1
00:00:02,609 --> 00:00:09,509
Hola chicos, vamos a ver cómo se puede aplicar las inequaciones de segundo grado al cálculo de dominios.

2
00:00:10,150 --> 00:00:15,789
Aquí tenemos una función dada por una raíz cuadrada de un polinomio de grado 2.

3
00:00:16,449 --> 00:00:18,750
Vamos a ver cuál sería el dominio de esta función.

4
00:00:19,489 --> 00:00:25,489
No pretendemos calcular, no pretendemos dibujarla ni saber cómo es la gráfica,

5
00:00:25,489 --> 00:00:32,289
pero sí que vamos a ver en qué partes de x, en qué intervalos de la x existe función.

6
00:00:32,609 --> 00:00:43,590
Puesto que como es una raíz cuadrada, no existirá donde la parábola del interior, la parábola del radicando, pues salga negativa.

7
00:00:43,630 --> 00:00:54,210
El valor de las x que hagan negativos el x cuadrado menos 3x menos 10, pues no podrán calcularse, por tanto no pertenecerán al dominio.

8
00:00:54,210 --> 00:01:02,909
Esos valores de x, como hacen negativa la frábola, pues no se podrán calcular la raíz cuadrada, por tanto, no pertenecerá al dominio.

9
00:01:03,329 --> 00:01:05,170
Y por ahí la función no existirá.

10
00:01:06,049 --> 00:01:06,849
Pues vamos a ello.

11
00:01:07,390 --> 00:01:13,829
Lo que pretendemos es ver dónde el x cuadrado menos 3x menos 10 es mayor o igual que 0.

12
00:01:14,409 --> 00:01:21,969
Cogemos el igual a 0, puesto que la raíz de 0 también existe, con lo cual nos valen los valores de x que anulen al polinomio.

13
00:01:21,969 --> 00:01:25,409
Y queremos que sea positivo, positivo o cero.

14
00:01:26,569 --> 00:01:32,129
Vale, para ver el signo, primero lo que hacemos es buscar los ceros o raíces del polinomio,

15
00:01:32,629 --> 00:01:38,409
que van a ser los puntos que cumplan esta ecuación, las x que cumplan esta ecuación.

16
00:01:39,530 --> 00:01:47,930
Entonces, aplicamos la fórmula de segundo grado, menos b, más 3, menos, más menos raíz cuadrada,

17
00:01:47,930 --> 00:01:59,689
de 3 al cuadrado, menos 4a por c, 4a, 1 por c, menos 10, partido 2 por a.

18
00:02:01,030 --> 00:02:09,590
Esto vale 3 más menos raíz cuadrada de 49, porque tengo 9 más 40, menos 4 por menos 10, 40.

19
00:02:11,069 --> 00:02:14,430
Y entonces tenemos aquí 3 más menos 7, partido por 2.

20
00:02:14,430 --> 00:02:30,069
Tenemos un primer valor que sería 3 más 7, 10 medios, que es 5, y otro segundo valor que sería 3 menos 7 menos 4 partido por 2, menos 4 partido por 2, que es menos 2.

21
00:02:31,110 --> 00:02:43,150
Por tanto, nuestros valores que anulan la parábola son el x igual a 5 y el x igual a menos 2.

22
00:02:43,150 --> 00:02:54,129
Vale, pues ahora nos disponemos a dibujar la recta real del eje x y dibujamos la posición del menos 2,

23
00:02:56,409 --> 00:03:00,830
este sería el 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y el 5.

24
00:03:01,889 --> 00:03:09,710
Estos valores dividen a la recta del eje x en tres zonas, la zona desde menos infinito hasta menos 2,

25
00:03:09,849 --> 00:03:12,770
desde menos 2 hasta 5 y desde 5 hasta infinito.

26
00:03:13,770 --> 00:03:25,849
Bueno, pues vamos a ver el signo que tiene nuestro polinomio para x igual a valores que estén entre menos infinito y menos 2, por ejemplo, el menos 3.

