1 00:00:00,000 --> 00:00:07,000 Buenos días, hoy empezamos tema nuevo. El título es geometría analítica. 2 00:00:07,000 --> 00:00:17,000 La geometría analítica es una parte de las matemáticas que se encarga de traducir gráficas en fórmulas y fórmulas en gráficas. 3 00:00:17,000 --> 00:00:20,000 Ese va a ser el objetivo de nuestro tema. 4 00:00:20,000 --> 00:00:29,000 Cuando veamos una gráfica, saber cuál es la fórmula que le corresponde, y cuando veamos una fórmula, saber cuál sería la gráfica que representa. 5 00:00:29,000 --> 00:00:43,000 Podemos decir que la geometría analítica empezó en el siglo XVII, cuando Descartes, que era un filósofo y matemático francés, inventó, entre otras cosas, 6 00:00:43,000 --> 00:00:48,000 el sistema de coordenadas cartesianas, que ya conocéis de otros años. 7 00:00:49,000 --> 00:01:00,000 Entonces, el sistema de coordenadas cartesianas, sabéis que consta de dos ejes perpendiculares. 8 00:01:00,000 --> 00:01:17,000 El eje de las X se le llama eje de abscisas, y el eje vertical, donde representamos la coordenada Y, se llama el eje de ordenadas. 9 00:01:17,000 --> 00:01:30,000 Donde se cruzan es el origen de coordenadas, el punto 00, que se representa con una O. 10 00:01:30,000 --> 00:01:38,000 Y luego las unidades positivas horizontales van hacia la derecha, 1, 2, lo sabéis de sobra. 11 00:01:39,000 --> 00:01:46,000 Las positivas en el eje de ordenadas van hacia arriba, 1, 2, así, todo lo que quisiéramos prolongarlas. 12 00:01:46,000 --> 00:01:55,000 Y las negativas van hacia abajo y hacia la izquierda. 13 00:01:55,000 --> 00:02:04,000 Y este sencillo invento nos permite empezar a representar gráficas y traducirlas en fórmulas. 14 00:02:05,000 --> 00:02:11,000 Porque con este invento podemos representar, por ejemplo, darle unos valores al punto A. 15 00:02:11,000 --> 00:02:17,000 Lo que es un dibujo, un punto, podemos expresarlo con números ahora. 16 00:02:17,000 --> 00:02:25,000 Entonces, el punto A siempre se dan las coordenadas X e Y en este orden. 17 00:02:26,000 --> 00:02:32,000 La coordenada X del punto A, la coordenada Y del punto A. 18 00:02:32,000 --> 00:02:34,000 Siempre X e Y en orden alfabético. 19 00:02:34,000 --> 00:02:39,000 ¿Cuáles son? Pues la X2, Y1. 20 00:02:39,000 --> 00:02:47,000 Representado así entre paréntesis y separados por coma las coordenadas del punto A. 21 00:02:48,000 --> 00:02:58,000 Igualmente, este punto que le voy a llamar B, veo cuánto está desplazado hacia la derecha y cuánto está desplazado hacia abajo. 22 00:02:58,000 --> 00:03:06,000 B tendría coordenadas, vamos a llamarle X del punto B, Y del punto B. 23 00:03:06,000 --> 00:03:11,000 Serían coordenadas 2 también, porque son dos unidades hacia la derecha, y menos 3. 24 00:03:11,000 --> 00:03:14,000 Esto lo sabéis de sobra de otros años, ¿de acuerdo? 25 00:03:14,000 --> 00:03:19,000 Muy bien, pues así se representan los puntos en el plano. 26 00:03:23,000 --> 00:03:27,000 Pero aparte de puntos en el plano, se pueden representar otras cosas. 27 00:03:27,000 --> 00:03:29,000 Por ejemplo, líneas, ¿vale? 28 00:03:29,000 --> 00:03:38,000 Y las líneas, ya sean rectas o curvas, simplemente es puntos puestos uno a continuación del otro, ¿vale? 29 00:03:38,000 --> 00:03:40,000 Eso lo veremos más adelante. 30 00:03:40,000 --> 00:03:45,000 Y otra cosa que vamos a representar en el plano van a ser los vectores, ¿vale? 31 00:03:45,000 --> 00:03:52,000 Para entender para lo que sirven los vectores, necesitamos recordar que eran las magnitudes, 32 00:03:52,000 --> 00:03:57,000 algo que estudiábamos en ciencias naturales o que habréis estudiado más recientemente en física, ¿vale? 33 00:03:57,000 --> 00:04:04,000 Las magnitudes simplemente son algo que se puede medir, ¿vale? 34 00:04:04,000 --> 00:04:07,000 Propiedades o características de los objetos que podemos medir. 35 00:04:07,000 --> 00:04:10,000 Por ejemplo, de una mesa, ¿qué podemos medir? 36 00:04:10,000 --> 00:04:15,000 Pues lo larga, lo ancha que es, la superficie que tiene, lo que pesa, ¿vale? 37 00:04:15,000 --> 00:04:17,000 De un coche, ¿qué podemos medir? 38 00:04:17,000 --> 00:04:19,000 Pues lo mismo, las dimensiones. 39 00:04:19,000 --> 00:04:25,000 Podemos medir también otra cosa, como la velocidad a la que va, 40 00:04:25,000 --> 00:04:32,000 o el tiempo que tarda en llegar a determinado sitio, ¿vale? 41 00:04:32,000 --> 00:04:37,000 Entonces hay muchos tipos distintos de magnitudes y se miden con unidades diferentes, 42 00:04:37,000 --> 00:04:39,000 depende de lo que sean, ¿vale? 43 00:04:39,000 --> 00:04:41,000 Y se representan también de formas diferentes. 44 00:04:41,000 --> 00:04:44,000 Las magnitudes, tenemos básicamente dos tipos de magnitudes. 45 00:04:44,000 --> 00:04:48,000 Las magnitudes escalares, que se pueden representar con un número. 46 00:04:48,000 --> 00:04:53,000 Por ejemplo, la temperatura se representa con un número que indica los grados a lo que está. 47 00:04:53,000 --> 00:04:56,000 Cuando el número es más alto, pues mayor temperatura tiene. 48 00:04:56,000 --> 00:05:00,000 Cuando el número es más bajo o es negativo, pues menos temperatura tiene, ¿vale? 49 00:05:01,000 --> 00:05:04,000 El tiempo también se mide con un número, ¿vale? 50 00:05:04,000 --> 00:05:09,000 El peso, las longitudes, las distancias, se miden. 51 00:05:09,000 --> 00:05:15,000 La capacidad de lo que cabe en algún sitio se mide con un número, ¿vale? 52 00:05:15,000 --> 00:05:20,000 El número ese puede representar litros, metros, segundos, lo que sea. 53 00:05:20,000 --> 00:05:25,000 Esos son magnitudes escalares porque solo necesitan un número para representarlas. 54 00:05:25,000 --> 00:05:28,000 Pero hay otro tipo de magnitudes que podríamos decir que son más complejas, 55 00:05:28,000 --> 00:05:32,000 que no basta con un número para explicarlas del todo. 56 00:05:32,000 --> 00:05:34,000 Necesitamos más información. 57 00:05:34,000 --> 00:05:37,000 Y son las magnitudes vectoriales. 58 00:05:37,000 --> 00:05:39,000 ¿Qué información necesitamos? 59 00:05:39,000 --> 00:05:43,000 Necesitamos lo que se llama módulo, la dirección y el sentido. 60 00:05:43,000 --> 00:05:50,000 Una magnitud vectorial que todos conocéis es, por ejemplo, la velocidad, ¿vale? 61 00:05:50,000 --> 00:05:53,000 La velocidad de algo que se está moviendo. 62 00:05:53,000 --> 00:05:58,000 Si solo decimos un número, por ejemplo, los kilómetros por hora a los que se mueve en coche, 63 00:05:58,000 --> 00:06:00,000 pues vale, es algo de información. 64 00:06:00,000 --> 00:06:10,000 Pero nos interesaría también saber otras cosas como la dirección en la que se mueve y el sentido, ¿vale? 65 00:06:10,000 --> 00:06:12,000 Esto es módulo, dirección y sentido. 66 00:06:12,000 --> 00:06:17,000 El módulo representa la intensidad, lo fuerte que es esa magnitud, ¿vale? 67 00:06:17,000 --> 00:06:20,000 Lo grande que es esa magnitud. 68 00:06:20,000 --> 00:06:25,000 La velocidad, cuanto más alta sea, tendrá el módulo más grande. 69 00:06:27,000 --> 00:06:36,000 Cuántos más kilómetros por hora vaya un coche, más grande tendrá el módulo. 70 00:06:36,000 --> 00:06:45,000 Vamos a ver ya cómo es el dibujo para representarlo, ¿vale? 71 00:06:45,000 --> 00:06:48,000 Porque los escalares simplemente se representan con un número. 72 00:06:48,000 --> 00:06:51,000 Pero las magnitudes vectoriales se representan con un dibujo. 73 00:06:51,000 --> 00:06:56,000 Y el dibujo es una flecha, ¿vale? 74 00:06:56,000 --> 00:06:59,000 Porque en la flecha podemos representar estas tres cosas. 75 00:06:59,000 --> 00:07:02,000 El módulo. El módulo es la longitud de la flecha. 