1
00:00:05,360 --> 00:00:09,119
Vamos a recordar los pasos que tenemos que seguir para factorizar un polinomio.

2
00:00:10,019 --> 00:00:17,280
Recordad que factorizar un polinomio consiste en escribirlo como producto de polinomios más sencillos, es decir, de menor grado.

3
00:00:17,780 --> 00:00:21,199
Siempre que se pueda, de grado 1 o como mucho, de grado 2.

4
00:00:21,879 --> 00:00:25,500
Lo primero que tenemos que hacer es extraer el factor común si se puede.

5
00:00:26,199 --> 00:00:31,280
El segundo paso es utilizar las identidades notables, si es que se puede, para factorizar los polinomios.

6
00:00:31,280 --> 00:00:37,780
y el tercer paso sería utilizar la regla de Ruffini combinada con el teorema del resto

7
00:00:37,780 --> 00:00:43,780
y también con la prueba de la división, aplicando que el dividendo es igual al divisor por cociente más el resto.

8
00:00:44,539 --> 00:00:48,219
Os dejo ahora cuáles son las tres identidades notables por si no las recordáis.

9
00:00:48,299 --> 00:00:50,280
La primera es el cuadrado de una suma.

10
00:00:51,520 --> 00:00:55,479
Os recuerdo que el cuadrado de una suma, es decir, a más b elevado al cuadrado,

11
00:00:55,479 --> 00:01:02,520
es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

12
00:01:03,500 --> 00:01:06,379
La segunda es el cuadrado de una diferencia.

13
00:01:06,739 --> 00:01:10,060
El cuadrado de una diferencia, es decir, a menos b elevado al cuadrado

14
00:01:10,060 --> 00:01:16,739
es igual al cuadrado del primero menos el doble producto del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

15
00:01:16,739 --> 00:01:19,799
Y por último, suma por diferencia.

16
00:01:19,799 --> 00:01:26,920
ya sabéis que una suma por una diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados

17
00:01:26,920 --> 00:01:32,620
recordad que este lo hemos utilizado cuando hemos racionalizado denominadores

18
00:01:32,620 --> 00:01:38,620
lo particular de las identidades notables es que normalmente las hemos utilizado en esta dirección

19
00:01:38,620 --> 00:01:47,019
es decir, nos dan o bien esto o esto o esto y tenemos que conseguir la segunda parte de la igualdad

20
00:01:47,019 --> 00:01:56,799
y ahora lo que vamos a hacer va a ser utilizarlo pues justo al revés, es decir, nos van a dar esto que está recuadrado en azul

21
00:01:56,799 --> 00:02:05,519
y vamos a tener que averiguar la parte que está redondeada en rojo, es decir, lo que vamos a hacer va a ser utilizar las identidades notables

22
00:02:05,519 --> 00:02:11,919
al revés de como estamos acostumbrados. Bueno, pues vamos con el primer ejemplo, vamos a factorizar el polinomio

23
00:02:11,919 --> 00:02:17,979
x elevado al cubo menos 2x al cuadrado más x

24
00:02:17,979 --> 00:02:22,180
entonces recordad que el primer paso es sacar factor común si se puede

25
00:02:22,180 --> 00:02:28,240
bueno, si os fijáis en este se puede sacar factor común a la x

26
00:02:28,240 --> 00:02:33,599
si hubiese algún número que se pudiera sacar también como factor común pues también se saca

27
00:02:33,599 --> 00:02:35,780
en este caso lo que tenemos es lo siguiente

28
00:02:35,780 --> 00:02:40,659
tenemos el polinomio x al cubo menos 2x al cuadrado más x

29
00:02:40,659 --> 00:02:47,560
y en este caso podemos sacar factor común a la x, quedaría dentro del paréntesis x al cuadrado menos 2x más 1.

30
00:02:47,919 --> 00:02:53,819
Es importante que recordéis que delante de esta x de aquí tenemos un coeficiente que es 1,

31
00:02:53,960 --> 00:02:58,319
aunque no se vea, si hubiese un menos pues sería menos 1, pero es muy importante que lo escribáis ahí.

32
00:02:58,819 --> 00:03:02,379
El segundo paso es utilizar las identidades notables.

33
00:03:03,379 --> 00:03:07,800
Vamos a utilizar las identidades notables en este polinomio de aquí, que es el que tiene grado 2

34
00:03:07,800 --> 00:03:11,439
y tenemos que intentar factorizarlo como polinomios de grado 1.

35
00:03:12,180 --> 00:03:16,659
Si nos fijamos en este polinomio, la identidad notable que se le parece es el cuadrado de una diferencia

36
00:03:16,659 --> 00:03:22,960
que os recuerdo que es el cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo.

37
00:03:24,319 --> 00:03:31,460
Si vamos comparando término a término, a sería x y b al cuadrado sería 1.

