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00:00:12,339 --> 00:00:17,480
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,480 --> 00:00:21,800
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,800 --> 00:00:33,399
de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,399 --> 00:00:37,240
el interés simple y resolveremos los ejercicios propuestos del 2 al 4.

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00:00:38,280 --> 00:00:52,729
En la traducción teórica de esta sección vemos que un prestamista cede un cierto capital

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00:00:52,729 --> 00:00:57,909
la inicial c mayúscula subi a un prestatario. Prestamista y prestatario habitualmente se refiere

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00:00:57,909 --> 00:01:02,789
a personas. Una persona presta un dinero a otra. Tengo un prestamista que hace un préstamo a un

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00:01:02,789 --> 00:01:08,549
prestatario. Dentro del mundo bancario esto también ocurre. Puede ser que nosotros vayamos a un banco

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00:01:08,549 --> 00:01:14,730
y depositamos en él una cierta cantidad de dinero. En ese caso nosotros somos el equivalente al

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00:01:14,730 --> 00:01:19,769
prestamista y al realizar el depósito estamos haciendo un préstamo y el banco sería el

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00:01:19,769 --> 00:01:26,049
prestatario. De todas las maneras, tanto entre personas como una persona o un banco, una vez

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00:01:26,049 --> 00:01:32,090
vencido el préstamo, transcurridos de años, puesto que vamos a pensar en años naturales, el prestatario

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00:01:32,090 --> 00:01:37,810
lo que va a hacer es devolver el capital inicial junto con un cierto interés al prestamista. El

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00:01:37,810 --> 00:01:42,469
dato que vamos a utilizar para poder calcular ese interés es un cierto interés simple anual

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00:01:42,469 --> 00:01:48,549
porcentual, R mayúscula, en tanto por ciento. Como habíamos mencionado en la video clase anterior,

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00:01:48,549 --> 00:01:52,829
hablando de aumentos y disminuciones porcentuales, aunque sea habitual que a nosotros se nos den

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00:01:52,829 --> 00:01:57,969
como datos porcentajes, va a ser mucho más útil trabajar con tantos por uno. Y en este caso,

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00:01:58,090 --> 00:02:03,629
este porcentaje expresado como tanto por uno se denomina rédito. Será este porcentaje dividido

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00:02:03,629 --> 00:02:10,389
entre 10. ¿Por qué hablamos de interés simple? Bueno, pues porque el interés que se va generando

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00:02:10,389 --> 00:02:17,389
año tras año no va a acumularse al capital para generar a su vez más intereses. Digamos que

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00:02:17,389 --> 00:02:21,229
transcurrido el primer año se generan los intereses del primer año y quedan apartados.

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00:02:21,930 --> 00:02:26,169
Transcurrido el segundo año se vuelven a generar los intereses del segundo año y quedan apartados

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00:02:26,169 --> 00:02:32,229
junto con los anteriores. Y al final del proceso, transcurridos tres años, obtendremos el capital

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00:02:32,229 --> 00:02:38,669
inicial y todos los intereses de cada uno de esos años. Pero los intereses calculados año tras año

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00:02:38,669 --> 00:02:43,770
se corresponden únicamente con el capital inicial prestado. Vamos a verlo ahora mismo con las

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00:02:43,770 --> 00:02:50,500
expresiones que vamos a desarrollar. Transcurrido el primer año, ¿cómo calculamos los intereses?

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00:02:50,620 --> 00:02:56,539
Bueno, pues se trata del R% del capital inicial. Podemos calcular ese interés transcurrido un año

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00:02:56,539 --> 00:03:03,340
sin más que multiplicar la cantidad inicial por el rédito. Equivale al porcentaje dividido entre

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00:03:03,340 --> 00:03:10,479
10. Ese interés transcurrido un año queda apartado. Transcurrido un segundo año se vuelven a devengar

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00:03:10,479 --> 00:03:15,460
de intereses y se calcularían de la misma manera. Se corresponde con el interés habiendo transcurrido

