1
00:00:05,679 --> 00:00:10,279
Hola, buenos días chicos. Este vídeo es para explicaros el concepto de continuidad.

2
00:00:10,919 --> 00:00:14,400
¿De acuerdo? Entonces, lo primero que tenemos que reconocer es la definición.

3
00:00:14,880 --> 00:00:22,160
La definición dice que una función f de x es continua en el punto x igual a a si cumple lo siguiente.

4
00:00:22,980 --> 00:00:30,579
Que el límite cuando x tiende a por la izquierda es igual al límite cuando x tiende a por la derecha es igual a f de a.

5
00:00:30,579 --> 00:00:50,979
Es decir, como pone en las observaciones, tengo que calcular tres cosas. El límite por la izquierda, el límite por la derecha, el valor justo en el punto A, es decir, que el tercer cálculo no es un límite, sino que es evaluar la función cuando la X va a la A, y por último, comparar los tres valores.

6
00:00:50,979 --> 00:00:57,020
vale, insisto en que el primer trozo es un límite lateral por la izquierda

7
00:00:57,020 --> 00:00:59,399
el segundo es un límite lateral por la derecha

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00:00:59,399 --> 00:01:04,260
y el tercero no es un límite sino que es evaluar la función cuando la x vale a

9
00:01:04,260 --> 00:01:08,200
gráficamente el concepto de continuidad lo tenemos muy claro

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00:01:08,200 --> 00:01:15,299
una función es continua cuando puedo trazar la gráfica fácilmente sin levantar el trazo en la mano del papel

11
00:01:15,299 --> 00:01:19,500
sin embargo una función es discontinua cuando la dibujo

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00:01:19,500 --> 00:01:25,519
pero para continuar dibujándola debo de hacer algún tipo de salto y continuarla, ¿vale?

13
00:01:25,540 --> 00:01:30,299
Pero a nosotros no nos van a dar gráfica, sino que nos van a dar la función en forma analítica.

14
00:01:30,840 --> 00:01:38,019
Por eso tenemos que dominar esa definición y además repasar algunos conceptos que vamos a utilizar.

15
00:01:39,859 --> 00:01:42,920
Tenemos que saber qué tipos de discontinuidad hay.

16
00:01:43,760 --> 00:01:45,640
Vamos a manejar tres tipos.

17
00:01:45,640 --> 00:02:01,400
Tenemos discontinuidad evitable, ¿vale? Gráficamente es lo que tenemos aquí. Una discontinuidad evitable es aquella en la que parece que la función es continua salvo por un pequeño agujerito que tiene en la gráfica, ¿vale?

18
00:02:01,400 --> 00:02:06,659
Si ese agujerito lo podríamos tapar con un dedo, no se notaría la discontinuidad, ¿vale?

19
00:02:06,859 --> 00:02:11,919
Se llama evitable porque si tapo ese agujero se podría evitar, ¿vale?

20
00:02:11,960 --> 00:02:24,599
Entonces, como pone aquí, son las que tienen un agujero y los límites laterales son iguales, pero no coinciden con el valor de FDA, ¿vale?

21
00:02:24,740 --> 00:02:29,039
Vamos a aplicar la definición también para identificar qué tipo de discontinuidad es.

22
00:02:29,039 --> 00:02:30,639
Ahora retomamos esto.

23
00:02:30,639 --> 00:02:38,259
Discontinuidad es salto finito, como veis en la gráfica un salto finito es cuando hay un salto que yo podría medir

24
00:02:38,259 --> 00:02:45,900
Como es este caso, la función acaba en el punto cerrado y continúa en el punto abierto y parece que esa distancia que hay ahí es medible

25
00:02:45,900 --> 00:02:56,080
Y discontinuidad es salto infinito, salto infinito es cuando una de las ramas de la función o las dos, da igual una rama o la otra o las dos

26
00:02:56,080 --> 00:02:59,219
dan un salto que no se puede medir.

27
00:02:59,400 --> 00:03:02,300
Por ejemplo, en este caso, esta rama continúa de forma infinita,

28
00:03:02,960 --> 00:03:05,740
no sabemos dónde acaba y luego continúa por aquí.

29
00:03:06,280 --> 00:03:09,419
El hecho de que no sepa dónde acaba una rama que tiende a infinito

30
00:03:09,419 --> 00:03:12,500
me indica que es una discontinuidad de salto infinito.

31
00:03:13,599 --> 00:03:15,680
Las discontinuidades, los tipos de discontinuidades,

32
00:03:15,919 --> 00:03:17,520
están relacionadas con la definición.

33
00:03:18,419 --> 00:03:22,180
La discontinuidad evitable, los límites laterales coinciden,

34
00:03:22,180 --> 00:03:35,060
pero no existe, no coincide con f de a, ¿vale? De ahí el agujerito. Salto finito indica que los límites laterales existen, pero este toma un valor y este toma otro.