38
00:03:31,460 --> 00:03:36,240
por tanto en principio este polinomio si corresponde con una identidad notable

39
00:03:36,240 --> 00:03:39,400
debería ser x menos 1 elevado al cuadrado

40
00:03:39,400 --> 00:03:41,259
es muy importante que comprobemos ahora

41
00:03:41,259 --> 00:03:44,699
que el doble del primero por el segundo corresponde a menos 2x

42
00:03:44,699 --> 00:03:46,639
si desarrollamos este cuadrado

43
00:03:46,639 --> 00:03:51,419
esto será igual a x al cuadrado menos 2 por x y por 1

44
00:03:51,419 --> 00:03:53,520
más 1 elevado al cuadrado

45
00:03:53,520 --> 00:03:55,479
luego si se corresponde con lo que teníamos

46
00:03:55,479 --> 00:03:57,900
por tanto el polinomio que tenemos

47
00:03:57,900 --> 00:04:02,860
que recuerdo que era x al cubo menos 2x al cuadrado más x

48
00:04:02,860 --> 00:04:07,740
que era igual que x por x al cuadrado menos 2x más 1

49
00:04:07,740 --> 00:04:11,000
aplicando las identidades notables al segundo polinomio

50
00:04:11,000 --> 00:04:12,900
x al cuadrado menos 2x más 1

51
00:04:12,900 --> 00:04:18,579
nos quedaría que esto es igual que x por x menos 1 elevado al cuadrado

52
00:04:18,579 --> 00:04:21,699
y ya tenemos factorizado el polinomio original

53
00:04:21,699 --> 00:04:25,959
el polinomio original será x por x menos 1 elevado al cuadrado

54
00:04:25,959 --> 00:04:31,560
Vamos a factorizar ahora un polinomio de grado 6. El polinomio a factorizar va a ser el siguiente.

55
00:04:32,120 --> 00:04:42,920
Será x elevado a 6 más 5x elevado a la quinta más 7x elevado a la cuarta más 5x elevado a 3 más 6x al cuadrado.

56
00:04:43,860 --> 00:04:52,100
Recordad, el primer paso sería sacar factor común a la x, si se puede, o si hay algún número al cual se le pueda sacar factor común, pues ese número.

57
00:04:52,100 --> 00:04:56,079
en este caso como veis podemos sacar factor común a la x elevado a 2

58
00:04:56,079 --> 00:04:59,920
así que nos quedaría que este polinomio es igual a x elevado al cuadrado

59
00:04:59,920 --> 00:05:04,500
multiplicado por x a la cuarta más 5x elevado al cubo

60
00:05:04,500 --> 00:05:09,579
más 7x elevado a 2 más 5x más 6

61
00:05:09,579 --> 00:05:14,019
y ahora lo que tenemos que hacer es factorizar este polinomio

62
00:05:14,019 --> 00:05:19,220
que subrayamos en rojo y que lo vamos a llamar b1 de x

63
00:05:19,220 --> 00:05:22,399
para distinguirlo del b que teníamos antes

64
00:05:22,399 --> 00:05:24,759
bueno, pues vamos a coger ese b1

65
00:05:24,759 --> 00:05:27,240
que es el polinomio que tenemos subrayado en rojo

66
00:05:27,240 --> 00:05:28,939
que es x a la cuarta

67
00:05:28,939 --> 00:05:30,500
más 5x al cubo

68
00:05:30,500 --> 00:05:32,000
más 7x al cuadrado

69
00:05:32,000 --> 00:05:33,139
más 5x más 6

70
00:05:33,139 --> 00:05:35,339
y lo que le ocurre a este polinomio

71
00:05:35,339 --> 00:05:37,680
es que no se parecen nada a las identidades notables

72
00:05:37,680 --> 00:05:39,160
por lo tanto lo que tenemos que hacer es

73
00:05:39,160 --> 00:05:40,379
regla de Ruffini

74
00:05:40,379 --> 00:05:42,519
empezamos buscando las posibles raíces

75
00:05:42,519 --> 00:05:44,740
que son los divisores del término independiente

76
00:05:44,740 --> 00:05:45,959
es decir, más 1 menos 1

77
00:05:45,959 --> 00:05:46,860
más 2 menos 2

78
00:05:46,860 --> 00:05:47,839
más 3 y menos 3

79
00:05:47,839 --> 00:05:48,839
y más 6 y menos 6

80
00:05:48,839 --> 00:05:56,220
Y el segundo paso aplicando el teorema del resto es mirar qué resto sale cuando sustituimos la x por un 1

81
00:05:56,220 --> 00:05:57,759
Aplicando el teorema del resto

82
00:05:57,759 --> 00:06:01,899
Bueno, al aplicar el teorema del resto, sustituir la x por un 1

