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00:00:05,320 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,969 --> 00:00:39,509
En la videoclase de hoy estudiaremos las asíntotas de funciones.

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00:00:40,549 --> 00:00:50,710
A continuación vamos a estudiar las asíntotas.

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00:00:51,310 --> 00:00:58,770
Las asíntotas son rectas a las cuales la gráfica de la función va a tender a aproximarse infinitamente sin llegar a tocarla.

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00:00:58,770 --> 00:01:06,329
Sin llegar a tocarla en aquellos lugares en donde la asíntota funcione como tal, cosa que vamos a discutir dentro de un momento.

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00:01:07,609 --> 00:01:16,090
Asíntotas, nosotros vamos a tener tres, asíntotas verticales, horizontales u oblicuas, que se corresponden con las posiciones posibles de una recta dentro del plano.

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00:01:16,709 --> 00:01:19,650
Puede ser vertical, horizontal o bien inclinada una asíntota oblicua.

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00:01:19,650 --> 00:01:41,590
En este caso vemos aquí a la derecha ejemplos de una función que tiene dos asíndotas verticales. Fijaos en que cuando la x tiende a aproximarse al valor menos 2, tanto por la izquierda como por la derecha, la función tiende a tomar valores arbitrariamente grandes, tiende a tomar valores hacia más infinito.

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00:01:42,450 --> 00:01:52,489
Pero vemos que en el dibujo de la función tiende a aproximarse por ambos lados hacia esa recta vertical, x igual a menos 2, pero no va a llegar a tocarla nunca.

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00:01:52,989 --> 00:02:10,729
Lo mismo nos ocurre en el caso x igual a 2. Vemos que si pintamos la función tanto por la izquierda como por la derecha, la función decrece, toma valores próximos o tendientes hacia menos infinito, próximos aproximándose a esa recta x igual a 2, pero sin llegar a tocarla nunca.

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00:02:10,729 --> 00:02:14,669
x igual a 2 también es una asíntota vertical.

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00:02:16,009 --> 00:02:23,229
Asimismo, esta función tiene asíntotas horizontales, también y igual a 2, y igual a menos 2.

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00:02:24,030 --> 00:02:29,009
En este caso, las asíntotas horizontales no se corresponden con un valor concreto de x,

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00:02:29,110 --> 00:02:35,669
sino con valores de x tendientes a más infinito, arbitrariamente grandes, o a menos infinito, arbitrariamente pequeños.

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00:02:36,430 --> 00:02:43,750
Fijaos qué es lo que ocurre si pintamos la gráfica de la función tomando hacia la izquierda valores arbitrariamente pequeños.

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00:02:43,889 --> 00:02:51,750
Vemos que en ese caso la función, si la pintamos de derecha a izquierda, veríamos que estaría bajando y se curva.

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00:02:52,129 --> 00:03:00,930
De tal forma que tendería a aproximarse cada vez más a esta recta y igual a menos 2, pero en principio sin llegar a tocarla nunca.

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00:03:01,289 --> 00:03:12,870
Esta recta igual a menos 2, a la cual la función tiende a aproximarse cuando la x tiende hacia menos infinito, pero no se llegará a tocarla nunca, es una asíntota horizontal.

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00:03:13,550 --> 00:03:15,930
Y en este caso, cuando x tiende a menos infinito.

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00:03:17,409 --> 00:03:21,930
Cuando x tiende a más infinito, esta asíntota vertical no es la que corresponde.

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00:03:22,810 --> 00:03:26,150
Podría no haber asíntota horizontal cuando x tiende a más infinito.

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00:03:26,250 --> 00:03:29,569
No necesariamente tiene que existir de existir en los dos extremos.

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00:03:29,569 --> 00:03:46,830
Y en este caso existen ambas y son distintas. Resulta que cuando x tiende a más infinito, cuando pintamos la función hacia la derecha, tomando la x valores arbitrariamente grandes, la función es creciente, tomando valores cada vez más próximos a este valor de y igual a 2, pero sin llegar a tocarlo nunca.

