1
00:00:00,380 --> 00:00:05,099
Hola, os voy a resolver el examen del día 19 de diciembre, ¿vale?

2
00:00:05,759 --> 00:00:09,400
Eran tres ejercicios más uno extra en el ejercicio 1.

3
00:00:10,000 --> 00:00:19,179
Lo que nos pedían era calcular el área comprendida entre las funciones f de x, x cuadrado menos 4x más 3

4
00:00:19,179 --> 00:00:28,519
y la función g de x menos x cuadrado más 4x menos 3, ¿vale?

5
00:00:28,519 --> 00:00:48,859
Si nos damos cuenta, las dos funciones son cuadráticas, son parábolas, el coeficiente principal de la f es positiva, luego por lo tanto sería sonriente, el coeficiente principal de la g es negativo, luego sería triste, es decir, que en el fondo lo que me están pidiendo es calcular el área comprendida entre estas dos parábolas, ¿vale?

6
00:00:48,859 --> 00:00:52,859
Luego lo que necesito calcular son justamente los puntos de corte de las dos parábolas.

7
00:00:53,060 --> 00:00:56,280
¿Cómo calculamos los puntos de corte? Pues resolviendo el sistema.

8
00:00:56,840 --> 00:01:03,179
En lugar de f llamamos y, me quedaría que y es igual a x cuadrado menos 4x más 3,

9
00:01:05,590 --> 00:01:11,069
y es igual a menos x cuadrado más 4x menos 3,

10
00:01:11,950 --> 00:01:18,730
y resolvemos por el método de igualación y me quedaría que x cuadrado menos 4x más 3

11
00:01:18,730 --> 00:01:26,969
es igual a menos x cuadrado más 4x menos 3, lo paso todo a la izquierda y ya voy sumando

12
00:01:26,969 --> 00:01:37,269
y me queda 2x cuadrado menos 8x más 6 igual a 0, simplifico todo entre 2 para que sea más fácil resolverla

13
00:01:37,269 --> 00:01:45,890
y me queda x cuadrado menos 4x más 3 igual a 0, la resuelvo bien por el método de la ecuación de segundo grado

14
00:01:45,890 --> 00:01:53,689
o bien podemos aplicar Cardano-Vieta, el método, y buscamos dos números cuyo producto sea 3 y cuya suma sea 4.

15
00:01:54,109 --> 00:01:56,790
Por lo tanto, el 1 y el 3 son nuestras soluciones.

16
00:01:57,909 --> 00:02:05,930
Entonces, el área que yo busco es la integral entre 1 y 3 de, ojo, la diferencia de las dos funciones,

17
00:02:06,090 --> 00:02:11,310
es decir, de f de x menos g de x, diferencial de x, ¿vale?

18
00:02:11,710 --> 00:02:14,710
Y, por si lo he puesto mal, pongo valores absolutos.

19
00:02:14,710 --> 00:02:20,909
¿Por qué digo ojo? Pues porque algunos directamente me pusisteis ya la ecuación

20
00:02:20,909 --> 00:02:23,150
El x cuadrado menos 4x más 3

21
00:02:23,150 --> 00:02:28,409
No, tenemos que poner lo que es una función menos la otra

22
00:02:28,409 --> 00:02:32,650
Que el resultado, aparte que no podríamos poner el valor simplificado

23
00:02:32,650 --> 00:02:35,409
Tendríamos que poner el 2x cuadrado

24
00:02:35,409 --> 00:02:38,710
Es decir, lo que vamos a obtener va a ser justamente esta ecuación

25
00:02:38,710 --> 00:02:42,150
O sea, ese trocito de la izquierda, el miembro de la izquierda

26
00:02:42,150 --> 00:02:56,710
Entonces aquí sería x cuadrado menos 4x más 3 menos la g de x, como es un menos cambio todo de signo y me queda más x cuadrado menos 4x más 3 diferencial de x.

27
00:02:56,710 --> 00:03:12,870
Pero tenemos que ponerlo todo. ¿Y esto a qué va a ser igual? Pues valor absoluto integral entre 1 y 3 de 2x cuadrado menos 8x más 6 diferencial de x.

28
00:03:13,610 --> 00:03:21,330
¿Vale? No podemos partir y poner directamente eso, tenemos que decir de dónde nos está saliendo ese resultado.

29
00:03:21,330 --> 00:03:39,729
Y ahora ya aplicamos la integración, o sea, integramos directamente ese polinomio, dejamos el valor absoluto y me quedaría que esto es 2x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 6x, ¿vale?