76 00:07:02,000 --> 00:07:07,000 Cuanto más grande es la longitud de la flecha, mayor es la intensidad de esa magnitud, ¿vale? 77 00:07:07,000 --> 00:07:13,000 Una persona andando a 5 kilómetros por hora, pongamos que es así de largo, 78 00:07:13,000 --> 00:07:16,000 y anda en esa dirección y en ese sentido, ¿vale? 79 00:07:16,000 --> 00:07:22,000 La dirección es la inclinación de la recta sobre la que podríamos dibujar la flecha, 80 00:07:22,000 --> 00:07:27,000 pero con esta inclinación puede ir o hacia arriba o hacia abajo, ¿vale? 81 00:07:27,000 --> 00:07:32,000 Pues una persona que está moviéndose en esa dirección y en ese sentido, ¿vale? 82 00:07:32,000 --> 00:07:34,000 5 kilómetros por hora. 83 00:07:34,000 --> 00:07:38,000 Pero pongamos que esta cuesta la está subiendo un coche también. 84 00:07:38,000 --> 00:07:44,000 O, bueno, para que me salga mejor el dibujo, un ciclista. 85 00:07:45,000 --> 00:07:52,000 Un ciclista que va subiendo la cuesta, pero el ciclista va a 20 kilómetros por hora, 86 00:07:52,000 --> 00:07:55,000 cuatro veces más rápido por la flecha. 87 00:07:57,000 --> 00:08:00,000 Tiene módulo 20, ¿vale? 88 00:08:00,000 --> 00:08:04,000 Y va en la misma dirección porque es la misma cuesta, 89 00:08:04,000 --> 00:08:07,000 y en el mismo sentido porque va hacia arriba, ¿vale? 90 00:08:08,000 --> 00:08:16,000 Si ahora el ciclista bajara la misma cuesta y va a 60 kilómetros por hora, 91 00:08:18,000 --> 00:08:22,000 bajando, la velocidad se representaría así, 92 00:08:22,000 --> 00:08:26,000 con una flecha tres veces más grande que subiendo, 93 00:08:29,000 --> 00:08:34,000 y apuntando la flecha hacia abajo porque está bajando la cuesta, ¿vale? 94 00:08:34,000 --> 00:08:39,000 La coordinación, esa es la dirección, es la misma en los tres casos, 95 00:08:39,000 --> 00:08:43,000 pero lo que cambia es el módulo y el sentido. 96 00:08:43,000 --> 00:08:46,000 En estos ejemplos que os he puesto, ¿vale? 97 00:08:46,000 --> 00:08:48,000 ¿De acuerdo? 98 00:08:48,000 --> 00:08:51,000 Pues esas son las características básicas de un vector. 99 00:08:51,000 --> 00:08:54,000 Módulo, dirección y sentido. 100 00:08:55,000 --> 00:08:59,000 Pues vamos a ver ya cómo se representaría un vector 101 00:08:59,000 --> 00:09:02,000 en el sistema de coordenadas cartesianas, ¿vale? 102 00:09:02,000 --> 00:09:05,000 He hecho aquí un dibujito. 103 00:09:05,000 --> 00:09:11,000 Fijaos que hay que simplemente representar una flecha, ¿vale? 104 00:09:11,000 --> 00:09:15,000 Y quiero deciros que hay varios tipos de vectores, ¿de acuerdo? 105 00:09:15,000 --> 00:09:17,000 Vamos a ponerlo aquí. 106 00:09:17,000 --> 00:09:20,000 Tipos de vectores. 107 00:09:20,000 --> 00:09:23,000 Tipos de vectores. 108 00:09:26,000 --> 00:09:29,000 ¿Vale? Pues el más sencillo sería un vector fijo. 109 00:09:29,000 --> 00:09:32,000 Vector fijo. 110 00:09:32,000 --> 00:09:36,000 ¿Vale? ¿Qué se considera un vector fijo? 111 00:09:36,000 --> 00:09:41,000 ¿Vale? Pues un vector que lo hemos aplicado en un punto. 112 00:09:41,000 --> 00:09:45,000 Este es el punto de aplicación o origen del vector 113 00:09:45,000 --> 00:09:50,000 y hasta donde llega se llama extremo del vector, ¿vale? 114 00:09:50,000 --> 00:09:53,000 Entonces el vector tiene un origen, que es un punto, el punto C, 115 00:09:53,000 --> 00:09:55,000 y el extremo, que es el punto B. 116 00:09:55,000 --> 00:09:57,000 El origen también se le llama punto de aplicación del vector, 117 00:09:57,000 --> 00:10:00,000 que es donde estamos aplicando la fuerza. 118 00:10:00,000 --> 00:10:05,000 Pongamos que el coche estaría aquí y la velocidad está aquí. 119 00:10:05,000 --> 00:10:08,000 O si vamos a empujar algo para que se mueva, 120 00:10:08,000 --> 00:10:13,000 la fuerza que vamos a emplear para que empiece a moverse el objeto 121 00:10:13,000 --> 00:10:16,000 se aplicaría en el punto C, ¿vale? 122 00:10:16,000 --> 00:10:20,000 Punto de aplicación o origen del vector y extremo del vector. 123 00:10:20,000 --> 00:10:23,000 ¿Cómo calculamos las coordenadas? 124 00:10:23,000 --> 00:10:27,000 Este vector se llamaría vector CD 125 00:10:27,000 --> 00:10:29,000 y se pondría una flechita aquí, ¿vale? 126 00:10:29,000 --> 00:10:31,000 Siempre la primera letra es el origen 127 00:10:31,000 --> 00:10:33,000 y el extremo la segunda letra 128 00:10:33,000 --> 00:10:35,000 y la flecha que va del origen al extremo. 129 00:10:35,000 --> 00:10:37,000 Y este es el nombre del vector. 130 00:10:37,000 --> 00:10:40,000 ¿Cómo se representan las coordenadas del vector? 131 00:10:40,000 --> 00:10:45,000 Pues decimos que el vector CD tiene coordenadas... 132 00:10:45,000 --> 00:10:47,000 ¿Cómo se calculan? 133 00:10:47,000 --> 00:10:51,000 Pues restando D menos C, el extremo menos el origen. 134 00:10:51,000 --> 00:10:55,000 ¿Cuáles son las coordenadas del punto D? 135 00:10:55,000 --> 00:10:57,000 Pues lo miramos. 136 00:10:57,000 --> 00:10:59,000 6, 8. 137 00:10:59,000 --> 00:11:02,000 6, 8 menos... 138 00:11:02,000 --> 00:11:06,000 Las coordenadas del punto C son 2, 5. 139 00:11:06,000 --> 00:11:08,000 2, 5. 140 00:11:08,000 --> 00:11:12,000 ¿Cómo se hace esta operación de restar las coordenadas de dos puntos? 141 00:11:12,000 --> 00:11:16,000 Pues la X con la X y la Y con la Y. 142 00:11:16,000 --> 00:11:21,000 6 menos 2 da 4 y 8 menos 5 da 3. 143 00:11:21,000 --> 00:11:26,000 Estas son las coordenadas del vector CD. 144 00:11:26,000 --> 00:11:28,000 Este es un vector fijo. 145 00:11:28,000 --> 00:11:30,000 ¿Cómo sabemos cuál es un vector fijo? 146 00:11:30,000 --> 00:11:33,000 Porque tiene un punto donde se aplica, ¿vale? 147 00:11:33,000 --> 00:11:38,000 Pero llamamos también... 148 00:11:38,000 --> 00:11:46,000 Entonces tiene punto de aplicación. 149 00:11:48,000 --> 00:11:59,000 Por lo tanto tiene origen y extremo del vector. 150 00:11:59,000 --> 00:12:22,000 Vale, pues llamamos vectores equipolentes a todos los que tienen el mismo módulo... 151 00:12:23,000 --> 00:12:25,000 Bueno, la misma, ya que ha empezado así, 152 00:12:25,000 --> 00:12:38,000 misma dirección, sentido y módulo. 153 00:12:38,000 --> 00:12:40,000 Vale, entonces fijaos. 154 00:12:40,000 --> 00:12:46,000 Este vector, el CD, y el vector OA son equipolentes 155 00:12:46,000 --> 00:12:52,000 porque los dos tienen la misma dirección, están inclinados igual, 156 00:12:52,000 --> 00:12:56,000 tienen el mismo sentido hacia arriba y son igual de largos. 157 00:12:56,000 --> 00:12:57,000 ¿De acuerdo? 158 00:12:57,000 --> 00:12:59,000 Son vectores equipolentes. 159 00:12:59,000 --> 00:13:14,000 Y llamamos vectores libres a cualquier representante de todos los vectores equipolentes que hay. 160 00:13:14,000 --> 00:13:17,000 Hay infinitos vectores equipolentes. 161 00:13:17,000 --> 00:13:19,000 Los podemos colocar donde sea. 162 00:13:19,000 --> 00:13:26,000 Pues un representante que no tiene ni origen ni extremo, ¿vale? 163 00:13:26,000 --> 00:13:29,000 Uno genérico que tiene el mismo módulo, dirección y sentido, 164 00:13:29,000 --> 00:13:31,000 pero que no hemos aplicado a ningún sitio 165 00:13:31,000 --> 00:13:35,000 y lo representamos con una letra minúscula y la flechita, ¿vale? 166 00:13:35,000 --> 00:13:40,000 Diríamos que es el vector libre representante de todos los vectores equipolentes 167 00:13:40,000 --> 00:13:44,000 que hay con este módulo, esta dirección y este sentido. 168 00:13:44,000 --> 00:13:46,000 No indicamos dónde lo estamos aplicando. 169 00:13:46,000 --> 00:13:50,000 Luego, si queremos aplicarlo, se convertirá en un vector fijo. 170 00:13:50,000 --> 00:13:55,000 Si ya lo colocamos sobre el plano, empezando en un punto que nosotros conozcamos, 171 00:13:55,000 --> 00:13:59,000 pero cuando lo único que estamos señalando es el módulo, la dirección y el sentido 172 00:13:59,000 --> 00:14:02,000 y no lo aplicamos a ningún sitio, se llama vector libre, ¿vale? 173 00:14:02,000 --> 00:14:08,000 No tienen punto de aplicación. 174 00:14:11,000 --> 00:14:15,000 Y se representan con una letra minúscula, como os he dicho, ¿de acuerdo? 175 00:14:15,000 --> 00:14:16,000 Muy bien. 176 00:14:16,000 --> 00:14:22,000 Y hay otro tipo de vector que quiero que conozcáis, que son los vectores de posición. 