1 00:00:00,350 --> 00:00:04,150 Durante la etapa escolar, una de las preguntas más frecuentes entre los estudiantes es 2 00:00:04,150 --> 00:00:04,990 ¿para qué sirve? 3 00:00:05,589 --> 00:00:09,410 Esta pregunta aparece especialmente en matemáticas, una asignatura en la que a veces cuesta ver 4 00:00:09,410 --> 00:00:10,169 su aplicación práctica. 5 00:00:10,830 --> 00:00:14,050 Sin embargo, la teoría de grafos es una de esas ramas en las que las matemáticas se 6 00:00:14,050 --> 00:00:15,269 conectan directamente con la realidad. 7 00:00:16,030 --> 00:00:19,449 Se aplica tanto en la búsqueda de rutas óptimas como en el estudio de las relaciones humanas. 8 00:00:19,850 --> 00:00:23,269 Buenas tardes, soy Iván Rodríguez y les presento mi proyecto Teoría de Grafos y Niños Invisibles. 9 00:00:24,589 --> 00:00:28,089 Comenzaré explicando el origen de esta teoría para luego desarrollar sus aspectos fundamentales. 10 00:00:28,850 --> 00:00:33,170 Posteriormente, describiré cuatro tipos de grafos que sean esenciales para la comprensión de la parte práctica, 11 00:00:33,289 --> 00:00:34,990 que consistirá en la realización de un sociograma. 12 00:00:36,950 --> 00:00:40,429 El origen de esta teoría se remonta al siglo XVIII, en la ciudad de Konigsberg, Rusia. 13 00:00:40,789 --> 00:00:45,570 La ciudad estaba atravesada por el río Preler, que se dividía en varios brazos formando dos siglas, unidas por siete puentes. 14 00:00:46,469 --> 00:00:50,049 Los habitantes se preguntaban si sería posible atravesar todos los puentes sin repetir ninguno. 15 00:00:50,710 --> 00:00:55,710 Esta pregunta despertó el interés de Leonhard Euler, quien en 1736 demostró que era imposible, 16 00:00:55,890 --> 00:00:57,810 pero lo importante fue su forma de razonar. 17 00:00:58,090 --> 00:01:03,549 representó las zonas de tierra con vértices y los puentes con aristas, creando así un grafo. 18 00:01:04,010 --> 00:01:05,409 Pero, ¿qué es un grafo? 19 00:01:05,969 --> 00:01:10,209 Un grafo es un conjunto de vértices, también llamados nodos, los cuales representan elementos reales, 20 00:01:10,609 --> 00:01:14,629 como pueden ser ciudades, un grupo de personas o en general el elemento que queramos estudiar, 21 00:01:15,189 --> 00:01:17,909 y un conjunto de aristas que representan las conexiones entre esos elementos. 22 00:01:18,670 --> 00:01:21,250 En cada vértice podemos contar cuántas aristas llegan o salen de él. 23 00:01:21,250 --> 00:01:22,930 A ese número se le conoce como grado. 24 00:01:23,370 --> 00:01:25,530 El grado indica la cantidad de conexiones que tiene un vértice. 25 00:01:26,069 --> 00:01:29,090 Por ello, si un vértice no tiene ninguna conexión, se le denomina vértice de grado. 26 00:01:29,930 --> 00:01:36,590 A partir de aquí surge el lema del apretón de manos, que afirma que la suma de los grados de todos los vértices de un grafo es igual al doble del número de aristas. 27 00:01:37,590 --> 00:01:41,909 Se puede visualizar con el hilo de una fiesta. Cada apretón de manos une a dos personas, por lo que es lo mismo. 28 00:01:44,090 --> 00:01:49,390 Cada arista une dos vértices. Por ello, si contamos todas las aristas de un grafo, contaríamos cada vértice dos veces. 29 00:01:49,629 --> 00:01:54,609 Por eso, la suma de todos los grados de un vértice de un grafo es igual a un número par. 30 00:01:55,530 --> 00:01:59,930 Otro concepto fundamental son los subgrafos, que son parte de un grafo original formado 31 00:01:59,930 --> 00:02:03,909 por un subconjunto de vértices y de listas. Los subgrafos permiten estudiar secciones 32 00:02:03,909 --> 00:02:07,909 aisladas del grafo y analizar patrones específicos de conexión. 