30
00:03:39,729 --> 00:03:44,770
y esto lo tengo que evaluar entre 1 y 3, por la regla de barro.

31
00:03:46,770 --> 00:03:53,969
Sustituimos los valores y esto me queda 27 entre 3 es 9, por 2, 18,

32
00:03:54,750 --> 00:04:03,909
menos 9 por 4, 36, más 3 por 6, 18, y ahora es menos todo ello evaluado en el 1,

33
00:04:04,310 --> 00:04:10,240
por lo tanto sería menos 2 tercios, menos con menos hace más 4,

34
00:04:11,099 --> 00:04:27,699
Y menos 6, ¿vale? Y pongo el valor absoluto. Esto me sale, valor absoluto, si operamos todo de menos 8 tercios, ¿vale? Por lo tanto, quitando el valor absoluto, esto serían 8 tercios unidades al cuadrado.

35
00:04:28,120 --> 00:04:42,519
Fijaos que la función que está arriba, según el dibujo que yo he hecho, es la g de x, ¿vale? Y la que está abajo es la f de x. Y yo que he puesto f menos g, por eso me sale con el signo contrario porque las he cogido al revés.

36
00:04:42,540 --> 00:04:44,959
vale, pues este sería el ejercicio 1

37
00:04:44,959 --> 00:04:46,500
borro y sigo con el 2

38
00:04:46,500 --> 00:04:49,500
vale, ya he escrito el ejercicio 2

39
00:04:49,500 --> 00:04:52,339
eran, o sea, os dábamos 5 integrales

40
00:04:52,339 --> 00:04:54,759
de las que había que hacer solamente 4, vale

41
00:04:54,759 --> 00:04:57,779
elegir, bueno, no le he dicho que el primer ejercicio eran 3 puntos

42
00:04:57,779 --> 00:05:00,300
este ejercicio cada integral es un punto

43
00:05:00,300 --> 00:05:03,560
y luego el ejercicio que nos falta son otros 3 puntos

44
00:05:03,560 --> 00:05:05,259
y aparte teníamos un ejercicio extra

45
00:05:05,259 --> 00:05:06,759
venga, pues vamos a ver

46
00:05:06,759 --> 00:05:08,879
el apartado A, voy a hacer todos, vale

47
00:05:08,879 --> 00:05:24,899
El apartado a es el típico caso de una integración por partes, tengo un logaritmo, por lo tanto la u va a tener que ser el logaritmo neperiano de x para poderlo derivar ya que no sé cuál es su integral.

48
00:05:24,899 --> 00:05:30,519
diferencial de u va a ser 1 partido por x diferencial de x, ¿vale?

49
00:05:31,519 --> 00:05:36,839
Y por lo tanto la diferencial de v va a ser x diferencial de x

50
00:05:36,839 --> 00:05:44,100
y mi función v va a ser x cuadrado partido por 2, ¿vale?

51
00:05:44,500 --> 00:05:48,300
Bien, pues ahora aplicamos la fórmula u por v, es decir,

52
00:05:48,879 --> 00:05:51,319
logaritmo neperiano de x por x cuadrado partido por 2,

53
00:05:51,319 --> 00:06:07,120
Voy a poner primero el x cuadrado partido por 2 por logaritmo neperiano de x menos la integral de v diferencial de u de x cuadrado partido de 2 por 1 partido por x diferencial de x.

54
00:06:07,899 --> 00:06:19,500
Vale, fijaos que lo que me queda aquí es inmediato porque yo puedo coger y puedo simplificar, voy a cambiarlo de color, voy a simplificar el cuadrado con esta x, ¿vale?

55
00:06:19,500 --> 00:06:45,589
Y entonces, ¿qué es lo que me queda? La integral de x partido por 2, y luego esto me queda, el x cuadrado partido por 2, logaritmo neperiano de x, menos, tengo el 1 medio, que si queréis lo podemos dejar aquí, el 1 medio, y ahora tengo simplemente la integral de x, la integral de x es x cuadrado partido por 2, más k.

56
00:06:45,589 --> 00:06:57,829
Y si lo queremos operar un poquito, esto sería x cuadrado partido por 2 logaritmo neperiano de x menos x cuadrado partido por 4 más k.

57
00:06:59,170 --> 00:07:01,350
Era bastante sencilla también.

58
00:07:01,850 --> 00:07:06,629
El apartado b, bueno, pues en el apartado b es otra integración por partes.

59
00:07:07,089 --> 00:07:13,790
Además vemos como tenemos un x cuadrado y una trigonométrica, sabemos que la trigonométrica siempre es cíclica, seno, coseno, coseno, seno.