177 00:14:23,000 --> 00:14:28,000 Cuyo origen, o punto de aplicación, que hemos visto que son sinónimos, 178 00:14:32,000 --> 00:14:36,000 está en el origen de coordinadas. 179 00:14:43,000 --> 00:14:47,000 ¿Vale? De todos los vectores con el mismo módulo, dirección y sentido, 180 00:14:47,000 --> 00:14:51,000 de todos los vectores equipolentes, cuyo representación es la misma, 181 00:14:51,000 --> 00:14:55,000 cuyo representante es el vector v, este es el vector de posición, 182 00:14:55,000 --> 00:14:59,000 porque es el que empieza en el punto cero cero. 183 00:14:59,000 --> 00:15:05,000 ¿Vale? Este es un representante un poco especial, por eso le llamamos vector de posición. 184 00:15:05,000 --> 00:15:09,000 ¿Por qué es especial? Porque las coordenadas de los vectores de posición 185 00:15:09,000 --> 00:15:14,000 coinciden con las coordenadas de su extremo, donde apuntan. 186 00:15:14,000 --> 00:15:19,000 Porque imaginaos que vamos a calcular las coordenadas de este vector. 187 00:15:19,000 --> 00:15:23,000 Pues tendríamos que hacer... 188 00:15:23,000 --> 00:15:27,000 El vector oa 189 00:15:29,000 --> 00:15:34,000 tiene, para sus coordenadas, restamos las de a menos las de o. 190 00:15:34,000 --> 00:15:38,000 ¿Cuáles son las coordenadas de a? Cuatro, tres. 191 00:15:38,000 --> 00:15:42,000 ¿Cuáles son las coordenadas de o? El origen, cero cero. 192 00:15:42,000 --> 00:15:46,000 Si tú restas cuatro tres menos cero cero, te da cuatro tres. 193 00:15:46,000 --> 00:15:50,000 Es decir, las coordenadas de este vector, del vector oa, 194 00:15:50,000 --> 00:15:54,000 que también se representa muchas veces con... 195 00:15:54,000 --> 00:15:58,000 Bueno, vamos a dejarlo así. El vector oa 196 00:15:58,000 --> 00:16:02,000 coincide con las del punto a. 197 00:16:02,000 --> 00:16:07,000 ¿Lo veis? Tienen las mismas coordenadas, porque al restar se queda igual. 198 00:16:07,000 --> 00:16:12,000 Ese es un vector que utilizamos por esto, porque es sencillo. 199 00:16:17,000 --> 00:16:21,000 Bueno, pues vamos a ver ahora cómo calcular, 200 00:16:21,000 --> 00:16:25,000 y esta es una fórmula muy importante, cómo calcular el módulo de un vector. 201 00:16:25,000 --> 00:16:29,000 He vuelto a dibujar el vector que os he puesto como ejemplo antes, 202 00:16:29,000 --> 00:16:33,000 el vector de posición, que es bastante sencillo. 203 00:16:33,000 --> 00:16:37,000 Y vamos a ver cuál es la fórmula para calcular el módulo 204 00:16:37,000 --> 00:16:41,000 de un vector. 205 00:16:42,000 --> 00:16:46,000 Bueno, tenemos que las coordenadas, 206 00:16:46,000 --> 00:16:50,000 recordamos que las coordenadas del vector oa 207 00:16:50,000 --> 00:16:54,000 se obtenían como a menos o. Las coordenadas de a en este punto 208 00:16:54,000 --> 00:16:58,000 tienen coordenadas cuatro tres, y las coordenadas del origen 209 00:16:58,000 --> 00:17:02,000 de coordenadas es cero cero, entonces cuatro tres 210 00:17:02,000 --> 00:17:06,000 menos cero cero, igual a cuatro tres. 211 00:17:06,000 --> 00:17:10,000 Estas son las coordenadas del vector oa, 212 00:17:10,000 --> 00:17:14,000 el vector de posición, que va desde o hasta a. 213 00:17:14,000 --> 00:17:18,000 ¿Cómo averiguamos su módulo? 214 00:17:18,000 --> 00:17:22,000 ¿Qué es el módulo de un vector? El módulo define 215 00:17:22,000 --> 00:17:26,000 la intensidad de la fuerza. 216 00:17:26,000 --> 00:17:30,000 Bueno, de la fuerza, depende de la magnitud que estemos viendo. 217 00:17:30,000 --> 00:17:34,000 Si es una fuerza, pues lo grande que es esa fuerza. Si es una velocidad, 218 00:17:34,000 --> 00:17:38,000 lo rápido que va. Cuanto más grande es el módulo, 219 00:17:38,000 --> 00:17:42,000 más grande es 220 00:17:42,000 --> 00:17:46,000 la cantidad de magnitud que estamos mirando. 221 00:17:46,000 --> 00:17:50,000 Y se representa con la longitud de la flecha. 222 00:17:50,000 --> 00:17:54,000 Y nosotros entonces lo que queremos averiguar cuando yo os pida el módulo 223 00:17:54,000 --> 00:17:58,000 de un vector, es lo largo que es el vector. 224 00:17:58,000 --> 00:18:02,000 Y esto, sin que yo os explicara nada, probablemente ya sabréis resolverlo, 225 00:18:02,000 --> 00:18:06,000 porque calcular lo largo que es este vector 226 00:18:06,000 --> 00:18:10,000 es calcular la longitud 227 00:18:10,000 --> 00:18:14,000 de este lado de este triángulo. 228 00:18:14,000 --> 00:18:18,000 ¿Vale? 229 00:18:18,000 --> 00:18:22,000 Y vosotros seguro que sabéis calcular lo que mide de largo 230 00:18:22,000 --> 00:18:26,000 este triángulo, porque es un triángulo rectángulo 231 00:18:26,000 --> 00:18:30,000 y sabemos lo que mide 232 00:18:30,000 --> 00:18:34,000 esto, y sabemos lo que mide esto, ¿verdad? 233 00:18:34,000 --> 00:18:38,000 ¿Cuánto mide esto? Cuatro unidades. 234 00:18:38,000 --> 00:18:42,000 ¿Cuánto mide esto de alto? 235 00:18:42,000 --> 00:18:46,000 Lo miramos aquí. Tres unidades. 236 00:18:46,000 --> 00:18:50,000 Entonces, lo único que nos están pidiendo 237 00:18:50,000 --> 00:18:54,000 el módulo de OA, que se representa así. 238 00:18:54,000 --> 00:18:58,000 El nombre del vector entre dos barritas. 239 00:18:58,000 --> 00:19:02,000 El módulo de OA es la longitud de este lado, 240 00:19:02,000 --> 00:19:06,000 que es la hipotenusa de ese triángulo rectángulo. 241 00:19:06,000 --> 00:19:10,000 Esto mide 3, esto mide 4. ¿Cómo se calcula la hipotenusa? 242 00:19:10,000 --> 00:19:14,000 Con el teorema de Pitágoras sería el cuadrado 243 00:19:14,000 --> 00:19:18,000 de la hipotenusa igual a la suma del cuadrado de los catetos. 244 00:19:18,000 --> 00:19:22,000 Si OA al cuadrado sería 245 00:19:22,000 --> 00:19:26,000 4 al cuadrado más 3 al cuadrado. 246 00:19:26,000 --> 00:19:30,000 Luego OA sin elevar al cuadrado 247 00:19:30,000 --> 00:19:34,000 sería la raíz cuadrada de 4 al cuadrado 248 00:19:34,000 --> 00:19:38,000 más 3 al cuadrado. Es decir, la raíz cuadrada de 16 249 00:19:38,000 --> 00:19:42,000 más 9, raíz cuadrada de 25, 250 00:19:42,000 --> 00:19:46,000 5. Cogemos sólo el valor positivo porque una distancia, 251 00:19:46,000 --> 00:19:50,000 una longitud, no tiene sentido que sea negativa, ¿verdad? 252 00:19:50,000 --> 00:19:54,000 El menos 5 no tendría sentido. Muy bien. 253 00:19:54,000 --> 00:19:58,000 Fijaos qué fácil es calcular el módulo de un vector. 254 00:19:58,000 --> 00:20:02,000 Si tienes sus coordenadas, 4 y 3, 255 00:20:02,000 --> 00:20:06,000 las elevas al cuadrado, las sumas y haces la raíz cuadrada 256 00:20:06,000 --> 00:20:10,000 porque es el teorema de Pitágoras. 257 00:20:10,000 --> 00:20:14,000 Entonces, si tú tienes un vector 258 00:20:14,000 --> 00:20:18,000 cuyas coordenadas 259 00:20:18,000 --> 00:20:22,000 son la x del vector 260 00:20:22,000 --> 00:20:26,000 y la y del vector, el módulo 261 00:20:26,000 --> 00:20:30,000 de ese vector 262 00:20:30,000 --> 00:20:34,000 lo calculamos con esta fórmula. 263 00:20:34,000 --> 00:20:38,000 La raíz cuadrada de la x del vector al cuadrado 264 00:20:38,000 --> 00:20:42,000 más la raíz cuadrada 265 00:20:42,000 --> 00:20:46,000 de la y del vector. 266 00:20:50,000 --> 00:20:54,000 Vamos, lo estaba diciendo mal. Se calcula como la raíz cuadrada 267 00:20:54,000 --> 00:20:58,000 de la coordenada x al cuadrado 268 00:20:58,000 --> 00:21:02,000 más la coordenada y al cuadrado. 269 00:21:02,000 --> 00:21:06,000 Eso es el módulo de un vector, como se calcula. 270 00:21:08,000 --> 00:21:12,000 Pasemos a las operaciones con vectores. 271 00:21:12,000 --> 00:21:16,000 Empezamos por la suma y la resta. 272 00:21:16,000 --> 00:21:20,000 Empezamos por la suma de vectores. 273 00:21:20,000 --> 00:21:24,000 Vamos a ver dos métodos para cada una de las operaciones. 274 00:21:24,000 --> 00:21:28,000 El primer método es gráfico. 275 00:21:28,000 --> 00:21:32,000 Imaginaos que tenemos un vector así 276 00:21:32,000 --> 00:21:36,000 que le vamos a llamar u. Es un vector libre, 277 00:21:36,000 --> 00:21:40,000 no tiene punto de aplicación, lo podríamos dibujar donde quisiéramos. 