35
00:03:35,360 --> 00:03:44,919
Por lo tanto, como ya no se cumple esta igualdad, pues ya es una discontinuidad. Y de salto infinito es que o un límite es infinito menos infinito,

36
00:03:44,919 --> 00:03:49,360
o que el otro límite también lo es o que los dos lo son, ¿vale?

37
00:03:50,900 --> 00:03:57,780
Y ese tipo de discontinuidad está relacionado con la definición.

38
00:03:58,240 --> 00:04:01,039
Falla alguna igualdad de las que hay aquí, ¿vale?

39
00:04:01,159 --> 00:04:05,360
Acordaros que hay que decir dónde un punto, dónde una función es discontinua y de qué tipo.

40
00:04:06,599 --> 00:04:13,039
Por último, hay que recordar o hay que pensar cuándo vamos a tener problemas de discontinuidad, ¿vale?

41
00:04:13,039 --> 00:04:14,419
Y esto es para que os sirva de ayuda.

42
00:04:14,919 --> 00:04:16,860
¿Dónde puede haber problemas de discontinuidad?

43
00:04:17,620 --> 00:04:24,240
Pues cuando nos aparezca una función con denominadores o cuando nos aparezcan funciones a trozos,

44
00:04:24,620 --> 00:04:29,019
vamos a tener que discutir o estudiar la continuidad de esa función.

45
00:04:29,620 --> 00:04:36,279
Cuando la función es racional, sabemos que el problema está en los valores de x que hagan que el denominador se anule,

46
00:04:36,560 --> 00:04:38,420
es decir, cuando el denominador es cero.

47
00:04:38,420 --> 00:04:47,240
Y en una función a trozos, pues tengo que revisar la función a trozos, pero normalmente va a coincidir con los valores de x donde acabo un trozo y empiezo el siguiente.

48
00:04:48,540 --> 00:04:53,319
Vemos el primer ejemplo. Me dicen que f de x es una función a trozos de este tipo.

49
00:04:53,980 --> 00:04:59,819
Es decir, que f vale x al cuadrado siempre que x sea distinto de 2.

50
00:05:00,120 --> 00:05:02,660
Y si x vale 2, la función vale 5.

51
00:05:04,360 --> 00:05:05,939
¿Cómo hacemos aquí el estudio?

52
00:05:05,939 --> 00:05:22,620
Pues sabemos que x al cuadrado es una función continua, si la función valiera solamente 5 sería una función constante y sería continua, luego por sí solo cada trozo es continuo, pero como no son solas sino que es una función a trozos, ¿dónde está el problema?

53
00:05:22,620 --> 00:05:25,279
¿Dónde la función cambia de valor?

54
00:05:25,579 --> 00:05:28,060
La función cambia de valor si x es igual a 2.

55
00:05:29,139 --> 00:05:33,019
Por lo tanto, aplico la definición en x igual a 2.

56
00:05:33,639 --> 00:05:37,319
Aplico la definición y sustituyo mi valor a por 2.

57
00:05:38,720 --> 00:05:43,500
Por lo tanto, para comprobar la definición, calculo el primer trozo.

58
00:05:44,120 --> 00:05:47,740
¿Cuánto es el límite de la función cuando me acerco a 2 por la izquierda?

59
00:05:47,740 --> 00:05:55,699
Atención a esto porque tenéis que saber qué función tengo que coger cuando me acerco a 2 por la izquierda

60
00:05:55,699 --> 00:05:59,920
Si me acerco a 2 por la izquierda estoy cogiendo x al cuadrado

61
00:05:59,920 --> 00:06:02,899
Evalúo, esto me vale 4

62
00:06:02,899 --> 00:06:13,160
Por la derecha es igual, si tienes f, si me acerco a 2 por la derecha

63
00:06:13,160 --> 00:06:18,500
En este caso, si me acerco a 2 por la derecha, debería tomar este trozo.

64
00:06:19,680 --> 00:06:23,100
¿Vale? Calculo este límite y por último me queda calcular quién es f de 2.

65
00:06:23,480 --> 00:06:26,759
La función cuando la x vale 2, ¿dónde la tengo que evaluar?

66
00:06:27,360 --> 00:06:32,660
Pues según dice la definición, si la x vale 2, la función valdría 5.

67
00:06:33,060 --> 00:06:36,019
Y en el resto de los casos valdría x al cuadrado.

68
00:06:37,000 --> 00:06:39,579
¿Vale? Pues f de 2 vale 5.