60
00:07:13,790 --> 00:07:17,509
pues lo que tendremos que hacer es intentar rebajar la x cuadrado

61
00:07:17,509 --> 00:07:20,949
por lo tanto vamos a tener que hacer una integración por partes dos veces

62
00:07:20,949 --> 00:07:25,970
entonces la primera llamamos u al x cuadrado

63
00:07:25,970 --> 00:07:28,509
para ir rebajando los grados

64
00:07:28,509 --> 00:07:33,110
diferencial de u sería 2x diferencial de x

65
00:07:33,110 --> 00:07:37,730
y llamamos diferencial de v al seno de x

66
00:07:37,730 --> 00:07:40,250
diferencial de x

67
00:07:40,250 --> 00:07:47,370
y por lo tanto la v, si viene de un sin, la derivada es el seno, es que es de un menos coseno, ¿vale?

68
00:07:47,370 --> 00:07:53,370
Porque la derivada del coseno es menos el seno, o que no se me olvide, el menos coseno de x, ¿vale?

69
00:07:53,670 --> 00:07:56,350
Esta sería la primera que vamos a aplicar, ¿vale?

70
00:07:56,370 --> 00:08:00,490
Aplicamos la formulita u por v, es decir, pongo delante el menos, ¿vale?

71
00:08:00,490 --> 00:08:09,689
menos x cuadrado coseno de x, y ahora sería menos la integral de v diferencial de u,

72
00:08:09,750 --> 00:08:13,189
como v es menos coseno voy a transformar el menos en un más,

73
00:08:13,870 --> 00:08:21,930
y me quedaría 2x coseno de x diferencial de x, ¿vale?

74
00:08:22,490 --> 00:08:26,149
Y como he dicho me vuelve a quedar un 2x y un coseno, ¿vale?

75
00:08:26,149 --> 00:08:39,509
Pues volvemos a hacer lo mismo, llamo u a 2x, por lo tanto diferencial de u sería simplemente 2 diferencial de x, ¿vale?

76
00:08:39,850 --> 00:08:53,289
Y me falta aquí el diferencial de v, que sería el coseno de x diferencial de x, por lo tanto la v sería el seno de x, ¿vale?

77
00:08:53,289 --> 00:08:56,230
Fijaos que ahora es en positivo, ¿vale?

78
00:08:56,450 --> 00:09:03,029
Y ahora, que no se me olvide la primera parte, que esa ya está, esto es menos x cuadrado coseno de x, ¿vale?

79
00:09:03,029 --> 00:09:08,529
Que algunos os olvido poner, más, he transformado justamente el más para evitar tantos signos menos,

80
00:09:08,690 --> 00:09:10,289
que es uno de los fallos que tuvisteis alguno.

81
00:09:10,870 --> 00:09:21,009
Vale, ahora sería u por v, es decir, 2x seno de x menos la integral de v diferencial de u,

82
00:09:21,009 --> 00:09:27,690
Es decir, de 2, seno de x, diferencial de x.

83
00:09:27,950 --> 00:09:30,509
Y ahora ya esa integral es inmediata.

84
00:09:32,210 --> 00:09:36,889
Esto sería igual, a ver, lo voy a escribir aquí abajo.

85
00:09:39,409 --> 00:09:47,549
Esto sería igual al menos x cuadrado, coseno de x más 2x, seno de x.

86
00:09:47,549 --> 00:09:53,029
Y fijaos, es un seno, viene de un coseno, pero tengo el menos, tengo aquí este menos, ¿verdad?

87
00:09:53,669 --> 00:10:00,350
Por lo tanto, esto va a ser simplemente más dos veces el coseno de x más k.

88
00:10:01,909 --> 00:10:06,230
¿Vale? Y ya estaría, tampoco era muy complicado, había que hacerlo dos veces, pero era muy sencilla.

89
00:10:06,970 --> 00:10:13,669
El apartado c, que os tengo aquí puesto, a ver, esta era inmediata, o sea, esta era un regalito si nos dábamos cuenta,

90
00:10:13,789 --> 00:10:15,129
Algunos complicasteis mucho la vida.

91
00:10:15,830 --> 00:10:16,450
¿Qué ocurre?

92
00:10:16,509 --> 00:10:19,210
Que la derivada del denominador es justamente el numerador.

93
00:10:20,029 --> 00:10:20,110
¿Vale?

94
00:10:20,129 --> 00:10:22,029
O sea, es que no teníamos que hacer nada más.

95
00:10:22,490 --> 00:10:25,450
La derivada de 2 menos coseno de x es justamente el seno de x.