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00:03:15,460 --> 00:03:22,439
un año. Sería una vez más el capital inicial por el rédito. Quedan apartados. Transcurrido el tercer

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00:03:22,439 --> 00:03:27,719
año se le vengan nuevos intereses. Se calculan una vez más a partir del capital inicial. Capital

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00:03:27,719 --> 00:03:33,199
inicial por el rédito. Quedan apartados. Cuando han transcurrido t años, que es el tiempo que

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00:03:33,199 --> 00:03:40,159
estamos suponiendo que queda vivo el préstamo, el momento en el que vence es transcurridos t años,

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00:03:40,479 --> 00:04:03,560
Lo que ha ocurrido es que se han generado la misma cantidad de intereses, capital inicial por rédito, T años, T veces. El interés total se puede calcular multiplicando este interés obtenido tras un año por el número de años por T. O bien, se podría calcular multiplicando capital inicial por rédito y por el tiempo, por el número de años que permanece vivo el préstamo.

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00:04:04,139 --> 00:04:06,680
¿Cómo se calcula el capital final obtenido?

37
00:04:07,240 --> 00:04:11,740
Prestado un capital inicial, obtengo un capital final que no coincide con el capital inicial,

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00:04:12,080 --> 00:04:17,360
sino que será el capital inicial más los intereses totales, los obtenidos tras los T años.

39
00:04:18,000 --> 00:04:24,399
Si nosotros sumamos capital inicial más esta fórmula que tenemos aquí, capital inicial por rédito y por tiempo,

40
00:04:24,899 --> 00:04:29,360
vemos que tenemos una expresión en la que podemos sacar factor común el capital inicial.

41
00:04:29,879 --> 00:04:33,360
Factor común del factor 1 más el rédito por el tiempo.

42
00:04:33,560 --> 00:04:41,000
Así, podemos calcular el capital final que se obtiene al prestar un cierto capital inicial de años con un rédito R,

43
00:04:41,339 --> 00:04:47,720
sin más que multiplicar capital inicial por el factor 1 más el rédito por el tiempo, el tiempo medido en años.

44
00:04:50,410 --> 00:04:53,230
El primer ejemplo que podemos ver aquí es muy directo.

45
00:04:53,389 --> 00:04:57,350
En este ejercicio 2 se nos pide que calculemos el capital final obtenido

46
00:04:57,350 --> 00:05:03,509
tras depositar una cantidad de 1.300 euros al 3,5% anual de interés simple durante 4 años.

47
00:05:03,509 --> 00:05:10,649
Lo primero que podemos hacer sería calcular el interés anual, el interés que se obtiene transcurrido cada uno de los años.

48
00:05:11,509 --> 00:05:20,709
Este se calcula multiplicando el capital inicial por el rédito, 1.300 por 0,035, que es el tanto por uno al que equivale este 3,5% anual,

49
00:05:21,350 --> 00:05:25,470
y vemos que cada año se van a obtener 45,5 euros como interés.

50
00:05:26,290 --> 00:05:31,449
Transcurridos cuatro años, el interés que se va a obtener va a ser este multiplicado por cuatro,

51
00:05:31,449 --> 00:05:36,490
Puesto que en el caso del interés simple, los intereses anuales son siempre iguales.

52
00:05:36,850 --> 00:05:42,810
Multiplicamos 45,5 por 4 y vemos que el interés total que se obtendrá va a ser 182 euros.

53
00:05:43,290 --> 00:05:47,750
¿Cuál será el capital final obtenido? Pues será la suma del capital inicial.

54
00:05:47,930 --> 00:05:55,189
Aquí tenemos 1300 euros más estos intereses totales, 182 euros. En total, 1482 euros.

55
00:05:56,250 --> 00:06:00,910
Esto lo podríamos haber hecho directamente utilizando la fórmula que hemos visto anteriormente.

56
00:06:00,910 --> 00:06:07,149
Podríamos saber directamente, haber calculado capital final como capital inicial por el factor 1 más R por T.

57
00:06:07,629 --> 00:06:12,589
Obtendríamos directamente, en un solo paso, ese mismo valor, 1.482 euros.

