1
00:00:00,940 --> 00:00:06,660
hola chicos vamos ahora a ver un ejercicio también de funciones a trozos

2
00:00:06,660 --> 00:00:13,599
pero inverso es decir vamos a intentar encontrar la expresión dada la gráfica

3
00:00:13,599 --> 00:00:19,059
vemos aquí que tenemos una función que está digamos hecha

4
00:00:19,059 --> 00:00:25,219
por partes y entonces tendrá diferentes expresiones según el tramo en el que se

5
00:00:25,219 --> 00:00:29,160
encuentren por lo que vemos aquí la función es una

6
00:00:29,160 --> 00:00:33,840
recta e inclinada por tanto una función

7
00:00:33,840 --> 00:00:39,960
polinómica de grado 1 desde menos infinito hasta menos 1 a partir del menos

8
00:00:39,960 --> 00:00:46,840
1 y hasta el 3 es una parábola y desde el 3 hasta el infinito es una recta

9
00:00:46,840 --> 00:00:52,380
horizontal bueno para

10
00:00:52,380 --> 00:01:12,200
Para poder dar la expresión de cada parte de la gráfica tenemos que encontrar, en el caso de la recta, puntos de ella para poder sacar la pendiente y la ordenada en el origen.

11
00:01:12,200 --> 00:01:17,260
o directamente la m y la n de la expresión general.

12
00:01:17,540 --> 00:01:22,340
La expresión general de una recta es de este tipo, mx más n.

13
00:01:23,540 --> 00:01:29,700
Para poder hallar la pendiente vamos a encontrar dos puntos.

14
00:01:30,359 --> 00:01:37,040
Tenemos el punto límite este que tenemos aquí, que sería el menos 1, 3.

15
00:01:37,040 --> 00:01:47,189
es y luego tenemos también este por ejemplo que es el punto menos 4 que es un punto de corte

16
00:01:48,450 --> 00:01:54,650
con estos dos puntos ya podemos hallar tanto la m como la n porque la ordenada en origen bueno

17
00:01:54,650 --> 00:02:02,290
podemos suponer que probablemente sea el 04 pero de esta recta pero no lo vemos bien entonces vamos

18
00:02:02,290 --> 00:02:08,430
a dos puntos que tenemos seguros que son estos dos que hemos marcado vale la pendiente en una

19
00:02:08,430 --> 00:02:13,870
recta a partir de dos puntos de las coordenadas de los puntos viene dada con las coordenadas

20
00:02:13,870 --> 00:02:23,990
diferencia de coordenadas en y como tenéis por ahí en los apuntes y diferencia de coordenadas en x

21
00:02:25,030 --> 00:02:33,189
este cociente de diferencias o incrementos es la pendiente de la recta vale donde cada punto

22
00:02:33,189 --> 00:02:47,199
aquí pues es x1 y 1 en el caso del primero y en el caso del segundo sería x2 y 2. Entonces vamos a

23
00:02:47,199 --> 00:02:53,860
hacer la recta, la pendiente de la recta a partir de la resta de las ordenadas arriba y de las

24
00:02:53,860 --> 00:03:11,060
accisas abajo. La y2 sería un 3, menos la y1, que es un 0, partido por x2, que es menos 1, menos x1, que es menos 4.

25
00:03:14,840 --> 00:03:23,759
Es decir, lo que sube o baja la función respecto de lo que avanza en x. Aquí arriba nos sale un 3,

26
00:03:23,759 --> 00:03:35,180
Y abajo nos sale un 1 menos 1 más 4, otro 3. Por tanto, esto es 1. La pendiente de nuestra recta es 1.

27
00:03:35,180 --> 00:03:47,990
La ordenada en origen se puede obtener simplemente sustituyendo uno de los dos puntos en la x y en la y

28
00:03:47,990 --> 00:03:55,189
Si por ejemplo sustituimos el punto menos 4, 0 en la x y en la y de su ecuación

29
00:03:55,189 --> 00:04:05,900
Ponemos un 0 en la y, la m ya la tenemos, hemos dicho que vale 1

30
00:04:05,900 --> 00:04:21,629
por la x, que es menos 4, y luego más la n, que no la sabemos, que es la que vamos a sacar.