96
00:10:25,970 --> 00:10:28,149
Luego esto es el logaritmo neperiano.

97
00:10:28,149 --> 00:10:33,769
Lo ponemos entre el valor absoluto de 2 menos coseno de x más k.

98
00:10:35,049 --> 00:10:35,649
Y ya está.

99
00:10:36,830 --> 00:10:39,710
Los que os disteis cuenta, pues no tardasteis nada en hacerla.

100
00:10:40,129 --> 00:10:41,409
Veis que era muy sencilla.

101
00:10:41,409 --> 00:10:43,649
Venga, vamos con la d

102
00:10:43,649 --> 00:10:46,549
La d tampoco era muy complicada

103
00:10:46,549 --> 00:10:50,070
Es el típico de, o sea, es un cociente de dos polidinomios

104
00:10:50,070 --> 00:10:51,450
Función irracional

105
00:10:51,450 --> 00:10:54,029
La que el numerador no es la derivada del denominador

106
00:10:54,029 --> 00:10:55,250
Tienen el mismo grado

107
00:10:55,250 --> 00:10:57,289
Por lo tanto podemos dividir

108
00:10:57,289 --> 00:10:59,370
Vale, pues hacemos la caja

109
00:10:59,370 --> 00:11:00,990
La división por la caja

110
00:11:00,990 --> 00:11:05,769
5x cuadrado menos x menos 160

111
00:11:05,769 --> 00:11:17,590
entre x cuadrado menos 25, esto es a 5, 5 por menos 125 es menos 125, por lo tanto lo cambiamos

112
00:11:17,590 --> 00:11:26,450
más 125, 5 por x cuadrado es x cuadrado, ponemos el opuesto, menos 5x cuadrado, y al sumar

113
00:11:26,450 --> 00:11:32,409
me queda directamente menos x menos 35, ¿vale?

114
00:11:33,330 --> 00:11:37,509
Y os recuerdo la fórmula que supongo que la recordáis,

115
00:11:37,649 --> 00:11:45,929
que es que dividiendo entre divisor es lo mismo que el cociente más el resto entre el divisor, ¿vale?

116
00:11:45,929 --> 00:11:51,490
Por tanto, esta integral quedaría integral de cociente, que es 5,

117
00:11:51,490 --> 00:11:58,029
más el resto que es menos x menos 35

118
00:11:58,029 --> 00:12:01,629
que si queréis, no me ha dibujado el 5

119
00:12:01,629 --> 00:12:05,350
este menos lo pongo partido, ahora lo hago después

120
00:12:05,350 --> 00:12:08,590
entre el x cuadrado menos 25, ¿vale?

121
00:12:09,509 --> 00:12:11,870
lo que os decía, diferencial de x

122
00:12:11,870 --> 00:12:14,470
es que para no dejar arriba los dos menos

123
00:12:14,470 --> 00:12:17,009
yo lo que puedo hacer es cambiarlo

124
00:12:17,009 --> 00:12:18,549
es decir, sacar el menos fuera

125
00:12:18,549 --> 00:12:20,509
en lugar de poner aquí el más

126
00:12:20,509 --> 00:12:26,269
¿Vale? Pongo el menos fuera y cambio todo a más

127
00:12:26,269 --> 00:12:31,269
Simplemente pues porque a mí me gusta más ver las cosas así, no tantos menos

128
00:12:31,269 --> 00:12:37,269
¿Vale? ¿Qué ocurre? Que arriba no tengo la derivada de abajo para poder aplicar el logaritmo

129
00:12:37,269 --> 00:12:43,330
Pero lo que vemos es que x cuadrado menos 25 es, lo deberíamos ver todos, es una diferencia de cuadrados

130
00:12:43,330 --> 00:12:59,309
Por lo tanto, lo que vamos a hacer es transformar esta fracción, el x más 35 entre x cuadrado menos 25, lo voy a poner como una suma de fracciones simples.

131
00:13:00,289 --> 00:13:08,909
Hemos dicho que x cuadrado menos 25 tendríamos que ver todos que es suma por diferencia, es x más 5 por x menos 5.

132
00:13:08,909 --> 00:13:20,169
Si no lo vemos, obviamente, resolvemos la ecuación, x cuadrado menos 25 igual 0, x cuadrado igual a 25, x igual a más menos 25.

133
00:13:20,909 --> 00:13:29,350
Ojo, que alguno también nos equivocaste y si me lo pusisteis como que era el cuadrado de una resta, no, es suma por diferencia, tenemos que saber las expresiones notables.