83
00:06:01,899 --> 00:06:04,920
Este número, como todos los términos son positivos, no es 0

84
00:06:04,920 --> 00:06:07,420
Y vamos al siguiente divisor que sería el menos 1

85
00:06:07,420 --> 00:06:11,120
Hacemos lo mismo, sustituimos la x por un menos 1

86
00:06:11,120 --> 00:06:17,220
Queda esto, menos 1 a la cuarta más 5 por menos 1 al cubo más 7 por menos 1 elevado al cuadrado

87
00:06:17,220 --> 00:06:20,180
más 5 por menos 1 más 6

88
00:06:20,180 --> 00:06:22,139
y si desarrollamos esto es

89
00:06:22,139 --> 00:06:27,300
1 menos 5 más 7 menos 5 más 6

90
00:06:27,300 --> 00:06:28,839
que es distinto de 0

91
00:06:28,839 --> 00:06:30,899
vamos a probar ahora con el 2

92
00:06:30,899 --> 00:06:32,680
si probáis con el 2

93
00:06:32,680 --> 00:06:36,939
que sería 2 a la cuarta más 5 por 2 elevado al cubo

94
00:06:36,939 --> 00:06:39,839
más 7 por 2 elevado al cuadrado

95
00:06:39,839 --> 00:06:41,480
más 5 por 2 más 6

96
00:06:41,480 --> 00:06:44,439
tampoco sale 0 porque todos los términos son positivos

97
00:06:44,439 --> 00:06:46,740
y ahora vamos a probar con el menos 2

98
00:06:46,740 --> 00:06:53,759
con este al sustituir, como veis, ya lo hago directamente, quedaría 16 más 5 por menos 8

99
00:06:53,759 --> 00:07:01,379
más 7 por 4, más 5 por menos 2 y más 6

100
00:07:01,379 --> 00:07:07,680
al hacer las operaciones quedaría 16 menos 40 más 28 menos 10 más 6

101
00:07:08,079 --> 00:07:14,800
que sí que es 0, por lo tanto el resto cuando dividimos el polinomio de 1 entre x más 2

102
00:07:14,800 --> 00:07:20,740
Recordad que hay que cambiar de signo, es 0, así que lo que vamos a hacer es la división aplicando la regla de Ruffini.

103
00:07:21,139 --> 00:07:24,120
Bueno, ahora lo que vamos a hacer es hacer la división aplicando la regla de Ruffini.

104
00:07:24,259 --> 00:07:36,240
Recordad que nuestro polinomio de 1 era x a la cuarta más 5x elevado a 3 más 7x elevado al cuadrado más 5x más 6 y que lo vamos a dividir entre x más 2.

105
00:07:36,240 --> 00:07:42,139
Por lo tanto, aplicando regla de Ruffini, escribimos en la primera línea los coeficientes del polinomio que queremos dividir,

106
00:07:42,180 --> 00:07:46,339
es decir, 1, 5, 7, 5 y 6, que son los coeficientes del polinomio de 1.

107
00:07:47,079 --> 00:07:49,019
Y ahora ponemos aquí el menos 2.

108
00:07:50,360 --> 00:07:55,319
Bajamos el primer término, que sería 1, y vamos multiplicando, aplicando regla de Ruffini,

109
00:07:55,959 --> 00:07:59,459
1 por menos 2 menos 2, sumamos, sale 3, y así sucesivamente.

110
00:08:00,399 --> 00:08:04,680
Como os fijáis, el último cuadrado, que es el resto, sale 0, que era lo que queríamos.

111
00:08:04,680 --> 00:08:07,899
y ahora lo que hacemos es aplicar la regla de la división

112
00:08:07,899 --> 00:08:12,339
la prueba, dividendo es igual a divisor por cociente más el resto que es 0

113
00:08:12,339 --> 00:08:16,540
si aplicamos la regla de la división tendríamos que el dividendo

114
00:08:16,540 --> 00:08:22,639
que es x a la cuarta más 5x al cubo más 7x al cuadrado más 5x más 6

115
00:08:22,639 --> 00:08:27,639
es igual al divisor que es x más 2, recordad, por el cociente

116
00:08:27,639 --> 00:08:29,060
que tenemos los coeficientes abajo

117
00:08:29,060 --> 00:08:36,279
x al cubo más 3x elevado a 2 más x más 3 más el resto que es 0

118
00:08:36,279 --> 00:08:37,519
luego no añadimos nada

119
00:08:37,519 --> 00:08:43,679
así que nuestro polinomio de inicio es x al cuadrado por el polinomio b1

120
00:08:43,679 --> 00:08:49,620
ese polinomio x a la cuarta más 5x al cubo más 7x al cuadrado más 5x más 6

