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00:00:05,339 --> 00:00:20,960
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:20,960 --> 00:00:25,559
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,559 --> 00:00:29,839
de la unidad FU2 dedicada a las funciones elementales y definidas a trozos.

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00:00:31,760 --> 00:00:39,520
En la videoclase de hoy estudiaremos las funciones homográficas.

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00:00:40,700 --> 00:00:52,259
En esta videoclase vamos a estudiar las funciones homográficas, que son aquellas cuya expresión

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00:00:52,259 --> 00:00:57,240
algebraica es un cociente de polinomios de primer grado, como vemos aquí. Para que esta

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00:00:57,240 --> 00:01:01,679
definición tenga sentido, necesitamos en primer lugar que el numerador no sea el polinomio

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00:01:01,679 --> 00:01:06,260
idénticamente nulo, de tal forma que los dos coeficientes m1 y m1 que tenemos aquí

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00:01:06,260 --> 00:01:11,659
en el numerador no pueden ser simultáneamente cero. Por otra parte, el denominador no puede

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00:01:11,659 --> 00:01:16,159
ser una constante, de tal forma que el coeficiente principal m2, el coeficiente de x, no puede

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00:01:16,159 --> 00:01:20,099
ser igual a cero. Si fuera una constante, estaríamos dividiendo entre una constante

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00:01:20,099 --> 00:01:22,319
lo que tendríamos es una función polinómica realmente.

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00:01:23,239 --> 00:01:26,519
Esta que es la forma en la cual se definen las funciones homográficas

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00:01:26,519 --> 00:01:31,579
no es tal vez la más útil a la hora de buscar cómo representar gráficamente la función,

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00:01:31,739 --> 00:01:34,180
incluso como veremos hacia el final de esta videoclase,

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00:01:34,319 --> 00:01:38,099
cómo a partir de la representación gráfica determinar la expresión algebraica.

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00:01:39,099 --> 00:01:42,280
Si realizamos esta división que tenemos aquí expresamente

18
00:01:42,280 --> 00:01:44,280
y reorganizamos ligeramente los términos,

19
00:01:44,700 --> 00:01:47,400
vamos a poder llegar siempre a esta expresión algebraica

20
00:01:47,400 --> 00:01:49,439
que va a ser la que nos sea realmente útil.

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00:01:50,140 --> 00:01:54,819
Todas las funciones homográficas se van a poder expresar como el cociente de una constante

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00:01:54,819 --> 00:02:00,739
entre el binomio x menos una constante más un último término y sub a.

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00:02:01,420 --> 00:02:07,099
xa e y sub a no están definidos de esta manera con esta anotación al azar,

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00:02:07,099 --> 00:02:13,000
sino que xa y sub a van a ser dos valores realmente importantes a la hora de caracterizar la función.

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00:02:13,539 --> 00:02:19,000
De hecho, puedo adelantaros que estas funciones tienen asíntotas, una horizontal y una vertical.

26
00:02:19,439 --> 00:02:26,659
La asíntota horizontal os adelanto que va a ser y igual a y sub a y en cuanto a la asíntota vertical va a ser x igual a x sub a.

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00:02:26,979 --> 00:02:31,080
De tal forma que esta expresión lo que va a poner de manifiesto es cuáles son las asíntotas.

28
00:02:31,879 --> 00:02:37,560
Asimismo esta va a ser una función simétrica con respecto de un punto y ese punto va a ser x a y sub a.

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00:02:37,560 --> 00:02:48,259
De tal forma que una vez más con esta forma de representar la función va a quedar claramente de manifiesto los elementos geométricos con respecto de los cuales se va a representar gráficamente la función.

30
00:02:49,439 --> 00:02:57,740
Se puede encontrar cuáles son las expresiones algebraicas para determinar k, xa e y sub a en función de los coeficientes en esta definición,

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00:02:58,439 --> 00:03:04,340
aunque estas expresiones nunca nos las venderemos, sino que siempre buscaremos cómo a partir de esta expresión encontrar esta otra

32
00:03:04,340 --> 00:03:09,340
o, en llegado al caso, cómo hacer el camino inverso. Lo veremos más adelante, hacia el final de la videoclase.

33
00:03:10,500 --> 00:03:17,740
En lo que respecta a cuál es la representación gráfica de este tipo de funciones homográficas, se van a tratar de hipérbolas equilateras

34
00:03:17,740 --> 00:03:27,979
Y las asíntotas de las hipérbolas van a ser estas que os he presentado anteriormente, van a ser las rectas y igual a y sub a, x igual a x sub a, paralelas a los ejes de coordenadas.

35
00:03:29,259 --> 00:03:36,840
Evidentemente, el punto de corte de las dos asíntotas, x a y sub a, va a ser el punto con respecto de la cual las hipérbolas van a ser simétricas.

