1 00:00:00,000 --> 00:00:10,000 Hola, vamos a resolver el ejercicio 82 de la página 198 de vuestro libro Anaya. 2 00:00:10,000 --> 00:00:16,000 Dice el ejercicio que los puntos A de coordenadas 0,0 y B de coordenadas 3,6 son dos puntos de 3 00:00:16,000 --> 00:00:25,000 la recta Y igual a 2X. C y D son los puntos de la recta 2X menos Y más 5 igual a 0, más 4 00:00:25,000 --> 00:00:32,000 cercanos a B y A respectivamente. Calcula el área del rectángulo A, B, C y D. 5 00:00:32,000 --> 00:00:42,000 Entonces, si nos fijamos, las dos rectas que nos dan, vamos a llamarlas por ejemplo R1 6 00:00:42,000 --> 00:00:56,000 que es Y igual a 2X, vamos a escribirlo de esta manera, y R2. Bueno, pues van a ser rectas 7 00:00:56,000 --> 00:01:08,000 donde contienen los puntos de este rectángulo que me dicen. Estas rectas contienen lados 8 00:01:09,000 --> 00:01:15,000 secantes. Rápidamente vemos que su forma implícita, que es la relación entre los 9 00:01:15,000 --> 00:01:32,000 coeficientes, es esta. Por tanto, estas rectas son paralelas. Con lo cual, ¿cuál es la 10 00:01:32,000 --> 00:01:39,000 situación en la que nos encontramos? Si aquí tenemos la recta R1 y aquí tenemos la recta 11 00:01:39,000 --> 00:01:53,000 R2 y el punto A es este punto y ese es el punto B, pues el rectángulo, teniendo en 12 00:01:54,000 --> 00:02:03,000 cuenta que los lados son perpendiculares, este va a ser el lado que va a contener, en 13 00:02:03,000 --> 00:02:12,000 este caso, como el punto más cercano al A es el C. Aquí tenemos al C y aquí vamos 14 00:02:12,000 --> 00:02:31,000 a contener a D. Dice que C es el más cercano a B, así que este es C y ese será el D. 15 00:02:31,000 --> 00:02:36,000 Vale, que lo estaba leyendo al revés. Bueno, entonces, ahí tenemos la situación. Y aquí 16 00:02:36,000 --> 00:02:40,000 está formándose un ángulo recto y aquí tenemos un ángulo recto. Por tanto, encontrar 17 00:02:40,000 --> 00:02:45,000 las ecuaciones de estas dos rectas, a las que vamos a llamar, por ejemplo, a este S1 18 00:02:45,000 --> 00:02:57,000 y a este S2, es relativamente fácil porque la recta S1 va a pasar por el punto A00 y 19 00:02:57,000 --> 00:03:04,000 ¿cuál va a ser su vector director? El vector director de la recta S1 es un vector perpendicular 20 00:03:04,000 --> 00:03:12,000 a la recta R1 y sí que conocemos el vector normal de R1 porque sabemos que tiene coordenadas 21 00:03:12,000 --> 00:03:18,000 2, menos 1 si nos fijamos en la ecuación en su forma implícita. Entonces, sabemos que 22 00:03:18,000 --> 00:03:25,000 su vector director, por ejemplo, vector director que vamos a utilizar es el vector 2, menos 23 00:03:25,000 --> 00:03:37,000 1. Y aquí, pues, por ejemplo, vamos a utilizar la ecuación continua, obtenemos que la ecuación 24 00:03:37,000 --> 00:03:46,000 es x más 2y, operando todo esto, sale x más 2y igual a cero. Por tanto, las coordenadas 25 00:03:46,000 --> 00:03:56,000 del vector D son la intersección de las rectas S1 con R2. Tenemos las ecuaciones, ¿no? Pues, 26 00:03:56,000 --> 00:04:07,000 venga, x más 2y igual a cero, la intersección con R2 y R2 es 2x menos y más 5 igual a cero. 27 00:04:07,000 --> 00:04:12,000 Esto se puede resolver, por ejemplo, por el método de reducción. Si multiplicamos, por 28 00:04:12,000 --> 00:04:21,000 ejemplo, por menos 2, esta ecuación nos queda menos 2x menos 4y igual a cero y aquí nos 29 00:04:21,000 --> 00:04:30,000 quedaría 2x menos y más 5 igual a cero. Sumando las dos ecuaciones, si me anula la 30 00:04:30,000 --> 00:04:37,000 componente en x y me