58
00:06:15,209 --> 00:06:24,569
Como un segundo ejemplo, se nos dice que por una inversión de 5.000 euros durante 7 años en teres simple, Manuel ha recibido en total 7.345 euros.

59
00:06:25,189 --> 00:06:30,430
Y se nos pregunta cuál es el rédito que ha proporcionado esta inversión expresado como porcentaje.

60
00:06:30,430 --> 00:06:34,389
Aunque nosotros calculemos el rédito en tanto por uno, se nos pide por el porcentaje.

61
00:06:35,209 --> 00:06:39,550
Bien, lo primero que vamos a hacer es calcular el interés total producido

62
00:06:39,550 --> 00:06:44,550
viendo cuál es la diferencia entre el capital final, estos 7.345 euros,

63
00:06:44,670 --> 00:06:46,670
y el capital inicial, 5.000 euros.

64
00:06:47,269 --> 00:06:51,930
Haciendo esta resta vemos que el interés generado durante estos siete años

65
00:06:51,930 --> 00:06:54,889
ha sido de 2.345 euros.

66
00:06:55,509 --> 00:06:58,490
Para poder calcular el rédito en tanto por uno de momento,

67
00:06:58,490 --> 00:07:02,750
lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula para el interés que habíamos visto anteriormente.

68
00:07:03,230 --> 00:07:07,350
Si el interés se puede calcular como el capital inicial por el rédito y por el tiempo,

69
00:07:07,750 --> 00:07:12,889
el rédito se puede despejar pasando este capital inicial y este tiempo dividiendo al otro miembro

70
00:07:12,889 --> 00:07:15,910
como el interés entre el capital inicial y el tiempo.

71
00:07:16,550 --> 00:07:23,670
Dividiendo el interés 2.345 euros entre el capital inicial 5.000 euros y el tiempo 7 años,

72
00:07:23,670 --> 00:07:28,889
lo que obtenemos para el rédito, en tanto por 1, insisto, es el valor 0,067.

73
00:07:29,589 --> 00:07:34,269
Dado que se nos pide expresamente este rédito en forma de porcentaje, multiplicaremos por 100

74
00:07:34,269 --> 00:07:39,610
y vemos que ese rédito expresado como porcentaje es el 6,7%.

75
00:07:39,610 --> 00:07:46,930
En todo lo que hemos visto hasta este momento, los intereses se generan, se dice que se devengan anualmente,

76
00:07:47,050 --> 00:07:48,970
esto es, al final de cada año.

77
00:07:49,329 --> 00:07:54,430
Pero podría ser que no fuera el caso, sino que los intereses se fueran generando con una periodización más corta.

78
00:07:55,089 --> 00:08:04,329
Podría ser que se generaran semestralmente dos veces al año, podría ser que se generaran cuatrimestralmente tres veces al año, trimestralmente cuatro veces al año.

79
00:08:04,670 --> 00:08:16,170
Los dos casos más habituales, aparte de la generación anual, serían mensualmente doce veces al año o diariamente, en cuyo caso vamos a considerar años de 365 días.

80
00:08:16,889 --> 00:08:19,670
¿Cómo podemos modificar la fórmula para el interés total?

81
00:08:19,850 --> 00:08:23,810
Para tener en cuenta que los intereses puede ser que se devengan no anualmente,

82
00:08:23,949 --> 00:08:26,810
sino n veces, n minúscula, veces cada año.

83
00:08:27,370 --> 00:08:31,649
Bien, si recordáis, la fórmula para el interés era capital inicial por rédito y por tiempo.

84
00:08:31,790 --> 00:08:33,350
Bien, tiempo en años.

85
00:08:33,889 --> 00:08:36,549
Lo que vamos a hacer es utilizar esta fórmula.

86
00:08:36,909 --> 00:08:41,070
Interés igual a capital inicial por rédito entre n,

87
00:08:41,070 --> 00:08:46,330
el rédito anual entre n, el número de veces que se devengan los intereses al año,

88
00:08:46,970 --> 00:08:52,470
y en lugar de t, número de años, lo que pondremos es t mayúscula, número de periodos devengados.