33 00:02:07,909 --> 00:02:11,710 Por último, una lista puente es una conexión cuya eliminación provoca que el grafo se 34 00:02:11,710 --> 00:02:15,909 divida en dos o más partes, dejando de estar completamente conectado. De manera análoga, 35 00:02:15,909 --> 00:02:18,909 un nodo cuya desaparición también rompe con la conexión del grafo actúa como un 36 00:02:18,909 --> 00:02:21,909 vértice puente. 37 00:02:21,909 --> 00:02:25,409 A partir de los elementos fundamentales se pueden distinguir distintos tipos de grafos. 38 00:02:25,610 --> 00:02:30,550 Cada tipo posee propiedades que resultan útiles para entender la estructura del grafo y el tipo de conexiones entre sus vértices. 39 00:02:31,409 --> 00:02:36,789 Uno de los tipos más conocidos son los grafos eulerianos, en los que se pueden recorrer todas las aristas del grafo una sola vez. 40 00:02:37,370 --> 00:02:41,449 Su nombre proviene del propio Euler, ya que se pretende hacer lo mismo que en el problema de los siete puentes. 41 00:02:42,110 --> 00:02:46,270 La principal curiosidad de los grafos eulerianos es que se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel. 42 00:02:47,349 --> 00:02:50,870 Otro tipo de grafo y símbolo de alta conectividad son los grafos hamiltonianos, 43 00:02:51,349 --> 00:02:53,550 en los que se pueden recorrer todos los vértices del grafo una sola vez, 44 00:02:53,969 --> 00:02:56,689 a diferencia de los soberanos que solo se recorren las aristas una vez. 45 00:02:57,449 --> 00:03:00,930 Si su recorrido termina en el vértice inicial, se obtiene un ciclo hamiltoniano. 46 00:03:01,830 --> 00:03:03,870 Su nombre proviene del matemático William Hamilton, 47 00:03:04,189 --> 00:03:07,030 quien en 1859 creó el famoso juego de Coche and Game, 48 00:03:07,449 --> 00:03:11,469 que consistía en recorrer un dodecaedro pasando exactamente una vez por cada uno de sus 20 vértices. 49 00:03:12,030 --> 00:03:16,610 Un ejemplo cotidiano del grafo hamiltoniano se encuentra en la red de transporte de autobuses, 50 00:03:16,810 --> 00:03:20,030 en la que se busca diseñar un recorrido que pase por cada parada exactamente una vez, 51 00:03:20,030 --> 00:03:23,030 antes de regresar al punto de inicio, creando así un ciclo. 52 00:03:24,789 --> 00:03:28,789 Ahora nos centramos en los árboles, un tipo de grafo que permite ilustrar relaciones jerárquicas. 53 00:03:29,370 --> 00:03:32,969 Los árboles son un tipo de grafo con eso y acíclico, es decir, no tienen ni ciclos ni circuitos. 54 00:03:33,710 --> 00:03:37,789 A las aristas de un árbol se le llaman tamas y los vértices con una sola conexión, hojas. 55 00:03:38,750 --> 00:03:43,930 Un grafo enraizado es una forma especial de llamar a un árbol donde se elige un vértice especial llamado raíz 56 00:03:43,930 --> 00:03:46,689 a partir del cual se enlazan los vértices restantes del grafo. 57 00:03:46,689 --> 00:03:52,490 De los árboles nos centramos en los dígrafos, o grafos dirigidos, que son los utilizados en mi parte práctica 58 00:03:52,490 --> 00:03:58,270 Los grafos dirigidos, las aristas, tienen un sentido determinado, marcado por un extremo de llegada y un extremo de salida 59 00:03:58,270 --> 00:04:04,469 Se debe distinguir entre el grado de entrada, aristas que llegan al vértice, y grado de salida, aristas que parten del vértice 60 00:04:04,469 --> 00:04:09,610 Si la suma de ambos da como resultado 0, se obtiene un vértice de grado, ya que reciben y proporcionan conexiones 61 00:04:11,610 --> 00:04:14,110 Por último, paso a explicar la parte práctica de mi proyecto 62 00:04:14,110 --> 00:04:17,589 El objetivo es estudiar la estructura social de un grupo mediante la teoría de grafos, 63 00:04:18,009 --> 00:04:20,009 identificando los elementos que he explicado anteriormente. 