1 00:00:12,339 --> 00:00:17,480 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,480 --> 00:00:21,800 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:21,800 --> 00:00:33,439 de la unidad AR3 dedicada a la matemática financiera. En la videoclase de hoy estudiaremos 4 00:00:33,439 --> 00:00:37,420 el interés compuesto y resolveremos los ejercicios propuestos del 5 al 7. 5 00:00:47,710 --> 00:00:52,729 En la introducción teórica de esta sección se nos dice que un prestamista cede un capital 6 00:00:52,729 --> 00:00:57,850 inicial, C mayúscula subi, a un prestatario. Una vez vencido el préstamo, transcurridos 7 00:00:57,850 --> 00:01:02,829 T años, el prestatario devuelve el capital inicial junto con un interés compuesto, en 8 00:01:02,829 --> 00:01:07,950 este caso anual porcentual R mayúscula, al prestamista. Tal como discutimos en la videoclase 9 00:01:07,950 --> 00:01:13,629 anterior, hablando de interés simple, llamaremos rédito a la expresión que nosotros utilizaremos 10 00:01:13,629 --> 00:01:18,569 habitualmente, que es este rédito en tanto por uno. ¿En qué se diferencia el interés 11 00:01:18,569 --> 00:01:23,650 compuesto del interés simple, puesto que hasta este momento la descripción es muy similar, por no decir 12 00:01:23,650 --> 00:01:29,590 igual a la del interés simple. Pues en este caso lo que ocurre es que cada vez que se generan los 13 00:01:29,590 --> 00:01:35,930 intereses mediante interés compuesto, éstos se acumulan al capital. No como en el caso del interés 14 00:01:35,930 --> 00:01:41,569 simple, que quedaban apartados, y los intereses se generaban siempre calculándolos con respecto del 15 00:01:41,569 --> 00:01:47,109 capital inicial. Bien, en el caso de interés compuesto esto no es así. Cada vez que se generan intereses 16 00:01:47,109 --> 00:01:52,370 se suman al capital, de tal forma que los siguientes intereses que se generan no se 17 00:01:52,370 --> 00:01:58,290 calculan con el capital inicial, sino con el capital acumulado, habiendo añadido periodo 18 00:01:58,290 --> 00:02:05,010 tras periodo, año tras año, en este caso, los intereses. Vamos a ver cómo funciona. De una 19 00:02:05,010 --> 00:02:10,090 forma similar a cómo ocurría en el caso del interés simple, el interés obtenido tras el 20 00:02:10,090 --> 00:02:16,050 primer año se calcula directamente multiplicando el capital inicial por el rédito. La gran diferencia 21 00:02:16,050 --> 00:02:21,569 que en el caso del interés simple esta cantidad se apartaba, y en este caso ya no. El capital 22 00:02:21,569 --> 00:02:26,909 transcurrido el primer año ya no es sólo el capital inicial, sino la suma del capital inicial 23 00:02:26,909 --> 00:02:33,689 más estos primeros intereses habiendo transcurrido un año. Sería la suma del capital inicial más el 24 00:02:33,689 --> 00:02:39,210 capital inicial por el rédito, vemos que podemos sacar factor común al capital inicial del factor 25 00:02:39,210 --> 00:02:45,689 1 más r. Así pues, transcurrido el primer año el capital ya no es el inicial, sino que sería 26 00:02:45,689 --> 00:02:52,669 este capital transcurrido el primer año que es capital inicial por 1 más R. Una vez que transcurre 27 00:02:52,669 --> 00:02:58,449 el segundo año se vuelven a generar unos nuevos intereses. En este caso se calculan no con el 28 00:02:58,449 --> 00:03:03,729 capital inicial sino con el capital que tenemos transcurrido el primer año con este capital que 29 00:03:03,729 --> 00:03:09,550 tenemos aquí. Así pues los intereses del segundo año se calculan multiplicando el capital del 30 00:03:09,550 --> 00:03:16,629 primer año por el rédito. El capital transcurrido el segundo año será la suma del capital transcurrido 31 00:03:16,629 --> 00:03:22,210 el primero más esos intereses habiendo transcurrido el segundo año. Si sustituimos la fórmula que 32 00:03:22,210 --> 