27
00:03:26,669 --> 00:03:32,229
Y entonces sustituimos el menos 3 donde esté la x de nuestra parábola.

28
00:03:34,810 --> 00:03:41,389
¿Veis dónde está la x? Aquí y aquí hemos sustituido el menos 3 con paréntesis puesto que es negativo.

29
00:03:41,389 --> 00:03:47,849
Y aquí nos sale un 9, aquí nos salen menos por menos más, 3 por 3, 9, y menos 10.

30
00:03:48,030 --> 00:03:51,750
Y esto nos sale 18 menos 10, sale mayor que 0 positivo.

31
00:03:52,449 --> 00:04:01,069
Positivo, por tanto, en esta zona, desde menos infinito hasta menos 2, la parábola o el polinomio de grado 2 es positivo.

32
00:04:01,969 --> 00:04:04,949
Ahora vamos a estudiar desde menos 2 hasta 5.

33
00:04:05,090 --> 00:04:08,210
Probamos un valor que esté entre menos 2 y 5.

34
00:04:08,990 --> 00:04:15,009
Por ejemplo, el 0. El 0 sería el más fácil, aunque podemos sustituir cualquier valor en la parábola.

35
00:04:15,550 --> 00:04:21,509
Así que 0 al cuadrado menos 3 por 0 menos 10, ¿veis? Donde está la x hemos puesto un 0.

36
00:04:21,509 --> 00:04:28,709
Y calculamos y sale 0, menos 0 y menos 10. Y claramente es menor que 0, negativo.

37
00:04:29,709 --> 00:04:34,350
Así que aquí, en este intervalo, la parábola vale valores negativos.

38
00:04:34,350 --> 00:04:37,990
después pasa por 0

39
00:04:37,990 --> 00:04:40,310
en el 5 pasa por el valor 0

40
00:04:40,310 --> 00:04:41,509
cuando la x es 5

41
00:04:41,509 --> 00:04:43,170
y volverá a valer positivo

42
00:04:43,170 --> 00:04:44,290
pero vamos a comprobarlo

43
00:04:44,290 --> 00:04:47,689
la x la sustituimos por un valor

44
00:04:47,689 --> 00:04:49,490
que esté entre 5 e infinito

45
00:04:49,490 --> 00:04:51,509
y entre 5 e infinito sería

46
00:04:51,509 --> 00:04:53,389
por ejemplo el 6

47
00:04:53,389 --> 00:04:55,990
6 al cuadrado menos 3 por 6

48
00:04:55,990 --> 00:04:56,850
menos 10

49
00:04:56,850 --> 00:04:59,930
y nos vale 36 menos 18

50
00:04:59,930 --> 00:05:01,069
menos 10

51
00:05:01,069 --> 00:05:03,850
aquí nos queda un 18 menos 10

52
00:05:03,850 --> 00:05:13,889
positivo, mayor que cero. Por tanto, en esta zona de las x la parábola es positiva. Entonces

53
00:05:13,889 --> 00:05:19,069
ahora, ¿dónde está nuestra solución? Pues nuestra solución está en los valores de

54
00:05:19,069 --> 00:05:29,110
x que hacen positivo el radicando, que es la parábola. Todo esto, toda esta zona y

55
00:05:29,110 --> 00:05:34,649
toda esta zona, y ahora miramos a ver si nos vale el 5 y el menos 2, que si nos vale, puesto

56
00:05:34,649 --> 00:05:40,790
que son justo los puntos que anulan al polinomio de grado 2, y como me vale el igual a 0, puesto

57
00:05:40,790 --> 00:05:47,290
que las raíces de 0 existen, pues cogemos el 5 y cogemos el menos 2, así que la solución

58
00:05:47,290 --> 00:05:58,069
sería, solución, las x que pertenecen a, desde menos infinito hasta menos 2, incluido,

59
00:05:58,069 --> 00:06:04,990
unión incluido el 5 hasta infinito y habríamos terminado porque esto es justo el dominio

60
00:06:04,990 --> 00:06:11,670
lo podemos poner como dominio de f es igual a menos infinito hasta menos 2 cerrado

61
00:06:11,670 --> 00:06:15,370
unión desde 5 hasta infinito abierto

62
00:06:15,370 --> 00:06:23,800
vamos a estudiar el dominio de esta función que es una raíz cuadrada de un polinomio de grado 2

63
00:06:23,800 --> 00:06:35,120
Y como siempre, el dominio de las raíces, pues tienen que ser las x que hacen que este polinomio sea mayor o igual que cero.

