por menos 5, menos 5, 2 por 3, 6, y 6, y menos 5, sale 1. 225 00:28:20,599 --> 00:28:26,779 1 por 2 es 2, 2 por menos 1 es menos 2, 2 y menos 2 sale 0. 226 00:28:26,779 --> 00:28:33,519 3 por 5, menos 15, 5 por 3, más 15, 0 227 00:28:33,519 --> 00:28:36,779 3 por 2, 6, menos 5, 1 228 00:28:36,779 --> 00:28:42,259 ¿Vale? Bueno, pues esto ya me dice que no me he confundido 229 00:28:42,259 --> 00:28:42,980 ¿Vale? 230 00:28:44,200 --> 00:28:49,380 Bueno, volvemos a otro tipo de ejemplo 231 00:28:49,380 --> 00:28:52,140 Vamos a ver, para ello 232 00:28:52,140 --> 00:28:55,779 Desplazamos esto un poquito para arriba 233 00:28:55,779 --> 00:29:13,039 Bueno, creo que me va a salir más rentable abrir una nueva página. A ver, abrimos una nueva página y planteamos el siguiente problema. 234 00:29:13,039 --> 00:29:42,700 Me dan, la quieren resolver, ahora calcular una matriz X tal que A por X sea igual a B, donde me dicen que la matriz A es la 1, 2, 3, 5, la matriz de antes, 235 00:29:42,700 --> 00:29:50,240 y la matriz B es la 2, 3, 4. 236 00:29:51,240 --> 00:29:57,680 B, 2, 3, 4, 5. 237 00:29:58,259 --> 00:29:59,700 Si no, me he equivocado, para no... 238 00:30:00,420 --> 00:30:03,019 Y hay que hallar lo que vale la matriz X. 239 00:30:03,240 --> 00:30:07,299 Bueno, pues como yo sé que esta matriz es 2 por 2 240 00:30:07,299 --> 00:30:10,940 y el resultado tiene que ser 2 por 2, 241 00:30:10,940 --> 00:30:22,299 Esto me obliga a que esta matriz sea 2 por 2, ¿de acuerdo? Luego voy a tener que hallar 4 puntos, 4 elementos de esta matriz. 242 00:30:22,299 --> 00:30:43,119 Bueno, pues podría hacerlo como antes, podría poner el 1, 2, 3, 5, por A, B, C, D, igual al 2, 3, 4, 5. 243 00:30:43,119 --> 00:31:01,589 Esta sería como una primera forma, ¿vale? Y luego hay una segunda forma que es despejando. 244 00:31:01,589 --> 00:31:26,410 Si a mí me dices que a por x es igual a b, si yo multiplico aquí por a menos 1, me quedará a menos 1 por a y por x igual a a menos 1 por b. 245 00:31:26,410 --> 00:31:35,750 Como esto es la identidad, tendré que x es igual a a menos 1 por b. 246 00:31:35,750 --> 00:31:44,730 como resulta que yo antes calcule lo que valía a menos 1 y a menos 1 resultó ser 247 00:31:44,730 --> 00:31:51,970 ahí lo he borrado, a menos 1 era la menos 5 248 00:31:51,970 --> 00:31:59,789 2, 3, menos 1 249 00:31:59,789 --> 00:32:05,640 de acuerdo, menos 5, 2, 3, menos 1 250 00:32:05,640 --> 00:32:18,799 Y ahora lo multiplico por la b, que es la 2, 3, 4, 5, y haciendo este producto ya tengo los cuatro elementos. 251 00:32:18,799 --> 00:32:29,599 Entonces puedo hacerlo de esta forma, resolviendo este sistema, ¿de acuerdo? 252 00:32:29,599 --> 00:32:55,259 O puedo hacerlo con solo la multiplicación de matrices. Menos 10 más 8, menos 2. Menos 15 más 10, menos 5. 6 menos 4, 2. 9 menos 5, 4. Bien, pues ya tengo que me sale el 2 menos 5, el menos 2 menos 5, 2, 4. 253 00:32:55,259 --> 00:33:17,359 Si lo comprobáis, veréis que en este de aquí os sale que la A vale menos 2, que la B sale menos 5, que la C sale 2 y que la D sale 4, ¿vale? 254 00:33:17,359 --> 00:33:35,690 Entonces, ¿qué hubiera pasado si me hubieran dicho que lo que tengo que hallar es una matriz que cumpla x por a igual a b? 255 00:33:36,789 --> 00:33:39,569 Imaginaros que me ponen este otro ejercicio. 256 00:33:39,569 --> 00:33:51,490 Pues tengo que tener mucho cuidado porque al no ser conmutativa voy a tener que multiplicar por aquí y por aquí por a menos 1. 257 00:33:51,490 --> 00:34:12,130 Luego sería x por a por a menos 1 igual a b por a menos 1, o lo que es lo mismo que la x es b por a menos 1, ¿de acuerdo? 258 00:34:12,130 --> 00:34:16,570 Bueno, pues esto es muy importante, ¿de acuerdo? 259 00:34:17,130 --> 00:34:24,269 Aquí, según me encuentro aquí, para despejar, el A pasa al otro lado, pero a la izquierda como A menos 1 260 00:34:24,269 --> 00:34:30,590 Para despejar aquí, el A pasa al otro lado como A menos 1, pero a la derecha de B 261 00:34:30,590 --> 00:34:31,929 ¿De acuerdo? 