134
00:13:29,350 --> 00:13:50,850
Vale, a esto le llamamos a, a este le llamamos b y esto será a por x menos 5 más b por x más 5, todo ello dividido por x más 5 por x menos 5, ¿vale?

135
00:13:50,850 --> 00:13:57,850
Y ahora lo de siempre, para que la fracción inicial y la última sean iguales, teniendo el mismo denominador, los numeradores tienen que ser iguales.

136
00:13:59,070 --> 00:14:16,309
Por lo tanto, lo que me está quedando, bueno, lo podemos poner aquí abajo, lo que me queda es que x más 35 tiene que ser lo mismo que a por x menos 5 más b por x más 5.

137
00:14:16,309 --> 00:14:39,509
Y ahora para calcular el a y el b damos los valores de las raíces porque es lo más sencillo, es decir, cuando x es 5, lo que me queda es x, 5 más 35 es 40, a por 0 es 0 y me quedaría 10b, por lo tanto b es 40 entre 10, 4, ¿vale?

138
00:14:39,509 --> 00:15:03,559
Y si la x vale menos 5, me quedaría menos 5 más 35, sería 30, y aquí sería menos 10a, menos 10a, y por lo tanto me quedaría que la a es igual a menos 3, ¿vale?

139
00:15:03,559 --> 00:15:06,080
Pues nada, ya lo tenemos entonces

140
00:15:06,080 --> 00:15:07,559
Lo ponemos arriba

141
00:15:07,559 --> 00:15:09,659
No se me tiene que olvidar el primer 5

142
00:15:09,659 --> 00:15:13,980
Esto es 5 menos

143
00:15:13,980 --> 00:15:17,100
Y ojo, ahora sí que es cierto que esto es un menos

144
00:15:17,100 --> 00:15:21,240
Delante, o sea que voy a poner la suma de las dos fracciones

145
00:15:21,240 --> 00:15:22,360
Pero lo tengo con un menos

146
00:15:22,360 --> 00:15:23,659
Lo voy a poner entre paréntesis

147
00:15:23,659 --> 00:15:28,080
Sería menos 3 partido por x más 5

148
00:15:28,080 --> 00:15:33,889
Más 4 partido por x menos 5

149
00:15:33,889 --> 00:15:37,169
diferencial de x

150
00:15:37,169 --> 00:15:37,950
igual a

151
00:15:37,950 --> 00:15:39,370
vale, he dejado poco espacio

152
00:15:39,370 --> 00:15:41,230
y voy a parar para bajar lo otro

153
00:15:41,230 --> 00:15:43,889
vale, ya he dejado un poquito más de espacio

154
00:15:43,889 --> 00:15:45,450
y entonces a ver

155
00:15:45,450 --> 00:15:46,049
de aquí

156
00:15:46,049 --> 00:15:49,070
llegamos

157
00:15:49,070 --> 00:15:50,590
voy a pasar aquí abajo

158
00:15:50,590 --> 00:15:52,110
y lo que me queda es

159
00:15:52,110 --> 00:15:53,269
antes de hacer la integral

160
00:15:53,269 --> 00:15:53,990
voy a cambiar

161
00:15:53,990 --> 00:15:55,230
a quitar el paréntesis

162
00:15:55,230 --> 00:15:56,490
vale, me queda integral

163
00:15:56,490 --> 00:15:57,429
de

164
00:15:57,429 --> 00:16:00,009
5

165
00:16:00,009 --> 00:16:01,929
desarrollo el paréntesis

166
00:16:01,929 --> 00:16:03,669
el menos delante me lo cambia todo el signo

167
00:16:03,669 --> 00:16:04,750
luego aquí me queda más

168
00:16:04,750 --> 00:16:16,129
3 partido por x más 5 menos 4 partido por x menos 5, diferencial de x.

169
00:16:16,129 --> 00:16:27,070
Y ahora esto ya son todas integrales inmediatas, de 5 es 5x más 3 y este ya tenemos el logaritmo neperiano en valor absoluto de x más 5

170
00:16:27,070 --> 00:16:38,990
menos 4 por el logaritmo neperiano en valor absoluto del x menos 5 más la k, ¿vale?

171
00:16:39,169 --> 00:16:42,509
Tampoco era un ejercicio excesivamente complicado.

172
00:16:43,090 --> 00:16:49,269
Y luego el último que nos faltaba, el e, que es el que podría en un principio parecer un poquito más complicado

173
00:16:49,269 --> 00:16:56,789
porque tenemos muchas exponenciales y me decían que resolviera la integral haciendo el cambio t igual a elevado a x, ¿vale?