64
00:06:37,579 --> 00:06:43,639
Porque ya sabéis que las raíces se pueden calcular cuando lo de dentro es positivo.

65
00:06:43,759 --> 00:06:50,980
Las raíces cuadradas, las raíces cuartas, las raíces de índice par, solo existen cuando el radicando es positivo o cero.

66
00:06:50,980 --> 00:06:58,310
Por eso las soluciones de esta inequación son las soluciones de nuestro dominio.

67
00:06:59,430 --> 00:07:02,110
Vale, pues entonces lo que vamos a hacer ahora es estudiar, como siempre,

68
00:07:02,709 --> 00:07:05,430
dónde se anula exactamente el polinomio.

69
00:07:06,410 --> 00:07:13,610
Y el polinomio es un polinomio de grado 2 incompleto.

70
00:07:13,790 --> 00:07:17,730
Por tanto, lo que hacemos en este caso es sacar la x factor común, si os acordáis.

71
00:07:18,730 --> 00:07:21,129
3 menos x, x factor común.

72
00:07:21,129 --> 00:07:35,149
Por tanto, nos sale que una x es 0 y la otra x es, igualando esto a 0, pues 3 menos x igual a 0, 3 igual a x.

73
00:07:35,350 --> 00:07:39,490
Pasando la x para el otro lado, por tanto, la otra raíz sería 3.

74
00:07:40,230 --> 00:07:42,490
Tenemos raíz 0 y 3.

75
00:07:42,490 --> 00:08:06,870
Vale, pues ahora hacemos la recta real del eje x y dibujamos el 0 y el 3 y nos divide a la recta real del eje x en tres zonas, desde menos infinito hasta 0, desde 0 hasta 3 y desde 3 hasta infinito.

76
00:08:06,870 --> 00:08:12,490
y ahora vamos a probar el signo que tiene el polinomio de grado 2

77
00:08:12,490 --> 00:08:19,350
vamos a ver el signo que tiene dentro de los tres intervalos que tenemos

78
00:08:19,350 --> 00:08:23,889
bueno, la semirrecta desde menos infinito a cero, desde cero hasta tres y desde tres hasta infinito

79
00:08:23,889 --> 00:08:28,110
vale, para eso cogemos un punto que esté en este intervalo

80
00:08:28,110 --> 00:08:32,149
desde menos infinito hasta cero, podemos por ejemplo coger el menos uno

81
00:08:32,149 --> 00:08:41,330
Y lo sustituimos en la x del polinomio de segundo grado, por menos 1 menos menos 1 al cuadrado.

82
00:08:41,509 --> 00:08:45,370
Recordad que hay que sustituir la x cuando es menos 1 con paréntesis.

83
00:08:45,809 --> 00:08:49,730
Donde está la x hemos puesto un menos 1 y todo lo demás igual.

84
00:08:50,129 --> 00:08:52,110
Fijaros que hay que tener mucho cuidado con los signos.

85
00:08:53,330 --> 00:09:00,169
3 por menos 1 sería menos 3 y luego aquí hay que hacer primero el cuadrado, sería menos menos 1 al cuadrado es 1.

86
00:09:01,169 --> 00:09:04,210
Por tanto, esto queda menos 4, es decir, negativo.

87
00:09:04,970 --> 00:09:07,570
Como sale negativo, esta parte es negativa.

88
00:09:09,759 --> 00:09:12,639
Ahora vamos a coger un punto que esté entre el 0 y el 3.

89
00:09:12,639 --> 00:09:17,360
No nos vale ni el 3 ni el 0 porque justo ahí el polinomio vale 0 y ya lo sabemos.