278 00:21:40,000 --> 00:21:44,000 Y otro vector v, que va a ser así. 279 00:21:44,000 --> 00:21:48,000 También vector libre. 280 00:21:48,000 --> 00:21:52,000 Y queremos sumarlos. 281 00:21:52,000 --> 00:21:56,000 Yo creo que la forma más sencilla de sumarlos sería 282 00:21:56,000 --> 00:22:00,000 dibujar el vector u 283 00:22:00,000 --> 00:22:04,000 y cuando acaba el vector u, en su extremo, dibujamos a continuación 284 00:22:04,000 --> 00:22:08,000 el vector v. Como son vectores libres, los podemos dibujar donde queramos. 285 00:22:08,000 --> 00:22:12,000 Lo dibujamos a continuación. 286 00:22:12,000 --> 00:22:16,000 ¿Cuál es el resultado de la suma? 287 00:22:16,000 --> 00:22:20,000 Este es el vector que resulta de unir el inicio 288 00:22:20,000 --> 00:22:24,000 el punto de aplicación del vector u, es decir, el origen de u 289 00:22:24,000 --> 00:22:28,000 con el extremo de v. 290 00:22:28,000 --> 00:22:32,000 Así. Este nuevo vector que sale 291 00:22:32,000 --> 00:22:36,000 la flecha iría desde el origen de u 292 00:22:36,000 --> 00:22:40,000 hasta el v. Este es el vector suma. 293 00:22:40,000 --> 00:22:44,000 v más u, que es lo mismo que u más v porque 294 00:22:44,000 --> 00:22:48,000 cumple la propiedad conmutativa. 295 00:22:48,000 --> 00:22:52,000 La suma de vectores. 296 00:22:52,000 --> 00:22:56,000 Igual, por lo tanto, si yo al vector v 297 00:22:56,000 --> 00:23:00,000 veis que lo tengo aquí, en donde 298 00:23:00,000 --> 00:23:04,000 acaba él, dibujo 299 00:23:04,000 --> 00:23:08,000 el vector u. 300 00:23:08,000 --> 00:23:12,000 El resultado sería el mismo vector. 301 00:23:12,000 --> 00:23:16,000 ¿Os dais cuenta? 302 00:23:16,000 --> 00:23:20,000 Es igual de largo, tiene la misma inclinación y apunta también 303 00:23:20,000 --> 00:23:24,000 hacia arriba la flecha. Así es la suma de vectores por el método 304 00:23:24,000 --> 00:23:28,000 gráfico. También habréis oído algunos que 305 00:23:28,000 --> 00:23:32,000 otra manera de sumar es otro método 306 00:23:32,000 --> 00:23:36,000 pero que lleva algo más de trabajo 307 00:23:36,000 --> 00:23:40,000 es hacer un paralelogramo con los vectores. 308 00:23:40,000 --> 00:23:44,000 Un cuadrilátero que tiene en los dos lados 309 00:23:44,000 --> 00:23:48,000 el vector u y en los dos lados el vector v 310 00:23:48,000 --> 00:23:52,000 y la suma es la diagonal que va desde donde 311 00:23:52,000 --> 00:23:56,000 empiezan los dos vectores hasta donde acaban. 312 00:23:56,000 --> 00:24:00,000 Ese es el método del paralelogramo 313 00:24:00,000 --> 00:24:04,000 pero me vale cualquiera de los dos. ¿Cómo se suman 314 00:24:04,000 --> 00:24:08,000 por el método analítico usando las coordenadas? 315 00:24:08,000 --> 00:24:12,000 El vector u tiene coordenadas 316 00:24:12,000 --> 00:24:16,000 por ejemplo, 1, 2 317 00:24:16,000 --> 00:24:20,000 y el vector v que 318 00:24:20,000 --> 00:24:24,000 tuviera de coordenadas 319 00:24:24,000 --> 00:24:28,000 3, 0 320 00:24:28,000 --> 00:24:32,000 Si yo quiero sumar u más v 321 00:24:32,000 --> 00:24:36,000 lo único que tengo que hacer es sumar sus coordenadas. 322 00:24:36,000 --> 00:24:40,000 Súper fácil. 4, 2 323 00:24:40,000 --> 00:24:44,000 son las coordenadas del vector suma. 324 00:24:44,000 --> 00:24:48,000 Y la resta 325 00:24:52,000 --> 00:24:56,000 se puede resolver de forma muy parecida. 326 00:24:56,000 --> 00:25:00,000 Vamos a utilizar los mismos vectores que he puesto como ejemplo. 327 00:25:00,000 --> 00:25:04,000 El vector u que tenía esta forma y el vector v 328 00:25:04,000 --> 00:25:08,000 que era más largo en horizontal. 329 00:25:12,000 --> 00:25:16,000 Si queremos hacer no es lo mismo u menos v que v menos u. 330 00:25:16,000 --> 00:25:20,000 Vamos a ver qué daría. 331 00:25:20,000 --> 00:25:24,000 Si yo hago u menos v 332 00:25:24,000 --> 00:25:28,000 lo que tengo que hacer es 333 00:25:28,000 --> 00:25:32,000 al vector u donde acaba 334 00:25:32,000 --> 00:25:36,000 el vector u 335 00:25:36,000 --> 00:25:40,000 le dibujo 336 00:25:40,000 --> 00:25:44,000 el vector v pero en sentido contrario 337 00:25:44,000 --> 00:25:48,000 o sea, le dibujo menos v. 338 00:25:48,000 --> 00:25:52,000 Es como si sumara u más menos v. 339 00:25:52,000 --> 00:25:56,000 El vector menos v que es lo mismo que el vector v pero cambiado de sentido 340 00:25:56,000 --> 00:26:00,000 como si la flecha apuntara hacia el otro lado. 341 00:26:00,000 --> 00:26:04,000 Dibujo 342 00:26:04,000 --> 00:26:08,000 menos v menos v 343 00:26:08,000 --> 00:26:12,000 ¿Cuál es el resultado? 344 00:26:12,000 --> 00:26:16,000 El que va desde el inicio hasta el final 345 00:26:16,000 --> 00:26:20,000 de todo el procedimiento. Esto sería u menos v. 346 00:26:20,000 --> 00:26:24,000 ¿De acuerdo? Esto ya no cumple la propiedad 347 00:26:24,000 --> 00:26:28,000 conmutativa porque si yo hago ahora 348 00:26:28,000 --> 00:26:32,000 v menos u, fijaos lo que va a salir. 349 00:26:32,000 --> 00:26:36,000 v es así 350 00:26:36,000 --> 00:26:40,000 y menos u sería como éste pero en sentido contrario 351 00:26:40,000 --> 00:26:44,000 con la misma dirección pero en sentido contrario. 352 00:26:44,000 --> 00:26:48,000 Y el resultado, fijaos 353 00:26:48,000 --> 00:26:52,000 que no es lo mismo 354 00:26:52,000 --> 00:26:56,000 porque éste apunta hacia arriba y éste apunta hacia abajo. 355 00:26:56,000 --> 00:27:00,000 Esto es v menos u. 356 00:27:00,000 --> 00:27:04,000 ¿Vale? De forma analítica 357 00:27:04,000 --> 00:27:08,000 igual u menos v 358 00:27:08,000 --> 00:27:12,000 ¡Ah, muy fácil! Se restan las coordenadas. 359 00:27:14,000 --> 00:27:18,000 ¿Qué me da? Uno menos tres menos dos 360 00:27:18,000 --> 00:27:22,000 y dos menos cero, dos. 361 00:27:22,000 --> 00:27:26,000 Y si hiciera la otra operación 362 00:27:26,000 --> 00:27:30,000 que sería v menos u 363 00:27:30,000 --> 00:27:34,000 tendría que poner primero el vector v que es 3, 0 364 00:27:34,000 --> 00:27:38,000 y le resto 1, 2. Las x con las x, 3 menos 1, 2 365 00:27:38,000 --> 00:27:42,000 y las y con las y, 0 menos 2, menos 2. 366 00:27:42,000 --> 00:27:46,000 Fijaos que el resultado 367 00:27:46,000 --> 00:27:50,000 son vectores que son iguales en módulo y en dirección pero en sentido contrario. 368 00:27:50,000 --> 00:27:54,000 Eso es la suma y la resta de vectores. 369 00:27:56,000 --> 00:28:00,000 Otra operación súper fácil con vectores es 370 00:28:00,000 --> 00:28:04,000 el producto de un vector por un número que también se puede llamar 371 00:28:04,000 --> 00:28:08,000 producto por un escalar. Habíamos dicho que las magnitudes escalares eran números. 372 00:28:08,000 --> 00:28:12,000 Pues multiplicar un ejemplo 373 00:28:12,000 --> 00:28:16,000 muy fácil. Tengo este vector 374 00:28:16,000 --> 00:28:20,000 v y lo quiero multiplicar por 2. 375 00:28:20,000 --> 00:28:24,000 Pues nada. 376 00:28:24,000 --> 00:28:28,000 A continuación de este vector pongo otro porque multiplicarlo por 2 377 00:28:28,000 --> 00:28:32,000 ¿y a cómo sumarlo con el mismo? 378 00:28:32,000 --> 00:28:36,000 Si quiero multiplicarlo por 3, añado otro. 379 00:28:36,000 --> 00:28:40,000 Entonces todo esto, desde el principio al final, es 2 380 00:28:40,000 --> 00:28:44,000 por v. Y de forma gráfica, 381 00:28:44,000 --> 00:28:48,000 de forma analítica, si el vector 382 00:28:48,000 --> 00:28:52,000 este tiene coordenadas 383 00:28:52,000 --> 00:28:56,000 me las voy a inventar como si fuera otro vector 1, 3 384 00:28:56,000 --> 00:29:00,000 y quiero hacer 2 por v, pues sería 2 385 00:29:00,000 --> 00:29:04,000 por 1, 3. Es decir, 2, 6. 386 00:29:04,000 --> 00:29:08,000 ¿Vale? Y si quiero multiplicarlo por 5, 5 por v 387 00:29:08,000 --> 00:29:12,000 5 por 1, 3. 388 00:29:12,000 --> 00:29:16,000 15. Así de fácil. Producto por un escalar. 389 00:29:16,000 --> 00:29:20,000 Que no debéis confundirlo 390 00:29:20,000 --> 00:29:24,000 con otra operación muy importante que se llama el producto 391 00:29:24,000 --> 00:29:28,000 escalar. 