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00:03:37,460 --> 00:03:41,659
En cuanto a la forma de estas hipérbolas, sabemos que hay dos tipos, crecientes y decrecientes.

37
00:03:42,219 --> 00:03:46,280
Bien, pues cuál de las dos se trata, nos lo va a indicar el signo de esta constante k.

38
00:03:46,280 --> 00:03:56,060
De tal forma que, como discutiremos en un momento, si la constante es positiva, la hipérbola va a ser monótona decreciente, si k es negativa, va a ser monótona creciente.

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00:03:57,219 --> 00:04:08,280
En lo que respecta a las características generales, el dominio de este tipo de función va a ser siempre toda la recta real, excepto este valor xa, que va a hacer cero el denominador.

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00:04:08,560 --> 00:04:13,599
Mientras que la imagen va a ser toda la recta real, excepto este valor y sub a que tenemos aquí.

41
00:04:13,599 --> 00:04:30,029
Y puede que corte o puede que no corte la hipérbola con los ejes de coordenadas. De cortar al eje de las x, cortará en una única abscisa que se determinaría de esta manera, o bien resolviendo la ecuación f de x igual a cero.

42
00:04:30,470 --> 00:04:39,750
Fijaos que esta definición, esta forma de calcular la abscisa, sólo tiene sentido si m1 es distinto de cero, puesto que no podemos dividir entre cero. Y esa es la condición para que exista este punto de corte.

43
00:04:40,550 --> 00:04:45,269
Igualmente el punto de corte con el eje de las i es de existir es único, esto guarda relación con la definición de función.

44
00:04:45,910 --> 00:04:51,850
Se podría calcular de esta manera o bien directamente sustituyendo y calculando cuál es el valor de la función cuando x vale 0.

45
00:04:52,550 --> 00:05:00,430
Fijaos que no tiene sentido calcular n1 entre n2 salvo cuando n2 sea distinto de 0 y esta es la condición para que exista este punto de corte con el eje de las i.

46
00:05:01,529 --> 00:05:03,790
Hemos hablado de la monotonía anteriormente.

47
00:05:03,790 --> 00:05:08,649
si la constante es positiva o es negativa tendremos una función que va a ser monótona decreciente o

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00:05:08,649 --> 00:05:14,050
monótona creciente en todo su dominio. Las hipérbolas no tienen extremos relativos. En

49
00:05:14,050 --> 00:05:19,790
cuanto a la curvatura, las hipérbolas van a ser cóncavas o convexas en todo su dominio dependiendo

50
00:05:19,790 --> 00:05:24,889
de cuál sea el signo de la constante y como vemos aquí, si la constante es positiva la función va

51
00:05:24,889 --> 00:05:30,430
a ser convexa en todo su dominio, si es negativa, cóncava en todo su dominio. Las hipérbolas no

52
00:05:30,430 --> 00:05:35,970
tienen puntos de inflexión. Ya hemos discutido las asíntotas vertical x igual a xa y horizontal

53
00:05:35,970 --> 00:05:42,189
y igual a y sub a. La función va a ser continua en todo su dominio y con respecto a la simetría

54
00:05:42,189 --> 00:05:48,370
algo que ya habíamos comentado y algo extra. Las hipérbolas son simétricas con respecto del

55
00:05:48,370 --> 00:05:55,250
punto de corte de las dos asíntotas así que va a ser simétrica con respecto al punto xa e y sub a

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00:05:55,250 --> 00:05:59,810
y en el caso en el que las asíntotas coincidan con los ejes de coordenadas tendremos una función

57
00:05:59,810 --> 00:06:05,870
impar, puesto que va a ser simétrica con respecto al origen del sistema de referencia. Asimismo,

58
00:06:05,970 --> 00:06:11,149
las hipérbolas, como veremos un poco más adelante, son asimismo simétricas con respecto a las

59
00:06:11,149 --> 00:06:15,750
bisectrices de los cuadrantes que definen las asíntotas. Y un poco más adelante, cuando veamos

60
00:06:15,750 --> 00:06:21,089
ejemplos, discutiremos a qué se refiere esta expresión de los cuadrantes definidos por las

61
00:06:21,089 --> 00:06:27,689
asíntotas. A continuación vamos a estudiar un par de ejemplos. En este ejercicio se nos pide

62
00:06:27,689 --> 00:06:34,230
que estudiemos y representemos las funciones adx igual a menos 2x más 5 dividido entre x menos 1

63
00:06:34,230 --> 00:06:40,029
y posteriormente haremos lo mismo con la función bdx igual a x menos 1 dividido entre x más 1.