69
00:06:39,579 --> 00:06:44,040
por lo tanto completo esta definición con mis resultados

70
00:06:44,040 --> 00:06:47,579
el límite por la izquierda de esta función es 4

71
00:06:47,579 --> 00:06:50,720
el límite por la derecha es 4

72
00:06:50,720 --> 00:06:52,519
luego estos dos límites coinciden

73
00:06:52,519 --> 00:06:56,240
pero en el último trozo f de 2 es distinto

74
00:06:56,240 --> 00:07:00,579
entonces es distinto porque f de 2 es 5

75
00:07:00,579 --> 00:07:03,839
por lo tanto veo que los límites laterales coinciden

76
00:07:03,839 --> 00:07:07,000
parece que la función va a ser continua

77
00:07:07,000 --> 00:07:09,819
pero tiene un pequeño agujerito justo en f de 2.

78
00:07:10,220 --> 00:07:17,860
Por tanto, la solución final de este ejercicio sería que f tiene una discontinuidad en x igual a 2

79
00:07:17,860 --> 00:07:22,040
y ¿de qué tipo? Una discontinuidad evitable, ¿vale? En x igual a 2.

80
00:07:22,160 --> 00:07:27,240
Hay que decir en dónde y de qué tipo es la discontinuidad, ¿de acuerdo?

81
00:07:28,279 --> 00:07:32,540
Vale, vamos a ver un caso más común, ¿vale? El primero es un poquito especial,

82
00:07:32,699 --> 00:07:36,519
pero aquí tenéis otra función a trozos donde la función vale x al cuadrado más 1

83
00:07:36,519 --> 00:07:42,420
si los valores de x son más pequeños que 1 y si son mayores que 1 vale menos 2x.

84
00:07:43,220 --> 00:07:47,560
El razonamiento es el mismo, cada trozo por sí mismo es una función continua.

85
00:07:48,339 --> 00:07:55,259
Si f de x fuera x al cuadrado más 1 o solamente fuera menos 2x no habría problema de discontinuidad,

86
00:07:55,779 --> 00:08:02,139
pero como es una función a trozos el problema está justo en el punto donde cambia la función en x igual a 1.

87
00:08:02,139 --> 00:08:04,860
Estudio la discontinuidad en x igual a 1

88
00:08:04,860 --> 00:08:10,720
Estudio el límite lateral por la izquierda, por la derecha y f de 1

89
00:08:10,720 --> 00:08:15,699
Cuidado con estos límites, tengo que saber en cada momento qué trozo de la función cojo

90
00:08:15,699 --> 00:08:21,720
Si me acerco a 1 por la izquierda, me estoy acercando por los valores de x más pequeños que 1

91
00:08:21,720 --> 00:08:24,120
Por lo tanto, cogería esta f de x

92
00:08:24,120 --> 00:08:28,019
x al cuadrado más 1, evalúo, calculo el límite y me sale 2

93
00:08:28,019 --> 00:08:35,000
Y si lo hago por la derecha de 1, cogería esta función y justo en f de 1 tengo que elegir esta.

94
00:08:35,419 --> 00:08:37,799
¿Por qué? Porque estos son los x mayores igual que 1.

95
00:08:39,120 --> 00:08:44,679
Compruebo los resultados y en este caso los límites laterales son distintos, aunque son valores finitos.

96
00:08:45,220 --> 00:08:48,639
Por lo tanto, f tiene una discontinuidad de salto finito en x igual a 1.

97
00:08:55,450 --> 00:08:58,690
En este vídeo vamos a estudiar la continuidad con parámetros.

98
00:08:58,690 --> 00:09:08,070
Como pone en el objetivo, en el primer comentario, dice, vamos a calcular el valor de uno o dos parámetros para que la función sea continua.

99
00:09:08,330 --> 00:09:12,389
Es decir, no tiene nada que ver con lo que hemos hecho en los anteriores vídeos.

100
00:09:13,029 --> 00:09:16,789
Ahora no se trata de estudiar la discontinuidad, la continuidad o discontinuidad de una función.

101
00:09:17,029 --> 00:09:23,990
Se trata de buscar valores de un parámetro desconocido para hacer que esa función sea continua.

102
00:09:24,429 --> 00:09:26,009
Eso es lo que se explica en este tramo.

103
00:09:26,850 --> 00:09:36,269
Bien, por ejemplo, si me dan la función que tenemos en el ejemplo 1, aquí el parámetro sería la letra A.

104
00:09:36,970 --> 00:09:42,629
Recordad que un parámetro es el equivalente a un número, es el representante de un número.

105
00:09:42,629 --> 00:09:45,649
Un parámetro sería un valor numérico, no es una variable.

106
00:09:46,169 --> 00:09:49,809
A podría ser 5, 8, 10, se comporta exactamente con un número.