174
00:16:56,789 --> 00:17:26,069
Aquí lo único que yo tengo que hacer, que jugar un poquito, es con lo que significa el exponente, porque yo puedo sustituir el primer elevado a x, este que tengo aquí, por t, pero aquí, esto no es elevado a x, es elevado a x más algo, pero si en un exponente hay un producto, es, perdón, si en un exponente hay una suma, es porque viene de un producto de potencias, esto es lo mismo que elevado a x por elevado a elevado a x, diferencial de x, ¿vale?

175
00:17:26,789 --> 00:17:28,950
Y ahora ya sí que el cambio se ve bastante mejor.

176
00:17:29,670 --> 00:17:32,750
Pero ya sabéis que necesitamos también hacer el cambio con diferencial de x.

177
00:17:32,750 --> 00:17:44,650
Si t es elevado a x tenemos que la x es el logaritmo neperiano de t y por lo tanto diferencial de x será 1 partido por t diferencial de t.

178
00:17:45,269 --> 00:17:48,190
Este es el cambio típico de siempre.

179
00:17:48,190 --> 00:18:01,410
Y ahora simplemente sustituimos, ¿y esto qué sería? t por e elevado a t, y ahora sustituimos el diferencial de x, que es 1 partido por t, diferencial de t.

180
00:18:03,289 --> 00:18:12,269
¿Qué ocurre? Que esta t con este 1 partido por t se nos va, ¿y qué me queda? Pues lo más sencillo, la integral de e elevado a t diferencial de t.

181
00:18:12,269 --> 00:18:14,269
La integral de la exponencial

182
00:18:14,269 --> 00:18:15,710
Sabemos que es ella misma

183
00:18:15,710 --> 00:18:18,369
Luego esto sería e elevado a t

184
00:18:18,369 --> 00:18:20,690
Y lo único que tengo que hacer es

185
00:18:20,690 --> 00:18:22,670
Sustituir, bueno e elevado a t

186
00:18:22,670 --> 00:18:24,609
Más k, pero no voy a poner el k

187
00:18:24,609 --> 00:18:25,690
Hasta que sustituya

188
00:18:25,690 --> 00:18:28,269
La t era e elevado a x

189
00:18:28,269 --> 00:18:30,150
Luego esto va a ser e elevado

190
00:18:30,150 --> 00:18:32,009
A la t que es

191
00:18:32,009 --> 00:18:34,609
E elevado a x más k

192
00:18:34,609 --> 00:18:35,470
¿Vale?

193
00:18:36,349 --> 00:18:38,609
Una integral que en un principio podría parecer

194
00:18:38,609 --> 00:18:39,849
Complicada, pero que es

195
00:18:39,849 --> 00:18:41,269
Haciendo el cambio

196
00:18:41,269 --> 00:18:45,349
salía muy fácil, es lo que siempre os digo, no nos tenemos que asustar por ver

197
00:18:45,349 --> 00:18:49,470
tantas es y cosas de estas, las cosas al final no son tan complicadas

198
00:18:49,470 --> 00:18:52,930
venga, pues nos faltaría solamente el último ejercicio que lo voy a copiar

199
00:18:52,930 --> 00:18:57,470
vale, pues el último ejercicio, el 3, lo único que me pedían era estudiar

200
00:18:57,470 --> 00:19:01,470
la derivabilidad de esta función, es una función que tiene un valor absoluto

201
00:19:02,549 --> 00:19:05,490
pero es un valor absoluto muy sencillito, es simplemente de x

202
00:19:05,490 --> 00:19:09,130
por lo tanto aquí lo primero que tenemos que hacer es escribir esta función

203
00:19:09,130 --> 00:19:12,430
como una función definida a trozos, según el valor absoluto.

204
00:19:13,089 --> 00:19:18,670
Luego esto sería x cuadrado menos x cuadrado menos,

205
00:19:18,890 --> 00:19:20,529
y ahora a ver, ¿quién es el valor absoluto de x?

206
00:19:20,950 --> 00:19:27,529
Pues el mismo, x, cuando la x es mayor, voy a ponerle aquí también el igual a cero,

207
00:19:27,849 --> 00:19:31,890
y menos x, por lo tanto aquí se me transformaría, sería menos menos,

208
00:19:32,509 --> 00:19:35,029
cuando la x es menor que cero, ¿vale?

209
00:19:36,190 --> 00:19:37,890
Por eso me están pidiendo un poco la derivabilidad,

210
00:19:38,569 --> 00:19:43,930
No me basta con que me digáis, es que, como es un valor absoluto, tal, no, tenemos que hacer las cosas, ¿vale?