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00:03:47,490 --> 00:03:53,210
En este caso, y igual a 2 es una asíntota horizontal de la función cuando x tiende a más infinito.

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00:03:53,210 --> 00:03:57,289
Decía que la asíntota horizontal

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00:03:57,289 --> 00:04:00,909
lo es cuando corresponde. Acabo de decir que

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00:04:00,909 --> 00:04:05,650
y igual a 2 es asíntota horizontal de la función cuando x tiende a más infinito

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00:04:05,650 --> 00:04:09,210
En la definición de asíntota horizontal figura que

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00:04:09,210 --> 00:04:12,509
la función tiende a aproximarse sin llegar a tocar

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00:04:12,509 --> 00:04:17,410
Fijaos que en este punto y en este punto la función toma valores

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00:04:17,410 --> 00:04:21,029
y igual a 2. Si yo hubiera pintado esta asíntota horizontal

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00:04:21,029 --> 00:04:26,889
hasta el extremo de menos infinito, veríamos que la función no es que se aproxime,

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00:04:27,069 --> 00:04:30,889
es que corta a la recta y igual a 2 en estos dos puntos.

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00:04:31,310 --> 00:04:37,329
¿Qué es lo que ocurre? Que en esta región la función y igual a 2 no actúa como una asíntota.

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00:04:37,850 --> 00:04:40,589
Solo lo es en el extremo cuando x tiende a más infinito.

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00:04:40,589 --> 00:04:44,089
Y es aquí, en el extremo con x tendiendo a más infinito,

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00:04:44,430 --> 00:04:48,329
en el que la función se aproxima a la asíntota sin llegar a tocarla.

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00:04:48,329 --> 00:04:54,829
pero por aquí es posible que llegara a tocarla. Lo mismo, por cierto, con la asíntota cuando x

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00:04:54,829 --> 00:05:01,529
tiende a menos infinito y igual a menos 2. En este extremo de la función, cuando la y, perdón,

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00:05:01,610 --> 00:05:06,269
cuando x se aproxima a menos infinito, la función se aproxima a la asíntota sin llegar a tocarla,

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00:05:06,769 --> 00:05:11,329
pero es cierto que si prolongáramos la asíntota en estos dos puntos la función la corta. Bien,

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00:05:11,569 --> 00:05:17,189
correcto, pero es que en esta región la función no actúa como asíntota horizontal, tan solo cuando

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00:05:17,189 --> 00:05:22,730
la x tiende a menos infinito. Las asíntotas oblicuas son algo más

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00:05:22,730 --> 00:05:27,149
difíciles de caracterizar y en este caso vemos un ejemplo. Vemos esta línea

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00:05:27,149 --> 00:05:33,430
oblicua, se corresponde con la recta y igual a x y vemos que la función, aparte

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00:05:33,430 --> 00:05:39,310
de la asíntota vertical x igual a cero, vemos que la función cuando la x se

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00:05:39,310 --> 00:05:43,069
aproxima a cero, tanto por la izquierda como la derecha, tiende a aproximarse

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00:05:43,069 --> 00:05:47,029
mucho al eje de las y, es a la recta x igual a cero, pero sin llegar a tocarlo

51
00:05:47,029 --> 00:05:52,389
nunca. Y en los límites, cuando x tiende a menos infinito y a más infinito, la función tiende a

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00:05:52,389 --> 00:05:58,069
aproximarse muchísimo a esta línea que tenemos aquí pintada, oblicua, y igual a x, pero sin llegar a

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00:05:58,069 --> 00:06:04,790
tocarla nunca. En este ejemplo, la recta y igual a x, la recta oblicua y igual a x, es una asíntota

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00:06:04,790 --> 00:06:10,889
oblicua de la función, cuando x tiende tanto a más infinito como cuando x tiende a menos infinito.

