1 00:00:03,759 --> 00:00:13,759 Regla de Cramer. La regla de Cramer nos va a ser muy útil para resolver de una forma rápida y directa algunos sistemas de ecuaciones. 2 00:00:15,300 --> 00:00:19,079 Lo primero de todo vamos a ver qué se define como un sistema de Cramer. 3 00:00:19,620 --> 00:00:24,820 Un sistema alineante de m ecuaciones y n incógnitas se dice que es de Cramer si cumple las siguientes condiciones. 4 00:00:25,460 --> 00:00:29,839 La primera, que tiene el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, es decir, que la m es igual a n. 5 00:00:29,839 --> 00:00:37,479 Y la segunda, que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0, el determinante de A es distinto de 0. 6 00:00:37,880 --> 00:00:40,100 En tal caso decimos que el sistema es de Cramer. 7 00:00:41,399 --> 00:00:53,939 Lo que vamos a hacer a continuación es deducir las fórmulas de Cramer, las fórmulas que nos van a calcular de forma directa la solución del sistema. 8 00:00:56,820 --> 00:01:04,340 Vamos a deducirlo generalizándolo para un sistema lineal de tres ecuaciones y tres incógnitas. 9 00:01:05,000 --> 00:01:11,019 Y partiendo de que es un sistema de Kramer, es decir, un sistema que cumple, que tiene el mismo número de ecuaciones que incógnitas 10 00:01:11,019 --> 00:01:15,359 y que el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero. 11 00:01:16,099 --> 00:01:19,799 Este sistema expresado matricialmente sería de la siguiente manera. 12 00:01:19,799 --> 00:01:24,040 Una matriz A donde tenemos los coeficientes de las incógnitas. 13 00:01:24,040 --> 00:01:34,219 Fijaos, en la primera columna los coeficientes de la primera incógnita, en la segunda columna los coeficientes de la segunda incógnita y en la tercera columna los coeficientes de la tercera incógnita. 14 00:01:35,079 --> 00:01:43,840 Matricialmente expresaríamos esa matriz de coeficientes por la matriz columna donde indicamos las incógnitas. 15 00:01:43,840 --> 00:01:56,900 Cada fila es cada una de las incógnitas. Y eso será igual a esta matriz columna también, donde se especifica el término independiente de cada una de esas ecuaciones. 16 00:01:58,260 --> 00:02:05,480 Luego, matricialmente, lo podemos poner como la matriz A por la matriz X, la matriz de incógnitas, igual a la matriz de términos independientes. 17 00:02:05,480 --> 00:02:12,300 Vale, por ser un sistema de Cramer hemos dicho que P cumplía esta condición 18 00:02:12,300 --> 00:02:14,659 que la matriz de coeficientes era distinta de cero 19 00:02:14,659 --> 00:02:21,599 y esta era una condición necesaria y suficiente para decir, para afirmar que la matriz A era una matriz invertible 20 00:02:21,599 --> 00:02:25,979 Por lo tanto podemos resolver la ecuación matricial del modo 21 00:02:25,979 --> 00:02:29,620 Tenemos la matriz A por la matriz X igual a la matriz B 22 00:02:29,620 --> 00:02:34,699 Lo que se trata es de despejar esa matriz de incógnitas, esa matriz columna donde tengo las incógnitas 23 00:02:34,699 --> 00:02:50,680 Para ello es necesario que desaparezca esta A. Matricialmente, la forma de resolver ecuaciones no es como hacíamos algebraicamente, decir lo que está multiplicando pasa dividiendo. 24 00:02:50,680 --> 00:03:03,240 Aquí la manera de resolver o de despejar esta matriz de incógnitas sería intentando eliminar esta matriz de coeficientes. 25 00:03:04,280 --> 00:03:13,039 Eliminarla en este caso consiste en, si multiplico por la izquierda por su inversa, el producto de a a la menos 1 por a va a ser la identidad. 