211
00:19:44,130 --> 00:19:49,769
Y ahora, para mirar primero si es derivable, tenemos que ver primero si es continuo, ¿vale?

212
00:19:49,789 --> 00:19:52,109
Porque si no fuera continua, no sería derivable.

213
00:19:53,109 --> 00:19:58,549
Las funciones en cada uno de los tramos son polinomios, por lo tanto son funciones, son continuas y derivables.

214
00:19:59,490 --> 00:20:02,289
Mi único problema es en el cero, ¿vale?

215
00:20:02,289 --> 00:20:05,730
Pues vamos a ver cómo se calcula la continuidad, vamos a ver si es continua en cero.

216
00:20:05,730 --> 00:20:13,930
Para que f de x sea continua en x igual 0, ¿qué es lo que tiene que ocurrir?

217
00:20:14,710 --> 00:20:24,910
Pues que f de 0 tiene que coincidir con el valor de los límites, es decir, con el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda de f de x

218
00:20:24,910 --> 00:20:31,950
y con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha de f de x.

219
00:20:32,150 --> 00:20:33,890
Pero esto lo tenemos que hacer.

220
00:20:33,890 --> 00:20:38,269
puedo hacer las tres igualdades o me puedo dar cuenta que el 0 coincide con el mayor

221
00:20:38,269 --> 00:20:41,569
es decir por la derecha y entonces ahora simplemente compruebo

222
00:20:41,569 --> 00:20:47,250
y vemos que, bueno lo puedo incluso mirar aquí

223
00:20:47,250 --> 00:20:56,930
f de 0 coincide con el límite cuando x tiende a 0 por la derecha

224
00:20:56,930 --> 00:21:02,390
que es x cuadrado menos x y esto es 0

225
00:21:02,390 --> 00:21:12,990
Y ahora calculamos cuánto es el límite cuando x tiende a cero por la izquierda de x cuadrado más x.

226
00:21:14,210 --> 00:21:15,970
Y esto también es cero.

227
00:21:16,430 --> 00:21:29,269
Por lo tanto, como estos dos valores coinciden, significa que f de x es continua en x igual a cero.

228
00:21:29,369 --> 00:21:31,289
Y por lo tanto sería continua en todos los reales.

229
00:21:31,289 --> 00:21:54,890
Y ahora para ver si es derivable pues lo primero que tendríamos que calcular es f' de x, f' de x es una función definida a trozo, la derivada es derivar cada uno de los trozos, por lo tanto esto sería 2x menos 1 cuando x es estrictamente mayor que 0 y 2x más 1 cuando x es estrictamente menor que 0.

230
00:21:54,890 --> 00:22:00,309
para ver si el único punto donde puede ser no derivable es en el 0

231
00:22:00,309 --> 00:22:08,329
y entonces ponemos la formulita también f de x para que sea derivable en x igual a 0

232
00:22:08,329 --> 00:22:16,650
lo que tiene que ocurrir es que la derivada en el 0 por la izquierda

233
00:22:16,650 --> 00:22:20,970
tiene que ser igual a la derivada en el 0 por la derecha

234
00:22:20,970 --> 00:22:26,769
¿Vale? Y para ver esto pues lo voy a calcular también y calculamos los límites ¿Vale?

235
00:22:26,769 --> 00:22:36,630
F' de 0 por la izquierda es el límite cuando x tiende a 0 por la izquierda del 2x más 1

236
00:22:36,630 --> 00:22:52,380
sustituimos en el 0 y esto me da 1 y f' de 0 por la derecha es el límite cuando x tiende a 0 por la derecha

237
00:22:52,380 --> 00:23:02,900
de 2x menos 1 y esto es menos 1. ¿Qué ocurre aquí? Que los límites son distintos, estos dos son distintos

238
00:23:02,900 --> 00:23:16,599
lo que significa que f de x no es derivable en x igual a 0, ¿vale?

239
00:23:16,980 --> 00:23:20,519
Y con esto, estos eran otros tres puntos, sería el examen.

240
00:23:20,599 --> 00:23:24,160
Nos faltaba un extra, que nos lo habíais pedido y os habíamos puesto un límite.

241
00:23:24,500 --> 00:23:25,960
Lo copio y ahora hacemos también el extra.