64
00:06:40,910 --> 00:06:45,230
Para poder representar bien la función lo primero que vamos a hacer es expresarla

65
00:06:45,230 --> 00:06:48,550
algebraicamente en la forma en la que anteriormente hemos mencionado constante

66
00:06:48,550 --> 00:06:54,089
dividido entre x menos x sub a más y sub a. Vamos a empezar con la función adx cuya

67
00:06:54,089 --> 00:06:58,209
la expresión algebraica que reproduzco aquí. Y lo primero que vamos a hacer es la división.

68
00:06:58,389 --> 00:07:04,750
Menos 2x más 5 entre x menos 1. El cociente es menos 2, el resto es más 3.

69
00:07:05,129 --> 00:07:10,870
Y entonces lo que hacemos es expresarlo de esta manera. El dividendo lo vamos a sustituir por el cociente,

70
00:07:10,970 --> 00:07:15,149
por el divisor, más el resto. Y ahora vamos a recolocar términos.

71
00:07:15,149 --> 00:07:19,449
En primer lugar voy a escribir 3 dividido entre x menos 1. Aquí lo tenemos.

72
00:07:19,449 --> 00:07:27,850
Y a continuación voy a escribir menos 2 por x menos 1 entre x menos 1. Estos dos términos se van a simplificar y sencillamente voy a escribir menos 2.

73
00:07:28,550 --> 00:07:35,490
Y aquí ya tengo la constante que toma valor positivo más 3. x sub a, que va a ser la asíntota vertical, es igual a 1.

74
00:07:36,129 --> 00:07:39,790
E y sub a, que va a ser la asíntota horizontal, es igual a menos 2.

75
00:07:40,629 --> 00:07:45,110
Y con eso ya puedo iniciar un poco la representación gráfica que tengo aquí a la izquierda.

76
00:07:45,529 --> 00:07:51,430
Tengo la asíntota horizontal y igual a menos 2, tengo la asíntota vertical x igual a 1,

77
00:07:51,930 --> 00:07:57,329
y puesto que la constante toma un valor positivo, sé que la función va a ser monótona decreciente.

78
00:07:58,149 --> 00:08:03,949
Si contara la historia de cómo la represento gráficamente, desde que la inicio en x tendiendo a menos infinito,

79
00:08:03,949 --> 00:08:09,310
hasta que acabo en x tendiendo a más infinito, la función comienza despegándose hacia abajo,

80
00:08:09,389 --> 00:08:13,269
puesto que es decreciente de la asíntota horizontal, que es y igual a menos 2.

81
00:08:13,810 --> 00:08:33,110
La función es monótona decreciente y dado que me voy a encontrar con una asíntota vertical, la tasa de crecimiento tiene que aumentar para que conforme me aproximo a la asíntota vertical, me aproximo a x igual a 1 por la izquierda, la función tienda a menos infinito y se aproxime infinitamente a la asíntota aún sin llegar a tocarla.

82
00:08:33,110 --> 00:09:00,789
Bien, salto de la asíntota y cuando comienzo a pintar la función desde x igual a 1, valores próximos a x igual a 1 por la izquierda, hacia más infinito, sé que tengo que pintar la función despegándome de la asíntota vertical, así que desde más infinito, decreciente, y en algún momento debe cambiar la tasa de decrecimiento, puesto que necesito que la función siga siendo decreciente, se vaya aproximando a la asíntota horizontal y igual a menos 2 infinitamente sin llegar a tocarla nunca.

83
00:09:00,789 --> 00:09:15,769
Y representaría algo tal que así. Y fijaos que dado que la constante es positiva, las dos ramas de la epérbola me van a quedar en lo que sería el primer y el tercer cuadrante del espacio que queda dividido por las dos asíntotas.

84
00:09:16,110 --> 00:09:22,929
Y que la función se representa simétrica con respecto de este punto, el punto de corte de las dos asíntotas.

85
00:09:24,919 --> 00:09:30,980
Tengo mucha información contenida en este dibujo y hay mucha información que conozco de las características propias de este tipo de funciones.

86
00:09:31,580 --> 00:09:36,360
Por ejemplo, tengo que el dominio de la función va a ser toda la recta real, excepto el valor x igual a 1.

87
00:09:36,720 --> 00:09:40,820
No puedo dividir entre 0, así que debo omitir el 0 de este denominador.

88
00:09:41,299 --> 00:09:43,480
Vamos, tengo que omitir la asíntota vertical.

89
00:09:43,860 --> 00:09:47,320
En cuanto a la imagen, va a ser toda la recta real, excepto el menos 2.

90
00:09:47,519 --> 00:09:50,940
De aquí, de la recta real, debo omitir la asíntota horizontal.

91
00:09:51,840 --> 00:09:55,820
En cuanto a los cortes con los ejes, los puedo determinar algebraicamente,

92
00:09:55,820 --> 00:10:04,860
sin más que sustituir el valor x igual a 0 para encontrar cuál es la abstisa que correspondería al punto de corte con el eje de las y.