107
00:09:49,929 --> 00:09:54,429
Ya lo hemos trabajado en matrices, lo hemos trabajado en sistemas de ecuaciones,

108
00:09:54,429 --> 00:10:01,649
que hemos trabajado mucho antes. ¿De acuerdo? Pues, ¿cómo abordo yo este ejercicio?

109
00:10:02,190 --> 00:10:08,789
Bien, la primera parte de la función sería una recta, porque x tiene grado 1,

110
00:10:08,970 --> 00:10:13,830
la segunda sería una parábola. En sí, estos trocitos no tienen ningún problema de continuidad.

111
00:10:14,370 --> 00:10:21,809
Como es una función a trozos, el problema, la discusión se va a hacer en torno a x igual a 3,

112
00:10:21,809 --> 00:10:27,029
que es donde la f de x, donde la función, cambia de gráfica.

113
00:10:27,409 --> 00:10:32,610
Por lo tanto, tenemos que pensar que para que f sea continua en x igual a 3,

114
00:10:33,009 --> 00:10:34,570
tiene que cumplir la definición.

115
00:10:35,710 --> 00:10:39,509
Recordad que el objetivo es que esta función sí sea continua

116
00:10:39,509 --> 00:10:45,629
y tenemos que hacer que se cumplan estas tres condiciones, que las tres sean iguales.

117
00:10:46,370 --> 00:10:51,049
Hacemos como hemos hecho antes en el primer vídeo.

118
00:10:51,809 --> 00:10:56,210
Calculamos por separado cada uno de estos conceptos, ¿vale? Con cuidadito.

119
00:10:56,490 --> 00:11:03,570
El primer límite, cuando la x se acerca a 3 por la izquierda, f la tengo que sustituir por 2x más a.

120
00:11:03,830 --> 00:11:10,490
¿Por qué? Porque lo pone en la definición 2x más a para los valores más pequeños que 3.

121
00:11:12,600 --> 00:11:13,159
Perdonad.

122
00:11:14,120 --> 00:11:17,700
Vale, sustituyo y evalúo. Aquí tengo el parámetro.

123
00:11:17,700 --> 00:11:30,039
Entonces, evalúo todo lo que pueda evaluar. Puedo hacer 2 por 3, 6, más a. 6 y a no se pueden juntar, no son términos semejantes.

124
00:11:31,059 --> 00:11:38,460
Calculo el límite lateral cuando x tiende a 3 por la derecha. Si me acerco a 3 por la derecha, estoy tomando los valores de x mayores que 3.

125
00:11:38,460 --> 00:11:43,519
Luego f la tengo que sustituir por este trámito, x al cuadrado menos 2, ¿vale?

126
00:11:43,600 --> 00:11:51,240
Pues en la definición donde hay una f pongo x al cuadrado menos 2, que es el cachito que se corresponde a los x mayores que 3.

127
00:11:52,159 --> 00:11:54,539
Evalúo, me sale 7, ¿vale?

128
00:11:54,639 --> 00:11:59,159
Y f de 3 es evaluar la función cuando la x vale 3, ¿vale?

129
00:11:59,159 --> 00:12:12,220
La función se evalúa en x igual a 3, como veis en esta definición, 2x más a ocurre cuando el x es más pequeño que 3 y también igual a 3.

130
00:12:12,600 --> 00:12:17,240
Pues entonces cuando el x vale 3, evalúo la función en este trocito de función.

131
00:12:18,460 --> 00:12:25,620
Y de nuevo me sale lo de antes, 2 por 3 más a, 6 más a, 6 y a no son semejantes, se quedaría así.

132
00:12:26,600 --> 00:12:32,399
Para que la función sea continua tengo que forzar que estas tres cosas que he calculado sean iguales.

133
00:12:32,940 --> 00:12:39,460
Normalmente va a ocurrir que hay dos cosas que se repiten, por lo tanto esto y esto ya sé que son iguales.

134
00:12:39,460 --> 00:12:47,879
Voy a juntar estas dos cosas. Para que la función sea continua tiene que ocurrir que esto y esto sea igual.

135
00:12:48,259 --> 00:12:54,820
Es decir, obtengo una ecuación sencilla de primer grado donde despejo A y A vale 1.

136
00:12:55,620 --> 00:13:11,159
Este a vale 1 ocurre cuando aplico la definición, por lo tanto, para que la función sea continua, a tiene que valer 1, o dicho de otra manera, si a vale 1, para que la función sea continua, en x igual a menos 3.

137
00:13:11,559 --> 00:13:21,899
¿De acuerdo? Revisad el resto de los ejemplos, os digo igual que antes, hay varios ejemplos diferentes con casuísticas diferentes, revisadlos porque este es el más fácil.

138
00:13:21,899 --> 00:13:23,799
Puede darse hasta un sistema de ecuaciones.

139
00:13:24,240 --> 00:13:26,039
Así que con esto hemos terminado.