1 00:00:02,859 --> 00:00:06,879 En este vídeo vamos a ver cómo se aplica la regla de la cadena. 2 00:00:07,400 --> 00:00:11,619 La regla de la cadena es la regla de derivación para funciones compuestas. 3 00:00:12,460 --> 00:00:14,160 ¿Qué es una función compuesta? 4 00:00:14,720 --> 00:00:17,079 Pues vamos a repasar la definición. 5 00:00:17,800 --> 00:00:21,079 En todas las dos funciones f y g se llama función compuesta 6 00:00:21,079 --> 00:00:28,460 y se lee g compuesto de f a la función que se tiene sustituyendo en f 7 00:00:28,460 --> 00:00:31,059 los valores o imágenes dados por g de x. 8 00:00:31,059 --> 00:00:40,939 Es decir, si yo tengo un valor x perteneciente al dominio, aplico la función g de x, obtengo su imagen según esa función 9 00:00:40,939 --> 00:00:52,020 y a este valor le aplico la función f de x, el resultado sería esta función compuesta, g compuesto de f. 10 00:00:52,020 --> 00:01:22,640 Vamos a ver algunos ejemplos. Imaginar que tenemos la función f de x igual a x al cuadrado y la función g de x igual a logaritmo neperiano de x. 11 00:01:23,120 --> 00:01:37,129 Vamos a ver cuál sería la función g compuesto de f. Según la definición sería esto. 12 00:01:37,129 --> 00:01:52,079 ¿Cómo la calculamos? En la función f de x donde aparezca la variable x tenemos que poner g de x, es decir, que en este caso sería g de x elevado al cuadrado. 13 00:01:53,120 --> 00:02:01,250 Como g de x es el logaritmo neperiano de x, la función sería esta. 14 00:02:02,629 --> 00:02:07,430 Vamos a calcular lo contrario, f compuesto de g. 15 00:02:07,430 --> 00:02:11,909 f compuesto de g 16 00:02:11,909 --> 00:02:19,819 En este caso, donde en la función g de x aparezca la variable x 17 00:02:19,819 --> 00:02:22,439 yo tengo que poner f de x 18 00:02:22,439 --> 00:02:29,379 El resultado sería este 19 00:02:29,379 --> 00:02:36,439 Fijaros que no es lo mismo el logaritmo neperiano de x elevado al cuadrado 20 00:02:36,439 --> 00:02:44,400 que logaritmo neperiano de x al cuadrado 21 00:02:44,400 --> 00:02:56,370 En general, la composición de funciones no va a ser conmutativa. 22 00:03:01,599 --> 00:03:07,319 Bien, la regla de la cadena entonces nos va a permitir calcular la derivada de una función compuesta. 23 00:03:07,960 --> 00:03:10,780 ¿Cómo la calculamos? ¿Cuál es esta regla? 24 00:03:11,620 --> 00:03:16,680 Si tenemos la función g compuesto de f y la queremos derivar, 25 00:03:16,680 --> 00:03:23,319 pues la derivada de esta función sería la derivada de la función f evaluada en g de x 26 00:03:23,319 --> 00:03:27,379 y luego multiplicamos por la derivada de g. 27 00:03:28,620 --> 00:03:30,159 Vamos a ver algunos ejemplos. 28 00:03:48,870 --> 00:03:55,969 En este caso, la función logaritmo neperiano del seno de x, pues vemos que es una composición. 29 00:03:57,229 --> 00:04:03,889 En la función logaritmo neperiano, el argumento no es x, sino que es otra función, seno de x. 30 00:04:04,590 --> 00:04:05,669 ¿Cómo se deriva? 31 00:04:05,669 --> 00:04:19,660 La derivada del logaritmo neperiano de x, según la tabla de derivadas, es 1 partido de x. 32 00:04:20,300 --> 00:04:36,949 Si en lugar de x aparece una función, la derivada será 1 partido de f de x, 33 00:04:37,970 --> 00:04:42,709 estamos derivando el logaritmo, pero luego tendremos que multiplicar por la derivada de f. 34 00:04:44,600 --> 00:04:51,060 Entonces, en este ejemplo, aquí tendríamos que escribir la derivada del logaritmo neperiano del seno de x, 35 00:04:51,060 --> 00:05:03,139 La derivada del logaritmo es 1 partido del seno de x y ahora multiplicaríamos por la derivada del seno, que es el coseno de x. 36 00:05:07,649 --> 00:05:12,829 O sea que en este caso nos daría la cotangente de x. 37 00:05:17,720 --> 00:05:26,949 Segunda función, elevado a x cuadrado más 2x menos 1. 