262 00:34:33,170 --> 00:34:38,070 Ok, bueno, pues vamos a seguir con la teoría 263 00:34:38,070 --> 00:35:00,579 y para ello continuamos aquí, bien aquí es otro cálculo de inversa, veis que la cosa ya aquí se complica y además en cuanto el sistema no sea tan fácil 264 00:35:00,579 --> 00:35:05,440 me empiezan a salir fracciones y ya se complica. 265 00:35:08,139 --> 00:35:12,219 Siempre que sea un 2x2, en ese caso no hay problema, 266 00:35:12,380 --> 00:35:15,719 porque el 2x2 al final puede ser laborioso, 267 00:35:15,900 --> 00:35:18,679 pero por igualación, sustitución o reducción lo resuelvo. 268 00:35:19,219 --> 00:35:24,079 Bien, bueno, que sepáis que como hay sistemas que no tienen solución, 269 00:35:24,260 --> 00:35:28,079 pues también cuando uno va a resolver hay matrices que no tienen inversa. 270 00:35:28,079 --> 00:35:49,900 Cuando yo me pongo a resolver este, resulta que el 3A más 6C tiene que valer 3 y el 3A más 6C tiene que valer 0, eso es imposible, luego el sistema no tiene solución, la matriz A no tiene inversa, es lo que se llama una matriz singular. 271 00:35:49,900 --> 00:36:06,789 Bueno, el método de Gauss-Jordan, que no lo vamos a ver, es el método de Gauss el año pasado, lo contaremos luego, para el cálculo de inversas de matrices, y esto ya sería lo último del tema que quería contaros. 272 00:36:06,789 --> 00:36:16,929 ¿Os acordáis que os dije que al final del tema hablaríamos de las matrices traspuestas? Pues la traspuesta de una matriz es invertir las filas por las columnas. 273 00:36:16,929 --> 00:36:39,429 ¿Veis aquí que pone el 1, 2, 3? Pues aquí pongo el 1, 2, 3. ¿Qué pone el 4, 5, 6? Aquí pongo el 4, 5, 6. Bueno, pues hay unas matrices un tanto especiales que son las matrices simétricas, que son matrices cuadradas y que cuando haya su traspuesta coincide con ella misma. 274 00:36:39,429 --> 00:36:49,190 ¿De acuerdo? Entonces, por ejemplo, esta matriz es una matriz simétrica y en realidad lo que tiene que ver es con una simetría respecto a la diagonal principal. 275 00:36:49,489 --> 00:37:05,989 El 1, el 1, el 3, el 3, el 4, el 4. Cuando yo cojo el 1, 1, 3, lo paso aquí, 1, 1, 3. El 1, 2, 4, lo paso aquí, 1, 2, 4. El 3, 4, 5, lo paso aquí, 3, 4, 5. 276 00:37:05,989 --> 00:37:10,650 Pero cuando comparo las dos matrices, estas son iguales, ¿vale? 277 00:37:14,000 --> 00:37:15,960 ¿Propiedades de las matrices traspuestas? 278 00:37:16,239 --> 00:37:21,659 Pues si yo hago la traspuesta de una traspuesta, me sale la misma matriz. 279 00:37:21,780 --> 00:37:26,539 Es decir, si cambio las filas por las columnas y lo vuelvo a cambiar, pues todo queda igual, ¿de acuerdo? 280 00:37:27,760 --> 00:37:33,760 Si tengo una suma de matrices y luego hago la traspuesta, puedo hacer primero la traspuesta y luego la suma de matrices. 281 00:37:33,760 --> 00:37:40,139 Sin embargo, hay que tener un pequeño cuidado con el producto de matrices 282 00:37:40,139 --> 00:37:42,320 Pasa un poco parecido a lo de la inversa 283 00:37:42,320 --> 00:37:44,760 Ya veremos luego en el siguiente tema 284 00:37:44,760 --> 00:37:49,199 Que en realidad es que para el cálculo de inversa que nosotros vamos a contar 285 00:37:49,199 --> 00:37:50,739 Se utiliza la traspuesta 286 00:37:50,739 --> 00:37:54,739 Y entonces la inversa y la traspuesta van como muy unidas 287 00:37:54,739 --> 00:37:58,860 Y si me lo aprendo una vez, pues ya me sirve para la otra 288 00:37:58,860 --> 00:38:02,500 La inversa del producto era el producto de las inversas 289 00:38:02,500 --> 00:38:06,980 invirtiendo el orden, la traspuesta del producto es el producto de las traspuestas 290 00:38:06,980 --> 00:38:10,679 invirtiendo el orden. Bueno, luego hay una serie de matrices 291 00:38:10,679 --> 00:38:14,280 que se llaman emisimétricas o antisimétricas 292 00:38:14,280 --> 00:38:18,559 que son aquellas matrices que cuando hago la traspuesta no me sale ella 293 00:38:18,559 --> 00:38:22,900 sino que me sale su opuesta, ¿vale? Entonces si una matriz 294 00:38:22,900 --> 00:38:26,579 cuadrada es igual a la opuesta de su traspuesta 295 00:38:26,579 --> 00:38:29,980 se dice que es antisimétrica, ¿vale? 296 00:38:29,980 --> 00:38:32,639 esos son nombres que hay que irse aprendiendo 297 00:38:32,639 --> 00:38:36,920 porque luego los enunciados vienen y yo tengo que saber hacerlo 298 00:38:36,920 --> 00:38:38,260 ¿de acuerdo? 