00:03:27,430 teníamos antes, capital del primer año más capital del primer año por el rédito, vemos que ocurre 33 00:03:27,430 --> 00:03:32,569 algo similar a lo que teníamos antes. El capital del primer año se puede escribir como factor común 34 00:03:32,569 --> 00:03:38,770 del factor 1 más r y si nosotros sustituimos este capital del primer año por la expresión que 35 00:03:38,770 --> 00:03:44,849 habíamos deducido un poco más arriba, capital inicial por 1 más r, vemos que podemos expresar 36 00:03:44,849 --> 00:03:51,430 ese capital transcurrido el segundo año como el capital inicial por el factor 1 más r elevado 37 00:03:51,430 --> 00:03:58,509 al cuadrado. Vamos a dejar pasar un año más para ver si encontramos algún tipo de regularidad. Vamos 38 00:03:58,509 --> 00:04:05,569 a calcular los intereses transcurrido el tercer año. Se van a calcular a partir del capital cuando 39 00:04:05,569 --> 00:04:11,110 ha transcurrido el segundo año. Se obtienen esos intereses multiplicando el capital cuando 40 00:04:11,110 --> 00:04:15,889 ha transcurrido el segundo año por el rédito. Y el capital, una vez ha transcurrido los 41 00:04:15,889 --> 00:04:20,649 tres años, será la suma del capital cuando han transcurrido dos más esos intereses del 42 00:04:20,649 --> 00:04:26,170 tercer año. Sustituyo esta fórmula que tenemos aquí y lo que veo es capital transcurrido 43 00:04:26,170 --> 00:04:30,149 el segundo año más capital transcurrido el segundo año por el rédito. Puedo sacar 44 00:04:30,149 --> 00:04:37,990 factor común a este capital transcurrido el segundo año, factor común de 1 más r. Si sustituyo 45 00:04:37,990 --> 00:04:42,329 este capital transcurrido el segundo año por la fórmula que habíamos deducido hace un momento, 46 00:04:43,009 --> 00:04:48,949 capital inicial por 1 más r al cuadrado, vemos que puedo expresar ese capital transcurrido el 47 00:04:48,949 --> 00:04:56,410 tercer año como capital inicial por el factor 1 más r elevado al cubo. Y fijaos, si yo expreso 48 00:04:56,410 --> 00:05:03,029 esos capitales transcurridos 1, 2, 3 años. En función del capital inicial veo que obtengo 49 00:05:03,029 --> 00:05:09,790 capital transcurrido el primer año, capital inicial por 1 más r elevado a 1. Capital transcurrido el 50 00:05:09,790 --> 00:05:16,449 segundo año, capital inicial por 1 más r elevado al cuadrado. Transcurrido el tercer año, capital 51 00:05:16,449 --> 00:05:22,410 inicial por 1 más r elevado al cubo. Podemos razonar por inducción y podemos obtener una 52 00:05:22,410 --> 00:05:28,709 expresión general, de tal forma que podemos deducir que el capital final obtenido una vez 53 00:05:28,709 --> 00:05:33,970 que han transcurrido t años, un número genérico de años, se puede calcular a partir del capital 54 00:05:33,970 --> 00:05:40,629 inicial mediante esta fórmula. Capital final igual a capital inicial por el factor 1 más r elevado a t. 55 00:05:43,439 --> 00:05:48,839 Como ejemplo, en este ejercicio 5 se nos pide que calculemos el capital final obtenido tras 56 00:05:48,839 --> 00:05:54,079 depositar una cantidad de 1300 euros al 3,5 por ciento anual de interés compuesto durante cuatro 57 00:05:54,079 --> 00:06:01,500 años es el mismo ejercicio 2 cambiando el interés siempre por interés compuesto y se nos pide que 58 00:06:01,500 --> 00:06:06,399 comparemos bien en este caso lo que vamos a hacer es utilizar directamente la fórmula para el 59 00:06:06,399 --> 00:06:11,779 capital final con el interés compuesto capital final igual a capital inicial por uno más el 60 00:06:11,779 --> 00:06:16,800 el rédito elevado al tiempo, al periodo, en este caso cuatro años. El resultado que obtenemos es 61 00:06:16,800 --> 00:06:23,959 1.491,78 euros. Si comparamos con el resultado que obtenemos con el interés simple, vemos que con 62 00:06:23,959 --> 00:06:28,800 interés compuesto al capital final obtenido es mayor, puesto que los intereses en el segundo, 63 00:06:28,939 --> 00:06:34,620 tercer, cuarto año, etcétera, van a ser mayores que los intereses en el primer año, puesto que se van 64 00:06:34,620 --> 00:06:40,459 acumulando al capital y van devengando intereses a su vez. Como un segundo ejemplo tenemos este 65 00:06:40,459 --> 00:06:48,540 Ejercicio 6. Por una inversión de 5.000 euros durante 7 años en interés simple, Manuel ha recibido en total 7.345 euros. 