1
00:00:00,850 --> 00:00:05,089
Bienvenidos a la sesión 4 de esta tercera evaluación sobre funciones.

2
00:00:06,349 --> 00:00:11,230
A ver, hablar de funciones en sólo dos sesiones a mí me parece un auténtico delito.

3
00:00:11,929 --> 00:00:17,550
Es una parte de las matemáticas que en estudios superiores da lugar a más de una asignatura

4
00:00:17,550 --> 00:00:23,329
y sus aplicaciones en la vida cotidiana son múltiples,

5
00:00:23,329 --> 00:00:33,429
desde el funcionamiento de maquinaria, equipos, estudios de economía, de biología, múltiples, múltiples.

6
00:00:33,770 --> 00:00:37,229
Pero bueno, tenemos el tiempo que tenemos y estamos en el curso en el que estamos.

7
00:00:37,670 --> 00:00:41,369
Entonces, vamos a adentrarnos mínimamente en el estudio de este tema.

8
00:00:43,049 --> 00:00:47,409
Vale, al acabar esta sesión y trabajar por tu cuenta duramente,

9
00:00:47,950 --> 00:00:52,329
deberías haber conseguido o estar en proceso de conseguir los siguientes objetivos.

10
00:00:52,329 --> 00:00:57,909
objetivos. Tienes que diferenciar la gráfica de lo que es una función, es un dibujo en los ejes

11
00:00:57,909 --> 00:01:03,570
cartesianos, de algo que no es de una función, es otro tipo de gráfica, ¿vale? Dado un sistema de

12
00:01:03,570 --> 00:01:10,730
ejes cartesianos, nombrar aspectos claves que lo definen. Objetivo 3, identificar una función a

13
00:01:10,730 --> 00:01:16,609
partir de un enunciado, una tabla de valores, su representación gráfica o una fórmula. ¿Qué

14
00:01:16,609 --> 00:01:21,469
características mínimas tienes que estudiar, hay muchas más, pero al menos

15
00:01:21,469 --> 00:01:27,409
el dominio y el recorrido de una gráfica de una función, definir la continuidad de

16
00:01:27,409 --> 00:01:33,209
una función a partir de su gráfica al menos, indicar intervalos de crecimiento

17
00:01:33,209 --> 00:01:39,909
y de decrecimiento, reconocer máximos y mínimos, absolutos y relativos, así como

18
00:01:39,909 --> 00:01:45,450
los puntos de corte de una función con ejes cartesianos. En este estudio

19
00:01:45,450 --> 00:01:49,590
no estamos incluyendo todas las características básicas, pero al menos

20
00:01:49,590 --> 00:01:51,569
estas considero que son muy importantes.

21
00:01:53,129 --> 00:01:57,469
¿Dónde se representan las funciones? Las funciones se representan

22
00:01:57,469 --> 00:02:01,530
en un sistema de ejes cartesiano. Aquí tenemos

23
00:02:01,530 --> 00:02:05,549
el eje horizontal, designado por la letra

24
00:02:05,549 --> 00:02:09,289
x, que es de la variable independiente y se llama

25
00:02:09,289 --> 00:02:13,870
eje de abscisas. Perpendicular a él está el eje de ordenadas,

26
00:02:13,870 --> 00:02:19,469
eje de las y, dividen el plano en cuatro cuadrantes.

27
00:02:19,849 --> 00:02:23,650
En este de aquí, las dos coordenadas x y son positivas,

28
00:02:23,909 --> 00:02:26,150
en el segundo cuadrante solo sería positiva la y,

29
00:02:26,389 --> 00:02:28,629
en el tercer cuadrante ambas son negativas,

30
00:02:29,509 --> 00:02:34,710
y en el cuarto, en la primera, la independiente, la x, es positiva,

31
00:02:35,250 --> 00:02:37,990
y la dependiente no lo es, es negativa.