392 00:29:28,000 --> 00:29:32,000 No producto por un escalar, sino el producto escalar de dos vectores. 393 00:29:32,000 --> 00:29:36,000 ¿Y en qué consiste esto? En multiplicar un vector 394 00:29:36,000 --> 00:29:40,000 por otro vector. ¿Vale? Y el resultado, y por eso se llama 395 00:29:40,000 --> 00:29:44,000 producto escalar, el resultado, curiosamente, multiplicas un vector 396 00:29:44,000 --> 00:29:48,000 por otro vector usando el producto escalar y el resultado es un número 397 00:29:48,000 --> 00:29:52,000 no es otro vector. ¿Vale? Multiplicas un vector por otro vector, resultado número. 398 00:29:52,000 --> 00:29:56,000 Eso es producto escalar. Luego en bachillerato he estudiado otra operación con vectores que es el 399 00:29:56,000 --> 00:30:00,000 producto vectorial, que multiplicas un vector por otro vector y el resultado 400 00:30:00,000 --> 00:30:04,000 da otro vector. ¿Vale? Pero esa es una operación distinta. 401 00:30:04,000 --> 00:30:08,000 Nosotros esa no la vamos a ver este año, nosotros vamos a ver el producto escalar. 402 00:30:08,000 --> 00:30:12,000 Entonces se pone así. Es una fórmula que os tenéis que aprender. 403 00:30:12,000 --> 00:30:16,000 u por v es igual al módulo de u 404 00:30:16,000 --> 00:30:20,000 lo que mide por el módulo de v 405 00:30:20,000 --> 00:30:24,000 por el coseno del ángulo 406 00:30:24,000 --> 00:30:28,000 que forman u y v. 407 00:30:28,000 --> 00:30:32,000 ¿Vale? 408 00:30:32,000 --> 00:30:36,000 Entonces, y el resultado como podéis ver es un número. ¿Por qué? 409 00:30:36,000 --> 00:30:40,000 El módulo de u es un número, lo que mide de longitud el vector u. 410 00:30:40,000 --> 00:30:44,000 El módulo de v es igual a otro número, lo que mide de longitud el vector v. 411 00:30:44,000 --> 00:30:48,000 Y el coseno, ya sabéis que es un número 412 00:30:48,000 --> 00:30:52,000 que está comprendido entre menos uno y uno. 413 00:30:52,000 --> 00:30:56,000 O sea que si multiplicamos estas tres cosas el resultado va a ser un número. 414 00:31:00,000 --> 00:31:04,000 La interpretación gráfica tampoco nos aporta demasiado. 415 00:31:04,000 --> 00:31:08,000 No la fuerais a entender, pero tampoco 416 00:31:08,000 --> 00:31:12,000 tiene mucho sentido que nos entretengamos con ella en estas circunstancias. 417 00:31:12,000 --> 00:31:16,000 Lo que sí que os puedo decir es que hay otra manera de calcular 418 00:31:16,000 --> 00:31:20,000 el producto escalar 419 00:31:20,000 --> 00:31:24,000 de dos vectores. 420 00:31:24,000 --> 00:31:28,000 Bueno, aquí usamos las coordenadas, pero 421 00:31:28,000 --> 00:31:32,000 supongamos que las coordenadas x e y del vector u 422 00:31:32,000 --> 00:31:36,000 son u1 y u2. 423 00:31:36,000 --> 00:31:40,000 U1 sería la x, y u2 sería la y, 424 00:31:40,000 --> 00:31:44,000 la ordenada del vector u. 425 00:31:44,000 --> 00:31:48,000 Aquí las cisa serían v1 y v2, 426 00:31:48,000 --> 00:31:52,000 la ordenada. ¿De acuerdo? 427 00:31:52,000 --> 00:31:56,000 Otra manera de calcular el producto escalar 428 00:31:56,000 --> 00:32:00,000 muy fácil sería u por v. 429 00:32:00,000 --> 00:32:04,000 Esto de arriba es la definición, y os la tenéis que saber. 430 00:32:04,000 --> 00:32:08,000 Pero esta otra manera de calcularla es la que usamos 431 00:32:08,000 --> 00:32:12,000 siempre que podemos porque es más fácil que calcular todo esto. 432 00:32:12,000 --> 00:32:16,000 Requiere menos trabajo. Simplemente sería 433 00:32:16,000 --> 00:32:20,000 multiplicar 1 por v1, 434 00:32:20,000 --> 00:32:24,000 es decir, la x del primer vector por la x del segundo vector, 435 00:32:24,000 --> 00:32:28,000 y a eso sumarle la y del segundo vector por la y del segundo. 436 00:32:28,000 --> 00:32:32,000 Así. 1 por v1 más 437 00:32:32,000 --> 00:32:36,000 u2 por v2. Así que 438 00:32:36,000 --> 00:32:40,000 estas dos formas 439 00:32:40,000 --> 00:32:44,000 de calcular el producto escalar las tenéis que saber 440 00:32:44,000 --> 00:32:48,000 de memoria. Vamos, por ejemplo, 441 00:32:48,000 --> 00:32:52,000 vamos a ver algunos ejemplos. 442 00:32:52,000 --> 00:32:56,000 Vamos a poner un ejemplo fácil. 443 00:32:56,000 --> 00:33:00,000 El vector u 444 00:33:00,000 --> 00:33:04,000 es éste. 445 00:33:04,000 --> 00:33:08,000 Y forma 446 00:33:08,000 --> 00:33:12,000 45 grados con el vector 447 00:33:12,000 --> 00:33:16,000 v. Las coordenadas 448 00:33:16,000 --> 00:33:20,000 de u voy a ver que son, por ejemplo, 449 00:33:20,000 --> 00:33:24,000 2,2. Y las coordenadas del vector v 450 00:33:24,000 --> 00:33:28,000 van a ser 4,0. 451 00:33:28,000 --> 00:33:32,000 ¿De acuerdo? Y el ángulo que forman 452 00:33:32,000 --> 00:33:36,000 u y v es un ángulo de 45 453 00:33:36,000 --> 00:33:40,000 grados, como he puesto en el dibujo. 454 00:33:40,000 --> 00:33:44,000 Vamos a usar la primera fórmula para calcular el producto escalar 455 00:33:44,000 --> 00:33:48,000 de los dos vectores. Pues lo primero que tendríamos que hacer es calcular 456 00:33:48,000 --> 00:33:52,000 el módulo de cada uno de ellos. Recordamos la fórmula que hemos 457 00:33:52,000 --> 00:33:56,000 visto antes. El módulo de u sería la raíz cuadrada 458 00:33:56,000 --> 00:34:00,000 de la suma del cuadrado de sus coordenadas. 459 00:34:00,000 --> 00:34:04,000 2 al cuadrado más 2 al cuadrado, porque las dos son 2. 460 00:34:04,000 --> 00:34:08,000 Entonces sería la raíz cuadrada de 461 00:34:08,000 --> 00:34:12,000 8. Y en el 462 00:34:12,000 --> 00:34:16,000 vector v lo mismo. 463 00:34:16,000 --> 00:34:20,000 La raíz cuadrada de 4 al cuadrado más 0 464 00:34:20,000 --> 00:34:24,000 al cuadrado, es decir, raíz cuadrada de 4 al cuadrado 465 00:34:24,000 --> 00:34:28,000 es decir, 4. Longitud 4. 466 00:34:28,000 --> 00:34:32,000 Y esta longitud raíz de 8. Y el coseno es 45. 467 00:34:32,000 --> 00:34:36,000 Entonces, si lleguemos a hacer por la primera fórmula, por esta 468 00:34:36,000 --> 00:34:40,000 u por v, sería el módulo del primero, raíz de 8 469 00:34:40,000 --> 00:34:44,000 por 4 por el coseno 470 00:34:44,000 --> 00:34:48,000 de 45 grados. 471 00:34:48,000 --> 00:34:52,000 Raíz de 8, si os acordáis de los primeros temas, 472 00:34:52,000 --> 00:34:56,000 se puede extraer de aquí. Sería 2 raíz de 2. 473 00:34:56,000 --> 00:35:00,000 ¿De acuerdo? Se puede poner así también. 474 00:35:00,000 --> 00:35:04,000 Lo digo porque ahora nos va a venir bien para simplificar. 475 00:35:04,000 --> 00:35:08,000 En vez de poner raíz de 8 ahora pongo 476 00:35:08,000 --> 00:35:12,000 2 raíz de 2 por 4 477 00:35:12,000 --> 00:35:16,000 por raíz de 2 partido de 2. 478 00:35:16,000 --> 00:35:20,000 Fijaos que, si le hago toda esta operación, 479 00:35:20,000 --> 00:35:24,000 2 por 4, 8, raíz de 2 por raíz de 2 480 00:35:24,000 --> 00:35:28,000 partido de 2. Raíz de 2 por raíz de 2 481 00:35:28,000 --> 00:35:32,000 sería 2. Entre 2, 1. 482 00:35:32,000 --> 00:35:36,000 Resultado, 8. 8. 483 00:35:36,000 --> 00:35:40,000 Multiplico este vector por este y me ha dado 8. Ese es el resultado. 484 00:35:40,000 --> 00:35:44,000 Vamos a ver qué pasaría con la otra fórmula, que ya os digo que siempre que lo uséis 485 00:35:44,000 --> 00:35:48,000 es mucho más fácil y siempre intentamos resolver esta fórmula 486 00:35:48,000 --> 00:35:52,000 antes que la otra. Porque veis que lleva un trabajo. Tienes que calcular los módulos, 487 00:35:52,000 --> 00:35:56,000 tienes que conocer el ángulo, hacer el coseno, 488 00:35:56,000 --> 00:36:00,000 o calcularlo. Esto se haría con la calculadora, salvo que sea uno de los ángulos 489 00:36:00,000 --> 00:36:04,000 fundamentales de los que conocemos 490 00:36:04,000 --> 00:36:08,000 las razones trigonométricas. Vamos a ver cómo se haría con esta otra fórmula. 491 00:36:08,000 --> 00:36:12,000 u por v sería 492 00:36:12,000 --> 00:36:16,000 la x del primero por la x del segundo 493 00:36:16,000 --> 00:36:20,000 2 por 4 más 494 00:36:20,000 --> 00:36:24,000 2 por 0. 