93
00:10:04,960 --> 00:10:15,299
En este caso obtengo el punto 0 menos 5 y si resuelvo la ecuación adx igual a 0 encontraría cuál es la abstisa que le corresponde al punto de corte con el eje de las x.

94
00:10:15,440 --> 00:10:18,960
Y en este caso obtengo el punto 5 medios 0, este punto que tengo aquí.

95
00:10:19,940 --> 00:10:25,559
Puesto que la constante es positiva sabemos que la función va a ser decreciente en todo su dominio, ya así la hemos representado.

96
00:10:25,820 --> 00:10:28,399
Esta función no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

97
00:10:29,320 --> 00:10:37,659
En esta primera rama la función es cóncava, de la forma que la función es cóncava en el intervalo para x que va desde menos infinito hasta 1, ambos extremos abiertos.

98
00:10:37,840 --> 00:10:46,960
Y esta segunda rama vemos que es convexa, así que la función es convexa en el intervalo para x que va desde 1 hacia más infinito, ambos extremos abiertos.

99
00:10:47,379 --> 00:10:49,139
La función no tiene puntos de inflexión.

100
00:10:49,679 --> 00:10:53,500
Ya hemos discutido las asíntotas x igual a 1 e y igual a menos 2.

101
00:10:53,500 --> 00:10:55,960
esta función es continua en todo su dominio

102
00:10:55,960 --> 00:10:59,759
de hecho el único punto de discontinuidad coincide con la asíntota vertical

103
00:10:59,759 --> 00:11:02,259
que hemos eliminado expresamente del dominio

104
00:11:02,259 --> 00:11:05,000
así que decir que es continua en todo su dominio es correcto

105
00:11:05,000 --> 00:11:06,620
y en cuanto a la simetría

106
00:11:06,620 --> 00:11:08,559
por un lado la que ya hemos mencionado

107
00:11:08,559 --> 00:11:10,720
con respecto al punto de corte de las dos asíntotas

108
00:11:10,720 --> 00:11:12,559
con respecto al punto 1, menos 2

109
00:11:12,559 --> 00:11:14,899
pero también esta función es simétrica

110
00:11:14,899 --> 00:11:18,940
con respecto de esta línea recta que estoy trazando

111
00:11:18,940 --> 00:11:22,659
que es la recta y igual a x menos 3

112
00:11:22,659 --> 00:11:33,500
la bisectriz del primer y tercer cuadrante que delimitan las asíntotas y, con respecto a esta otra asíntota, que también estoy aquí marcando, sería la recta y igual a menos x menos 1,

113
00:11:34,139 --> 00:11:37,620
la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante que delimitan las dos asíntotas.

114
00:11:38,440 --> 00:11:48,460
Fijaos que si yo doblara la representación gráfica con respecto de esta primera bisectriz, este trozo de la rama se superpondría sobre este otro trozo de la misma rama,

115
00:11:49,179 --> 00:11:53,980
este trozo de la segunda rama se superpondría sobre este otro trozo de la misma rama y ahí tenemos la simetría.

116
00:11:54,639 --> 00:11:58,720
Mientras que si doblara la representación gráfica por respecto de esta línea recta,

117
00:11:58,720 --> 00:12:05,460
vería como esta rama de la hipérbola se superpondría por encima idénticamente de esta otra y ahí volvería a tener una cierta simetría.

118
00:12:06,840 --> 00:12:10,620
En lo que respecta a la función b, podría operar de forma análoga.

119
00:12:11,059 --> 00:12:14,360
La expresión algebraica es esta que tengo aquí, x menos 1 entre x más 1.

120
00:12:14,360 --> 00:12:25,820
Si hago la división, obtendré como cociente 1 y como resto menos 2. De tal forma que podría expresar la función, en lugar del dividendo, pues el cociente por el divisor más el resto.

121
00:12:26,799 --> 00:12:37,879
Vuelvo a reorganizar términos. Tengo por un lado menos 2 entre x más 1, que es lo que he escrito aquí, y por otro lado 1 por x más 1, que es x más 1, dividido otra vez entre x más 1, que es este 1 que tengo aquí.

122
00:12:37,879 --> 00:12:52,679
Y ya estoy viendo la constante negativa, el valor de x sub a que va a ser menos 1, puesto que aquí espero ver x menos x sub a, y x menos menos 1 es este x más 1 que tengo aquí, e x sub a es igual a este valor 1 que tengo aquí.

123
00:12:53,600 --> 00:13:00,379
Puesto que la constante es negativa, sé que la función va a ser monótona creciente y podría hacer un bosquejo como este que tengo aquí.

124
00:13:00,379 --> 00:13:13,340
He pintado la asíntota vertical x igual a menos 1, la asíntota horizontal y igual a 1 y me cuento a mí mismo la misma historia acerca de cómo representaría gráficamente la función de izquierda a derecha.