90
00:09:18,059 --> 00:09:20,659
Entonces, por ejemplo, podemos coger el 1 o cualquiera.

91
00:09:21,720 --> 00:09:24,500
Pero siempre nos interesa más coger valores enteros, claro.

92
00:09:25,159 --> 00:09:26,399
Y el 1 sería el más fácil.

93
00:09:27,039 --> 00:09:29,419
Sustituimos el 1 en la x del polinomio.

94
00:09:29,419 --> 00:09:34,100
3 por 1 menos 1 al cuadrado

95
00:09:34,100 --> 00:09:37,120
calculamos, nos sale 3 menos 1

96
00:09:37,120 --> 00:09:39,259
y esto sale un 2 que es mayor que 0

97
00:09:39,259 --> 00:09:41,700
es decir, positivo

98
00:09:41,700 --> 00:09:45,039
nuestra parábola, nuestro polinomio de grado 2

99
00:09:45,039 --> 00:09:47,720
es positivo en este intervalo, desde 0 hasta 3

100
00:09:47,720 --> 00:09:50,539
ahora en 3 cambiaría de signo otra vez

101
00:09:50,539 --> 00:09:52,960
y pasaría a ser negativo, pero vamos a comprobarlo

102
00:09:52,960 --> 00:09:55,620
cogiendo un valor que esté más allá del 3

103
00:09:55,620 --> 00:09:58,399
desde 3 hasta infinito, por ejemplo, el 4

104
00:09:58,399 --> 00:10:03,100
3 por 4 menos 4 al cuadrado

105
00:10:03,100 --> 00:10:05,840
Hemos sustituido la x por un 4

106
00:10:05,840 --> 00:10:12,700
Y estamos ahora calculando y sale 12 menos 16 menos 4

107
00:10:12,700 --> 00:10:14,059
Es decir, negativo

108
00:10:14,059 --> 00:10:17,759
Por tanto, en esta zona es negativo nuestro polinomio

109
00:10:17,759 --> 00:10:21,080
Bueno, pues ya sabemos qué zona nos interesa

110
00:10:21,080 --> 00:10:23,019
Nos interesa la zona, ¿verdad?

111
00:10:23,519 --> 00:10:28,000
Donde el polinomio, es decir, el radicando de nuestra función

112
00:10:28,000 --> 00:10:38,360
el radicando es positivo y también nos valen los ceros, así que la zona que nos interesa es toda esta, incluido el 3, incluido el 0.

113
00:10:39,059 --> 00:10:45,000
Ese sería el resultado de la inequación y por tanto también el dominio de nuestra función.

114
00:10:45,940 --> 00:10:55,879
El dominio de la función original es desde 0 incluido hasta 3 incluido y ya estaría.

115
00:10:55,879 --> 00:11:01,539
Este sería el dominio, esta función solo existe desde 0 hasta 3

116
00:11:01,539 --> 00:11:09,919
Veamos ahora el dominio de esta función

117
00:11:09,919 --> 00:11:15,980
Resulta que como es la raíz cuadrada de un polinomio de grado 2

118
00:11:15,980 --> 00:11:25,559
Pues al ser raíz cuadrada par tenemos que ver cuando esto, el polinomio, lo de dentro es mayor o igual que 0

119
00:11:25,559 --> 00:11:26,220
Como siempre

120
00:11:26,220 --> 00:11:36,419
Para ver el signo de esta parábola tenemos que ver dónde cambia de signo, que es donde se anula

121
00:11:36,419 --> 00:11:42,659
Entonces intentamos resolver esta ecuación de segundo grado que es incompleta

122
00:11:42,659 --> 00:11:47,340
Y se hace despejando el x al cuadrado

123
00:11:47,340 --> 00:11:53,539
Al despejar x al cuadrado nos damos cuenta de que no podemos calcular la raíz cuadrada de menos 1

124
00:11:53,539 --> 00:11:55,279
Porque no existe

125
00:11:56,279 --> 00:11:59,580
Por tanto, esta ecuación de aquí no tiene solución.