242
00:23:27,380 --> 00:23:32,519
Venga, pues este era el extra, es el límite cuando x tiende a 0 del logaritmo neperiano del coseno de 2x

243
00:23:32,519 --> 00:23:38,740
partido de x cuadrado. Lo primero que tenemos que hacer siempre es sustituir, coseno de

244
00:23:38,740 --> 00:23:45,019
0 es 1, logaritmo neperiano de 1 es 0 y 0 al cuadrado es 0, es un 0 partido por 0, por

245
00:23:45,019 --> 00:23:57,349
lo tanto lo que vamos a hacer aquí es directamente aplicar L'Hôpital. Vale, pues para aplicar

246
00:23:57,349 --> 00:24:02,289
L'Hôpital es el límite, ojo, es el límite del numerador entre el límite del denominador,

247
00:24:02,289 --> 00:24:12,640
no el límite del cociente como me hicisteis algunos, luego esto es el límite cuando x tiende a 0, en el numerador es el logaritmo neperiano del coseno de 2x,

248
00:24:13,200 --> 00:24:25,339
la derivada del logaritmo es arriba la derivada del argumento digamos y debajo el argumento, es decir esto sería abajo el coseno de 2x y arriba la derivada del coseno de 2x

249
00:24:25,339 --> 00:24:38,460
que es menos el seno de 2x por la derivada de 2x que es 2, por lo tanto menos 2 seno de 2x y abajo la derivada de x cuadrado que es 2x, ¿vale?

250
00:24:38,720 --> 00:24:47,500
A ver, aquí algunos os liasteis mucho, lo podemos poner como una tangente o podríamos hacer, o sea, lo que tenemos que hacer es operar las fracciones

251
00:24:47,500 --> 00:24:51,940
o lo pongo como tangente o bien opero para que me quede una única fracción,

252
00:24:53,119 --> 00:24:56,619
pero no me pongo a derivar lo del numerador por un lado y lo del denominador por otro

253
00:24:56,619 --> 00:24:57,720
porque al final es un jaleo.

254
00:24:58,380 --> 00:25:01,500
Entonces esto lo podríamos arreglar y podríamos poner que esto es el límite

255
00:25:01,500 --> 00:25:12,759
cuando x tiende a 0 de menos 2 tangente de 2x entre 2x, ¿vale?

256
00:25:13,460 --> 00:25:16,119
Incluso los doses se me van.

257
00:25:16,119 --> 00:25:28,960
Y ahora si sustituyo, me queda la tangente de 0 es 0, x en 0 es 0 y me queda 0 partido por 0, luego aquí volvemos a aplicar otra vez L'Hôpital, ¿vale?

258
00:25:30,319 --> 00:25:39,680
Y que me queda el límite cuando x tiende a 0 de, ¿quién es la derivada de la tangente? Bueno, la derivada del numerador,

259
00:25:39,680 --> 00:25:44,279
La derivada de la tangente de 2x es 1 partido por el coseno de 2x

260
00:25:44,279 --> 00:25:49,880
Por la derivada de 2x que es 2, por lo tanto esto sería menos 1 partido

261
00:25:49,880 --> 00:25:52,480
Creo que no he dicho el cuadrado, coseno cuadrado, ¿vale?

262
00:25:52,599 --> 00:25:55,960
No estoy segura si lo he dicho, del coseno cuadrado de 2x

263
00:25:55,960 --> 00:25:58,819
¿Vale? Por la derivada del 2x que es 2

264
00:25:58,819 --> 00:26:01,460
Y la derivada de x en el denominador que es 1

265
00:26:01,460 --> 00:26:04,920
Es decir, si lo arreglamos un poquito, esto es límite

266
00:26:04,920 --> 00:26:14,160
cuando x tiende a 0 de menos 2 partido por el coseno cuadrado de 2x.

267
00:26:15,819 --> 00:26:20,220
Si sustituimos en el 0, es coseno de 0 que es 1, al cuadrado sigue siendo 1,

268
00:26:20,759 --> 00:26:24,359
por tanto, menos 2 entre 1, menos 2, y ya estaría el límite.

269
00:26:24,920 --> 00:26:27,819
Algunos, supongo que es por los nervios, porque ya estáis al final,

270
00:26:27,819 --> 00:26:31,079
os liasteis muchísimo, hicisteis cosas muy raras,

271
00:26:31,480 --> 00:26:34,460
pero fijaos que no era tampoco tan complicado de hacer.

272
00:26:34,920 --> 00:26:42,539
¿Vale? El otro caso que os decía era si hubiéramos operado el coseno y el 2x, si esto lo hubiéramos multiplicado, ¿vale?

273
00:26:43,059 --> 00:26:47,559
Y hubiéramos tenido que aplicar luego la derivada de un producto, era más largo pero también salía bien.

274
00:26:48,039 --> 00:26:55,339
Bueno, pues este era el examen, yo creo que era un examen que no era largo, que no era difícil y era bastante, o sea, todo lo que habíamos estado trabajando en clase.