66 00:06:48,980 --> 00:06:52,740 ¿Cuál es el rédito que proporciona esta inversión expresado como porcentaje? 67 00:06:53,019 --> 00:06:59,220 Y una vez más se nos pide que comparemos con el ejercicio anterior, con el ejercicio 3, que es este mismo, pero con interés simple. 68 00:07:00,180 --> 00:07:05,839 Lo que vamos a hacer es volver a utilizar la fórmula para el capital final en el caso del interés compuesto. 69 00:07:05,839 --> 00:07:13,019 capital final, igual a capital inicial por 1 más el rédito elevado al tiempo. Puesto que en este 70 00:07:13,019 --> 00:07:17,639 caso lo que queremos hacer es calcular el rédito, lo que vamos a hacer es de esta fórmula ir a 71 00:07:17,639 --> 00:07:22,860 despejarlo. Para ello, en primer lugar, este capital inicial lo vamos a pasar al otro miembro dividiendo, 72 00:07:23,060 --> 00:07:29,519 como podemos ver aquí. A continuación, esta potencia tésima, porque aquí tenemos 1 más r elevado a t, 73 00:07:29,519 --> 00:07:34,240 lo vamos a pasar al otro miembro, lo vamos a despejar, extrayendo la raíz teésima. 74 00:07:34,860 --> 00:07:40,879 Así que raíz teésima de 1 más r elevado a t, se simplificaría el índice de la raíz con la potencia, 75 00:07:41,180 --> 00:07:45,399 es igual a la raíz teésima del capital final entre capital inicial. 76 00:07:46,480 --> 00:07:49,399 Para finalizar, queremos calcular el rédito. 77 00:07:50,000 --> 00:07:54,600 Este 1 que está sumando lo vamos a pasar restando y sustituyendo lo que tenemos es, 78 00:07:54,600 --> 00:08:06,319 Dado que la inversión está viva durante 7 años, tenemos la raíz séptima de capital final, 7.345 euros, entre capital inicial, 5.000 euros, menos 1. 79 00:08:07,139 --> 00:08:20,019 Operando, obtenemos un valor del rédito de 0,056, se nos pide que lo expresemos como porcentaje, multiplicamos por 100, y obtenemos un rédito en porcentaje del 5,6%. 80 00:08:20,019 --> 00:08:42,279 Si lo comparemos con el rédito en el caso del interés simple, que era 6,7%, vemos que, dado que los intereses se acumulan en el capital y van generando cada vez más intereses, para obtener el interés de 5.000 a 7.345 euros, necesitamos un rédito menor, 5,6 es menor, que 6,7%. 81 00:08:42,279 --> 00:08:48,460 Para finalizar con esta sección, de forma análoga a como ocurría en el caso del interés simple, 82 00:08:49,379 --> 00:08:53,500 no necesariamente el interés tiene por qué devengarse año tras año, 83 00:08:53,620 --> 00:08:56,179 sino que puede devengarse n veces cada año. 84 00:08:56,860 --> 00:09:00,039 En ese caso, la fórmula para el capital final se debe modificar 85 00:09:00,039 --> 00:09:04,120 de una forma análoga, por cierto, a como ocurría en el caso del interés simple. 86 00:09:04,700 --> 00:09:07,059 Recordemos que en este caso, para el interés compuesto, 87 00:09:07,679 --> 00:09:09,919 en el caso de intereses devengados anualmente, 88 00:09:09,919 --> 00:09:15,600 tenemos como fórmula capital final igual a capital inicial por 1 más el rédito elevado al tiempo. 