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00:00:02,799 --> 00:00:12,140
Hola, ¿qué tal? Bienvenidos a este nuevo vídeo. En él vamos a estudiar tres problemas

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00:00:12,140 --> 00:00:17,640
de la geometría de Euclidia del espacio. Calcularemos la distancia de un punto a un

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00:00:17,640 --> 00:00:23,519
plano, calcularemos la proyección de un punto a un plano y calcularemos el simétrico de

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00:00:23,519 --> 00:00:29,339
un punto respecto del plano. Veremos que estos tres problemas tienen mucho que ver. ¿Estás

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00:00:29,339 --> 00:00:38,909
preparado, pues adelante. En primer lugar recuerda que la distancia entre un punto P y un plano pi es

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00:00:38,909 --> 00:00:43,850
la menor de las distancias que hay entre el punto P y cualquier otro del plano. Esta mínima distancia

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00:00:43,850 --> 00:00:50,810
se calcula sobre la perpendicular por P al plano pi. Sea Q un punto cualquiera del plano pi y en

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00:00:50,810 --> 00:00:56,570
su vector normal. Observa en la figura que la distancia buscada es un cateto del triángulo

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00:00:56,570 --> 00:01:03,270
rectángulo PRQ, donde R es la intersección de la perpendicular al plano trazada desde P con el

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00:01:03,270 --> 00:01:10,469
propio plano. La distancia que hay entre el punto P y el plano pi coincidirá, por tanto, con la

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00:01:10,469 --> 00:01:15,469
distancia entre P y R, el pie de la perpendicular. Ahora bien, por trigonometría, como veis en la

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00:01:15,469 --> 00:01:21,370
figura, esta distancia es un cateto, con lo cual se puede calcular así. Multipliquemos numerador

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00:01:21,370 --> 00:01:28,150
y denominador por el módulo del vector normal n. Y ahora recuerda que la propiedad del producto

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00:01:28,150 --> 00:01:32,189
escalar nos dice que es el producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman.

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00:01:33,269 --> 00:01:38,750
Hemos obtenido por tanto esta expresión que es la fórmula de la distancia entre p y pi

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00:01:38,750 --> 00:01:44,150
de una manera vectorial. Pero esta distancia, esta fórmula es difícil de recordar. Hay

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00:01:44,150 --> 00:01:49,370
una expresión mucho más sencilla utilizando coordenadas y ecuaciones. Supongamos que pi

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00:01:49,370 --> 00:01:56,689
tiene por ecuación ax más bi más cz más d igual a 0, que p es el punto x0 y 0, z0 y que q cualquier

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00:01:56,689 --> 00:02:02,930
punto del plano pues consideremos que es x1 y 1, z1. Calculemos esta distancia sustituyendo los

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00:02:02,930 --> 00:02:08,849
valores. Ahora bien, como el vector normal es abc, este numerador se puede escribir, calcular así.

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00:02:09,889 --> 00:02:15,710
Hacemos la cuenta, quitamos paréntesis y ahora ¿qué obtenemos? Pues esa expresión. Esa expresión

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00:02:15,710 --> 00:02:21,530
tiene la parte de la derecha una forma mucho más sencilla de escribirse. ¿Por qué? Porque

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00:02:21,530 --> 00:02:30,009
como el punto P pertenece al plano, lo recuadrado vale exactamente D. Es decir, que la fórmula

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00:02:30,009 --> 00:02:36,229
que obtenemos es esta. Veamos un ejemplo de cómo aplicar esta fórmula. Veis que es muy

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00:02:36,229 --> 00:02:42,810
sencillo. Supongamos que tenemos un plano x menos 2y más 2z menos 3 igual a 0 y un punto

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00:02:42,810 --> 00:02:49,289
P, 1, 1, menos 2 y queremos calcular la distancia entre P y el plano. La distancia según nuestra

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00:02:49,289 --> 00:02:54,250
fórmula es esta. ¿Cómo se aplica esta fórmula? Bien, pues en el numerador no hay más que sustituir

