1
00:00:00,820 --> 00:00:05,900
Hay un truco para poder resolver problemas de este modo, de forma bastante rápida.

2
00:00:08,599 --> 00:00:23,100
Nos dan dos funciones, f y g, y nos piden calcular el área de región acotada entre las dos curvas dadas por igual a f y g de x y esas dos rectas verticales.

3
00:00:23,679 --> 00:00:27,820
Bueno, si representásemos las curvas, obtendríamos lo siguiente.

4
00:00:27,820 --> 00:00:33,020
esta es la función y igual a f de x

5
00:00:33,020 --> 00:00:35,000
esta es la función y igual a g de x

6
00:00:35,000 --> 00:00:36,960
la recta x igual a 1

7
00:00:36,960 --> 00:00:38,700
y la recta x igual a 7

8
00:00:38,700 --> 00:00:41,340
y va a haber dos puntos de intercedión

9
00:00:41,340 --> 00:00:43,899
y vamos a tener tres áreas

10
00:00:43,899 --> 00:00:45,539
que calcular

11
00:00:45,539 --> 00:00:48,439
bueno

12
00:00:48,439 --> 00:00:52,759
hay un método para hacer todo de forma más rápida

13
00:00:52,759 --> 00:00:55,679
y el método sería el siguiente

14
00:00:55,679 --> 00:00:59,920
la idea es convertir el problema de dos funciones

15
00:00:59,920 --> 00:01:01,100
como acabamos de ver

16
00:01:01,100 --> 00:01:07,579
en el área de una sola función y el eje X, como acabamos de poner abajo.

17
00:01:09,120 --> 00:01:15,760
De modo que aquí tendríamos la función F, aquí la función G y aquí la función H

18
00:01:15,760 --> 00:01:22,560
y definimos H de forma que este área sea igual a este área, este área sea igual a este área

19
00:01:22,560 --> 00:01:24,959
y este área sea igual a este área.

20
00:01:25,680 --> 00:01:30,640
Y entonces haríamos exactamente lo mismo, solo que de forma un poco más rápida.

21
00:01:31,099 --> 00:01:39,540
¿Qué función es la función h que vamos a tener? Pues la función h va a ser h de x igual a f de x menos g de x.

22
00:01:39,659 --> 00:01:52,840
Y cuando tengamos un problema con este enunciado de la acotada entre las dos curvas y rectas de la forma x igual a algo en uno de los dos lados,

23
00:01:54,500 --> 00:01:58,180
entonces pues siempre va a ser el mismo r que el que está aquí abajo.

24
00:01:58,180 --> 00:02:05,939
La razón, básicamente, es que cuando hagamos la definición integral, que ya conocemos como este tipo de cosas,

25
00:02:06,060 --> 00:02:13,020
el área aquí también se puede hacer con estos rectángulos, haciéndolos por acá, que van a ser los mismos que estos.

26
00:02:13,020 --> 00:02:19,180
Lo mismo va a pasar con aquí, que van a ser los mismos que estos, y con los rectángulos que están aquí, que van a ser los mismos.

27
00:02:21,949 --> 00:02:22,889
Esa es la idea que hay detrás.

28
00:02:22,889 --> 00:02:31,789
Bueno, podríamos hacerlo en este caso con los cálculos exactos y ya está

29
00:02:31,789 --> 00:02:36,669
Ya sabemos que hay unos puntos, en este caso vamos a ver ya que son 3 y 5

30
00:02:36,669 --> 00:02:41,050
Que van a ser aquí los mismos, 3 y 5

31
00:02:41,050 --> 00:02:46,310
Vamos a resolver el problema y veamos que es lo que sale

32
00:02:46,310 --> 00:02:52,219
Hemos disminuido las gráficas para poder escribir a la derecha