quedaría menos 5y más 5 igual a cero, de lo cual obtenemos que la 31 00:04:37,000 --> 00:04:46,000 y vale 1 y después despejando la primera de las ecuaciones, la x, que me quedaría 32 00:04:46,000 --> 00:04:54,000 x igual a menos 2y, me quedaría menos 2. Es decir, las coordenadas del punto D son 33 00:04:54,000 --> 00:05:03,000 menos 2 y 1. Bien, vamos ahora a calcular la recta S2. Sabemos que pasa por el punto 34 00:05:04,000 --> 00:05:15,000 B de coordenadas 3, 6. Lo sabemos ahí, el punto S2 pasa por B36 y además tiene el mismo 35 00:05:15,000 --> 00:05:24,000 vector director normal a la recta R1 que hemos utilizado antes. Ecuación continua. Por ejemplo, 36 00:05:24,000 --> 00:05:31,000 utilizamos la ecuación continua y nos quedaría esto. Operando, la expresión de esta ecuación 37 00:05:31,000 --> 00:05:40,000 nos quedaría x más 2y menos 15 igual a cero. Así que este punto C es la intersección 38 00:05:40,000 --> 00:05:51,000 entre S2 con la recta R2. ¿Quién es S2? x más 2y menos 15 igual a cero. ¿Quién es 39 00:05:51,000 --> 00:06:05,000 R2? Pues R2 era 2x menos y más 5 igual a cero. Podemos aplicar de nuevo el método 40 00:06:05,000 --> 00:06:11,000 de reducción. Entonces, multiplicando por ejemplo por 2, la primera ecuación nos quedaría 41 00:06:11,000 --> 00:06:25,000 2x más 4y menos 2. Mejor vamos a multiplicar la de abajo por 2, perdón. Mejor. Entonces, 42 00:06:25,000 --> 00:06:33,000 a multiplicar esta por 2, que ya tiene signo negativo, me quedaría 4x menos 2y más 10 43 00:06:33,000 --> 00:06:41,000 y arriba nos estaba quedando x más 2y menos 15 igual a cero. Sumamos las dos ecuaciones 44 00:06:41,000 --> 00:06:49,000 y nos queda 5x menos 5 igual a cero, lo que nos lleva a que la x vale 1. Y despejando 45 00:06:49,000 --> 00:06:58,000 por ejemplo la y de la segunda ecuación, que sería 2x más 5, 2 por 1 es 2, más 5 46 00:06:58,000 --> 00:07:10,000 es 7. Así que el punto C tiene coordenadas 1, 7. ¿Cómo calcularíamos el área de este 47 00:07:10,000 --> 00:07:15,000 rectángulo? El área del rectángulo es igual a la base por la altura. Así que vamos a 48 00:07:15,000 --> 00:07:26,000 llamar a, por ejemplo, a la base le llamamos a la longitud del vector o del segmento AB, 49 00:07:26,000 --> 00:07:41,000 que sería esto, la distancia entre los puntos A y B, y aplicando la fórmula restamos coordenadas 50 00:07:41,000 --> 00:07:46,000 y las elevamos al cuadrado y eso lo sumamos. Después aplicamos la raíz cuadrada y nos 51 00:07:46,000 --> 00:07:55,000 quedaría la raíz cuadrada de 45, que como es 3 al cuadrado por 5 podemos extraer un 52 00:07:55,000 --> 00:08:02,000 factor 3. Nos quedaría esta longitud, ¿vale? Unidades a unidades, porque no sabemos si 53 00:08:02,000 --> 00:08:06,000 trabajamos en centímetros, en metros, no sabemos, pero sabemos que mide 3 raíz de 54 00:08:06,000 --> 00:08:16,000 5 unidades. Y la altura vamos a considerar, por ejemplo, la distancia entre A y B. Entonces 55 00:08:16,000 --> 00:08:20,000 vamos a calcularlo como la distancia entre A y B, que es igual que el módulo del vector 56 00:08:21,000 --> 00:08:35,000 A y B, y el módulo es la raíz cuadrada, restamos las coordenadas, nos quedaría que 57 00:08:35,000 --> 00:08:43,000 es la raíz cuadrada de 4 más 1, que es la raíz de 5 unidades. Así que el área definitiva 58 00:08:43,000 --> 00:08:51,000 sería el producto de la base, que es 3 por raíz de 5, por la altura que es raíz de 5, 59 00:08:51,000 --> 00:09:03,000 nos quedaría 3 por 5, que son 15 unidades al cuadrado. Y esa sería la solución del ejercicio.