32
00:02:37,990 --> 00:02:50,370
Ok. René Descartes, entre otras cosas, contribuyó a la geometría analítica a partir de las coordenadas de los puntos.

33
00:02:52,479 --> 00:02:53,259
Culturía general.

34
00:02:54,199 --> 00:02:59,699
Vale. Esto es una gráfica de una función. Te pueden preguntar diferentes cuestiones.

35
00:03:00,180 --> 00:03:03,159
No hay que saber nada para contestar. Es por observación.

36
00:03:03,379 --> 00:03:07,060
Ahí tienes las respuestas a diferentes preguntas. Para el vídeo le eches un vistazo.

37
00:03:07,060 --> 00:03:27,699
Vale, en el concepto matemático, ¿qué es una función? Pues una función es una relación de dos magnitudes, x que es la independiente y la y que es la dependiente. ¿Qué es esto de independiente y dependiente? Por ejemplo, si a ti la hora te la pagan, ojalá a 25 euros por tu trabajo, a más horas, más dinero.

38
00:03:27,699 --> 00:03:35,699
Es decir, que la variable sueldo dependería de la variable independiente, el número de horas que te puedan contratar.

39
00:03:36,539 --> 00:03:47,699
Más cuestiones. Yo, por ejemplo, el caudal con una variable independiente, el tiempo pasa, pero yo necesitaré más o menos tiempo en función del caudal.

40
00:03:48,419 --> 00:03:56,280
No entiendo nada. Si tú abres una manguera a todo trapo, la piscina o el depósito que estés llenando se llenará más rápidamente.

41
00:03:56,280 --> 00:04:08,719
¿De acuerdo? Vale, ¿cómo se lee? Aquí es muy importante esto. La y depende de la x, entonces nosotros vamos a escribir que y es función de x.

42
00:04:08,840 --> 00:04:17,160
Cuando ponemos f y entre paréntesis la x, lo que estamos indicando es que y va a depender de los valores de x, ¿vale?

43
00:04:17,899 --> 00:04:21,199
Normalmente ponemos la letra F, pero también G o H.

44
00:04:23,959 --> 00:04:24,399
Muy bien.

45
00:04:25,339 --> 00:04:27,740
Como la relación es biunívoca,

46
00:04:28,259 --> 00:04:31,579
quiere decir que para un valor de X, solo uno de Y.

47
00:04:31,959 --> 00:04:34,939
De estas cuatro gráficas, por muy feas o raras que sean,

48
00:04:35,360 --> 00:04:37,480
hay una que no es una función.

49
00:04:37,819 --> 00:04:38,480
Es esta de aquí.

50
00:04:39,040 --> 00:04:39,420
¿Por qué?

51
00:04:39,420 --> 00:04:44,420
Porque si yo dibujo líneas verticales,

52
00:04:45,620 --> 00:04:48,420
perdonad, mi sentido era perpendicular a la mano alzada, es muy malo,

53
00:04:48,420 --> 00:04:51,779
me cortaría a la gráfica en dos puntos.

54
00:04:51,939 --> 00:04:54,579
Entonces, cuando x vale 3, ¿qué vale? ¿Esto o esto?

55
00:04:54,920 --> 00:04:56,360
Pues no, esto no es una función.

56
00:04:56,899 --> 00:04:59,100
A cada valor de x, solo una de y.

57
00:04:59,220 --> 00:05:03,399
Por ejemplo, aquí, cuando x vale 4, y vale, lo vería aquí,

58
00:05:03,639 --> 00:05:04,800
y digo, ah, pues sí, vale tanto.

59
00:05:06,000 --> 00:05:06,240
Vale.

60
00:05:07,579 --> 00:05:10,839
Una función puede definirse, como dice aquí, por un enunciado.

61
00:05:11,500 --> 00:05:15,560
Imagínate lo del parking, por su fórmula, y dices, no entiendo la fórmula.