33
00:02:52,219 --> 00:02:55,360
pero recordamos que este es el punto 3

34
00:02:55,360 --> 00:03:00,710
el punto 5, bueno aquí lo mismo

35
00:03:00,710 --> 00:03:02,770
3, 5 y las rectas

36
00:03:02,770 --> 00:03:04,969
x igual a 1, x igual a 7

37
00:03:04,969 --> 00:03:09,039
empezamos pues

38
00:03:09,039 --> 00:03:10,939
definimos

39
00:03:10,939 --> 00:03:13,460
la función

40
00:03:13,460 --> 00:03:16,620
h de x igual a

41
00:03:16,620 --> 00:03:18,659
f de x menos g de x

42
00:03:18,659 --> 00:03:21,439
y esto es

43
00:03:21,439 --> 00:03:23,400
x cuadrado menos 3x

44
00:03:23,400 --> 00:03:24,599
más 4

45
00:03:24,599 --> 00:03:28,080
menos 5x menos 11

46
00:03:28,080 --> 00:03:32,280
y esto es igual a x al cuadrado menos 3x más 4

47
00:03:32,280 --> 00:03:34,379
menos 5x más 11

48
00:03:34,379 --> 00:03:40,719
que es igual a x al cuadrado menos 8x más 15

49
00:03:40,719 --> 00:03:43,800
bueno, lo siguiente no hace falta escribirlo, lo pongo en otro color

50
00:03:43,800 --> 00:03:47,000
porque es para explicar, pero no sería necesario

51
00:03:47,000 --> 00:03:57,650
el área pedida es la misma que la que tiene

52
00:03:57,650 --> 00:04:01,490
la curva

53
00:04:01,490 --> 00:04:04,590
igual a h de x

54
00:04:04,590 --> 00:04:08,789
el eje x y las rectas

55
00:04:08,789 --> 00:04:13,229
igual a 1, perdón, x igual a 1

56
00:04:13,229 --> 00:04:16,689
y x igual a 7

57
00:04:16,689 --> 00:04:19,209
entonces igual que antes, pues

58
00:04:19,209 --> 00:04:23,110
lo que hacemos es igual que los problemas de ese tipo

59
00:04:23,110 --> 00:04:28,389
Pues hacemos x cuadrado menos 8x más 15 es igual a 0

60
00:04:28,389 --> 00:04:39,550
Lo cual ocurre si solo si x es igual a 8 más menos raíz cuadrada de 64 menos 60 entre 2

61
00:04:39,550 --> 00:04:42,449
Igual a 8 más menos raíz cuadrada de 4 entre 2

62
00:04:42,449 --> 00:04:44,829
8 más menos 2 partido por 2

63
00:04:44,829 --> 00:04:47,569
Que tiene dos soluciones que son 3 y 5

64
00:04:47,569 --> 00:04:49,930
Los puntos que decíamos

65
00:04:49,930 --> 00:04:54,829
Bien, pues ahora ya el área es

66
00:04:54,829 --> 00:04:59,589
Bueno, observamos en primer lugar que 3 y 5 están dentro de las rectas

67
00:04:59,589 --> 00:05:01,949
x igual a 1 y x igual a 7

68
00:05:01,949 --> 00:05:06,430
De modo que se puede hacer, porque si tuvieramos, por ejemplo, yo que sé, como soluciones

69
00:05:06,430 --> 00:05:16,040
3 y 10, pues ya no estaríamos calculando entre estas dos rectas

70
00:05:16,040 --> 00:05:20,269
Si el 10 no lo tendríamos en cuenta

71
00:05:20,269 --> 00:05:23,209
Pero bueno, no es el caso

72
00:05:23,209 --> 00:05:51,209
Entonces el área sería la integral entre 1 y 3 de la función h de x, que es x cuadrado menos 8x más 15 diferencial de x.

73
00:05:52,730 --> 00:06:01,329
En este caso es positiva porque se sabe, pero no le falta calcular los signos, porque si ponemos un valor absoluto fuera, ya el signo va a estar, quiero decir.