26 00:03:13,439 --> 00:03:18,240 Y la identidad es el elemento neutro de la multiplicación de matrices, por lo tanto la identidad por x va a ser x. 27 00:03:18,379 --> 00:03:19,680 Luego ya estaría despejada la x. 28 00:03:21,139 --> 00:03:27,960 Repito, para despejar la X lo que vamos a hacer es multiplicar por la izquierda por la inversa de A. 29 00:03:29,180 --> 00:03:34,240 Si multiplicamos por la izquierda por la inversa de A, lo que tenemos que hacer es multiplicar por la izquierda en ambos lados del igual. 30 00:03:34,560 --> 00:03:40,960 Recordad que en las propiedades de la multiplicación de matrices no siempre, en general, no siempre era conmutativo. 31 00:03:42,159 --> 00:03:45,020 Luego, sobre todo aquí, tenemos que tenerlo muy claro. 32 00:03:45,020 --> 00:03:53,840 Si aquí he multiplicado por la izquierda, aquí también, puesto que a lo mejor no es lo mismo a la menos 1 por b que b por a la menos 1. 33 00:03:55,020 --> 00:04:01,479 Vale, entonces, al multiplicar a la menos 1 por a, nos queda la matriz identidad. 34 00:04:02,620 --> 00:04:08,539 En la matriz identidad hemos dicho que se alimenta tanto la multiplicación de matrices, por lo tanto, la matriz identidad por x sería x. 35 00:04:09,000 --> 00:04:11,539 Y en la derecha nos quedaría a la menos 1 por b. 36 00:04:11,539 --> 00:04:31,800 Vale, si lo escribimos con los elementos y utilizando la definición o la construcción de la matriz inversa por adjuntos, tendríamos la matriz de incógnitas, la matriz columna, será igual. 37 00:04:31,800 --> 00:04:42,420 Y ahora escribimos la matriz inversa definida como la traspuesta de la adjunta dividida entre el valor del determinante por la matriz columna de términos independientes. 38 00:04:43,060 --> 00:04:45,360 Bueno, pues expresamos esto con sus elementos. 39 00:04:45,660 --> 00:04:53,360 Acordaos, la traspuesta de la adjunta, en la primera columna tenemos los adjuntos de los elementos de la primera fila de A. 40 00:04:54,920 --> 00:04:58,720 En la segunda columna los adjuntos de los elementos de la segunda fila de A. 41 00:04:58,720 --> 00:05:02,180 y en la tercera columna los adjuntos de los elementos de la tercera fila de A. 42 00:05:03,819 --> 00:05:08,920 Multiplicamos estas dos matrices, fijaos se puede multiplicar, orden 3 por 3, orden 3 por 1, 43 00:05:09,459 --> 00:05:21,600 obtenemos una matriz 3 por 1 y sería A1, 1 por B1 más A2, 1 por B2 más A3, 1 por B3. 44 00:05:21,600 --> 00:05:35,600 Ese sería el primer elemento de esa matriz columna, el segundo multiplicando cada uno de los elementos de la segunda fila por esta matriz columna y el tercero multiplicando cada uno de estos elementos por esta matriz columna. 45 00:05:35,600 --> 00:05:46,490 Bien, si multiplicamos, bueno, lo que hemos hecho operando y igualando término a término 46 00:05:46,490 --> 00:05:50,910 Tenemos que x1 va a ser igual a este cociente 47 00:05:50,910 --> 00:05:54,329 Al primer elemento dividido por el valor del determinante 48 00:05:54,329 --> 00:05:56,949 El primer elemento de la matriz columna que habíamos obtenido 49 00:05:56,949 --> 00:05:59,990 Es el primer elemento de la matriz columna que hemos obtenido 50 00:05:59,990 --> 00:06:01,470 Partido por el valor del determinante 51 00:06:01,470 --> 00:06:06,350 La segunda incógnita, el segundo elemento de la matriz columna obtenida 52 00:06:06,350 --> 00:06:07,810 Partido por el valor del determinante 53 00:06:07,810 --> 00:06:12,089 Y el tercero, el tercer elemento de la matriz columna partido por el valor del determinante. 54 00:06:12,670 --> 00:06:21,310 Ahora bien, esto de aquí me recuerda muchísimo a la definición de la matriz de un determinante desarrollada por adjuntos. 55 00:06:22,050 --> 00:06:23,990 Entonces, ¿quién va a ser ese determinante? 