62
00:05:15,560 --> 00:05:28,939
Si tú pagas por entrar a un parking 60 céntimos y por cada 5 minutos paga 0,15, la función como se ha establecido, pues para X0 nada más entrar, bueno, los días 60 céntimos.

63
00:05:29,339 --> 00:05:36,000
Y luego cada 5 minutos tú vas pagando la entrada más 0,15 por cada grupo de 5.

64
00:05:36,540 --> 00:05:40,399
La gráfica sería la que vemos aquí, la representación.

65
00:05:41,000 --> 00:05:42,860
Y dices, oye, ¿y no sigue la gráfica por aquí?

66
00:05:42,860 --> 00:05:47,980
Claro que no, porque el tiempo es una variable que consideramos positiva.

67
00:05:48,519 --> 00:05:50,540
Puede ser cero, pero no puede ser negativo.

68
00:05:51,079 --> 00:05:55,240
La máquina del tiempo no se ha inventado, o eso dicen.

69
00:05:56,160 --> 00:06:04,000
Y la tabla de valores sería, no entiendo, digo, a ver, si estás 5 minutos, pues es 0,6 más 0,15, 0,75.

70
00:06:04,519 --> 00:06:08,160
Si estás 10 minutos, estás dos grupos de 5.

71
00:06:08,160 --> 00:06:13,939
¿Y cómo lo sabes? Porque 10 minutos entre 5 es 2, pues 0.15 por 2 más 0.6 es 0.90.

72
00:06:14,879 --> 00:06:18,560
Estas cuatro formas son las formas de definición de una función.

73
00:06:19,660 --> 00:06:21,920
Vamos a meternos con las características.

74
00:06:23,740 --> 00:06:27,300
Mirad, esto parece un lío. No os dejéis engañar por la palabrería.

75
00:06:27,300 --> 00:06:32,699
El dominio de la función de una gráfica es

76
00:06:32,699 --> 00:06:39,560
¿qué espacio del eje X del horizontal está ocupado por tu gráfica?

77
00:06:39,959 --> 00:06:42,879
Pues, ¡hala! Desde el 1 hasta el 13.

78
00:06:43,540 --> 00:06:46,180
Sin embargo, la imagen o recorrido es

79
00:06:46,180 --> 00:06:50,439
¿qué trozo del eje vertical del Y está ocupado por la gráfica?

80
00:06:50,519 --> 00:06:52,600
Pues, desde el valor más bajo hasta el más alto.

81
00:06:53,240 --> 00:06:53,759
Y ya está.

82
00:06:55,220 --> 00:06:56,939
Aquí tienes más ejemplos.

83
00:06:57,959 --> 00:06:58,480
Analízalos.

84
00:06:58,620 --> 00:06:59,699
Si tienes dudas, me preguntas.

85
00:07:00,699 --> 00:07:00,860
Vale.

86
00:07:00,860 --> 00:07:03,879
Bueno, pues primero, ¿qué es una función continua?

87
00:07:04,079 --> 00:07:07,560
Aquella que se puede dibujar sin levantar el boli del papel

88
00:07:07,560 --> 00:07:10,439
Es muy matemática esta definición, pues francamente no

89
00:07:10,439 --> 00:07:13,759
Pero bueno, la que se puede representar no es solo trazo

90
00:07:13,759 --> 00:07:18,279
Aquí tenéis una función discontinua, otra discontinua

91
00:07:18,279 --> 00:07:20,959
Y aquí pues una función continua 100%

92
00:07:20,959 --> 00:07:23,699
No la puedo dibujar sin levantar el trazo

93
00:07:23,699 --> 00:07:28,699
Ok, aquí la función del apartado A se dice que es discontinua

94
00:07:28,699 --> 00:07:31,540
cuando x es 0

95
00:07:31,540 --> 00:07:33,959
no entiendo, digo, mira, tú vienes por aquí dibujando

96
00:07:33,959 --> 00:07:37,180
ahora tienes que levantar el puntero, el lápiz o el boli