126
00:12:01,100 --> 00:12:02,240
¿Qué significa esto?

127
00:12:02,399 --> 00:12:06,940
Pues significa que la parábola no toca nunca al eje x.

128
00:12:07,600 --> 00:12:09,940
Está siempre o por encima o por debajo.

129
00:12:10,700 --> 00:12:13,919
Es decir, que su signo es siempre el mismo.

130
00:12:14,559 --> 00:12:17,139
O es siempre positiva o es siempre negativa.

131
00:12:18,120 --> 00:12:22,559
Porque nunca corta al eje x, nunca vale cero de altura, ¿verdad?

132
00:12:22,559 --> 00:12:26,299
Nunca el valor de x al cuadrado más 1 vale 0.

133
00:12:27,059 --> 00:12:30,399
Entonces, ¿cómo sabemos que es toda positiva o toda negativa?

134
00:12:31,419 --> 00:12:35,919
Pues nos fijamos en el coeficiente principal, el coeficiente principal de la parábola,

135
00:12:36,539 --> 00:12:38,940
que es el 1 que hay delante del x al cuadrado, ¿verdad?

136
00:12:39,820 --> 00:12:45,799
Ese coeficiente que es positivo nos indica que la parábola tiene ramas hacia arriba, es de este estilo,

137
00:12:45,799 --> 00:12:51,600
y por tanto, pues mira para arriba, ¿verdad?

138
00:12:51,600 --> 00:12:57,340
Y como sabemos que no corta al eje x, pues está siempre por encima de él.

139
00:12:58,179 --> 00:13:01,539
Esta concretamente, bueno, pues es simétrica, ¿verdad?, respecto del eje y.

140
00:13:02,740 --> 00:13:08,620
Pero sabemos que al no cortar, ¿verdad?, al eje x, pues es siempre positiva.

141
00:13:08,779 --> 00:13:13,519
Porque si tuviera las ramas hacia abajo, pues no podría estar por encima, estaría por debajo.

142
00:13:14,340 --> 00:13:14,700
¿Verdad?

143
00:13:15,200 --> 00:13:20,919
Así que el hecho de que el coeficiente principal de x al cuadrado sea 1 mayor que 0,

144
00:13:21,600 --> 00:13:27,799
El a es mayor que cero, pues nos indica que la parábola es sonriente, ¿verdad? Por decirlo de alguna forma.

145
00:13:28,600 --> 00:13:36,139
Así que x al cuadrado más uno siempre es positivo.

146
00:13:38,879 --> 00:13:39,940
Ni siquiera cero, ¿verdad?

147
00:13:40,419 --> 00:13:46,940
Así que si siempre es positivo, ni siquiera cero, eso significa que todos los valores de x nos valdrán.

148
00:13:48,399 --> 00:13:50,840
Porque nunca se anula y nunca vale cero.

149
00:13:51,659 --> 00:13:53,240
Nunca es negativo tampoco.

150
00:13:53,240 --> 00:13:59,659
Así que dominio de nuestra función original es todo R, sin ningún problema.

151
00:14:01,259 --> 00:14:07,860
Veamos ahora otro ejemplo, quizá también límite.

152
00:14:08,840 --> 00:14:19,340
Pongamos por ejemplo esta parábola, la raíz cuadrada de esta parábola.

153
00:14:19,679 --> 00:14:20,679
Vamos a ver qué ocurre aquí.

154
00:14:20,860 --> 00:14:27,220
Pues como siempre tenemos que estudiar cuando lo de dentro, el radicando, es mayor o igual que cero.

155
00:14:27,220 --> 00:14:40,299
Y esta ya es una parábola, ¿verdad? Completa. Así que vamos a buscar los puntos donde cambia de signo, que es justo donde se anula, ¿verdad? Y utilizamos la fórmula de segundo grado.

156
00:14:40,299 --> 00:14:50,860
Menos b, más menos raíz cuadrada de b al cuadrado, menos 4 por a y por c, partido 2 por a.