56 00:06:23,990 --> 00:06:42,389 Pues fijaos, este determinante va a ser el que se forma sustituyendo en la matriz de coeficientes, sustituyendo la primera columna por la columna de términos independientes. 57 00:06:42,389 --> 00:06:57,550 Y si yo ahora desarrollase, imaginaos que aquí tengo B1, B2, B3, y yo ahora desarrollo ese determinante por adjuntos por la primera columna, sería primer elemento por el adjunto, que sería este determinante de aquí. 58 00:06:57,769 --> 00:07:00,629 Y ese determinante coincide con el adjunto de A1, A1. 59 00:07:00,930 --> 00:07:04,470 Segundo elemento por su adjunto, que es el adjunto de A2, A1. 60 00:07:04,689 --> 00:07:10,149 Y tercer elemento, el B3, por el adjunto, que sería el adjunto de A3, A1. 61 00:07:10,149 --> 00:07:19,689 Luego, si nos fijamos en la primera, tenemos el cociente, la primera incógnita se calcula como el cociente de los determinantes 62 00:07:19,689 --> 00:07:29,290 Primero el determinante que se forma sustituyendo en la matriz A la primera columna por la columna de términos independientes 63 00:07:29,290 --> 00:07:31,329 Y dividido por el determinante de A 64 00:07:31,329 --> 00:07:38,470 De la misma manera vamos a razonar las otras dos expresiones para X2 y para X3 65 00:07:38,470 --> 00:07:41,790 y a las tres expresiones se les conoce como fórmulas de Kramer. 66 00:07:42,410 --> 00:07:47,310 Es decir, X2 se va a formar como el cociente del determinante que se forma 67 00:07:47,310 --> 00:07:53,529 sustituyendo la segunda columna de A por la columna de términos independientes 68 00:07:53,529 --> 00:07:55,410 dividido por el valor del determinante de A. 69 00:07:55,910 --> 00:08:01,009 Y la tercera incógnita se resuelve como el cociente del determinante que se forma 70 00:08:01,009 --> 00:08:06,189 sustituyendo la tercera columna de A por la columna de términos independientes 71 00:08:06,189 --> 00:08:09,850 y dividido por el determinante de A. 72 00:08:14,759 --> 00:08:17,980 Generalizando, si un sistema en ecuaciones es de Cramer, 73 00:08:18,259 --> 00:08:24,000 si tenemos un sistema en ecuaciones de Cramer que cumple en ecuaciones en incógnitas 74 00:08:24,000 --> 00:08:29,839 y el determinante de matriz de coeficientes, el determinante de A, es distinto de 0, 75 00:08:30,399 --> 00:08:34,899 entonces existe una solución única y se obtiene mediante esos cocientes. 76 00:08:34,899 --> 00:08:40,820 es un determinante delta 1 partido determinante de A, determinante delta 2 partido determinante de A, 77 00:08:40,980 --> 00:08:43,519 en general, determinante delta n partido determinante de A. 78 00:08:43,860 --> 00:08:51,679 Donde ese determinante es delta I, es el determinante de la matriz que se obtiene al sustituir en la matriz de coeficientes 79 00:08:51,679 --> 00:08:57,580 la columna I por la columna de términos independientes. 80 00:08:58,159 --> 00:09:09,950 Bueno, resuelvo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. 81 00:09:09,950 --> 00:09:15,029 Si el sistema, comprobamos que es un sistema de Kramer 82 00:09:15,029 --> 00:09:19,230 La regla de Kramer nos resuelve rápidamente, de forma rápida, el sistema 83 00:09:19,230 --> 00:09:21,110 Entonces vamos a comprobar 84 00:09:21,110 --> 00:09:25,169 Para que sea un sistema de Kramer, tiene que cumplir 85 00:09:25,169 --> 00:09:28,529 Primero, que el número de incógnitas sea igual al número de ecuaciones, lo cumple 86 00:09:28,529 --> 00:09:34,029 Y segundo, que la matriz de los coeficientes tenga determinante distinto de 0 87 00:09:34,029 --> 00:09:39,049 Recordamos, la matriz de los coeficientes se formaba en la primera columna 88 00:09:39,049 --> 00:09:44,509 los coeficientes de la incógnita x, 2, 3, menos 2, en la segunda los coeficientes de 89 00:09:44,509 --> 00:09:51,129 la incógnita y, menos 3, 1, 1, y en la tercera los coeficientes de la incógnita z, 1, menos 90 00:09:51,129 --> 00:10:01,129 2, 3. Y además que existía la matriz columna que estaba formada por los coeficientes, los 91 00:10:01,129 --> 00:10:09,210 términos independientes, mejor dicho, que es 0, 2, o sea, 2 positivo menos 1, 0, 2 menos 92 00:10:09,210 --> 00:10:15,629 1. Vale, bueno, pues entonces nos faltaba comprobar que el determinante de A fuese distinto 93 00:10:15,629 --> 00:10:22,549 de 0 para poder afirmar que el sistema es de Kramer. Luego 2 menos 3, 1, 3, 1, menos 94 00:10:22,549 --> 00:10:38,269 2, menos 2, 1, 3, determinante, por Sarrus, 6, menos 12, vale, esperad, 6 menos 12, más 95 00:10:38,269 --> 00:10:51,210 3, más 2, más 4, y más 27, vale, 6 menos 12, menos 6, menos 6, más 3, menos 3, menos 96 00:10:51,210 --> 00:10:58,809 3 más 2, menos 1, más 4, 3, más 27, 30. Distinto de 0. Por tanto, este sistema es 97 00:10:58,809 --> 00:11:03,809 de Kramer. Pues la fórmula rápida, resolverlo por la regla de Kramer, que nos da directamente 98 00:11:03,809 --> 00:11:10,029 la solución de cada una de las incógnitas. x es el cociente, donde el denominador es 99 00:11:10,029 --> 00:11:16,049 el valor del determinante de los coeficientes, en este caso 30, y el numerador es el determinante 100 00:11:16,049 --> 00:11:21,929 que se forma sustituyendo la columna, o sea, sustituyendo en el determinante de A 101 00:11:21,929 --> 00:11:27,769 la columna de los coeficientes de esta incógnita, la columna de los coeficientes de la X 102 00:11:27,769 --> 00:11:35,529 por el término independiente y la columna de los coeficientes de la Y y de la Z queda igual. 103 00:11:35,529 --> 00:11:52,269 Vale, pues un treintaavo por cero, menos seis, más dos, más uno, cero, y más dieciocho. 104 00:11:52,269 --> 00:12:02,730 Es decir, un treintaavos por menos cuatro más uno, menos tres más dieciocho, quince. 105 00:12:03,549 --> 00:12:18,230 Igual quince treintaavos, simplificando, tres, no sé, podemos dividir entre cinco, sí, tres sextos, podemos dividir, hoy podríamos dividir entre quince, perdón, un medio, un medio. 106 00:12:18,230 --> 00:12:24,950 Bueno, la incógnita I se calcula como el cociente donde el denominador es el valor del determinante de A 107 00:12:24,950 --> 00:12:33,429 Y el numerador, el determinante que se forma a partir de A, sustituyendo la segunda columna por el término independiente 108 00:12:33,429 --> 00:12:40,789 2, 3, menos 2, 0, 2, menos 1, 1, menos 2, 3 109 00:12:40,789 --> 00:12:52,929 Luego un treintaavo que multiplica doce, cero, menos tres, más cuatro, menos cuatro y cero 110 00:12:52,929 --> 00:13:00,730 Venga, doce menos tres, nueve más cuatro, bueno y el cuatro menos cuatro se me va 111 00:13:00,730 --> 00:13:05,629 Luego nueve treintaavos simplificado, tres décimos 112 00:13:05,629 --> 00:13:13,509 Y Z se forma mediante el cociente donde he denominado el valor del determinante 113 00:13:13,509 --> 00:13:24,919 Y en el numerador a partir del determinante de A cambiando la tercera columna por la columna de términos independientes 114 00:13:24,919 --> 00:13:41,789 Luego me queda 1 treintaavos por sarrus, menos 2, más 12, 0, 0, menos 4 y menos 9. 115 00:13:43,049 --> 00:13:55,590 Haciendo las operaciones, menos 2 más 12, 10, menos 4, 6, menos 9, menos 3, menos 3 treintaavos, menos 1 décimo. 116 00:13:55,590 --> 00:14:05,470 Luego la solución de este sistema sería x igual a 1 medio igual a 3 décimos, z igual a menos 1 décimo.