1
00:00:00,000 --> 00:00:05,000
Estudiemos ahora los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas.

2
00:00:05,000 --> 00:00:13,000
Cuando tenemos simultáneamente dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas existe el sistema de ecuaciones.

3
00:00:13,000 --> 00:00:21,000
Se puede escribir simplificado de la forma ax más bi igual a c para la primera ecuación

4
00:00:21,000 --> 00:00:38,000
y a'x más b'i igual a c' para la segunda ecuación, donde x e y son las incógnitas y abc'b'c' son los coeficientes,

5
00:00:38,000 --> 00:00:46,000
siendo a el número que multiplica la x de la primera ecuación, b el número que multiplica la y en la primera ecuación

6
00:00:46,000 --> 00:00:56,000
y c el término independiente de la primera ecuación, y a' el número que multiplica la x en la segunda ecuación,

7
00:00:56,000 --> 00:01:08,000
b' el número que multiplica la y en la segunda ecuación y c' el término independiente de la segunda ecuación.

8
00:01:08,000 --> 00:01:15,000
Vamos a estudiar los coeficientes en el sistema 2x más y igual a 1, 3x menos 2 y igual a 5.

9
00:01:15,000 --> 00:01:23,000
En la primera ecuación podemos observar que a, el número que multiplica la x es 2, b es 1.

10
00:01:23,000 --> 00:01:28,000
Fijaros que si no hay nada a la izquierda se entiende que hay un 1 y c sería 1.

11
00:01:28,000 --> 00:01:35,000
En la segunda ecuación a' es 3, b' es menos 2 y c' es 5.

12
00:01:41,000 --> 00:01:49,000
La solución del sistema de dos ecuaciones es un par de números x y que verifican las dos ecuaciones a la vez.

13
00:01:49,000 --> 00:01:55,000
Por ejemplo, ¿es 2 menos 3 solución de este sistema?

14
00:01:58,000 --> 00:02:06,000
Para verlo lo que tenemos que realizar es sustituir la x por 2 y la y por menos 3 en ambas ecuaciones

15
00:02:06,000 --> 00:02:09,000
y comprobar que se cumplen las igualdades numéricas.

16
00:02:09,000 --> 00:02:12,000
Así que vamos a ver cómo se hace.

17
00:02:13,000 --> 00:02:19,000
Realizando las operaciones de la izquierda tenemos 4 menos 3 igual a 1.

18
00:02:19,000 --> 00:02:24,000
Es decir, 1 igual a 1. Es una igualdad numérica verdadera.

19
00:02:24,000 --> 00:02:28,000
Fijaros que también tenemos que comprobarlo en la segunda ecuación.

20
00:02:28,000 --> 00:02:37,000
Es decir, vamos a sustituir la x por 2 y la y por menos 3 en ambas ecuaciones y comprobar que se cumplen las igualdades numéricas.

21
00:02:37,000 --> 00:02:41,000
Fijaros que también tenemos que comprobarlo en la segunda ecuación.

22
00:02:41,000 --> 00:02:47,000
Es decir, vamos a sustituir ahora en la segunda ecuación la x por 2 y la y por menos 3.

23
00:02:48,000 --> 00:02:56,000
Y observar qué ocurre. Tenemos 3 por 2 menos 2 por menos 3.

24
00:02:56,000 --> 00:02:58,000
Esto tiene que darnos 5.

25
00:02:58,000 --> 00:03:03,000
Es decir, haciendo las operaciones, 6 más 6.

26
00:03:03,000 --> 00:03:06,000
Fijaros que menos por menos es más.

27
00:03:06,000 --> 00:03:08,000
Esto tiene que dar igual a 5.

28
00:03:10,000 --> 00:03:14,000
Como vemos, 12 no es lo mismo que 5.

29
00:03:14,000 --> 00:03:17,000
Por lo tanto es una igualdad numérica falsa.

30
00:03:17,000 --> 00:03:24,000
Como una de las dos ecuaciones no se ha cumplido, podemos decir que no es solución del sistema.

31
00:03:25,000 --> 00:03:28,000
El punto 2 menos 3.

32
00:03:29,000 --> 00:03:33,000
Es el punto 1 menos 1 solución del sistema.

33
00:03:33,000 --> 00:03:42,000
Si sustituimos en la primera ecuación nos queda 2 por 1 más menos 1 igual a 1.

34
00:03:42,000 --> 00:03:47,000
Es decir, haciendo las operaciones nos queda 2 menos 1 igual a 1.

35
00:03:48,000 --> 00:03:53,000
Es decir, 1 igual a 1, lo cual es una igualdad numérica verdadera.

