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00:00:12,339 --> 00:00:17,760
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,760 --> 00:00:22,579
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:22,579 --> 00:00:33,719
de la unidad AN2 dedicada a las aplicaciones de los límites. En la videoclase de hoy estudiaremos

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00:00:33,719 --> 00:00:50,409
las asíntotas y cómo se definen. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio de la

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00:00:50,409 --> 00:00:55,250
primera de las aplicaciones de los límites que son las asíntotas. En concreto vamos a estudiar

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00:00:55,250 --> 00:01:01,350
su definición. Como veis aquí, podemos leer que una asíntota es una recta a la cual la gráfica de

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00:01:01,350 --> 00:01:07,569
la función tiende a aproximarse infinitamente aún sin llegar a tocarla. Existen tres tipos de rectas

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00:01:07,569 --> 00:01:11,909
en el plano, rectas verticales, horizontales y oblicuas, y así pues existen tres tipos de

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00:01:11,909 --> 00:01:16,989
asíntotas. Asíntota vertical, asíntota horizontal y asíntota oblicua. Vamos a estudiarlas con

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00:01:16,989 --> 00:01:23,370
ejemplos. Aquí a la derecha, en esta gráfica, vamos a ver cómo x igual a menos 2 y x igual a 2

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00:01:23,370 --> 00:01:29,370
son asíndotas verticales de la función. ¿Qué es lo que está ocurriendo? Pues mirad, si nos aproximamos

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00:01:29,370 --> 00:01:33,629
al valor x igual a menos 2 tanto por la izquierda como por la derecha, hacemos los límites laterales,

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00:01:34,390 --> 00:01:39,530
vemos cómo gráficamente la función toma cada vez valores arbitrariamente más grandes, la función

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00:01:39,530 --> 00:01:44,370
diverge hacia más infinito. Esto quiere decir que el límite cuando x tiende a menos 2 por la izquierda

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00:01:44,370 --> 00:01:51,030
y por la derecha de la función es igual a más infinito. Y podemos ver cómo la función tiende a

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00:01:51,030 --> 00:01:55,469
aproximarse a esa recta vertical, en este caso, infinitamente, cada vez más, tanto

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00:01:55,469 --> 00:01:59,409
por la izquierda como por la derecha, aún sin llegar a tocarla nunca. Aquí tenemos

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00:01:59,409 --> 00:02:03,930
un ejemplo de una asíntota vertical. Ocurre lo mismo en el caso del x igual a 2.

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00:02:03,930 --> 00:02:07,950
Si nos aproximamos al valor de x igual a 2 por la izquierda y por la derecha, los

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00:02:07,950 --> 00:02:12,409
límites laterales, vemos como la función toma valores cada vez más pequeños,

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00:02:12,409 --> 00:02:17,069
arbitrariamente pequeños. En este caso la función diverge hacia menos infinito y

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00:02:17,069 --> 00:02:22,990
podemos ver cómo ese hecho, límite cuando x tiende a 2 por izquierda y por la derecha igual a menos

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00:02:22,990 --> 00:02:28,490
infinito, nos hace ver que tenemos una asíntota vertical. La función tiende a aproximarse cada

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00:02:28,490 --> 00:02:34,389
vez más a esa recta vertical x igual a 2, aún sin llegar nunca a tocarla. Como podéis ver aquí,

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00:02:34,889 --> 00:02:39,250
las asíntotas son rectas y como tales tienen ecuaciones. En el caso de las asíntotas verticales,

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00:02:39,569 --> 00:02:45,229
todas van a ser x igual a algo y este algo es la abscisa que corresponde a esa recta vertical.

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00:02:45,229 --> 00:02:51,550
En el caso de las asíntotas horizontales vamos a utilizar como ejemplo la misma gráfica

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00:02:51,550 --> 00:02:57,129
En este caso lo que vamos a hacer es estudiar los límites cuando x tiende a más infinito y a menos infinito

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00:02:57,129 --> 00:03:03,469
Podemos ver cómo en el límite cuando x tiende a más infinito, cuando x va tomando valores arbitrariamente grandes

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00:03:03,469 --> 00:03:07,389
La función en este caso va tomando valores crecientes cada vez más

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00:03:07,389 --> 00:03:15,789
aproximándose, aún sin llegar nunca a tocar, a esta recta horizontal y igual a 2.

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00:03:16,090 --> 00:03:17,909
En este caso se aproxima a ella por abajo.

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00:03:18,930 --> 00:03:22,330
Igualmente, si estudiamos el límite cuando x tendrá menos infinito,

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00:03:22,669 --> 00:03:25,729
x tomando valores arbitrariamente cada vez más pequeños.

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00:03:26,090 --> 00:03:30,069
Vemos cómo la función, en ese caso, si vamos siguiendo la gráfica, decrece,

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00:03:30,590 --> 00:03:35,930
aproximándose cada vez más, aún sin llegar a tocarla, a esta recta horizontal y igual a menos 2.

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00:03:35,930 --> 00:03:51,610
Pues bien, esa es la definición de una asíntota horizontal, una recta, en este caso horizontal, a la cual la función tiende a aproximarse infinitamente en el límite cuando x tiende a más infinito por abajo, en el límite cuando x tiende a menos infinito por arriba, aún sin llegar nunca a tocarla.