125
00:13:14,299 --> 00:13:21,879
Sé que la función tiene que ser monótona creciente, así que voy a pintar la función despegándose de la asíntota horizontal hacia arriba, función creciente.

126
00:13:22,620 --> 00:13:39,840
Conforme nos aproximamos a la asíntota vertical, para que sea tal, lo que voy a hacer es cambiar la tasa de crecimiento para que, conforme me aproxime a la asíntota vertical x igual a menos 1 por la izquierda, la función tienda más infinito y se aproxime infinitamente a la asíntota horizontal aún sin llegar a tocarla.

127
00:13:39,840 --> 00:13:57,240
Cuando salto a la derecha de la asíntota horizontal, me despego, pinto la función despegándome de ella, una función creciente desde menos infinito y vuelvo a cambiar la tasa de crecimiento para que la función se aproxime infinitamente a la asíntota horizontal conforme x tiende a más infinito, aún sin llegar a tocar la lonca.

128
00:13:57,980 --> 00:14:00,500
Y tendría una representación aproximadamente igual a esta.

129
00:14:01,480 --> 00:14:07,779
Igualmente tengo mucha información aquí contenida, mucha información que conozco de esta familia de funciones.

130
00:14:08,240 --> 00:14:11,820
El dominio de la función es toda la recta real excepto menos 1.

131
00:14:12,039 --> 00:14:15,799
Omito la asíndota vertical, el valor que hace 0 este denominador.

132
00:14:16,299 --> 00:14:18,799
La imagen va a ser toda la recta real excepto el 1.

133
00:14:19,039 --> 00:14:21,000
Voy a omitir la asíndota horizontal.

134
00:14:21,840 --> 00:14:25,240
En cuanto a los puntos de corte con los ejes, se pueden determinar analíticamente.

135
00:14:25,879 --> 00:14:30,860
Sustituyo x igual a 0 para ver cuál es la ordenada del punto de corte con el eje de las y.

136
00:14:31,039 --> 00:14:32,879
Y obtengo el punto 0 menos 1.

137
00:14:32,879 --> 00:14:44,759
Bueno, resuelvo la ecuación resultante de igualar b de x igual a 0 para encontrar cuál es la abscisa del punto de corte con el eje de las x y obtengo el punto 1, 0.

138
00:14:45,779 --> 00:14:52,039
Como la constante es negativa, sé que esta función va a ser creciente en todo su dominio, las hipérbolas no tienen extremos relativos.

139
00:14:52,919 --> 00:15:00,220
Por otro lado, esta primera rama va a ser convexa, así que la función es convexa en el intervalo que va de menos infinito a menos 1, abierto.

140
00:15:00,980 --> 00:15:10,480
Y aquí estoy viendo esta otra rama que es cóncava, así que la función es cóncava en el intervalo que va desde menos 1 hasta más infinito, ambos extremos, por supuesto, siempre abiertos.

141
00:15:11,139 --> 00:15:19,240
Ya hemos discutido las asíntotas, vertical en x igual a menos 1, horizontal en x igual a 1, es una función continua en todo su dominio.

142
00:15:19,840 --> 00:15:26,000
Y ya hemos hablado de la simetría con respecto del punto de corte de las dos asíntotas, en este caso el punto menos 1, 1.

143
00:15:26,000 --> 00:15:33,620
y a esto hemos de añadir la simetría con respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante que delimitan las asíndotas

144
00:15:33,620 --> 00:15:40,659
y la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante que delimitan estas dos asíndotas.

145
00:15:40,659 --> 00:15:46,120
Serían las rectas y igual a x más 2 e y igual a menos x.

146
00:15:46,620 --> 00:15:53,070
En este tipo de funciones, al igual que ocurría en las funciones que estudiamos en la videoclase anterior,

147
00:15:53,070 --> 00:15:58,610
las potenciales con exponente entero negativo, hay una serie de puntos característicos que me

148
00:15:58,610 --> 00:16:04,649
van a permitir hacer una representación gráfica más fiel, más adecuada, más precisa y que al

149
00:16:04,649 --> 00:16:09,490
mismo tiempo, como veremos un poco más adelante, me va a permitir a partir de la expresión gráfica

150
00:16:09,490 --> 00:16:14,149
determinar de una forma cómoda y sencilla cuál es la expresión álgebra k que le corresponde.