121
00:08:49,620 --> 00:08:54,000
que acabamos de factorizar de manera más sencilla como veis aquí

122
00:08:54,000 --> 00:09:02,960
Dimos ahora este polinomio por su valor, nos queda que es x más 2 por x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3

123
00:09:02,960 --> 00:09:09,399
Y a este polinomio le vamos a llamar b2 de x que es el siguiente que tenemos que factorizar

124
00:09:10,519 --> 00:09:20,559
Pues vamos a ello, vamos a factorizar el b2 que era x elevado al cubo más 3x elevado al cuadrado más x más 3

125
00:09:20,559 --> 00:09:24,669
Empezamos con los divisores de 3

126
00:09:24,669 --> 00:09:31,409
Los divisores de 3 ahora son el 1, el menos 1, el 3 y el menos 3

127
00:09:31,409 --> 00:09:35,009
Como veis se han reducido el número de divisores

128
00:09:35,009 --> 00:09:37,190
Y vamos probando con cada uno de ellos

129
00:09:37,190 --> 00:09:39,169
Con el 1 y con el menos 1 no hace falta

130
00:09:39,169 --> 00:09:42,190
Porque ya hemos visto que no anulaban el anterior polinomio

131
00:09:42,190 --> 00:09:43,789
Así que empezamos probando con el 3

132
00:09:43,789 --> 00:09:50,169
Sustituimos y quedaría 3 al cubo más 3 por 3 elevado al cuadrado más 3 más 3

133
00:09:50,169 --> 00:09:54,549
que es un número distinto de 0 puesto que todos los términos son positivos

134
00:09:54,549 --> 00:09:59,149
probamos ahora con el menos 3, calculamos un valor numérico

135
00:09:59,149 --> 00:10:05,789
que daría menos 3 elevado al cubo más 3 por menos 3 elevado al cuadrado

136
00:10:05,789 --> 00:10:08,929
más menos 3 más 3

137
00:10:08,929 --> 00:10:17,289
si hacemos las operaciones esto queda menos 27 más 27 menos 3 más 3 que es 0

138
00:10:17,289 --> 00:10:19,990
por lo tanto vamos a hacer la división por Ruffini

139
00:10:19,990 --> 00:10:24,289
escribimos los coeficientes del polinomio

140
00:10:24,289 --> 00:10:29,070
que son 1, 3, 1 y 3

141
00:10:29,070 --> 00:10:31,409
y vamos a dividirlo entre x más 3

142
00:10:31,409 --> 00:10:33,730
es decir, la caja ponemos el menos 3

143
00:10:33,730 --> 00:10:36,909
bajamos el primer término

144
00:10:36,909 --> 00:10:37,990
y vamos multiplicando

145
00:10:37,990 --> 00:10:39,389
1 por menos 3 es menos 3

146
00:10:39,389 --> 00:10:40,529
sumamos y sale 0

147
00:10:40,529 --> 00:10:43,509
multiplicamos, volvemos a sumar

148
00:10:43,509 --> 00:10:44,850
y volvemos a multiplicar

149
00:10:44,850 --> 00:10:46,990
y como veis al final sale de resto 0

150
00:10:46,990 --> 00:10:48,889
¿esto qué quiere decir?

151
00:10:48,889 --> 00:10:55,490
que el polinomio de sub 2 de x, que era x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3 es

152
00:10:55,490 --> 00:11:01,570
x más 3 por x al cuadrado más 1, aplicando que dividiendo es igual al divisor por el

153
00:11:01,570 --> 00:11:08,570
cociente más el resto. Y si ahora sustituimos en el anterior, en el original, que era x

154
00:11:08,570 --> 00:11:16,809
al cuadrado por x más 2 por x al cubo más 3x al cuadrado más x más 3, por su valor,

155
00:11:16,809 --> 00:11:31,759
Nos quedaría que la factorización es x al cuadrado por x más 2 por x más 3 sustituyendo y por x al cuadrado más 1

156
00:11:31,759 --> 00:11:43,580
Ese último polinomio x al cuadrado más 1 que llamaríamos b3 que es el que tendríamos que factorizar ahora

157
00:11:43,580 --> 00:11:50,259
No tiene raíces reales puesto que los divisores del término independiente serían el más 1 y el menos 1

158
00:11:50,259 --> 00:11:53,460
y las posibles raíces enteras serían estas dos

159
00:11:53,460 --> 00:12:00,620
y como podemos comprobar x al cuadrado más 1 no es 0 ni cuando la x es 1 ni cuando la x es menos 1

160
00:12:00,620 --> 00:12:03,379
por lo tanto el último polinomio no se puede factorizar

161
00:12:03,379 --> 00:12:13,659
y el polinomio original que era de grado 6 queda factorizado como x elevado al cuadrado por x más 2 por x más 3 y por x al cuadrado más 1