1
00:00:00,740 --> 00:00:03,899
Hola, vamos a ver los primeros seis ejercicios del tema 6.

2
00:00:04,679 --> 00:00:09,419
El primer ejercicio es un típico de integral definida para aplicar directamente la regla de Barrow.

3
00:00:09,980 --> 00:00:14,500
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer primero es sacar una primitiva de 5 menos x cuadrado,

4
00:00:14,619 --> 00:00:20,100
que sería 5x menos x cubo partido de 3,

5
00:00:20,940 --> 00:00:25,519
y como es una integral definida, la tenemos que evaluar en el menos 1 y en el 2.

6
00:00:25,519 --> 00:00:32,700
Vale, aplicamos la regla de Barrow y sería el valor de la primitiva en 2, es decir 5 por 2, 10

7
00:00:32,700 --> 00:00:41,420
Menos 8 tercios, eso sería evaluado en el 2, menos el valor de la función en el menos 1

8
00:00:41,420 --> 00:00:45,500
Que sería menos 5 más 1 tercio

9
00:00:45,500 --> 00:00:51,719
10 menos 8 tercios son 30 menos 8, 22 tercios

10
00:00:51,719 --> 00:01:06,659
Y aquí sería menos, menos 5 más un tercio son menos 14 tercios, luego más 14 tercios, en total 36 tercios, es decir, 12.

11
00:01:07,939 --> 00:01:19,700
En el ejercicio 2 hacemos exactamente lo mismo, calculamos la primitiva, que sería menos x cuadrado más x, y lo vamos a evaluar en el 1 y en el 3.

12
00:01:19,700 --> 00:01:24,599
Luego por arregla de barro, este es el valor de la función en el 3

13
00:01:24,599 --> 00:01:28,260
Es decir, menos 9 más 3

14
00:01:28,260 --> 00:01:34,719
Menos el valor de la función en el 1, que sería menos 1 más 1

15
00:01:34,719 --> 00:01:38,060
Y esto nos da menos 6

16
00:01:38,060 --> 00:01:44,719
El ejercicio 3, a ver, ahora lo que tenemos es un valor absoluto

17
00:01:44,719 --> 00:01:49,799
Lo primero, vamos a recordar, o sea, el valor absoluto es una función definida a trozos.

18
00:01:50,700 --> 00:01:54,900
Por lo tanto, yo lo puedo escribir, el valor absoluto de x es la función definida a trozos,

19
00:01:55,019 --> 00:02:02,599
que es x cuando la x es mayor o igual que 0 y menos x cuando la x es menor que 0.

20
00:02:03,760 --> 00:02:08,280
Pero, ¿qué ocurre? Que los límites de integración están en una parte positiva y en una parte negativa.

21
00:02:08,280 --> 00:02:13,520
Por lo tanto, coge las dos funciones, es decir, si yo me dibujo la función,

22
00:02:14,719 --> 00:02:21,599
vale, esta es mi x, esta es mi y, la función son las dos bisectrices,

23
00:02:22,460 --> 00:02:26,699
vale, esta sería para la parte positiva, esta es la recta y igual a x,

24
00:02:28,419 --> 00:02:31,840
y para la otra, bueno, viene hasta aquí, y aquí sería la otra bisectriz,

25
00:02:31,840 --> 00:02:42,400
que sería y igual a menos x, vale, y nosotros lo estamos evaluando en el menos 1 y en el 2,

26
00:02:42,400 --> 00:02:46,939
pero ¿qué ocurre? que justamente en el 0 nos cambia la función ¿vale?

27
00:02:47,000 --> 00:02:51,960
esto cuando ya os he dicho que en el fondo calcular una integral definida es calcular un área

28
00:02:51,960 --> 00:02:54,879
lo que nos están pidiendo es calcular estas áreas ¿vale?

29
00:02:56,120 --> 00:02:59,419
pero como son dos funciones diferentes que cambian en el 0

30
00:02:59,419 --> 00:03:01,560
tenemos que aplicar la propiedad de las integrales

31
00:03:01,560 --> 00:03:04,340
y entonces la tenemos que hacer como dos integrales

32
00:03:04,340 --> 00:03:06,919
como suma de integrales una que va desde el menos 1 al 0

33
00:03:06,919 --> 00:03:11,879
de la función menos x ¿vale? porque estamos en la parte negativa

34
00:03:11,879 --> 00:03:22,060
diferencial de x más la integral entre 0 y 2 la parte positiva de x diferencial de x pues nada

35
00:03:22,060 --> 00:03:27,539
como hemos hecho antes aplicamos la primitiva o sea calculamos la primitiva para aplicar la regla

36
00:03:27,539 --> 00:03:34,860
de barro y me queda que aquí es menos x cuadrado partido de 2 lo vamos a evaluar en el menos 1 y 0

37
00:03:34,860 --> 00:03:42,300
más x cuadrado partido de 2, pero ahora evaluado en el 0, 2.

38
00:03:44,259 --> 00:03:47,460
Sustituimos, en el 0 me da 0 y ahora sería menos,

39
00:03:48,639 --> 00:03:52,520
en el menos 1 sería menos 1 medio, con el menos se nos transforma en más 1 medio.

40
00:03:53,900 --> 00:03:57,759
Y ahora más, evaluado en el 2 sería 4 entre 2, 2,

41
00:03:57,759 --> 00:04:04,199
y evaluado en el 0 sería 0, luego me queda 1 medio más 2, que son 5 medios.

42
00:04:05,719 --> 00:04:06,240
¿Vale?

43
00:04:07,560 --> 00:04:09,180
Venga, vamos con el 4.