31
00:04:22,970 --> 00:04:33,350
Esto es lo que vamos a obtener a partir de sustituir el punto, uno de los dos puntos, da igual cuál, en la ecuación general de la recta,

32
00:04:34,350 --> 00:04:37,310
sabiendo ya también que la m vale menos 1.

33
00:04:37,310 --> 00:04:48,189
Bueno, pues de aquí daros cuenta que hemos sustituido la y, luego la x, la m también la hemos sustituido y ahora vamos a obtener la n.

34
00:04:48,350 --> 00:04:59,990
Pues bien, tenemos que 0 es igual a menos 4, porque 1 por menos 4 es menos 4, más n.

35
00:05:00,689 --> 00:05:02,970
Nos quedaría que n es igual a 4.

36
00:05:02,970 --> 00:05:24,500
Por tanto, la primera parte de nuestra función sería y igual a x más 4. Esta es la primera parte de nuestra función.

37
00:05:24,500 --> 00:05:28,779
Bueno, pues vamos ahora con la segunda parte

38
00:05:28,779 --> 00:05:33,569
La segunda parte la vamos a hacer por aquí abajo

39
00:05:33,569 --> 00:05:48,019
A ver, la segunda parte sería la correspondiente a la parábola

40
00:05:48,019 --> 00:05:51,240
Tenemos una parábola a partir del menos 1 hasta el 3

41
00:05:51,240 --> 00:05:57,480
Entonces, la ecuación general de una parábola viene dada por esta expresión

42
00:05:57,480 --> 00:06:05,980
Y igual a x cuadrado más bx más c

43
00:06:05,980 --> 00:06:15,980
Donde a, b y c son coeficientes que tenemos que encontrar para que nuestra parábola sea esa exactamente.

44
00:06:17,759 --> 00:06:31,019
En este caso lo que tenemos que hacer es ver los puntos que tenemos también y el vértice que también lo vemos y nos puede servir de mucho.

45
00:06:31,019 --> 00:06:37,000
El vértice de la parábola es, como podéis observar, el 1, menos 1.

46
00:06:39,160 --> 00:06:47,959
Y también nos puede servir todos los puntos que tenemos, pero uno de los más útiles sería el 0,0 que tenemos ahí.

47
00:06:48,860 --> 00:06:57,930
La parábola pasa por el 0,0 y la parábola pasa por el 1, menos 1, siendo este además el vértice.

48
00:06:57,930 --> 00:07:04,230
Estos dos puntos nos van a servir mucho para poder hallar los coeficientes

49
00:07:04,230 --> 00:07:13,529
Pero tenemos otros más, tenemos el 2, 0, tenemos el 3, 3, tenemos el menos 1, 3

50
00:07:13,529 --> 00:07:17,449
Bien, vamos a ver qué podemos obtener del 0, 0

51
00:07:17,449 --> 00:07:23,689
Del 0, 0 obtenemos algo muy rápido y es que si os fijáis cuando la x vale 0

52
00:07:23,689 --> 00:07:28,290
cuando la x vale cero, la y vale cero.

53
00:07:28,889 --> 00:07:34,170
Así que en esta misma ecuación sustituimos la y por cero

54
00:07:34,170 --> 00:07:39,129
dejando a, sustituimos la x por cero

55
00:07:39,129 --> 00:07:43,509
dejando b, sustituimos la x también por cero

56
00:07:43,509 --> 00:07:45,430
y dejando c.