89
00:08:52,730 --> 00:08:57,370
En el caso en el que estuviéramos hablando de intereses que se devengan mensualmente,

90
00:08:57,450 --> 00:08:58,850
aquí pondremos el número de meses.

91
00:09:00,190 --> 00:09:03,889
Como ejemplo, para ver cómo funciona, vamos a considerar este ejercicio 4.

92
00:09:04,470 --> 00:09:09,129
Se nos dice que Sofía tiene 3.000 euros y que los va a invertir para conseguir los 3.500

93
00:09:09,129 --> 00:09:14,389
que va a necesitar para mejorar su negocio. Ha encontrado un préstamo personal con un

94
00:09:14,389 --> 00:09:20,269
rédito porcentual anual simple del 4,8% y se nos pregunta cuántos meses debe dejar

95
00:09:20,269 --> 00:09:24,870
Sofía el dinero invertido para conseguir esta cantidad, los 3.500 euros. ¿Cuántos

96
00:09:24,870 --> 00:09:29,970
meses, no cuántos años? Porque los intereses se van a devengar 12 veces al año, no una

97
00:09:29,970 --> 00:09:36,070
única vez. Para ello lo primero que vamos a hacer es calcular el interés. Vamos a calcular

98
00:09:36,070 --> 00:09:40,769
la diferencia entre el capital final 3.500 euros y el capital inicial 3.000 euros, como

99
00:09:40,769 --> 00:09:47,190
vemos aquí, y Sofía necesita que se genere un interés total de 500 euros. Para ver cuántos

100
00:09:47,190 --> 00:09:51,970
periodos, cuántos meses tienen que transcurrir para que se genere este interés, vamos a

101
00:09:51,970 --> 00:09:56,909
utilizar la fórmula que hemos discutido hace un momento. Interés igual a capital inicial

102
00:09:56,909 --> 00:10:02,269
por el rédito entre el número de periodos por el número de periodos necesarios, el

103
00:10:02,269 --> 00:10:07,809
número de periodos que tienen que transcurrir. En este caso, interés igual a capital inicial por

104
00:10:07,809 --> 00:10:14,529
rédito entre 12, puesto que los intereses se devengan 12 veces al año mensualmente, por T

105
00:10:14,529 --> 00:10:20,409
mayúscula, T número de meses que tienen que transcurrir. Tenemos interés en calcular T y lo

106
00:10:20,409 --> 00:10:26,289
que vamos a hacer es despejarlo. Vamos a pasar multiplicando al otro miembro este 12 y vamos a

107
00:10:26,289 --> 00:10:31,690
pasar dividiendo el capital inicial y el rédito. Obtenemos esta expresión y sustituyendo el interés

108
00:10:31,690 --> 00:10:45,269
500 euros, el capital inicial 3.000, 12 meses, que es el número de veces que se devengan los intereses en un año, y el rédito 0,048, obtenemos el valor 41,7.

109
00:10:46,549 --> 00:10:51,549
No podemos aceptar un número decimal de periodos, tenemos que poner un número entero.

110
00:10:51,990 --> 00:10:56,750
Y va a ser siempre el valor que obtengamos redondeando hacia arriba, siempre hacia arriba.

111
00:10:57,570 --> 00:11:03,769
Necesitamos que transcurran 42 meses para que se obtengan al menos 500 euros de interés.

112
00:11:04,309 --> 00:11:07,669
Estos 42 meses, por cierto, equivalen a 3 años y 6 meses.

113
00:11:07,669 --> 00:11:16,049
Así que Sofía necesita 3 años y medio para a partir de estos 3.000 euros conseguir intereses de 500 euros y en total conseguir 3.500.

114
00:11:19,309 --> 00:11:25,049
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

115
00:11:25,049 --> 00:11:29,909
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

116
00:11:29,909 --> 00:11:35,509
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

117
00:11:35,509 --> 00:11:37,409
Un saludo y hasta pronto