1
00:00:00,000 --> 00:00:08,400
En la pantalla tenemos al vector tridimensional a y el ejercicio consiste en descomponerlo

2
00:00:08,400 --> 00:00:14,200
en dos vectores. El primero va a estar en una dirección dada por un segundo vector

3
00:00:14,200 --> 00:00:21,680
u y el segundo vector deberá estar en una dirección perpendicular a ella. Así que

4
00:00:21,680 --> 00:00:27,560
queremos descomponer a como suma de dos vectores cada uno de los cuales esté en una de esas

5
00:00:27,560 --> 00:00:32,800
rectas. Vamos a intentar poner la vista de perfil porque aunque todo sucede en el espacio

6
00:00:32,800 --> 00:00:39,360
tridimensional, en realidad el problema se entiende mejor con una vista que sea bidimensional.

7
00:00:39,360 --> 00:00:48,360
Bueno, pues ahí lo tenemos. ¿Cómo conseguiríamos entonces la descomposición deseada? Está

8
00:00:48,360 --> 00:00:54,160
claro que si ha de ser suma de dos vectores debe ser la diagonal de un paralelogramo y

9
00:00:54,160 --> 00:00:58,360
como en este caso los vectores han de ser perpendiculares, ese paralelogramo tiene

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00:00:58,360 --> 00:01:03,840
que ser un rectángulo. Así que los vectores deseados son los que podemos situar sobre

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00:01:03,840 --> 00:01:10,640
los lados de ese rectángulo. Para el vector en la dirección de u, en la primera de las

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00:01:10,640 --> 00:01:18,800
rectas, si nos damos cuenta se trata simplemente de encontrar cuál es el vector que llega

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00:01:18,800 --> 00:01:25,720
hasta el pie de esa perpendicular y eso es lo que habitualmente llamamos el vector proyección

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00:01:25,720 --> 00:01:31,720
de a sobre u, la proyección vectorial de a sobre u. Y así podremos calcularla. Para

15
00:01:31,720 --> 00:01:37,840
el segundo vector, pues recordando que tiene que estar sobre el otro lado del cuadrilátero,

16
00:01:37,840 --> 00:01:43,880
pues simplemente debe ser este vector de aquí que recorre ese lado. Para hallarlo, puesto

17
00:01:43,880 --> 00:01:51,160
que ha de ser suma de q y p, si tenemos el vector p y el vector a, pues podremos hallar

18
00:01:51,160 --> 00:01:59,360
q simplemente como una resta. Vamos a poner esto en práctica en un ejemplo en el que

19
00:01:59,360 --> 00:02:05,120
el vector a sea menos 3, 0, 3 y el vector u, que nos da la primera de las direcciones

20
00:02:05,120 --> 00:02:13,360
de descomposición, sea menos 1, 1, 1. El vector p, entonces, hemos dicho que será

21
00:02:13,360 --> 00:02:20,560
la proyección de a sobre u, la proyección vectorial, que recordemos que se calcula de

22
00:02:20,560 --> 00:02:30,160
la siguiente manera. La proyección escalar, el valor de la medida del vector p, se puede

23
00:02:30,160 --> 00:02:36,640
obtener con el producto escalar de a sobre u, dividido por el módulo de u. Esta sería

24
00:02:36,640 --> 00:02:41,920
la longitud del vector p. Y ahora, para darle dirección y sentido, utilizamos el vector

25
00:02:41,920 --> 00:02:49,920
unitario en la dirección y sentido de u, que se obtiene dividiendo u por su módulo.

26
00:02:49,920 --> 00:02:56,680
El producto escalar de a por u, pues lo haremos multiplicando cada coordenada, será 3 más

27
00:02:56,680 --> 00:03:04,360
0 más 3, el módulo de u es la raíz de 3, el vector u es menos 1, 1, 1 y el módulo

28
00:03:04,360 --> 00:03:12,640
de u, pues es la raíz de 3. Así que, sin más que operar aquí, obtenemos 6 partido

29
00:03:12,640 --> 00:03:22,960
de raíz de 3 cuadrado menos 1, 1, 1, que sería el vector menos 2, 2, 2. Este es el

30
00:03:22,960 --> 00:03:28,640
primero de los vectores pedido, que es el vector p. Y como hemos querido explicar, el

31
00:03:28,640 --> 00:03:37,480
vector q, visto que debe cumplirse la relación a es igual a p más q, pues no será otro

32
00:03:37,480 --> 00:03:49,200
que el vector a menos p. Es decir, el vector menos 3, 0, 3, menos el vector menos 2, 2,

33
00:03:49,200 --> 00:04:02,840
pues en este caso obtendríamos el vector menos 1, menos 2, 1. Podemos comprobar que

34
00:04:02,840 --> 00:04:07,600
se cumplen todas las condiciones. Si sumamos este vector menos 2, 2, 2 con este vector

35
00:04:07,600 --> 00:04:14,360
menos 1, menos 2, 1, obtenemos efectivamente el vector a menos 3, 0, 3. Por otro lado,

36
00:04:14,360 --> 00:04:19,560
el vector p menos 2, 2, 2 es proporcional al vector u, es el doble del vector u en este

37
00:04:19,560 --> 00:04:27,880
caso y, por tanto, está en su misma dirección. Y el vector q menos 1, menos 2, menos 1 es

38
00:04:27,880 --> 00:04:35,880
perpendicular al vector u, a menos 1, 1, 1, porque si hacemos el producto escalar q por

39
00:04:35,880 --> 00:04:44,040
u, pues obtenemos menos 1 por menos 1 es 1, menos 2 por 1 es menos 2 y 1 por 1 es 1, que

40
00:04:44,040 --> 00:04:50,120
da 0. Por lo tanto, q y u son perpendiculares, al igual que q y p.