495 00:36:24,000 --> 00:36:28,000 2 por 4, 8, más 2 por 0, 0. 496 00:36:28,000 --> 00:36:32,000 Igual a 8. Da lo mismo trabajando mucho menos. 497 00:36:32,000 --> 00:36:36,000 Pero hay que saberse las dos por algo que veremos más adelante. 498 00:36:36,000 --> 00:36:40,000 Que es que se utilizan ambas fórmulas combinadas 499 00:36:40,000 --> 00:36:44,000 para calcular el ángulo que forman dos vectores, que es una de las cosas 500 00:36:44,000 --> 00:36:48,000 que más vamos a utilizar durante este tema. 501 00:36:48,000 --> 00:36:52,000 Y antes de pasar a ver ejercicios, vamos a 502 00:36:52,000 --> 00:36:56,000 estudiar un par de conceptos importantes 503 00:36:56,000 --> 00:37:00,000 que tienen que ver con la combinación lineal 504 00:37:00,000 --> 00:37:04,000 de vectores. Primero vamos a ver qué son vectores 505 00:37:04,000 --> 00:37:08,000 linealmente dependientes. Es un nombre un poquito raro, pero 506 00:37:08,000 --> 00:37:12,000 el concepto es muy sencillo. Vectores 507 00:37:12,000 --> 00:37:16,000 linealmente 508 00:37:16,000 --> 00:37:20,000 dependientes 509 00:37:24,000 --> 00:37:28,000 son dos vectores que cumplen 510 00:37:28,000 --> 00:37:32,000 que v es igual 511 00:37:32,000 --> 00:37:36,000 a un cierto número de veces u. 512 00:37:36,000 --> 00:37:40,000 Entonces decimos que v y u 513 00:37:40,000 --> 00:37:44,000 son linealmente dependientes. Por ejemplo, los que os he puesto 514 00:37:44,000 --> 00:37:48,000 aquí arriba. Fijaos, el vector 515 00:37:48,000 --> 00:37:52,000 2,6 es linealmente dependiente 516 00:37:52,000 --> 00:37:56,000 con el vector 1,3. ¿Por qué? Porque 2,6 517 00:37:56,000 --> 00:38:00,000 es lo mismo que multiplicar 1,3 por 2. O el vector 5,15 518 00:38:00,000 --> 00:38:04,000 es linealmente dependiente con el vector 519 00:38:04,000 --> 00:38:08,000 1,3 también, porque se obtiene multiplicando 1,3 por 5. 520 00:38:08,000 --> 00:38:12,000 ¿Por qué se llama así, de esta forma tan rara? Vectores linealmente 521 00:38:12,000 --> 00:38:16,000 dependientes. Porque si os dais cuenta, todos los vectores que cumplan esto 522 00:38:16,000 --> 00:38:20,000 tienen la misma dirección, tienen la misma inclinación. 523 00:38:20,000 --> 00:38:24,000 Se pueden dibujar sobre la misma línea. 524 00:38:24,000 --> 00:38:28,000 Su inclinación es la misma 525 00:38:28,000 --> 00:38:32,000 en todos. 526 00:38:32,000 --> 00:38:36,000 Es como si siguieran la dirección 527 00:38:36,000 --> 00:38:40,000 de una línea o las paralelas. 528 00:38:40,000 --> 00:38:44,000 Entonces, siempre que se cumpla que un vector 529 00:38:44,000 --> 00:38:48,000 sea el resultado de multiplicar 530 00:38:48,000 --> 00:38:52,000 otro por una cantidad, decimos que es linealmente dependiente. 531 00:38:52,000 --> 00:38:56,000 Tienen la misma dirección. Voy a poneros un ejemplo. 532 00:38:56,000 --> 00:39:00,000 Más, por ejemplo, 533 00:39:00,000 --> 00:39:04,000 este vector, vector u 534 00:39:08,000 --> 00:39:12,000 y este otro vector. 535 00:39:12,000 --> 00:39:16,000 El vector v son linealmente dependientes 536 00:39:16,000 --> 00:39:20,000 porque tienen la misma dirección. Las coordenadas de este podrían ser 537 00:39:20,000 --> 00:39:24,000 las coordenadas de u 538 00:39:24,000 --> 00:39:28,000 podrían ser, por ejemplo, 539 00:39:28,000 --> 00:39:32,000 menos dos y las de este 540 00:39:32,000 --> 00:39:36,000 podrían ser 541 00:39:36,000 --> 00:39:40,000 por ejemplo 542 00:39:40,000 --> 00:39:44,000 menos tres 543 00:39:44,000 --> 00:39:48,000 seis 544 00:39:48,000 --> 00:39:52,000 Si estos dos vectores son linealmente 545 00:39:52,000 --> 00:39:56,000 dependientes, habrá un número k por el que podremos 546 00:39:56,000 --> 00:40:00,000 multiplicar uno de ellos para obtener el otro. 547 00:40:00,000 --> 00:40:04,000 Vamos a sustituir los valores aquí. 548 00:40:04,000 --> 00:40:08,000 Menos tres seis. 549 00:40:08,000 --> 00:40:12,000 Tiene que ser k veces uno menos dos. 550 00:40:12,000 --> 00:40:16,000 ¿Esto cómo sería? 551 00:40:16,000 --> 00:40:20,000 Menos tres seis. 552 00:40:20,000 --> 00:40:24,000 Multiplicar un número por una escala es simplemente multiplicar el número 553 00:40:24,000 --> 00:40:28,000 por cada una de sus coordenadas, menos dos k. 554 00:40:28,000 --> 00:40:32,000 Como las x van por un lado y las y por el otro, aquí podemos sacar dos ecuaciones. 555 00:40:32,000 --> 00:40:36,000 Menos tres tiene que ser igual 556 00:40:36,000 --> 00:40:40,000 que k. Y seis tiene que ser 557 00:40:40,000 --> 00:40:44,000 igual que menos dos k. 558 00:40:44,000 --> 00:40:48,000 Y tendría que dar la misma k en los dos lados. Esta k de arriba tiene que dar lo mismo 559 00:40:48,000 --> 00:40:52,000 que la de abajo. Arriba ya lo tenemos resuelto. K es menos tres. 560 00:40:52,000 --> 00:40:56,000 K de abajo también será menos tres, despejando. K es seis entre menos dos. 561 00:40:56,000 --> 00:41:00,000 Efectivamente, es menos tres. 562 00:41:00,000 --> 00:41:04,000 El número por el que hay que multiplicar este para obtener el otro es menos tres. 563 00:41:04,000 --> 00:41:08,000 Como sí que existe ese número, podemos afirmar que son linealmente dependientes 564 00:41:08,000 --> 00:41:12,000 y están en la misma dirección. 565 00:41:12,000 --> 00:41:16,000 Es como a este darle la vuelta, por eso el menos 566 00:41:16,000 --> 00:41:20,000 de menos tres y hacerlo tres veces más grande para formar este. 567 00:41:20,000 --> 00:41:24,000 Vale, pues estos son vectores linealmente dependientes. 568 00:41:24,000 --> 00:41:28,000 Ahora, que dos vectores son combinación... 569 00:41:28,000 --> 00:41:32,000 Bueno, varios vectores son combinación... 570 00:41:32,000 --> 00:41:36,000 Perdón. Un vector es combinación lineal 571 00:41:36,000 --> 00:41:40,000 de varios vectores y cumple esto. 572 00:41:40,000 --> 00:41:44,000 El vector v es una combinación lineal... 573 00:41:44,000 --> 00:41:48,000 A ver cómo lo pongo... 574 00:42:08,000 --> 00:42:12,000 Decimos que v es combinación lineal 575 00:42:12,000 --> 00:42:16,000 de los vectores u1, u2 y u3 576 00:42:16,000 --> 00:42:20,000 si se cumple que el vector v 577 00:42:20,000 --> 00:42:24,000 es un cierto número de veces el vector k1 578 00:42:24,000 --> 00:42:28,000 más el vector v1 579 00:42:28,000 --> 00:42:32,000 un cierto número de veces el vector u1 más otro cierto número 580 00:42:32,000 --> 00:42:36,000 de veces el vector u2 más otro cierto número de veces el vector u3. 581 00:42:36,000 --> 00:42:40,000 Y así todos los que quisiéramos poner. 582 00:42:40,000 --> 00:42:44,000 Combinando linealmente, es decir, haciendo lo mismo que aquí 583 00:42:44,000 --> 00:42:48,000 pero con varios vectores 584 00:42:48,000 --> 00:42:52,000 combinando linealmente los vectores u1, u2 y u3 585 00:42:52,000 --> 00:42:56,000 o los que hubiera. Eso se llama que un vector 586 00:42:56,000 --> 00:43:00,000 sea combinación lineal de los otros dos. 587 00:43:00,000 --> 00:43:04,000 Un ejemplo con números. 588 00:43:04,000 --> 00:43:08,000 Tenemos varios vectores, por ejemplo 589 00:43:08,000 --> 00:43:12,000 el vector u1 que va a ser 1, 2 590 00:43:12,000 --> 00:43:16,000 el vector u2 que va a ser 591 00:43:16,000 --> 00:43:20,000 menos 3, 5 592 00:43:20,000 --> 00:43:24,000 y vamos a hacer una combinación lineal 593 00:43:24,000 --> 00:43:28,000 de estos dos vectores. Por ejemplo voy a multiplicar 594 00:43:28,000 --> 00:43:32,000 para obtener el vector v voy a multiplicar el vector 595 00:43:32,000 --> 00:43:36,000 voy a multiplicar el vector 1 por 2 596 00:43:36,000 --> 00:43:40,000 2 va a ser 2 veces 1 más una vez 597 00:43:40,000 --> 00:43:44,000 el vector u2 598 00:43:44,000 --> 00:43:48,000 es decir, el u2 no es como si lo dejara igual. 