38 00:05:26,949 --> 00:05:37,379 Esto también es una función compuesta. En el exponente de la exponencial no tenemos la variable x, sino que tenemos otra función. 39 00:05:38,199 --> 00:05:46,060 La derivada de elevado a x es ella misma, elevado a x. 40 00:05:46,060 --> 00:05:52,439 pero si en lugar de x tenemos una función en el exponente f de x 41 00:05:52,439 --> 00:05:59,139 la derivada aplicando la regla de la cadena sería e elevado a f de x 42 00:05:59,139 --> 00:06:03,860 es decir igual que hacemos aquí pero en lugar de x tenemos f de x 43 00:06:03,860 --> 00:06:08,420 pero tenemos que añadir multiplicado por la derivada de f 44 00:06:08,420 --> 00:06:15,160 entonces en nuestro ejemplo la derivada de la función sería 45 00:06:15,160 --> 00:06:19,920 elevado a x cuadrado más 2x menos 1 46 00:06:19,920 --> 00:06:23,939 multiplicado por la derivada de este polinomio 47 00:06:23,939 --> 00:06:28,259 La derivada de este polinomio sería 2x más 2 48 00:06:28,259 --> 00:06:33,379 Así que esta sería la derivada de esta función compuesta 49 00:06:33,379 --> 00:06:37,939 Veamos otro ejemplo más 50 00:06:37,939 --> 00:06:52,170 Por ejemplo, esta función 51 00:06:52,170 --> 00:06:55,879 que si os dais cuenta 52 00:06:55,879 --> 00:07:03,860 es una función compuesta 53 00:07:03,860 --> 00:07:08,639 Ahora, ¿cómo se deriva una función potencial? 54 00:07:11,589 --> 00:07:18,310 Pues la derivada de la función potencial es n por x elevado a n-1. 55 00:07:19,089 --> 00:07:25,189 Lo que ocurre es que ahora en lugar de x tenemos un polinomio, 56 00:07:26,829 --> 00:07:30,870 es decir, una función f de x elevado a n. 57 00:07:30,870 --> 00:07:44,470 La derivada, aplicando la regla de la cadena, será n f de x elevado a n-1, y ahora por la derivada de f. 58 00:07:47,949 --> 00:07:58,449 En nuestro ejemplo, la derivada de esta función sería, derivamos como una función potencial, 59 00:07:58,449 --> 00:08:11,120 1 medio, este polinomio quedaría elevado a 1 medio menos 1, que es menos 1 medio, y 60 00:08:11,120 --> 00:08:15,860 ahora tendríamos que añadir la derivada de este polinomio. Y la derivada de este polinomio 61 00:08:15,860 --> 00:08:38,610 sería 4x cubo menos 6x al cuadrado. Arreglando un poco esa expresión, nos quedaría este 62 00:08:38,610 --> 00:08:44,549 resultado y podemos simplificar un poco más dividiendo entre dos, numerador y denominador. 63 00:08:56,309 --> 00:09:01,250 Para finalizar este vídeo sobre la regla de la cadena vamos a realizar un ejercicio 64 00:09:01,250 --> 00:09:07,470 de cinemática relativo a un movimiento circular uniforme. Nos dan el vector de posición de 65 00:09:07,470 --> 00:09:13,710 una partícula donde r está expresado en metros, t en segundos y ω es la velocidad 66 00:09:13,710 --> 00:09:19,470 angular de la partícula. En el apartado A nos piden el vector velocidad de la partícula 67 00:09:19,470 --> 00:09:26,750 en cualquier instante y su módulo. El vector velocidad es la derivada del vector posición 68 00:09:26,750 --> 00:09:35,809 con respecto al tiempo. Derivando estas dos componentes nos damos cuenta que seno de omega 69 00:09:35,809 --> 00:09:41,450 t es una función compuesta y el coseno de omega t es otra función compuesta. Vamos 70 00:09:41,450 --> 00:09:47,470 a aplicar la regla de la cadena. Por un lado, r, que es una constante, sale fuera de la 71 00:09:47,470 --> 00:09:56,129 derivada, la derivada del seno de omega t sería coseno de omega t por la derivada de 72 00:09:56,129 --> 00:10:04,610 omega t con respecto al tiempo que es omega. La segunda componente, r sale fuera de la 73 00:10:04,610 --> 00:10:14,440 derivada, coseno de omega t, su derivada es menos seno de omega t y la derivada de omega 