97
00:07:37,180 --> 00:07:39,079
para seguir con el segundo tramo

98
00:07:39,079 --> 00:07:43,759
esta función b es discontinua en todos los números enteros

99
00:07:43,759 --> 00:07:45,040
no entiendo nada, digo, mira

100
00:07:45,040 --> 00:07:48,180
en 0 está de 0 a 1

101
00:07:48,180 --> 00:07:52,040
pero justo cuando vale 1 la función se dispara para acá

102
00:07:52,040 --> 00:07:55,259
aquí si lo viéramos más grande o un dibujo mejor hecho

103
00:07:55,259 --> 00:07:57,759
veríais que cuando x vale 2

104
00:07:57,759 --> 00:07:59,839
dos, aquí hay una bolita abierta

105
00:07:59,839 --> 00:08:01,139
y aquí hay una bolita cerrada.

106
00:08:01,259 --> 00:08:02,740
Y dices, ¿y qué más da las bolitas?

107
00:08:03,139 --> 00:08:05,839
Pues no, no da lo mismo, porque si las dos

108
00:08:05,839 --> 00:08:06,500
bolitas,

109
00:08:07,079 --> 00:08:09,639
a ver, esta de aquí,

110
00:08:10,759 --> 00:08:11,160
esta

111
00:08:11,160 --> 00:08:13,759
y esta, las dos son

112
00:08:13,759 --> 00:08:15,500
cerradas, eso te indicaría

113
00:08:15,500 --> 00:08:17,680
que cuando

114
00:08:17,680 --> 00:08:19,680
x vale dos y que

115
00:08:19,680 --> 00:08:21,720
vale uno o dos, hemos dicho que es

116
00:08:21,720 --> 00:08:23,620
solo un valor, por eso una bolita abierta

117
00:08:23,620 --> 00:08:25,860
me acerco, pero no pertenece

118
00:08:25,860 --> 00:08:29,100
a mi gráfica y bolita cerrada, si pertenece

119
00:08:29,100 --> 00:08:34,179
ok, bueno, esto es súper intuitivo, si tú estuvieras en una bicicleta

120
00:08:34,179 --> 00:08:37,740
encima de tu gráfica, aquí bajarías

121
00:08:37,740 --> 00:08:42,080
aquí también, y qué harías aquí, subir y subir

122
00:08:42,080 --> 00:08:45,940
pues cada vez que bajas la función decrece, y cada vez que subes la función

123
00:08:45,940 --> 00:08:49,860
crece, y dices, pero esto no entiendo yo lo de abajo, que pone aquí

124
00:08:49,860 --> 00:08:53,860
vale, mira, el crecimiento o decrecimiento

125
00:08:53,860 --> 00:08:59,399
El crecimiento de una función se va a referir al eje x, mucho más llano.

126
00:08:59,919 --> 00:09:09,600
Cuando la función decrece, aquí la función decrece, ¿cuánto vale el eje x?

127
00:09:09,860 --> 00:09:16,600
Pues mira, esto viene desde menos infinito hasta menos 1 y luego decrece aquí de 0 a 1.

128
00:09:16,600 --> 00:09:22,220
Entonces, esta u de unión significa, en el lenguaje coloquial, mira, decrece en este intervalo

129
00:09:22,220 --> 00:09:25,460
y también en este, este trozo de x y este trozo del eje x.

130
00:09:25,759 --> 00:09:31,559
Y crece de menos 1 a 0 y de 1 hasta infinito.

131
00:09:32,480 --> 00:09:34,779
Vale, aquí tendrías la función también,

132
00:09:35,200 --> 00:09:39,419
escrito sus intervalos de crecimiento o decrecimiento, ¿vale?

133
00:09:39,940 --> 00:09:44,879
Aquí crece, aquí también, y aquí, y aquí decrece.

134
00:09:45,279 --> 00:09:46,299
Estudiate los intervalos.

135
00:09:46,299 --> 00:09:51,299
Pero estos son trocitos del eje x, donde la función crece o no crece.