64 00:04:20,550 --> 00:04:25,189 Para ello se utilizó un sociograma, una herramienta utilizada en psicología para detectar cómo influye cada persona en un grupo. 65 00:04:26,170 --> 00:04:31,170 El primer paso fue realizar una encuesta a 28 miembros de un aula de bachillerato con un total de 12 preguntas, 66 00:04:31,310 --> 00:04:35,269 clasificadas en cuatro categorías, académicas, personales, viajes y deportivas. 67 00:04:35,949 --> 00:04:38,470 Una vez recogidos los datos, se organizaron en matrices simétricas. 68 00:04:38,889 --> 00:04:42,290 En ellas, las columnas representan los votos de cada persona, 69 00:04:42,290 --> 00:04:46,910 mientras que las filas reflejan los votos restringidos de cada miembro. 70 00:04:48,230 --> 00:04:52,350 Posteriormente se llevó a cabo la realización de los 12 grafos, correspondientes cada uno a una pregunta. 71 00:04:53,589 --> 00:04:57,829 Para profundizar la estructura del grupo, bueno, para estudiar la organización del grafo, 72 00:04:58,149 --> 00:05:02,790 se dividió en dos grupos, un grafo positivo con las 7 preguntas favorables 73 00:05:02,790 --> 00:05:05,110 y un grafo negativo con las 5 preguntas desfavorables. 74 00:05:05,990 --> 00:05:07,970 Al realizar el análisis comparativo entre ambos grupos, 75 00:05:08,089 --> 00:05:10,769 se pudieron observar diferencias significativas en la distribución de elecciones. 76 00:05:11,490 --> 00:05:15,069 En el grafo positivo, las elecciones se encuentran más repartidas entre los nodos, destacando 77 00:05:15,069 --> 00:05:20,069 los vértices 21, 10, 7 y 14, con grados moderados entre 4 y 7. 78 00:05:20,589 --> 00:05:23,629 Esto indica que las elecciones no se concentran en unos pocos individuos, sino que existe 79 00:05:23,629 --> 00:05:26,250 una variedad de nodos que son considerados positivamente dentro del aula. 80 00:05:28,050 --> 00:05:31,649 Como resultado de ello, en el grafo positivo solo se encuentra un vértice en grado, el 81 00:05:31,649 --> 00:05:33,050 número 8, coloreado de rojo. 82 00:05:34,209 --> 00:05:37,410 Por el contrario, en el grafo negativo se observa una mayor concentración de elecciones 83 00:05:37,410 --> 00:05:40,990 en torno a unos pocos nodos, que acumula un número considerablemente superior respecto 84 00:05:40,990 --> 00:05:47,509 a los demás, siendo estos los nodos 20, 22, 3 y 4, alcanzando en el nodo 20 un grado máximo 85 00:05:47,509 --> 00:05:52,550 de 17 lecciones. Como resultado de esta mayor compactación, se obtiene un elevado número 86 00:05:52,550 --> 00:05:56,509 de vértices aislados, habiendo un total en el grafo negativo de 8, frente a uno que hay 87 00:05:56,509 --> 00:06:02,269 en el grafo positivo. Para profundizar en la estructura del grupo, se estudió la conectividad 88 00:06:02,269 --> 00:06:06,649 del grafo. Una de las claves para este análisis es la reciprocidad, que muestra que relaciones 89 00:06:06,649 --> 00:06:10,930 son mutuas y permite identificar los subgrafos presentes, mostrándose los diferentes niveles 90 00:06:10,930 --> 00:06:16,009 de conexión. Para este paso se priorizaban