299 00:38:39,260 --> 00:38:44,239 y vamos a hablar un poquito del rango de una matriz 300 00:38:44,239 --> 00:38:50,659 aunque en principio lo daremos mucho mejor cuando hablemos de determinantes 301 00:38:50,659 --> 00:38:53,739 bueno, se llama rango de una matriz 302 00:38:53,739 --> 00:39:00,239 al número de filas o de columnas que son linealmente independientes. 303 00:39:00,579 --> 00:39:04,039 Si os acordáis, el año pasado, en realidad lo que quería decir era 304 00:39:04,039 --> 00:39:09,860 que no podía construir una usando las columnas de las otras. 305 00:39:10,219 --> 00:39:13,219 El año pasado era con vectores, pues eran dos vectores, 306 00:39:13,219 --> 00:39:18,019 eran linealmente independientes, si a partir de uno no podía sacar el otro. 307 00:39:18,019 --> 00:39:30,139 Bien, entonces el año pasado nuestras bases eran de dos vectores linealmente independientes porque eran de dos coordenadas. 308 00:39:31,059 --> 00:39:36,099 Este año, pues, como serán de tres coordenadas, pues serán tres vectores linealmente independientes. 309 00:39:37,019 --> 00:39:45,860 Bueno, en realidad, para ver cuál es el rango de una matriz, la mejor manera es aplicar el método de Gauss. 310 00:39:45,860 --> 00:40:08,579 ¿De acuerdo? Como hacíamos el año pasado. Si aplicamos aquí el método de Gauss, veréis, nos saltamos esto, es un poco rollo, a ver si viene por aquí, no, pues ya no, vale. 311 00:40:08,579 --> 00:40:30,579 A ver, aquí. Calcula el rango de las siguientes matrices, ¿de acuerdo? Bueno, pues si os fijáis aquí, por ejemplo, esta, 333 es el triple de esta, ¿vale? 222 es el doble de esta. 312 00:40:30,579 --> 00:40:36,400 Luego, el rango de D es 1, porque a partir de este vector puedo generar todos los demás. 313 00:40:37,239 --> 00:40:43,820 Da igual que lo mire por filas, que por columnas, el 1, 2, 3, el 1, 2, 3, el 1, 2, 3, ¿de acuerdo? 314 00:40:44,420 --> 00:40:49,380 Si nos fijamos en este igual, el doble de esta es esta, ¿vale? 315 00:40:50,179 --> 00:40:55,699 Por ejemplo, para ver estos de aquí, podría aplicar lo que nosotros hacíamos el año pasado, 316 00:40:55,699 --> 00:41:22,519 que es, multiplico esta por menos 2 y sumo, y al sumar me va a quedar aquí, si lo hacéis despacito, bueno, lo podemos hacer si queréis, con el boli, aquí sería el 1, 1, 1, y luego si multiplico esta por menos 2, me va a quedar aquí, menos 2, menos 2, menos 2, 317 00:41:22,519 --> 00:41:42,679 Que al sumar con esta va a salir 0, 0, menos 4. Y si multiplico esta por 3 y sumo con esta, me va a quedar 0, 6, 6. 318 00:41:42,679 --> 00:42:02,000 ¿De acuerdo? 3, 3, 3 al sumar. Entonces, si ahora estudio el rango de esta matriz, veo que esta y esta son linealmente independientes, porque multiplicando esta por el número que yo quiera, nunca me va a salir un 6. 319 00:42:02,000 --> 00:42:06,320 y esta es linealmente independiente con estas dos 320 00:42:06,320 --> 00:42:10,059 porque multiplicando las dos por los números que yo quiera 321 00:42:10,059 --> 00:42:14,199 y sumando, me va a salir siempre 0 aquí, nunca voy a poder obtener un 1 322 00:42:14,199 --> 00:42:17,940 luego el rango de B 323 00:42:17,940 --> 00:42:21,500 es igual a 3, ¿de acuerdo? 324 00:42:21,619 --> 00:42:25,380 ya digo que ya lo contaremos mucho más despacio y yo creo que 325 00:42:25,380 --> 00:42:28,659 es más fácil de aprender cuando tenemos los determinantes 326 00:42:28,659 --> 00:42:40,500 Bueno, vamos a borrar esto de aquí para que no quede para la posteridad, y con esto acabamos 327 00:42:40,500 --> 00:42:45,440 lo que sería el vídeo de matrices, aquí está todo lo que hay que aprenderse del tema 328 00:42:45,440 --> 00:42:46,880 1.