599 00:43:48,000 --> 00:43:52,000 ¿Cómo lo hacemos? Pues 2 por las coordenadas de 1 600 00:43:52,000 --> 00:43:56,000 más 1, porque estas coordenadas se quedan iguales 601 00:43:56,000 --> 00:44:00,000 las puedo dejar así directamente. Entonces v 602 00:44:00,000 --> 00:44:04,000 sería 2, 4 603 00:44:04,000 --> 00:44:08,000 más menos 3, 5. Acabamos ya de resolver 604 00:44:08,000 --> 00:44:12,000 aquí. 2 menos 3, menos 1 605 00:44:12,000 --> 00:44:16,000 y 4 más 5, 9. 606 00:44:16,000 --> 00:44:20,000 Este vector v ha salido como combinación lineal 607 00:44:20,000 --> 00:44:24,000 de estos otros dos vectores 608 00:44:24,000 --> 00:44:28,000 1 y 2. Simplemente es que sepáis 609 00:44:28,000 --> 00:44:32,000 que con varios vectores 610 00:44:32,000 --> 00:44:36,000 hacer una combinación lineal y que es de otro vector. 611 00:44:44,000 --> 00:44:48,000 Vamos a ver ahora dos aplicaciones 612 00:44:48,000 --> 00:44:52,000 que se utilizan un montón en todos los problemas que vamos a ver 613 00:44:52,000 --> 00:44:56,000 durante el tema. La primera es saber calcular el ángulo entre dos vectores. 614 00:44:58,000 --> 00:45:02,000 ... 615 00:45:02,000 --> 00:45:06,000 ... 616 00:45:06,000 --> 00:45:10,000 Y cuando estoy hablando de ángulo entre dos vectores 617 00:45:10,000 --> 00:45:14,000 me refiero al ángulo más pequeño que hay 618 00:45:14,000 --> 00:45:18,000 entre los dos vectores, porque si yo tengo dos vectores así, por ejemplo 619 00:45:18,000 --> 00:45:22,000 u y v, ¿vale? Podríamos decir ¿cuál es el ángulo entre dos vectores? 620 00:45:22,000 --> 00:45:26,000 ¿Este o el que va por el otro lado? 621 00:45:26,000 --> 00:45:30,000 Vamos a considerar que es el más pequeño. 622 00:45:30,000 --> 00:45:34,000 Este es el ángulo que hay entre u y v. Para averiguar el ángulo entre dos vectores 623 00:45:34,000 --> 00:45:38,000 vamos a utilizar la fórmula del producto escalar, que de todo lo que hemos visto hasta ahora 624 00:45:38,000 --> 00:45:42,000 es la única que aparecía alguna referencia al ángulo 625 00:45:42,000 --> 00:45:46,000 entre dos vectores. La fórmula de la que estoy hablando es esta. 626 00:45:46,000 --> 00:45:50,000 El producto escalar de dos vectores 627 00:45:50,000 --> 00:45:54,000 tiene esta definición, que ya os dije que os tenéis 628 00:45:54,000 --> 00:45:58,000 que aprender. Módulo de u por módulo de v por el coseno 629 00:45:58,000 --> 00:46:02,000 del ángulo que forman u y v. Esta es la definición 630 00:46:02,000 --> 00:46:06,000 del producto escalar. De aquí podemos 631 00:46:06,000 --> 00:46:10,000 despejar el coseno, porque una vez sepamos el coseno 632 00:46:10,000 --> 00:46:14,000 podremos averiguar el ángulo, como con el arco. 633 00:46:14,000 --> 00:46:18,000 El arco coseno 634 00:46:18,000 --> 00:46:22,000 del ángulo entre u y v 635 00:46:22,000 --> 00:46:26,000 sería, despejando, pasando esto al otro lado, dividiendo 636 00:46:26,000 --> 00:46:30,000 quedaría arriba el producto escalar de los dos vectores 637 00:46:30,000 --> 00:46:34,000 y en el denominador quedaría el módulo 638 00:46:34,000 --> 00:46:38,000 de u por el módulo de v. 639 00:46:38,000 --> 00:46:42,000 Así podemos averiguar el ángulo entre dos vectores. 640 00:46:42,000 --> 00:46:46,000 Así de sencillo. 641 00:46:46,000 --> 00:46:50,000 Bueno, esto no es el ángulo, esto es el coseno del ángulo. 642 00:46:50,000 --> 00:46:54,000 Si queremos averiguar el ángulo entre u y v tendríamos que hacer 643 00:46:54,000 --> 00:46:58,000 el arco coseno del coseno 644 00:46:58,000 --> 00:47:02,000 de lo que nos da aquí. 645 00:47:02,000 --> 00:47:06,000 El arco coseno del coseno del ángulo entre u y v. 646 00:47:06,000 --> 00:47:10,000 Vamos a ver un ejemplo con números. 647 00:47:10,000 --> 00:47:14,000 Son unos que me voy a inventar 648 00:47:14,000 --> 00:47:18,000 ahora mismo. Imaginaos que nos dan dos vectores. El vector u 649 00:47:18,000 --> 00:47:22,000 que tiene coordenadas 650 00:47:22,000 --> 00:47:26,000 1, 2 651 00:47:26,000 --> 00:47:30,000 y el vector v que tiene coordenadas 652 00:47:30,000 --> 00:47:34,000 menos 3, 5. Creo que son los mismos que he puesto antes. 653 00:47:34,000 --> 00:47:38,000 Y queremos averiguar qué ángulo forman estos dos vectores. 654 00:47:38,000 --> 00:47:42,000 No hace falta ni que los dibujemos. 655 00:47:42,000 --> 00:47:46,000 Simplemente es utilizar 656 00:47:46,000 --> 00:47:50,000 esta fórmula. En realidad con que os aprendáis de memoria de estado 657 00:47:50,000 --> 00:47:54,000 despejarla es fácil, pero vamos a ver la fórmula. 658 00:47:54,000 --> 00:47:58,000 El coseno del ángulo 659 00:47:58,000 --> 00:48:02,000 entre u y v sería el producto 660 00:48:02,000 --> 00:48:06,000 escalar de u por v 661 00:48:06,000 --> 00:48:10,000 dividido entre el módulo de u por el 662 00:48:10,000 --> 00:48:14,000 módulo de v. 663 00:48:14,000 --> 00:48:18,000 Vale, pues vamos a ver. Podemos calcular 664 00:48:22,000 --> 00:48:26,000 el módulo de u. 665 00:48:26,000 --> 00:48:30,000 Raíz cuadrada de 1 al cuadrado más 2 al cuadrado. 666 00:48:30,000 --> 00:48:34,000 Esto es raíz cuadrada de 5. 667 00:48:34,000 --> 00:48:38,000 Módulo de v. 668 00:48:38,000 --> 00:48:42,000 Raíz cuadrada de menos 3 al cuadrado más 669 00:48:42,000 --> 00:48:46,000 5 al cuadrado. 9 y 25. 670 00:48:46,000 --> 00:48:50,000 34. 671 00:48:50,000 --> 00:48:54,000 Raíz de 34. 672 00:48:54,000 --> 00:48:58,000 Vale, ya tenemos los módulos para poner debajo. 673 00:48:58,000 --> 00:49:02,000 ¿El numerador? 674 00:49:02,000 --> 00:49:06,000 ¿Lo sabemos averiguar? Pues vamos a verlo. 675 00:49:06,000 --> 00:49:10,000 Módulo... o sea 676 00:49:10,000 --> 00:49:14,000 producto escalar de u por v sería igual a 677 00:49:14,000 --> 00:49:18,000 1 por menos 3 678 00:49:18,000 --> 00:49:22,000 más 2 por 5. Esto es 679 00:49:22,000 --> 00:49:26,000 menos 3 más 10, que da 680 00:49:26,000 --> 00:49:30,000 7. Pues ya tenemos todo lo que nos hace 681 00:49:30,000 --> 00:49:34,000 falta aquí. Vamos allá. Coseno 682 00:49:34,000 --> 00:49:38,000 del módulo... o sea, perdón, del ángulo 683 00:49:38,000 --> 00:49:42,000 entre u y v sería 7 partido 684 00:49:42,000 --> 00:49:46,000 de raíz de 5 685 00:49:46,000 --> 00:49:50,000 por raíz de 34. 686 00:49:50,000 --> 00:49:54,000 Vale, lo creé. 687 00:49:54,000 --> 00:49:58,000 Y para averiguar el ángulo 688 00:49:58,000 --> 00:50:02,000 entre u y v 689 00:50:02,000 --> 00:50:06,000 sería el arco coseno 690 00:50:06,000 --> 00:50:10,000 de 7 partido de raíz de 5 por raíz de 34. 691 00:50:10,000 --> 00:50:14,000 Y esto es lo que hay que ver en la calculadora. 692 00:50:14,000 --> 00:50:18,000 La calculadora la voy a poner 693 00:50:18,000 --> 00:50:22,000 en grados. 694 00:50:22,000 --> 00:50:26,000 Y hago arco coseno 695 00:50:26,000 --> 00:50:30,000 paréntesis 7 entre 696 00:50:30,000 --> 00:50:34,000 paréntesis raíz de 5 697 00:50:34,000 --> 00:50:38,000 por raíz de 34. 698 00:50:38,000 --> 00:50:42,000 Cierro paréntesis, cierro el otro paréntesis 699 00:50:42,000 --> 00:50:46,000 y me sale un ángulo de 700 00:50:46,000 --> 00:50:50,000 57,53 grados. 701 00:50:50,000 --> 00:50:54,000 Cosa que se usa mucho 702 00:50:54,000 --> 00:50:58,000 es averiguar el punto medio 703 00:50:58,000 --> 00:51:02,000 de un segmento, o el punto que está a un tercio 704 00:51:02,000 --> 00:51:06,000 o a los dos tercios de un segmento, o a un cuarto. 705 00:51:06,000 --> 00:51:10,000 Como dividir un segmento en trozos. 706 00:51:10,000 --> 00:51:14,000 El ejemplo más fácil es el punto medio de un segmento. 707 00:51:14,000 --> 00:51:18,000 Aquí tengo un segmento, un trozo de línea, que varía desde a hasta b. 708 00:51:18,000 --> 00:51:22,000 Y yo quiero averiguar las coordenadas 709 00:51:22,000 --> 00:51:26,000 del punto m, que está en el medio 710 00:51:26,000 --> 00:51:30,000 del segmento. Yo sé las coordenadas de a. 711 00:51:30,000 --> 00:51:34,000 Las coordenadas de a son 1, 2, 3, 4, 5. 712 00:51:34,000 --> 00:51:38,000 Esto es 5, esto es 1. 713 00:51:38,000 --> 00:51:42,000 1, 5. Las coordenadas de b son 714 00:51:42,000 --> 00:51:46,000 1, 2, 3, 4, 5. 