las preguntas 3 y 4, ya que están relacionadas 91 00:06:16,009 --> 00:06:20,129 con aspectos personales entre los compañeros. Al realizar la conectividad del grafo se pueden 92 00:06:20,129 --> 00:06:24,009 observar 6 subgrafos, diferenciados por colores, cada uno con diferentes niveles de conexión 93 00:06:24,009 --> 00:06:28,649 y relación interna. Por ejemplo, el subgrafo rojo, formado por 4 vértices, presenta un 94 00:06:28,649 --> 00:06:33,170 vértice fuente, el 1, que conecta con el subgrafo azul. El subgrafo morado, formado 95 00:06:33,170 --> 00:06:38,610 por los vértices 4, 25, 22 y 26 presenta un ciclo, lo que indica un alto nivel de conectividad 96 00:06:38,610 --> 00:06:42,370 interna, ya que todos los vértices están conectados de manera que se pueden recorrer 97 00:06:42,370 --> 00:06:47,889 todas las aristas y regresar al punto de inicio. Otros subgrafos, como el verde, el naranja 98 00:06:47,889 --> 00:06:52,730 o el rosa, presentan una menor conectividad interna. En el caso del rosa, el 18 actúa 99 00:06:52,730 --> 00:06:57,009 como vértice puente conectado con el subgrafo azul y el 6 conectado con el morado. Por otro 100 00:06:57,009 --> 00:07:00,810 lado, en el caso del naranja, el 21 también actúa como puente conectado con el azul y 101 00:07:00,810 --> 00:07:06,029 el 12 conectando con el verde. En este grafo 3, el subgrafo azul no presenta ninguna cualidad 102 00:07:06,029 --> 00:07:10,290 destacable. Sin embargo, en el grafo 4, cuya pregunta está relacionada con un vínculo 103 00:07:10,290 --> 00:07:14,810 de amistad, el subgrafo azul es el que mayor número de vértices posee, que además es 104 00:07:14,810 --> 00:07:18,269 el que mayor conectividad genera dentro del aula, ya que actúa como intermediario entre 105 00:07:18,269 --> 00:07:23,189 los subgrafos. Posee dos vértices fuente, el 21, el 27, que no está con el subgrafo 106 00:07:23,189 --> 00:07:28,769 naranja, y el 7, que no está con el subgrafo rosa. Por último, se pueden observar estructuras 107 00:07:28,769 --> 00:07:35,670 tipo árbol, concretamente árboles enraizados, en los que los nodos 24, 11 y 16 actúan como 108 00:07:35,670 --> 00:07:40,410 raíces, realizando elecciones que no son correspondidas. Esto representa un tipo de 109 00:07:40,410 --> 00:07:42,410 conexión unidireccional, es decir, que no es mutua. 110 00:07:44,930 --> 00:07:48,910 En conclusión, la teoría de grafos me ha demostrado que las matemáticas no solo sirven 111 00:07:48,910 --> 00:07:51,810 para resolver operaciones, sino también para comprender mejor la realidad que nos 112 00:07:51,810 --> 00:07:56,089 rodea. Gracias a los grafos podemos representar de forma visual y precisa las relaciones 113 00:07:56,089 --> 00:08:00,790 humanas, cómo se forman los grupos y cómo cada persona influye en los demás. Aplicar 114 00:08:00,790 --> 00:08:03,810 esta teoría al estudio social del aula me ha permitido identificar que algunos actúan 115 00:08:03,810 --> 00:08:07,389 como puentes entre sus grafos, donde hay mayor cohesión, en qué zona del grafo hay un mayor 116 00:08:07,389 --> 00:08:12,430 aislamiento. Por ello, los grafos no son únicamente un concepto matemático, sino una herramienta 117 00:08:12,430 --> 00:08:15,769 muy útil para comprender cómo nos conectamos y a partir de ahí mejorar nuestro entorno 118 00:08:15,769 --> 00:08:18,910 y nuestra convivencia diaria. Muchas gracias por su atención y estoy a su disposición 119 00:08:18,910 --> 00:08:19,870 para cualquier tipo de pregunta.