74 00:10:14,440 --> 00:10:39,740 con respecto al tiempo es omega. Podemos extraer el factor común r omega. Esta velocidad la 75 00:10:39,740 --> 00:10:52,929 expresaríamos en metros partido por segundo. El módulo de esta velocidad sería la raíz 76 00:10:52,929 --> 00:11:11,289 cuadrada de la primera componente al cuadrado más la segunda componente al cuadrado. Por 77 00:11:11,289 --> 00:11:17,850 la relación fundamental de la trigonometría esto es igual a 1, con lo cual el resultado 78 00:11:17,850 --> 00:11:24,899 sería R omega, unidades metros partido por 2. 79 00:11:25,759 --> 00:11:33,340 Vemos que el módulo de la velocidad es una constante, puesto que R es, bueno, luego lo 80 00:11:33,340 --> 00:11:38,600 vamos a ver, es el radio de la trayectoria, una trayectoria circular, y omega era la velocidad 81 00:11:38,600 --> 00:11:42,539 angular que le llevaba la partícula y no depende del tiempo, es una constante. 82 00:11:42,539 --> 00:11:52,360 En el apartado B nos piden la aceleración en cualquier instante y su módulo. 83 00:11:53,700 --> 00:11:59,639 La aceleración es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo. 84 00:12:01,120 --> 00:12:02,899 Derivando de nuevo esta expresión, 85 00:12:04,600 --> 00:12:11,549 tendríamos la derivada del coseno de omega t, 86 00:12:12,590 --> 00:12:16,190 sería menos seno de omega t, 87 00:12:16,190 --> 00:12:24,710 y aplicando la regla de la cadena multiplicamos por omega, que es la derivada de omega t con respecto al tiempo. 88 00:12:27,669 --> 00:12:34,269 La segunda componente, la derivada del seno de omega t es coseno de omega t 89 00:12:34,269 --> 00:12:49,960 y la derivada de omega t es omega, sacando factor común a menos r de omega cuadrado. 90 00:12:56,350 --> 00:13:04,169 Esta sería la aceleración expresada en metros partido de segundo cuadrado. 91 00:13:04,169 --> 00:13:55,769 El módulo de este vector sería la raíz cuadrada de cuadrado del primero más cuadrado del segundo y aquí tenemos de nuevo la relación fundamental de la trigonometría, seno cuadrado omega t más coseno cuadrado de omega t es igual a 1, así que el resultado final es r unido al cuadrado. 92 00:13:55,769 --> 00:14:08,070 En el apartado C nos piden las componentes intrínsecas de la aceleración. 93 00:14:09,350 --> 00:14:13,029 Vamos a ver de dónde vienen las dos componentes que tiene la aceleración. 94 00:14:16,419 --> 00:14:17,179 Apartado C. 95 00:14:40,029 --> 00:14:57,370 La velocidad es un vector que lo podemos escribir como módulo de v por un vector unitario en la dirección de v. 96 00:14:57,370 --> 00:15:05,399 Hemos visto que la aceleración era la derivada del vector velocidad con respecto al tiempo. 97 00:15:05,419 --> 00:15:19,409 derivando el vector velocidad como un producto, esto sería la derivada del módulo de v con respecto al tiempo 98 00:15:19,409 --> 00:15:33,000 por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la derivada del vector unitario en la dirección de v 99 00:15:33,000 --> 00:15:40,610 con respecto al tiempo. Esto es lo que da lugar a las dos componentes intrínsecas de la aceleración. 100 00:15:40,990 --> 00:15:47,570 Este primer término que tenemos aquí es lo que llamamos aceleración tangencial. 101 00:15:48,389 --> 00:15:53,750 Es la que da cuenta de la variación en el módulo de la velocidad. 102 00:15:56,799 --> 00:16:05,500 En este otro término, la variación que estamos apreciando en el vector es en la dirección. 103 00:16:10,720 --> 00:16:14,299 A este otro componente se le llama aceleración normal. 