151
00:16:14,590 --> 00:16:20,730
Lo que voy a hacer es utilizar esta expresión que tengo aquí, donde tengo k dividido entre x menos

152
00:16:20,730 --> 00:16:28,070
x a más y sub a. Una vez que he pintado las dos asíntotas, x igual a x a, en este caso x igual a

153
00:16:28,070 --> 00:16:34,250
menos 1 e igual a y sub a, en este caso y igual a más 1, lo que voy a hacer es fijarme en este valor

154
00:16:34,250 --> 00:16:41,570
de la constante que es menos 2. Y lo que voy a hacer es, a partir del punto donde se cortan las

155
00:16:41,570 --> 00:16:49,889
dos asíntotas, ir contando a derecha, a izquierda, arriba y abajo, porque voy a buscar puntos de la

156
00:16:49,889 --> 00:16:56,110
función con respecto de este punto donde se cortan las asíntotas. De la siguiente manera, si me muevo

157
00:16:56,110 --> 00:17:02,190
desde aquí una unidad hacia la derecha, la función se va a encontrar dos unidades hacia abajo, una y

158
00:17:02,190 --> 00:17:08,049
dos, y efectivamente aquí tengo la función. Una unidad hacia la derecha es más uno, dos unidades

159
00:17:08,049 --> 00:17:13,170
hacia abajo es menos dos, y si multiplico uno por menos dos obtengo este valor menos dos que tengo

160
00:17:13,170 --> 00:17:20,470
aquí. Si me desplazo, en cambio, desde este punto de corte una unidad hacia la izquierda, me encuentro

161
00:17:20,470 --> 00:17:26,450
la función dos unidades hacia arriba. Una unidad hacia la izquierda es menos 1, dos unidades hacia

162
00:17:26,450 --> 00:17:33,390
arriba es más 2, menos 1 por más 2 es menos 2. No es casualidad, es este que tengo aquí. No es este

163
00:17:33,390 --> 00:17:38,650
el único punto que puedo determinar de esta manera, hay muchos más. Si me desplazo dos unidades hacia

164
00:17:38,650 --> 00:17:45,410
la derecha, más 2, me voy a encontrar la función una unidad hacia abajo, menos 1, porque 2 por menos

165
00:17:45,410 --> 00:17:52,230
1 es este menos 2. Igualmente, dos unidades hacia la izquierda, que sería menos 2, la función me la

166
00:17:52,230 --> 00:17:58,029
voy a encontrar una unidad hacia arriba, más 1, porque menos 2 por más 1 es igual a este menos 2.

167
00:17:59,150 --> 00:18:05,829
Igualmente con cualesquiera otra pareja de números cuyo producto se iguala menos 2. Por ejemplo,

168
00:18:05,829 --> 00:18:18,130
4 por menos un medio. 4 por menos un medio es menos 2. Bien, 4 unidades hacia la derecha, que es el más 4, media unidad hacia abajo, que es el menos un medio.

169
00:18:18,130 --> 00:18:33,309
Y aquí tengo la función. O bien, media unidad hacia la izquierda, menos un medio, 4 unidades hacia arriba, más 4, 1, 2, 3, 4, menos un medio por más 4, es este menos 2.

170
00:18:33,309 --> 00:18:44,829
De esta forma, puedo pintar varios puntos de ambas ramas de la epérbola. Me bastaría con pintar unos, puesto que la función va a ser simétrica, pero puedo pintar puntos de ambas ramas de la epérbola.

171
00:18:45,230 --> 00:18:58,509
Y de esta forma, teniendo en cuenta cuál es la idea general de cómo debería trazar la función, creciente, aproximándome a las asíntotas, etc., ir pasando por esos puntos de tal forma que la representación sea realmente precisa.

172
00:18:58,509 --> 00:19:18,069
Y insisto, voy a buscar parejas de números cuyo producto sea igual a la constante. Positivo hacia la derecha, negativo hacia la izquierda, positivo hacia arriba, negativo hacia abajo. Y eso me va a indicar coordenadas de los puntos de la función, insisto, con respecto de las asíntotas, con respecto del punto donde se corta.

173
00:19:19,069 --> 00:19:22,670
Esto lo he hecho con la función b. Podría haber hecho lo propio con la función a.

174
00:19:23,029 --> 00:19:26,849
Y en este caso me fijo en que la constante es más 3.

175
00:19:27,789 --> 00:19:32,910
La asíntota vertical es x igual a 1, la asíntota horizontal es y igual a menos 2.

176
00:19:33,490 --> 00:19:36,609
x igual a 1, y igual a menos 2.

177
00:19:36,609 --> 00:19:42,369
El punto de corte es el punto 1 menos 2 y voy a buscar parejas de valores que den como resultado 3.

178
00:19:43,089 --> 00:19:45,049
Bueno, lo más sencillo es 1 por 3.

179
00:19:45,549 --> 00:19:49,690
Veamos, con respecto a este punto, una unidad hacia la derecha, tres hacia arriba.

180
00:19:50,130 --> 00:19:50,710
Aquí lo tengo.

181
00:19:51,390 --> 00:19:55,329
También podría haber hecho tres unidades hacia la derecha y uno hacia arriba.