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00:02:54,250 --> 00:02:59,729
en la ecuación del plano las coordenadas del punto P y calcular esta expresión en valor absoluto y

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00:02:59,729 --> 00:03:05,930
en el denominador el módulo del vector normal. Simplificamos y se acabó la distancia entre P y

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00:03:05,930 --> 00:03:11,650
pi, sería 8 tercios. Bueno, una vez acabado este problema vamos a pasar al siguiente, la proyección

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00:03:11,650 --> 00:03:15,610
de un punto a un plano. ¿Cómo se determina, cómo se define la proyección de un punto

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00:03:15,610 --> 00:03:21,090
a un plano? Bueno, pues es la intersección de la recta perpendicular al plano que pasa

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00:03:21,090 --> 00:03:26,129
por ese punto con el plano. Es decir, que nosotros el problema lo vamos a dividir en

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00:03:26,129 --> 00:03:30,370
dos pasos. En primer lugar tenemos que calcular la recta perpendicular al plano que pasa por

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00:03:30,370 --> 00:03:35,409
P y en segundo lugar tendremos que calcular la intersección, el punto R, que es la intersección

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00:03:35,409 --> 00:03:42,569
entre pi y r. Este punto se llama pie de la perpendicular y es la proyección. Vamos a ver

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00:03:42,569 --> 00:03:48,490
un ejemplo. Utilizando el ejemplo en el que calculábamos la distancia vamos a calcular con

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00:03:48,490 --> 00:03:54,370
estos datos el punto proyección, el pie de la perpendicular. Para ello nos tenemos que fijar

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00:03:54,370 --> 00:04:01,169
en que la recta, su vector director es el vector normal al plano porque es perpendicular al plano

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00:04:01,169 --> 00:04:08,889
y ese vector normal serán las coordenadas de x, los coeficientes de x, y y z, es decir, 1, menos 2, 2 en nuestro caso.

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00:04:10,169 --> 00:04:14,729
Con ese vector más el punto posición, el propio punto P, 1, 1, menos 2,

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00:04:15,189 --> 00:04:18,870
podremos escribir enseguida las ecuaciones paramétricas de la recta perpendicular,

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00:04:19,730 --> 00:04:25,370
que son x y z igual a t por 1, menos 2, 2, más el punto 1, 1, 2.

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00:04:25,370 --> 00:04:30,029
operamos aquí introduciendo la t dentro del vector

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00:04:30,029 --> 00:04:34,970
y realizando la suma resta y esta es la ecuación de la recta

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00:04:34,970 --> 00:04:38,129
vamos a calcular el punto intersección entre pi y r

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00:04:38,129 --> 00:04:42,069
para ello resolvemos ese sistema de ecuaciones y ¿qué es este sistema de ecuaciones?

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00:04:42,569 --> 00:04:46,069
bueno, pues x y z son

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00:04:46,069 --> 00:04:50,410
las ecuaciones de la recta paramétrica y luego x menos 2y

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00:04:50,410 --> 00:04:54,089
más 2z menos 3 igual a 0 es la ecuación del plano

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00:04:54,949 --> 00:04:59,730
Entonces, ¿cómo resolvemos este sistema? Muy sencillo, sustituyendo los valores de x y z en la ecuación del plano,

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00:05:00,290 --> 00:05:03,589
tenemos una ecuación que depende solo de t y es del lineal de grado 1.

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00:05:04,129 --> 00:05:10,529
Entonces, resolvemos esa ecuación y sacamos simplificando el valor de t que hace esa ecuación cierta.

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00:05:10,949 --> 00:05:13,290
Este valor de t, en este caso, es 8 novenos.

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00:05:13,870 --> 00:05:19,069
Entonces, con este valor de t del parámetro, lo que hacemos es sustituir en la ecuación de la recta.

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00:05:19,069 --> 00:05:24,329
Es decir, x es igual a 1 más t, y igual a 1 menos 2t, ct igual a menos 2 menos 2t.