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00:06:11,649 --> 00:06:16,529
Como vemos aquí, las asíntotas que aquí hemos caracterizado de una forma un tanto sui generis a

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00:06:16,529 --> 00:06:22,009
partir de la gráfica de la función, se podrán caracterizar de una forma rigurosa algebraica

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00:06:22,009 --> 00:06:29,829
cuando lleguemos a la unidad donde estudiamos los límites de funciones. Vamos a utilizar estos dos

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00:06:29,829 --> 00:06:35,850
ejemplos en este ejercicio 5 para ver cómo podríamos caracterizar las asíntotas de una

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00:06:35,850 --> 00:06:41,490
función dada por una gráfica. Aquí tenemos una función, vamos a llamar a, puesto que se trata

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00:06:41,490 --> 00:06:46,550
del apartado A y vamos en primer lugar a buscar si tiene asíntotas verticales, luego si tiene

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00:06:46,550 --> 00:06:52,689
horizontales y luego si tiene oblicuas. Vemos que tiene la asíntota vertical x igual a 0, puesto

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00:06:52,689 --> 00:06:58,670
que el eje de las y actúa como asíntota. Nos podemos fijar en que cuando la función toma valores

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00:06:58,670 --> 00:07:04,529
x tendientes a 0, tanto por la izquierda como por la derecha, tiende a aproximarse al eje de las y,

64
00:07:04,629 --> 00:07:09,990
pero vemos que sin llegar a tocarlo nunca. Así pues, x igual a 0 es una asíntota vertical.

65
00:07:10,769 --> 00:07:16,009
Esta función no tiene asíntotas horizontales, puesto que estamos viendo que tiene una asíntota oblicua.

66
00:07:16,589 --> 00:07:24,550
La recta y igual a x, que es esta que está aquí pintada con trazo subrayado, es una asíntota oblicua,

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00:07:24,689 --> 00:07:28,589
puesto que conforme x tiende a más infinito o bien x tiende a menos infinito,

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00:07:28,589 --> 00:07:34,170
cuando dibujamos la gráfica de la función con valores arbitrariamente grandes o arbitrariamente pequeños de x,

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00:07:34,529 --> 00:07:39,810
tiende a aproximarse a esa línea recta, a la que viene dada por este trazo punteado, pero sin llegar a tocarla nunca.

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00:07:39,990 --> 00:07:54,269
Así pues, esta función tiene asíntota vertical x igual a cero, no tiene asíntotas horizontales y tiene la asíntota oblicua y igual a x en ambos límites cuando x tiende a más infinito y a menos infinito.

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00:07:55,230 --> 00:08:03,910
En cuanto al segundo ejemplo, esta función que vamos a llamar b, puesto que se trata del apartado b, vemos que tiene una asíntota vertical y una asíntota horizontal.

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00:08:04,509 --> 00:08:09,889
En este caso la asíndota vertical es esta recta x igual a menos 2 que tenemos aquí representada.

73
00:08:10,290 --> 00:08:20,009
La función cuando x tiende a menos 2 por la derecha o por la izquierda vemos que tiende a aproximarse a la recta que da la asíndota vertical pero sin llegar a tocarla nunca.

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00:08:20,009 --> 00:08:29,790
Y lo mismo en el límite cuando x tiende a más infinito, cuando x toma valores arbitrariamente grandes, x tendiendo a menos infinito, x tomando valores arbitrariamente pequeños.

75
00:08:29,790 --> 00:08:36,169
La función tiende a aproximarse a esta recta horizontal i igual a 1, pero sin llegar a tocarla nunca.

76
00:08:37,029 --> 00:08:44,789
Puesto que la función tiene ambas asíntotas horizontales y la función se aproxima a rectas horizontales, no va a tener asíntotas oblicuas, como vemos aquí.

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00:08:48,029 --> 00:08:53,750
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:08:54,509 --> 00:08:58,590
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:08:59,450 --> 00:09:04,169
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

80
00:09:04,730 --> 00:09:06,129
Un saludo y hasta pronto.