157
00:14:52,100 --> 00:15:03,480
Nos queda aquí un 0, porque es 16 menos 16, 0, partido por 2, menos 4 partido por 2.

158
00:15:03,480 --> 00:15:13,700
Solo hay una, ¿verdad? Porque sería más cero y menos cero. Así que tenemos que tenemos el menos cuatro partido por dos, que es menos dos.

159
00:15:14,759 --> 00:15:23,960
Cuando tenemos una raíz única en un polinomio de grado dos, ¿verdad? Sabemos que se dice que es doble, ¿verdad? Porque está dos veces el factor.

160
00:15:23,960 --> 00:15:38,960
Es decir, este polinomio realmente era una igualdad notable. Era x al cuadrado más 4x más 4 viene del binomio x más 2 al cuadrado.

161
00:15:38,960 --> 00:16:02,570
Bueno, pues si os fijáis, lógicamente este polinomio es un cuadrado y por tanto va a ser siempre positivo, aunque tiene el caso del 0 exactamente en menos 2, pero siempre será positivo porque solamente toca al 0 en un punto.

162
00:16:02,570 --> 00:16:09,590
la parábola esta es algo así como esto

163
00:16:09,590 --> 00:16:17,600
toca justo en un punto, es tangente al eje X en el menos 2

164
00:16:17,600 --> 00:16:22,700
así que esta parábola siempre es positiva

165
00:16:22,700 --> 00:16:27,240
lo vemos porque solo tiene un punto de corte con el eje X

166
00:16:27,240 --> 00:16:32,240
y entonces lo de dentro siempre va a ser positivo o cero

167
00:16:32,240 --> 00:16:36,759
y como el cero también nos vale, pues el dominio es todo R

168
00:16:36,759 --> 00:16:41,419
¿Vale? Otra vez, todas, sin problemas.

169
00:16:41,419 --> 00:16:57,500
El estudio de este dominio, de esta función, es bastante fácil porque simplemente tenemos una raíz cuadrada de un polinomio de grado 1

170
00:16:57,500 --> 00:17:08,880
y, bueno, lo único que como está en el denominador, ¿verdad?, está en una fracción y abajo tenemos la raíz, pues no se podrá anular la raíz.

171
00:17:08,880 --> 00:17:15,539
Es decir, porque la raíz de 0 es 0, pero claro, al dividir por 0, pues no nos valdría.

172
00:17:16,359 --> 00:17:22,420
Con lo cual, tenemos que ver cuándo x menos 7 es mayor que 0.

173
00:17:23,099 --> 00:17:28,900
Por la raíz no habría problema a la hora del igual, pero por ser denominador no nos vale.

174
00:17:29,619 --> 00:17:35,000
Por tanto, simplemente las soluciones de esta inequación serían las soluciones del dominio de esta función.

175
00:17:35,000 --> 00:17:44,440
Y simplemente, como es de primer grado, tendríamos que despejar la x, que con un pasito de nada ya se despeja y ya nos sale directamente el dominio.

176
00:17:44,680 --> 00:17:55,200
El dominio de esta función sería todas las x que están entre 7 y el infinito, que son los mayores de 7, ¿veis?

177
00:17:55,339 --> 00:18:01,319
Y no nos vale el 7, por tanto, abierto. Y los infinitos abiertos también. Así que sería así de fácil.

178
00:18:01,859 --> 00:18:13,279
El dominio de esta otra función es muy fácil porque si os dais cuenta, como es raíz cúbica de índice impar,

179
00:18:13,880 --> 00:18:16,880
pues no nos importa que lo de dentro de la raíz sea negativa.

180
00:18:17,700 --> 00:18:27,819
Entonces a la hora de calcular el dominio nos da igual que la parábola, el polinomio de grado 2 que hay aquí, pueda valer negativo.

181
00:18:27,819 --> 00:18:32,039
porque la raíz cúbica de valores negativos sí que existen

182
00:18:32,039 --> 00:18:37,559
así que el dominio de esta función directamente es todo R, no hay ningún problema.