57
00:07:46,250 --> 00:07:48,370
Es decir, a, b y c no los conocemos

58
00:07:48,370 --> 00:07:51,829
pero sí sabemos que la ecuación nuestra debe cumplir

59
00:07:51,829 --> 00:07:58,970
que para x igual a 0 la y debe valer 0 es decir metiendo el 0 en la x debemos

60
00:07:58,970 --> 00:08:05,389
saber debemos sacar también la y 0 en este caso si os fijáis como están

61
00:08:05,389 --> 00:08:11,990
multiplicados por 0 tanto a como b nos queda directamente que 0 es igual a c

62
00:08:11,990 --> 00:08:18,790
por tanto ya sabemos que el coeficiente que el término independiente es es 0 en

63
00:08:18,790 --> 00:08:24,470
nuestra parábola así que nuestra parábola ya va a tener la forma

64
00:08:24,470 --> 00:08:36,440
x cuadrado más bx bien

65
00:08:36,440 --> 00:08:43,899
vale pues esto es lo que vamos ahora a utilizar con el vértice también pero

66
00:08:43,899 --> 00:08:50,080
también podemos utilizar bueno primero vamos a utilizar la fórmula que acabamos

67
00:08:50,080 --> 00:08:55,879
Vamos a utilizar de la ecuación de segundo grado igual para el vértice.

68
00:08:55,879 --> 00:09:03,399
El vértice nos dice que cuando x es igual a 1, pues la y debe valer menos 1.

69
00:09:04,019 --> 00:09:14,879
Y también sustituyendo la expresión general, tenemos que cuando la y vale menos 1, la x debe valer 1.

70
00:09:14,879 --> 00:09:36,100
Así que a por 1 al cuadrado más b por 1. El c no hace falta que lo pongamos porque el c ya sabemos que es 0.

71
00:09:36,100 --> 00:09:51,159
Si queréis lo pongo, pero ya lo sabemos de antes. Así que ahora sacamos una ecuación para a y b. Sacamos que menos 1 es igual a a por 1 más b.

72
00:09:51,159 --> 00:10:08,610
Esta sería una ecuación que junto con otra ecuación que conocemos, la fórmula de la x del vértice, podemos sacar a y b.

73
00:10:10,490 --> 00:10:14,370
Deberíamos saber ya que la x del vértice es esta fórmula.

74
00:10:16,110 --> 00:10:25,279
Entonces la x del vértice vale 1 y eso debe ser menos b partido 2a.

75
00:10:25,279 --> 00:10:41,210
Esta es otra ecuación que junto con esta nos forma un sistema en A y en B

76
00:10:41,210 --> 00:10:45,070
Así que lo vamos a utilizar

77
00:10:45,070 --> 00:10:52,549
De esta por ejemplo sabemos que B es igual a menos 1 menos A

78
00:10:52,549 --> 00:10:59,320
Pasando para el lado izquierdo y luego le damos la vuelta a todo

79
00:10:59,320 --> 00:11:17,860
Así que abajo en la fórmula del vértice sustituimos la b por menos 1 pero vamos a colocar esta un poco mejor. Aquí tenemos que 2a es igual a menos b sabiendo que el 2a lo podemos subir multiplicando al 1.

80
00:11:17,860 --> 00:11:27,759
verdad 1 por 2 a verdad al subir aquí pues nos quedaría esto es decir que b es

81
00:11:27,759 --> 00:11:39,159
igual a menos 2 a b es igual a menos 2 bueno pues igualamos estas dos cosas me

82
00:11:39,159 --> 00:11:44,480
ha salido por por igualación directamente tenemos qué

83
00:11:44,480 --> 00:11:49,019
Menos 2A es igual que menos 1 menos A.

84
00:11:55,059 --> 00:12:01,549
A ver, menos 2A es menos 1 menos 2A.

85
00:12:02,610 --> 00:12:12,529
Y resolviendo esto, pues tenemos aquí que A, bueno, menos A, pasando el otro A para acá sumando, es igual a menos 1.

86
00:12:12,710 --> 00:12:16,529
Por tanto, A es igual a 1.