89 00:09:15,940 --> 00:09:21,759 En este caso lo que tenemos es una fórmula muy similar. Capital final igual a capital inicial 90 00:09:21,759 --> 00:09:28,279 por 1 más el rédito entre el número de periodos que se devengan los intereses, 12 si tenemos 91 00:09:28,279 --> 00:09:36,259 intereses mensuales, 365 si son diarios, 3 si son cuatrimestrales, etcétera, elevado a T mayúscula, 92 00:09:36,259 --> 00:09:43,139 el número de periodos de vengados. Para ver cómo funciona tenemos un ejercicio 7 en el que se nos 93 00:09:43,139 --> 00:09:48,779 dice que Sofía tiene 3.000 euros, los va a invertir para conseguir los 3.500 que necesitará para 94 00:09:48,779 --> 00:09:53,919 mejorar su negocio. Ha encontrado un préstamo personal con un redieto porcentual anual compuesto 95 00:09:53,919 --> 00:10:00,500 del 4,8% y se nos pregunta cuántos meses debería dejar Sofía su dinero invertido para conseguir 96 00:10:00,500 --> 00:10:05,799 esta cantidad. Es igual que el ejercicio número 4 con interés simple y lo que vamos a hacer es 97 00:10:05,799 --> 00:10:11,860 comparar los resultados. En este caso lo que vamos a hacer es utilizar la fórmula que 98 00:10:11,860 --> 00:10:17,100 nosotros tenemos aquí para el capital final. Tenemos capital final igual a capital inicial 99 00:10:17,100 --> 00:10:22,879 por 1 más el rédito entre 12, puesto que se nos habla de meses, los intereses se van 100 00:10:22,879 --> 00:10:28,100 devengando mes a mes, elevado a T mayúscula, el número de meses que necesitamos o que 101 00:10:28,100 --> 00:10:34,379 necesita Sofía dejar el dinero invertido. Puesto que lo que queremos hacer es calcular 102 00:10:34,379 --> 00:10:39,659 el número de periodos T mayúscula tenemos que despejar de esta expresión. Lo primero que vamos 103 00:10:39,659 --> 00:10:45,500 a hacer es este capital inicial pasar al otro miembro dividiendo como podemos ver. Para poder 104 00:10:45,500 --> 00:10:51,019 despejar esta T mayúscula que tenemos aquí como exponente lo que tenemos que hacer es tomar 105 00:10:51,019 --> 00:10:55,440 logaritmos, en este caso hemos elegido logaritmos decimales pero podría ser logaritmos en cualquier 106 00:10:55,440 --> 00:11:02,200 base, en el miembro de la izquierda y en el miembro de la derecha. Así que logaritmo de 1 más el 107 00:11:02,200 --> 00:11:07,080 rédito entre 12 elevado a t mayúscula tiene que ser igual al logaritmo de capital final entre 108 00:11:07,080 --> 00:11:12,840 capital inicial. Una de las propiedades de los logaritmos me indica que este exponente puede 109 00:11:12,840 --> 00:11:19,080 eliminarse de aquí y pasar multiplicando a logaritmo de 1 más r entre 12 y ahora ya podemos 110 00:11:19,080 --> 00:11:23,840 despejarte. Sin más que este logaritmo de 1 más r entre 12 pasarlo al miembro de la derecha 111 00:11:23,840 --> 00:11:31,100 dividiendo, como podéis ver. Sustituimos capital final 3.500 euros, capital inicial 3.000, el rédito 112 00:11:31,100 --> 00:11:38,120 4,8 por ciento equivale a 0,0 48 en tanto por uno está dividido entre 12 porque los intereses son 113 00:11:38,120 --> 00:11:45,919 mensuales operando obtenemos el resultado 38,6 meses tal y como dijimos en el caso del interés 114 00:11:45,919 --> 00:11:51,720 simple esta cantidad debe ser un número natural y lo que tenemos que hacer siempre es redondear 115 00:11:51,720 --> 00:11:59,279 hacia arriba así que en este caso con interés compuesto sofía necesita 39 meses para conseguir 116 00:11:59,279 --> 00:12:05,500 los 3.500 euros que necesitaba. Equivale a tres años y tres meses. Y si comparamos con los tres 117 00:12:05,500 --> 00:12:10,879 años y seis meses para el interés simple, vemos que el hecho de que los intereses se vayan 118 00:12:10,879 --> 00:12:17,299 acumulando al capital y generando más intereses, hace que necesitemos tener la inversión una 119 00:12:17,299 --> 00:12:26,120 cantidad menor de tiempo. En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos 120 00:12:26,120 --> 00:12:32,039 y cuestionarios. Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 121 00:12:32,860 --> 00:12:37,600 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 122 00:12:38,200 --> 00:12:39,559 Un saludo y hasta pronto.