44
00:04:09,580 --> 00:04:12,819
El 4 es calcular la derivada de una integral.

45
00:04:13,180 --> 00:04:14,719
Bueno, pues ponemos la fórmula.

46
00:04:14,800 --> 00:04:22,339
La fórmula es sustituir en la función que tenga en el integrando el coseno en cada uno de los extremos por la derivada de la función.

47
00:04:22,339 --> 00:04:41,459
Es decir, esto sería coseno en el extremo superior de x cuadrado por la derivada de x cuadrado, que es 2x, menos la función que tengo, el coseno de t en lugar de t en el otro extremo, en 3x, por la derivada de 3x, que es 3.

48
00:04:41,459 --> 00:04:51,660
Es decir, esto es 2x por el coseno de x cuadrado menos 3 por el coseno de 3x.

49
00:04:52,339 --> 00:05:04,560
Y ya estaría. Vamos con el 5. El 5 es calcular una integral definida, ¿vale? Pero es de la función logaritmo neperiano de x.

50
00:05:04,980 --> 00:05:15,680
Esta ya la hemos hecho en el tema anterior cuando calculábamos integrales indefinidas y la forma de hacerla era con un cambio variable llamando u al logaritmo neperiano de x

51
00:05:15,680 --> 00:05:27,259
y por lo tanto diferencial de u será 1 partido por x diferencial de x y diferencial de v va a ser simplemente diferencial de x

52
00:05:27,259 --> 00:05:36,879
y por lo tanto v va a ser x. Aplicamos la fórmula, esto es u por v, luego sería x por logaritmo neperiano de x,

53
00:05:36,879 --> 00:05:48,759
pero ojo, ahora es una integral definida, luego tenemos que evaluarlo en el mismo sitio, en el 1 y 2, menos la integral entre 1 y 2 de v diferencial de u,

54
00:05:48,819 --> 00:06:00,879
que sería x por 1 partido por x diferencial de x, ¿vale? Me preguntasteis en clase que si se puede calcular primero la integral y luego evaluarlo todo al final,

55
00:06:00,879 --> 00:06:11,860
Sí, lo podemos hacer así, ¿vale? Pero bueno, yo lo voy poniendo poco a poco. Si sustituimos en el 2, esto me quedaría 2 por el logaritmo neperiano de 2, ¿vale?

56
00:06:12,579 --> 00:06:20,319
Y ahora si sustituimos en el 1 sería menos 1 por el logaritmo de 1, pero el logaritmo de 1 es 0, por tanto no lo pongo.

57
00:06:20,319 --> 00:06:35,560
Y ahora aquí sería menos esta integral, fijaos que la x con la x se me va y lo único que me queda es la integral de diferencial de x, es decir, me queda x evaluándolo en el 1 y en el 2.

58
00:06:36,500 --> 00:06:45,660
Bueno, pues sustituimos y me queda dos veces el logaritmo neperiano de 2 menos, y aquí sería x en el 2 que es 2 menos x en el 1 que es 1.

59
00:06:45,660 --> 00:06:52,680
¿Y esto qué me queda? Pues simplemente 2 veces logaritmo neperiano de 2, 2 menos 1 es 1, menos 1

60
00:06:52,680 --> 00:06:58,420
¿Vale? Y ahora vamos con la última, con el ejercicio 6

61
00:06:58,420 --> 00:07:02,420
Que después de haber hecho la otra que era una integración por partes

62
00:07:02,420 --> 00:07:06,079
Pues nos da la sensación de que aquí a lo mejor también podría ser una integración por partes

63
00:07:06,079 --> 00:07:09,540
Pero esta es una inmediata, yo creo que también le hemos hecho una muy parecida

64
00:07:09,540 --> 00:07:14,579
Lo único que tengo que hacer es subir el elevado a x cuadrado del denominador al numerador

65
00:07:14,579 --> 00:07:21,279
para que lo veamos más claramente, esto es la integral entre 0 y 1 de x por e elevado a menos x cuadrado

66
00:07:21,279 --> 00:07:25,279
porque esto es un exponencial y la x es justamente la derivada del exponente

67
00:07:25,279 --> 00:07:28,600
me falta un menos 2, ¿vale? pero eso ahora lo ponemos

68
00:07:28,600 --> 00:07:35,180
es decir, calculamos la primitiva y esto sería menos, o sea, perdón, e elevado a menos x cuadrado

69
00:07:35,180 --> 00:07:39,779
y que hemos dicho que nos faltaba para que tuviéramos toda la derivada, me falta un menos 2

70
00:07:39,779 --> 00:07:43,240
pongo aquí un menos y lo divido entre 2, ¿vale?

71
00:07:43,240 --> 00:08:01,000
Y esto lo vamos a evaluar en el 0 y en el 1, ¿vale? En el 1 sustituimos y aquí que me queda e, perdón, menos elevado a menos 1, ojo que el menos no está dentro del cuadrado, ¿vale? No es menos 1 al cuadrado, es menos 1 al cuadrado.

72
00:08:02,100 --> 00:08:13,000
Menos e elevado a menos 1 partido de 2, menos, y ahora lo evaluamos en el 0, elevado a 0 es 1 y me quedaría menos 1 medio, con este menos me queda más 1 medio.

73
00:08:14,199 --> 00:08:22,639
Por lo tanto, si lo queremos poner para dejar el positivo primero, esto sería 1 menos e elevado a menos 1 partido de 2.

74
00:08:23,220 --> 00:08:26,800
Y lo podríamos dejar así para no tener que estar calculando y que nos queden números decimales.