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00:05:24,889 --> 00:05:34,350
Sustituimos el valor de t como 8 novenos en las tres incógnitas y tendremos los tres valores, las coordenadas del punto R.

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00:05:35,149 --> 00:05:39,170
En nuestro caso R será 17 novenos menos 7 novenos menos 2 novenos.

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00:05:39,990 --> 00:05:45,949
Muy bien, si ahora quisiésemos calcular la distancia entre el punto P y el plano pi,

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00:05:45,949 --> 00:05:51,290
pues bastaría con calcular la distancia entre este pi de la perpendicular y el plano pi

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00:05:51,290 --> 00:05:55,529
es decir, la distancia entre p y pi sería igual a la distancia entre p y r

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00:05:55,529 --> 00:05:59,329
Podemos hacerlo para comprobar que nos da lo mismo que nos había dado antes

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00:05:59,329 --> 00:06:02,910
en el problema del cálculo de distancia de punto en plano

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00:06:02,910 --> 00:06:07,089
Hacemos la cuenta, es decir, el módulo del vector pr

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00:06:07,089 --> 00:06:11,529
y esa cuenta nos da precisamente 8 tercios

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00:06:11,529 --> 00:06:14,850
que era la distancia que habíamos visto anteriormente entre p y pi

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00:06:14,850 --> 00:06:21,189
Bueno, y ahora para acabar vamos a ocuparnos de un tercer problema que es muy sencillo una vez que hemos calculado esta proyección.

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00:06:21,189 --> 00:06:23,970
Se trata del simétrico de un punto respecto de un plano.

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00:06:25,110 --> 00:06:35,930
Un punto P' es el punto simétrico de P respecto de un plano pi si el plano corta justo en el punto medio del segmento PP' de forma perpendicular.

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00:06:36,930 --> 00:06:47,009
Esto es, que necesitamos primero calcular el punto proyección R porque este punto R va a ser el punto medio entre P y P'.

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00:06:47,009 --> 00:06:50,230
Y una vez calculado R será el problema muy sencillo.

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00:06:51,050 --> 00:06:55,850
Entonces en el ejemplo que estamos viendo, en el ejemplo anterior, tenemos nuestro plano y nuestro punto.

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00:06:56,370 --> 00:07:02,230
Vamos a querer calcular el punto P'X y Z de forma que el punto R, la proyección,

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00:07:02,230 --> 00:07:06,389
este punto que nos había dado 17 no menos, menos 7 no menos, menos 2 no menos

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00:07:06,389 --> 00:07:10,629
sea el punto medio entre P' y P. Para ello lo que hacemos

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00:07:10,629 --> 00:07:14,709
es plantear esa ecuación, un medio de las coordenadas de nuestro punto P

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00:07:14,709 --> 00:07:18,709
más las incógnitas P' sería igual al punto R

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00:07:18,709 --> 00:07:22,509
Despejando de aquí X y Z tendremos los valores

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00:07:22,509 --> 00:07:25,589
de P' y ya hemos concluido con el problema

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00:07:25,589 --> 00:07:30,430
Y esto ha sido todo. ¿Habéis visto que fácil resulta calcular

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00:07:30,430 --> 00:07:36,269
la distancia de un punto a un plano. Basta con sustituir las coordenadas del punto en la ecuación

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00:07:36,269 --> 00:07:43,569
del plano en valor absoluto y dividir por el módulo del vector normal. Hay veces, no obstante,

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00:07:43,670 --> 00:07:50,189
que no podemos utilizar la fórmula porque, por ejemplo, nos pueden pedir calcular explícitamente

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00:07:50,189 --> 00:07:54,910
las coordenadas del punto proyección o porque necesitamos calcular un simétrico, el punto

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00:07:54,910 --> 00:08:01,829
simétrico del plano. Si no es así, aplicar la fórmula es más que suficiente. Espero

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00:08:01,829 --> 00:08:04,509
que os haya gustado. Nos vemos en el próximo vídeo. ¡Hasta luego!