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00:03:52,289 --> 00:04:05,590
En el caso de las asíntotas horizontales, como podéis ver aquí, las asíntotas tienen como ecuación y igual a algo, en este caso, a la ordenada que corresponde a esa recta a la cual la función tiende a aproximarse infinitamente sin llegar a tocarla.

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00:04:05,930 --> 00:04:14,930
En el caso de asíntotas oblicuas ocurre algo similar. También se estudian en los límites en el infinito, x tendiendo a más y a menos infinito.

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00:04:15,250 --> 00:04:30,670
En este caso vamos a utilizar esta gráfica como ejemplo. Podemos ver cómo conforme x tiende a más infinito, x tomando valores arbitrariamente grandes, la recta tiende a aproximarse cada vez más a esta recta oblicua que tenemos aquí, que sería la recta y igual a x.

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00:04:31,350 --> 00:04:35,029
En este caso, por abajo. Se aproxima infinitamente sin llegar a tocarla.

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00:04:35,550 --> 00:04:41,129
En el otro extremo, x tendiendo a menos infinito, con x tomando valores arbitrariamente cada vez más pequeños,

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00:04:41,670 --> 00:04:46,529
vemos como si seguimos la gráfica de la función, la gráfica decrece, la función decrece,

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00:04:46,829 --> 00:04:53,269
aproximándose cada vez más, aún sin llegar a tocarla, a la, en este caso, misma recta oblicua y igual a x.

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00:04:53,829 --> 00:04:57,129
En este caso, se aproximaría por arriba, como podéis comprobar.

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00:04:57,709 --> 00:05:02,769
Así pues, en este caso, la recta y igual a x sería asíntota oblicua de esta función,

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00:05:03,209 --> 00:05:05,449
cuando x tendrá más infinito y a menos infinito.

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00:05:06,089 --> 00:05:10,009
Con carácter general, como podéis ver, las asíntotas oblicuas van a tener como ecuación

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00:05:10,009 --> 00:05:16,110
la de una recta oblicua igual a m por x más n, m la pendiente, n la ordenada en el origen.

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00:05:16,470 --> 00:05:20,850
En el caso en el que la pendiente fuera cero, igual que ocurre en el estudio de las rectas,

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00:05:20,970 --> 00:05:24,889
tendríamos una recta horizontal y no estaríamos discutiendo este tipo de asíntotas,

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00:05:24,889 --> 00:05:28,310
sino que estaríamos discutiendo las asíndotas horizontales.

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00:05:28,949 --> 00:05:37,610
Algo importante a tener en cuenta es que no necesariamente el hecho de que haya una cierta asíntota horizontal u oblicua en el límite cuando x tendrá menos infinito,

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00:05:38,170 --> 00:05:46,769
eso quiere decir que automáticamente nos vayamos a encontrar la misma asíntota, esto es, que exista y que sea la misma, en el otro extremo x tendríamos menos infinito.

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00:05:47,509 --> 00:05:53,470
En este caso concreto, en este ejemplo, podemos ver cómo si era así, había una asíntota oblicua y era la misma y igual a x,

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00:05:53,470 --> 00:05:58,769
tanto en el límite x tendiendo a más infinito como en el límite x tendiendo a menos infinito.

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00:05:59,230 --> 00:06:03,230
No obstante aquí, en el caso de las asíndotas horizontales, pues eso no ocurre.

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00:06:03,629 --> 00:06:09,410
En el límite cuando x tende a más infinito vemos como la asíndota horizontal es y igual a 2

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00:06:09,410 --> 00:06:14,230
mientras que en el límite cuando x tende a menos infinito la asíndota es y igual a menos 2.

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00:06:14,709 --> 00:06:16,470
No necesariamente tiene que ser el mismo valor.

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00:06:16,470 --> 00:06:19,629
No necesariamente tiene que existir asíndota en los dos extremos.

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00:06:20,410 --> 00:06:22,610
Igualmente en el caso de las asíndotas verticales.

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00:06:22,610 --> 00:06:29,470
Fijaos, en este caso cuando x tendrá menos 2 tenemos una asíntota vertical, ambos límites laterales van a más infinito.

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00:06:30,050 --> 00:06:35,170
En este caso, ambos límites laterales en la asíntota vertical de x igual a 2 van a menos infinito.

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00:06:35,910 --> 00:06:39,149
Podría ser que ambos límites laterales fueran infinitos diferentes.

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00:06:39,490 --> 00:06:41,250
Fijaos en qué ocurre en esta gráfica de aquí abajo.

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00:06:42,050 --> 00:06:45,629
La recta x igual a 0 es asíntota vertical de esta función.

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00:06:46,029 --> 00:06:47,930
Cumple con la definición que hemos dado anteriormente.

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00:06:47,930 --> 00:07:01,089
Si determinara los límites x tendiendo a 0 por la izquierda y por la derecha, conforme nos aproximamos vemos como en el límite por la izquierda la función diverge hacia más infinito, mientras que en el límite por la derecha diverge a menos infinito.

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00:07:02,029 --> 00:07:11,930
Igualmente no haría falta que los dos límites laterales fueran a infinito, bastaría con que hubiera uno. En este caso la recta sería asíndota vertical, bien por la derecha, bien por la izquierda, según correspondiera.

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00:07:11,930 --> 00:07:21,180
correspondiera. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:07:21,920 --> 00:07:27,779
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer

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00:07:27,779 --> 00:07:33,540
vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.