74
00:06:01,329 --> 00:06:05,509
Dentro del intervalo 1 y 3 la función no cambia de signo

75
00:06:05,509 --> 00:06:09,449
Por lo tanto es lo mismo que poner el valor absoluto dentro

76
00:06:09,449 --> 00:06:12,310
Pero como no cambia de signo en toda la integral pues se puede salir fuera

77
00:06:12,310 --> 00:06:13,269
Pero solo por esa causa

78
00:06:13,269 --> 00:06:17,410
Por eso dividimos en tres partes el intervalo 1, 7

79
00:06:17,410 --> 00:06:21,930
Más la integral entre 3 y 5

80
00:06:21,930 --> 00:06:25,930
De x al cuadrado menos 8x más 15

81
00:06:25,930 --> 00:06:29,189
Diferencial de x en valor absoluto

82
00:06:29,189 --> 00:06:43,939
más la integral entre 5 y 7 de x cuadrado, perdón, menos 8x más 15 diferencial de x.

83
00:06:45,240 --> 00:06:47,899
Y esto es igual, pues ahora ya calculamos.

84
00:06:47,899 --> 00:07:02,779
Valor absoluto, cerramos corchetes, x cubo partido por 3, menos, bueno, tenemos 8x cuadrado partido por 2, que nos da 4x cuadrado.

85
00:07:02,779 --> 00:07:31,779
menos 4x cuadrado más 15x entre 1 y 3 más, valor absoluto, lo mismo, x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 15x entre 3 y 5 más x cubo partido por 3 menos 4x cuadrado más 15x entre 5 y 7.

86
00:07:35,250 --> 00:07:37,089
Y esto ya sería, pues, calcularlo.

87
00:07:39,199 --> 00:07:40,879
Voy a escribirlo todo porque lo estoy explicando, pero hombre.

88
00:07:43,579 --> 00:08:06,639
Tendríamos 3 al cubo partido por 3 menos 4 por 3 al cuadrado menos 15 por 3 menos 1 al cuadrado partido por 3 menos 4 por 1 al cuadrado, perdón, aquí un más, más 15 por 1.

89
00:08:06,639 --> 00:08:33,720
Bueno, todo esto me lo absoluto, más 5 al cubo partido por 3, menos 4 por 5 al cubo, más 15 por 5, menos 3 al cubo partido por 3, menos 4 por 3 al cuadrado, más 15 por 3,

90
00:08:33,720 --> 00:09:05,340
más 7 al cubo partido por 3, menos 4 por 7 al cubo, más 15 por 7, menos 5 al cubo partido por 3, menos 4 por 5 al cuadrado, más 15 por 5, en todo un valor absoluto.

91
00:09:05,340 --> 00:09:38,820
Cogemos la calculadora y esto nos da ser igual a valor absoluto 54 menos 46 partido por 3 más 350 partido por 3 menos 54 más 638 partido por 3 menos 350 partido por 3.

92
00:09:39,019 --> 00:09:59,330
Os haremos que se repiten algunos de los cálculos, ya que se repiten también algunos de los que están aquí.

93
00:10:03,840 --> 00:10:04,620
Bueno, sigamos.

94
00:10:06,870 --> 00:10:25,350
Y esto nos da 116 partido por 3 en valor absoluto, más menos 118 partido por 3 en valor absoluto, más 96 en valor absoluto.

95
00:10:25,950 --> 00:10:29,169
Entonces lo que hay que quitar será este signo, porque esta es la parte negativa.

96
00:10:29,269 --> 00:10:33,889
Con el truco de los valores absolutos no hay que ver los signos de cada cosa, se puede hacer directamente.

97
00:10:34,529 --> 00:10:51,179
Y esto nos daría 116 partido por 3, menos 118 partido por 3, más 96, perdón, más 198 partido por 3, más 96, y la suma de esas fracciones es 174.

98
00:10:51,179 --> 00:11:02,519
Por lo tanto, el área es 174. Y ya está.

99
00:11:02,519 --> 00:11:04,620
bueno, pues ese es el truco

100
00:11:04,620 --> 00:11:07,440
es más sencillo hacerlo todo mismo

101
00:11:07,440 --> 00:11:08,879
con una sola función, la función h

102
00:11:08,879 --> 00:11:17,679
que ir haciendo todo el rato la f menos la g

103
00:11:17,679 --> 00:11:19,059
etc, etc, etc

104
00:11:19,059 --> 00:11:20,759
esto es mucho más rápido

105
00:11:20,759 --> 00:11:22,840
lo cual viene muy bien para el lavabo