715 00:51:46,000 --> 00:51:50,000 5, 3. 716 00:51:50,000 --> 00:51:54,000 Y quiero averiguar cuáles son 717 00:51:54,000 --> 00:51:58,000 las coordenadas de m. M es el punto que está en la mitad. 718 00:51:58,000 --> 00:52:02,000 Podemos utilizar un truco 719 00:52:02,000 --> 00:52:06,000 usando vectores de posición para resolver esto. Fijaos. 720 00:52:06,000 --> 00:52:10,000 Yo lo que quiero averiguar son las coordenadas de m. Y habíamos dicho que en un vector 721 00:52:10,000 --> 00:52:14,000 de posición, las coordenadas del vector coinciden 722 00:52:14,000 --> 00:52:18,000 con las coordenadas de su extremo, es decir, de donde apuntan. 723 00:52:18,000 --> 00:52:22,000 Si consiguiera 724 00:52:22,000 --> 00:52:26,000 averiguar las coordenadas de este vector 725 00:52:26,000 --> 00:52:30,000 de posición, que va desde el origen hasta 726 00:52:30,000 --> 00:52:34,000 el punto m, si encuentro las coordenadas de este vector 727 00:52:34,000 --> 00:52:38,000 del vector o.m, son las mismas 728 00:52:38,000 --> 00:52:42,000 que las de m. ¿Por qué? Lo que os explicaba al principio del tema. 729 00:52:42,000 --> 00:52:46,000 Las coordenadas de un vector de posición son las mismas que las de su extremo. 730 00:52:46,000 --> 00:52:50,000 O sea que el problema se reduciría a encontrar 731 00:52:50,000 --> 00:52:54,000 las coordenadas de este vector o.m. 732 00:52:54,000 --> 00:52:58,000 Y también hemos visto cómo hacer 733 00:52:58,000 --> 00:53:02,000 operaciones con vectores. 734 00:53:02,000 --> 00:53:06,000 Este vector o.m. es la suma de otros dos vectores. 735 00:53:06,000 --> 00:53:10,000 Que podemos ver 736 00:53:10,000 --> 00:53:14,000 que serían 737 00:53:14,000 --> 00:53:18,000 el vector de posición del punto a, un vector que empieza aquí 738 00:53:18,000 --> 00:53:22,000 y basta si a este 739 00:53:22,000 --> 00:53:26,000 ¿qué le tendría que sumar para que me diera esto? 740 00:53:26,000 --> 00:53:30,000 Pues le tengo que sumar este cachito de aquí. Si a este vector 741 00:53:30,000 --> 00:53:34,000 le sumas esto, como el resultado de la suma es 742 00:53:34,000 --> 00:53:38,000 desde el inicio del primero hasta el final del segundo, ya tenemos el punto m. 743 00:53:38,000 --> 00:53:42,000 Es decir, el vector o.m. 744 00:53:42,000 --> 00:53:46,000 se puede obtener como 745 00:53:46,000 --> 00:53:50,000 la suma del vector 746 00:53:50,000 --> 00:53:54,000 o.a. 747 00:53:54,000 --> 00:53:58,000 más este cachito de aquí. ¿Qué es este cachito? 748 00:53:58,000 --> 00:54:02,000 Pues justo la mitad del segmento más 749 00:54:02,000 --> 00:54:06,000 un medio, la mitad del vector que va 750 00:54:06,000 --> 00:54:10,000 desde a hasta b. 751 00:54:10,000 --> 00:54:14,000 Entonces sería 752 00:54:14,000 --> 00:54:18,000 sumándole este cachito y ya tendríamos el resultado. 753 00:54:18,000 --> 00:54:22,000 Este vector es la suma de esto más la mitad del vector 754 00:54:22,000 --> 00:54:26,000 que va de un extremo a otro del segmento. 755 00:54:26,000 --> 00:54:30,000 Y esto es fácil de resolver. O.m. es igual. 756 00:54:30,000 --> 00:54:34,000 ¿Cuáles son las coordenadas del vector o.a.? Como es un vector de posición que sale del origen 757 00:54:34,000 --> 00:54:38,000 pues las mismas que 758 00:54:38,000 --> 00:54:42,000 del punto a. Uno cinco más un medio 759 00:54:42,000 --> 00:54:46,000 y ¿cuáles son las coordenadas del vector a.b.? 760 00:54:46,000 --> 00:54:50,000 Más un medio de a.b. ¿Cuáles son las coordenadas del vector a.b.? 761 00:54:50,000 --> 00:54:54,000 Pues lo hemos visto al principio. Si sabemos dónde empieza y dónde acaba el vector 762 00:54:54,000 --> 00:54:58,000 las coordenadas del vector a.b. 763 00:54:58,000 --> 00:55:02,000 se obtienen restando las coordenadas de b menos las de a. 764 00:55:02,000 --> 00:55:06,000 Es decir, cinco tres menos uno cinco. 765 00:55:06,000 --> 00:55:10,000 Esto da cinco menos uno cuatro. 766 00:55:10,000 --> 00:55:14,000 Y tres menos cinco menos dos. 767 00:55:14,000 --> 00:55:18,000 Más un medio de 768 00:55:18,000 --> 00:55:22,000 cuatro menos dos. Es decir, 769 00:55:22,000 --> 00:55:26,000 uno cinco más un medio de cuatro 770 00:55:26,000 --> 00:55:30,000 dos. Un medio de menos dos menos uno. Es decir, 771 00:55:30,000 --> 00:55:34,000 uno cinco más esto 772 00:55:34,000 --> 00:55:38,000 sería tres cuatro. 773 00:55:38,000 --> 00:55:42,000 Estas son las coordenadas de o.m. 774 00:55:42,000 --> 00:55:46,000 Por lo tanto, m también tiene 775 00:55:46,000 --> 00:55:50,000 tres cuatro. Y hemos encontrado el punto medio 776 00:55:50,000 --> 00:55:54,000 de este segmento. 777 00:55:54,000 --> 00:55:58,000 Este método sirve también 778 00:55:58,000 --> 00:56:02,000 para encontrar el punto que está a un tercio de a. O sea, si quisiéramos partir 779 00:56:02,000 --> 00:56:06,000 en tres trozos el segmento a.b., solo tendríamos que hacer 780 00:56:06,000 --> 00:56:10,000 para el primer trozo, para saber dónde caería el primer tercio, aquí 781 00:56:10,000 --> 00:56:14,000 pondríamos un tercio, y para el segundo tercio, dos tercios. 782 00:56:14,000 --> 00:56:18,000 El primer tercio 783 00:56:18,000 --> 00:56:22,000 uno coma cinco más un tercio de cuatro dos. Y este 784 00:56:22,000 --> 00:56:26,000 dos tercios. Y así para partirlo en las veces que queramos, solo cambiando 785 00:56:26,000 --> 00:56:30,000 esta fracción, que representaría los trozos 786 00:56:30,000 --> 00:56:34,000 en los que queremos dividir el segmento. Si quiero averiguar 787 00:56:34,000 --> 00:56:38,000 el trozo que está en el primer quinto, más un quinto 788 00:56:38,000 --> 00:56:42,000 de cuatro dos. Si queremos el segundo trozo, pues dos quintos. 789 00:56:42,000 --> 00:56:46,000 Tres quintos y cuatro quintos. Cinco quintos ya sería el segmento entero. 790 00:56:46,000 --> 00:56:50,000 Entonces podemos, con este truco, dividir un segmento de la forma que queramos. 791 00:56:50,000 --> 00:56:54,000 ¿Vale? Por eso es muy importante que esto lo sepáis hacer. 792 00:56:54,000 --> 00:56:58,000 Pero, para calcular justo el punto 793 00:56:58,000 --> 00:57:02,000 medio de un segmento, hay otro truco todavía más fácil, pero tiene el inconveniente 794 00:57:02,000 --> 00:57:06,000 que solo sirve para partir por la mitad un segmento. Solo para partir por la mitad. 795 00:57:06,000 --> 00:57:10,000 Con este método podemos partirlo en los trozos que queramos. 796 00:57:10,000 --> 00:57:14,000 Pero, con el que os voy a explicar ahora, que es mucho más fácil, solo sirve 797 00:57:14,000 --> 00:57:18,000 para partir por la mitad. Y el truco es así. 798 00:57:18,000 --> 00:57:22,000 M sería 799 00:57:26,000 --> 00:57:30,000 a uno más b uno entre dos 800 00:57:30,000 --> 00:57:34,000 coma a dos más b dos 801 00:57:34,000 --> 00:57:38,000 entre dos. Fijaos que con esta sencilla fórmula 802 00:57:38,000 --> 00:57:42,000 con menos trabajo, se puede obtener directamente 803 00:57:42,000 --> 00:57:46,000 el punto medio. Comprobémoslo. A uno más b uno son las 804 00:57:46,000 --> 00:57:50,000 coordenadas x de a y b. Entonces tendríamos uno 805 00:57:50,000 --> 00:57:54,000 más cinco entre dos coma 806 00:57:54,000 --> 00:57:58,000 cinco más tres entre dos. Vamos a ver si da. 807 00:57:58,000 --> 00:58:02,000 Seis entre dos son tres 808 00:58:02,000 --> 00:58:06,000 y ocho entre dos son cuatro. Da exactamente el mismo resultado 809 00:58:06,000 --> 00:58:10,000 mucho más rápido y sin tener que pensar nada. 810 00:58:10,000 --> 00:58:14,000 Inconveniente que este sirve para cualquier división. 811 00:58:14,000 --> 00:58:18,000 Este solo sirve para partir por la mitad, recordadlo. 812 00:58:18,000 --> 00:58:22,000 Si yo os pido que me partáis el segmento en tres trozos, esto no lo vais a poder usar. 813 00:58:22,000 --> 00:58:26,000 Sin embargo, si os pidiera que lo partierais en cuatro, 814 00:58:26,000 --> 00:58:30,000 ahí lo dejo para un ejercicio que os mandaré.