104 00:16:14,299 --> 00:16:22,759 Cuando el movimiento es rectilíneo, la variación en la dirección es 0, es nula 105 00:16:22,759 --> 00:16:29,000 Con lo cual la aceleración normal es 0 y la aceleración coincide con la aceleración tangencial 106 00:16:29,000 --> 00:16:37,759 En este ejercicio que estamos haciendo, donde tenemos un movimiento circular uniforme 107 00:16:37,759 --> 00:16:49,769 La trayectoria, como veremos en el apartado D, es una circunferencia de radio r. 108 00:16:51,570 --> 00:16:57,809 En este caso, la velocidad, el módulo de la velocidad, no varía con respecto del tiempo. 109 00:16:57,809 --> 00:16:59,490 Lo hemos calculado anteriormente. 110 00:17:01,409 --> 00:17:09,819 Hemos visto que la velocidad, el módulo de la velocidad, es r omega. 111 00:17:09,819 --> 00:17:11,460 Ah, tenemos aquí. 112 00:17:16,470 --> 00:17:18,950 Esto es una constante, no depende del tiempo, 113 00:17:20,950 --> 00:17:26,450 con lo cual en este movimiento la aceleración tangencial va a ser nula. 114 00:17:28,849 --> 00:17:30,230 ¿Por qué existe aceleración? 115 00:17:30,230 --> 00:17:35,170 Pues existe aceleración porque hay cambio en la velocidad. 116 00:17:35,829 --> 00:17:39,970 Recordad que la velocidad es siempre tangente, 117 00:17:40,029 --> 00:17:44,250 el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria 118 00:17:44,250 --> 00:17:52,269 y tratándose de un movimiento con cierta curvatura, en este caso un movimiento circular, 119 00:17:53,549 --> 00:17:55,750 sí que observamos cambio en la dirección. 120 00:17:57,430 --> 00:18:03,609 O sea que la aceleración que vamos a tener en un movimiento circular uniforme es la aceleración normal. 121 00:18:05,190 --> 00:18:10,910 Aceleración normal, que podemos deducir su expresión. 122 00:18:10,910 --> 00:18:20,259 hemos visto que el módulo de a que hemos calculado antes era r omega al cuadrado 123 00:18:20,259 --> 00:18:26,039 como en este caso coincide con el módulo de a sub n 124 00:18:26,039 --> 00:18:29,460 con el módulo de la aceleración normal 125 00:18:29,460 --> 00:18:37,220 haciendo los cálculos tendremos que la aceleración normal 126 00:18:37,220 --> 00:18:42,200 la podemos expresar así en función de omega 127 00:18:42,200 --> 00:19:07,420 o teniendo en cuenta que r omega era la velocidad lineal, tenemos esta otra expresión conocida, que es v cuadrado partido de r. 128 00:19:08,579 --> 00:19:17,809 Por último, el apartado d nos pide la ecuación de la trayectoria. 129 00:19:17,809 --> 00:19:41,390 El vector posición que venía dado por esta expresión nos da las componentes x e y en función del tiempo 130 00:19:41,390 --> 00:20:02,490 Para eliminar el parámetro t en estas ecuaciones lo que vamos a hacer va a ser elevar al cuadrado cada una de ellas 131 00:20:02,490 --> 00:20:42,750 y sumando vemos que esto es igual a 1 y nos queda la ecuación de una circunferencia centrada en el origen y de radio R. 132 00:20:43,069 --> 00:20:56,309 Bien, por último considerar este apel de GeoGebra que nos representa el movimiento circular uniforme que acabamos de estudiar. 133 00:20:56,309 --> 00:21:01,829 Para t igual a 0 el vector de posición nos da este punto inicial 134 00:21:01,829 --> 00:21:14,109 Variando los parámetros de r y omega vamos obteniendo diferentes valores para el módulo de la velocidad y el módulo de la aceleración 135 00:21:14,109 --> 00:21:19,390 La aceleración solamente tiene una componente que es la aceleración normal 136 00:21:19,390 --> 00:21:26,289 La que da cuenta de la variación en la dirección del vector velocidad 137 00:21:27,230 --> 00:21:31,049 El módulo no cambia, con lo cual la aceleración tangencial es cero. 138 00:21:31,650 --> 00:21:35,529 Por otro lado, omega está relacionado con el periodo. 139 00:21:35,789 --> 00:21:39,170 El periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta completa el móvil. 140 00:21:40,109 --> 00:21:45,089 Con lo cual la relación entre omega y t es 2pi partido de t es igual a omega.