87
00:12:16,529 --> 00:12:33,159
y ya sustituimos el a en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema

88
00:12:33,159 --> 00:12:36,580
y nos queda que b es igual a menos 2

89
00:12:36,580 --> 00:12:55,309
así que ya nuestra parábola tiene la forma

90
00:12:55,309 --> 00:13:06,250
y igual a a por x al cuadrado que sería 1 por x al cuadrado

91
00:13:06,250 --> 00:13:10,570
más b que es menos 2

92
00:13:10,570 --> 00:13:26,039
es decir, perdón, hay que borrar aquí porque sale negativo, menos 2x y más c, que es 0.

93
00:13:26,559 --> 00:13:31,340
Por tanto, nuestra parábola tiene esta forma, esta expresión analítica.

94
00:13:32,519 --> 00:13:41,740
Y ya finalmente tenemos que la recta horizontal tiene exactamente la ecuación muy sencilla

95
00:13:41,740 --> 00:13:48,019
y igual a 3, porque todos sus puntos tienen altura 3.

96
00:13:48,700 --> 00:13:53,240
Acordaros que una recta horizontal es una función constante y tiene solo un valor,

97
00:13:53,620 --> 00:13:59,460
que no depende de x. ¿Qué valor? Pues exactamente el que tiene la ordenada de todos los puntos.

98
00:13:59,460 --> 00:14:02,039
Todos los puntos son x3 en este caso.

99
00:14:03,259 --> 00:14:06,639
Por tanto, ya tenemos las tres expresiones.

100
00:14:06,639 --> 00:14:43,220
Entonces ponemos, vamos a borrar por aquí un poquillo para poner nuestra expresión y decimos que finalmente la solución viene dada por y o f de x igual corchete cuando la x está entre menos infinito y menos 1 la función es x más 4 como hemos dicho al principio.

101
00:14:43,220 --> 00:14:48,480
Esta, la función de la izquierda a la recta.

102
00:14:48,759 --> 00:14:50,279
¿Sí? Hay que poner dónde.

103
00:14:50,980 --> 00:14:57,000
La x es, cuando estamos entre menos infinito y menos 1, es x menores que menos 1.

104
00:15:02,850 --> 00:15:21,899
Cuando estamos entre menos 1 y 3, la función es la parábola x cuadrado menos 2x.

105
00:15:21,899 --> 00:15:34,029
Y cuando estamos en x mayores que 3, la función es simplemente y igual a 3.

106
00:15:34,950 --> 00:15:37,149
Son las tres expresiones que hemos obtenido.

107
00:15:38,429 --> 00:15:51,450
Y ahora simplemente os dais cuenta de una cosa y es que los iguales, es decir, para x igual a menos 1 y x igual a 3, no lo hemos definido porque no hemos puesto el igual en ningún sitio.

108
00:15:52,389 --> 00:16:00,929
Nos tenemos que dar cuenta que la función que nos han dado es una función continua porque se unen perfectamente las gráficas en los puntos de cambio.

109
00:16:01,690 --> 00:16:10,909
Como se unen las gráficas en los puntos de cambio, el punto le podemos poner en el lado que nos dé la gana, es decir, en el que queramos.

110
00:16:11,570 --> 00:16:20,629
Podemos ponerlo en el lado de la recta, el menos uno o en el lado de la parábola, y el tres lo podemos poner en el lado de la parábola o en el lado de la recta horizontal.

111
00:16:21,450 --> 00:16:25,450
Puesto que vale lo mismo tanto por un lado como por el otro.

112
00:16:25,450 --> 00:16:31,450
Así que podemos decidir, por ejemplo, poner los iguales en la parte de la parábola.

113
00:16:31,450 --> 00:16:34,450
Y entonces así barremos todos los puntos.

114
00:16:34,450 --> 00:16:44,450
Si no, la función no estaría definida justo en los cambios y no sería la que tenemos ahí, sino que tendrían huecos.

115
00:16:44,450 --> 00:16:48,210
Así que esta sería la expresión buscada.