136
00:09:52,220 --> 00:10:05,120
Vale, muy importante, nosotros no vamos a hacer derivadas ni vamos a estudiar nada de cálculo infinitesimal, no nos corresponde, pero al menos vamos a entender que es la tasa de variación media, es una pendiente.

137
00:10:06,080 --> 00:10:10,559
Entonces, si yo, por ejemplo, quiero ir de A a B y la función está definida,

138
00:10:11,059 --> 00:10:12,879
yo veo que aquí la función va a crecer.

139
00:10:13,419 --> 00:10:17,840
Entonces, si yo a f de B, este valor, le resto f de x1,

140
00:10:18,519 --> 00:10:22,480
esto lo divido entre este cachito, estoy calculando la pendiente.

141
00:10:23,080 --> 00:10:24,919
Más formas de definir la pendiente.

142
00:10:24,919 --> 00:10:31,580
Lo que crece en altura respecto a lo que has avanzado en horizontal.

143
00:10:31,580 --> 00:10:35,200
Si esa tasa de variación media es positiva

144
00:10:35,200 --> 00:10:37,399
Es que la función es creciente

145
00:10:37,399 --> 00:10:38,559
Como pongo aquí abajo

146
00:10:38,559 --> 00:10:40,639
Si es negativa, menor que cero es negativa

147
00:10:40,639 --> 00:10:41,879
La función es decreciente

148
00:10:41,879 --> 00:10:43,379
Y si es cero es que es constante

149
00:10:43,379 --> 00:10:45,940
Aquí tienes una actividad resuelta

150
00:10:45,940 --> 00:10:48,639
Esto es de marea verde

151
00:10:48,639 --> 00:10:49,759
Como todos los apuntes

152
00:10:49,759 --> 00:10:52,580
Máximos y mínimos

153
00:10:52,580 --> 00:10:54,399
Pues aquí tendrías un máximo

154
00:10:54,399 --> 00:10:55,639
Aquí tendrías un mínimo

155
00:10:55,639 --> 00:10:56,559
¿Y por qué?

156
00:10:57,240 --> 00:11:00,840
Porque nos estamos refiriendo al entorno más cercano

157
00:11:00,840 --> 00:11:04,220
Hay que decir cuánto vale x cuando se alcanza ese máximo

158
00:11:04,220 --> 00:11:06,080
Cuánto vale la x cuando se alcanza el mínimo

159
00:11:06,080 --> 00:11:14,360
Pero a veces tenemos máximos relativos o absolutos

160
00:11:14,360 --> 00:11:16,899
Pues aquí no hay nada absoluto, pero sí que hay relativo

161
00:11:16,899 --> 00:11:20,340
¿Por qué? Porque hay valores mucho más altos

162
00:11:20,340 --> 00:11:22,820
O este sería un mínimo relativo porque hay valores mucho más bajos

163
00:11:22,820 --> 00:11:25,519
Fíjate cómo se define

164
00:11:25,519 --> 00:11:28,500
Escribe primero cuánto vale la x en ese punto

165
00:11:28,500 --> 00:11:30,419
Y cuánto vale la y

166
00:11:30,419 --> 00:11:37,889
Vale, aquí tenemos algo bueno para explicar

167
00:11:37,889 --> 00:11:39,990
Ahora os mandaré el enlace por otro lado

168
00:11:39,990 --> 00:11:48,960
Vale, mirad, los puntos en el eje X son siempre de tipo un número 0

169
00:11:48,960 --> 00:11:53,799
Y los puntos del eje Y son 0, la primera coordenada de la segunda

170
00:11:53,799 --> 00:11:58,840
Entonces, fíjate, ¿dónde te corta la función al eje X?

171
00:11:58,840 --> 00:12:02,919
Pues claro, pues aquí, aquí, ahí están los puntos

172
00:12:02,919 --> 00:12:05,740
Y me elegí solamente aquí, el de 0 menos 3