182
00:19:55,470 --> 00:19:56,589
Tres por uno también es tres.

183
00:19:56,730 --> 00:19:58,190
Y aquí tendría este otro punto que hay aquí.

184
00:19:59,390 --> 00:20:01,529
Podría haber usado valores negativos.

185
00:20:01,829 --> 00:20:03,710
Menos uno por menos tres también es tres.

186
00:20:04,329 --> 00:20:07,609
Menos uno, uno a la izquierda, menos tres, tres hacia abajo.

187
00:20:07,609 --> 00:20:12,150
O bien menos tres por menos uno, tal que también da como resultado más tres.

188
00:20:12,730 --> 00:20:14,869
Tres hacia la izquierda, uno hacia abajo.

189
00:20:15,049 --> 00:20:35,710
No son las únicas posibilidades. Podría haber tomado, por ejemplo, 9 por un tercio o menos 9 por menos un tercio. Hay distintas posibilidades con las cuales podría ir pintando distintos puntos y aprovecho antes con la función veo, como he dicho antes, sabiendo que la función tiene que despegarse de una asíntota, pegarse a otra, ser monótona, decreciente, etc.

190
00:20:35,809 --> 00:20:42,089
Si tengo por aquí unos cuantos puntos, puedo hacer una representación gráfica que sea mucho más precisa, que sea fiel.

191
00:20:44,279 --> 00:20:48,480
Como dije anteriormente, también podría ser que se nos diera la representación gráfica de la función

192
00:20:48,480 --> 00:20:52,940
y se nos pidiera que diéramos cuál es la expresión algebraica que le corresponde.

193
00:20:53,420 --> 00:20:56,680
Bien, una vez que hemos identificado esta función como una hipérbola equilátera,

194
00:20:57,339 --> 00:21:01,180
es tan sencillo como trazar cuáles son las asíntotas horizontal y vertical,

195
00:21:01,460 --> 00:21:06,859
y una vez que hemos identificado que la asíntota vertical es x igual a 1 en este caso

196
00:21:06,859 --> 00:21:10,859
y la asíntota horizontal es y igual a menos 2 en este otro,

197
00:21:10,859 --> 00:21:14,160
ya tenemos dos de los tres parámetros que caracterizan la función.

198
00:21:15,059 --> 00:21:19,740
Sabemos que vamos a poner la función como constante dividido entre x menos xa,

199
00:21:20,259 --> 00:21:24,420
así que el denominador va a ser x menos 1, el valor de esta asíndota vertical.

200
00:21:25,240 --> 00:21:30,400
Y que tenemos que sumar y sub a, bien, pues lo que tenemos que hacer es añadir un menos 2,

201
00:21:30,559 --> 00:21:32,059
que se corresponde con este y sub a.

202
00:21:32,359 --> 00:21:35,099
Y de esta expresión algebraica a la cual vamos a querer llegar,

203
00:21:35,680 --> 00:21:40,259
a excepción de la constante, ya tenemos el denominador x menos 1 y este menos 2.

204
00:21:41,160 --> 00:21:43,220
¿Cómo podemos determinar la constante?

205
00:21:43,380 --> 00:21:47,160
Bien, pues utilizando los puntos característicos que hemos mencionado hace un momento.

206
00:21:47,700 --> 00:21:54,099
¿Qué ocurre si con respecto del punto de corte de las dos asíntotas me desplazo una unidad hacia la derecha?

207
00:21:54,519 --> 00:21:59,400
Pues bien, que la función me la voy a encontrar, una, dos, tres unidades hacia arriba, más tres.

208
00:21:59,740 --> 00:22:02,140
Bien, pues ese es el valor de la constante.

209
00:22:03,259 --> 00:22:06,039
Este es el punto característico más sencillo.

210
00:22:06,660 --> 00:22:10,380
Podría haber pensado en qué es lo que ocurre cuando me desplazo una unidad hacia arriba.

211
00:22:10,819 --> 00:22:11,819
¿Dónde me encuentro la función?

212
00:22:12,420 --> 00:22:14,539
Una, dos, tres unidades hacia la derecha.

213
00:22:15,079 --> 00:22:19,119
Ese valor 3 igualmente se va a corresponder con el valor de la constante.

214
00:22:20,160 --> 00:22:21,339
Así de sencillo.

215
00:22:21,500 --> 00:22:25,880
Una vez que tengo esta expresión, adx igual a 3 entre x menos 1 menos 2,

216
00:22:26,319 --> 00:22:30,599
si quisiera expresarlo en esta manera, como el cociente de dos polinomios,

217
00:22:30,799 --> 00:22:34,059
lo único que tenía que hacer es operar con las trasfracciones algebraicas,

218
00:22:34,059 --> 00:22:39,960
poner denominador común y agrupar en el numerador y obtendría esta expresión que tengo aquí.

219
00:22:40,799 --> 00:22:44,380
En el caso de la función b podría operar de forma análoga.

220
00:22:44,559 --> 00:22:51,140
Me dan esta representación gráfica, busco cuál es esta línea asíntota vertical y esta otra línea asíntota horizontal.

221
00:22:52,140 --> 00:22:58,140
Veo que la asíntota vertical pasa por x igual a menos 1, que la asíntota horizontal por y igual a 1

222
00:22:58,140 --> 00:23:00,160
y entonces tengo dos de los tres parámetros.

223
00:23:00,160 --> 00:23:12,140
En esta expresión tengo ya el denominador x menos menos 1, x menos la asíndota vertical, que es este x más 1, y también tengo este más 1, que se corresponde con la asíndota horizontal.

224
00:23:13,059 --> 00:23:29,420
Y ahora, ¿cómo puedo determinar la constante? Pues con los puntos característicos. Me voy al punto de corte de las dos asíndotas y me desplazo una unidad hacia la derecha. ¿Dónde me encuentro la función? Una, dos unidades hacia abajo, menos dos. Pues bien, ese es el valor de la constante.

225
00:23:30,400 --> 00:23:33,460
Igualmente, no necesariamente tiene que ser este el punto que yo elija.

226
00:23:33,920 --> 00:23:38,680
Podría haberme desplazado una unidad hacia arriba con respecto de ese punto de simetría.

227
00:23:39,240 --> 00:23:40,180
¿Dónde me encuentro la función?

228
00:23:40,759 --> 00:23:42,920
Una, dos unidades hacia la izquierda.

229
00:23:43,059 --> 00:23:45,440
Aquí vuelvo a tener este valor menos 2.

230
00:23:46,220 --> 00:23:50,299
Igualmente, si quisiera tener la expresión como cociente de dos polinomios,

231
00:23:50,359 --> 00:23:51,740
no quiero tener esta expresión así,

232
00:23:52,319 --> 00:23:55,940
volvería a poner denominador común para poder sumar con estas fracciones algebraicas

233
00:23:55,940 --> 00:23:59,759
y agruparía el numerador, obteniendo esta expresión que tengo aquí.

234
00:24:00,740 --> 00:24:07,640
Un detalle importante es cómo puedo distinguir estas funciones, las hipérbolas equiláteras,

235
00:24:08,140 --> 00:24:15,160
con respecto a las funciones potenciales con exponente entero negativo cuando ese exponente era impar.

236
00:24:15,500 --> 00:24:20,940
Porque si el exponente era par me encontraba con las dos ramas o bien por encima o bien por debajo del eje de las x,

237
00:24:21,599 --> 00:24:25,180
pero ¿qué es lo que ocurre si tengo las dos ramas enfrentadas?

238
00:24:25,740 --> 00:24:35,539
Voy a volver hacia atrás a buscar el ejemplo en el cual teníamos esta función con este denominador x elevado al cubo.

239
00:24:36,440 --> 00:24:39,880
Fijaos en lo que ocurre con las dos ramas que tengo aquí.

240
00:24:40,619 --> 00:24:46,960
En su momento mencioné que en estas funciones lo que tenía una simetría con respecto al origen del sistema de referencia,

241
00:24:47,460 --> 00:24:54,180
pero no dije nada, porque no hay, de una simetría con respecto a las bisectrices de cualquiera de los cuadrantes.

242
00:24:54,180 --> 00:25:01,759
En este caso de los cuadrantes que podría obtener con las dos asíntotas, la vertical x igual a 0 y la horizontal y igual a 0.

243
00:25:02,039 --> 00:25:08,400
Y es que esta función no es simétrica con respecto a esas líneas, tan sólo cuando el exponente es 1.

244
00:25:08,759 --> 00:25:12,039
Y en ese caso lo que tengo es un caso particular de una hipérbola.

245
00:25:12,819 --> 00:25:17,920
Así pues, en el caso en el que yo vea que no solamente tengo un asíntoto horizontal y vertical,

246
00:25:17,920 --> 00:25:24,279
sino que además tengo esa simetría con respecto a esas bisectrices, sé que me encuentro ante una hipérbola.

247
00:25:24,700 --> 00:25:31,480
Y en caso contrario, cuando no tengo esa simetría, lo más probable es que si me estoy restringiendo a estos tipos de funciones,

248
00:25:32,099 --> 00:25:39,140
me encuentro con una de estas funciones, constante dividido entre x elevado a un exponente impar, pero que no va a ser 1.

249
00:25:41,880 --> 00:25:47,140
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

250
00:25:48,420 --> 00:25:52,559
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

251
00:25:53,380 --> 00:25:58,119
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

252
00:25:58,720 --> 00:26:00,079
Un saludo y hasta pronto.