36
00:03:53,000 --> 00:04:02,000
En la segunda ecuación, al cambiar la x por 1, tenemos 3 por 1 menos 2 por el valor de la y que es menos 1.

37
00:04:03,000 --> 00:04:05,000
Y esto nos tiene que dar 5.

38
00:04:05,000 --> 00:04:09,000
Es decir, 3 más 2 igual a 5.

39
00:04:09,000 --> 00:04:12,000
Por lo tanto obtenemos que 5 es igual a 5.

40
00:04:12,000 --> 00:04:22,000
Como tenemos dos igualdades numéricas verdaderas, concluimos con 3 por 1.

41
00:04:22,000 --> 00:04:24,000
Concluimos que sí.

42
00:04:28,000 --> 00:04:32,000
El par de valores 1 menos 1 sí es solución.

43
00:04:39,000 --> 00:04:45,000
Podemos analizar las soluciones del sistema en función de los coeficientes de las ecuaciones.

44
00:04:46,000 --> 00:04:59,000
Si A entre A' da distinto de B entre B', el sistema es compatible determinado, lo cual significa que tiene solución única.

45
00:05:00,000 --> 00:05:15,000
Si representamos además las rectas que corresponden a la primera ecuación y a la segunda ecuación, obtenemos dos rectas secantes, siendo el punto de intersección la solución del sistema.

46
00:05:16,000 --> 00:05:30,000
Cuando tenemos que A entre A' es igual a B entre B' pero distinto de C entre C', el sistema es incompatible, es decir, no tiene solución.

47
00:05:30,000 --> 00:05:36,000
Si representamos las rectas en ese caso, vamos a obtener dos rectas paralelas.

48
00:05:36,000 --> 00:05:43,000
Las rectas paralelas no se cortan en ningún punto, por eso el sistema es incompatible.

49
00:05:44,000 --> 00:05:46,000
O sin solución.

50
00:05:47,000 --> 00:05:56,000
Y la última posibilidad es que el cociente de todos los coeficientes dé el mismo resultado.

51
00:05:56,000 --> 00:06:05,000
En ese caso el sistema es compatible, es decir, tiene solución pero indeterminado, lo que significa que tiene infinitas soluciones.

52
00:06:06,000 --> 00:06:20,000
La representación gráfica de las dos rectas correspondientes a las dos ecuaciones del sistema van a ser en realidad una recta encima de otra, lo que llamamos rectas coincidentes.

53
00:06:21,000 --> 00:06:27,000
Las dos rectas tienen en común infinitos puntos, que son las infinitas soluciones del sistema.

54
00:06:27,000 --> 00:06:43,000
Volviendo al sistema de nuestro ejemplo inicial, tenemos que A es igual a 2, B es igual a 1, A' es igual a 3 y B' es igual a menos 2.

55
00:06:44,000 --> 00:07:00,000
Observamos que el cociente de A entre A' nos queda 2 tercios y no es lo mismo que el cociente entre A' y B' que nos queda 1 entre menos 2.

56
00:07:00,000 --> 00:07:11,000
También podríamos observar que esto no es una igualdad cierta multiplicando en cruces, es decir, 2 por menos 2 nos sale diferente que 3 por 1.

57
00:07:11,000 --> 00:07:13,000
Es decir, no se cumple la proporción.

58
00:07:13,000 --> 00:07:28,000
Por lo tanto, podemos deducir que el sistema es compatible y determinado, es decir, si representamos las rectas de las dos ecuaciones vamos a ver que son secantes y se cortan en la solución del sistema.

59
00:07:31,000 --> 00:07:38,000
Para terminar vamos a hallar las soluciones de este sistema utilizando el método gráfico.

60
00:07:39,000 --> 00:07:47,000
Este método consiste en representar las dos ecuaciones lineales que forman el sistema.

61
00:07:48,000 --> 00:07:56,000
Voy a llamar R1 a la recta correspondiente a la ecuación 2X más Y igual a 1.

62
00:07:57,000 --> 00:08:02,000
Para representarla lo primero que tenemos que hacer es despejar la incógnita Y.

63
00:08:04,000 --> 00:08:07,000
En este caso nos queda 1 menos 2X.

64
00:08:08,000 --> 00:08:18,000
Fijaros que el término 2X ha pasado a la derecha restando.

65
00:08:19,000 --> 00:08:33,000
Una vez que tenemos despejada la incógnita Y que es la variable dependiente vamos a realizar una tabla de valores para hallar puntos del plano.

66
00:08:34,000 --> 00:08:47,000
La primera columna corresponde a la X que es la variable independiente, la segunda columna corresponde a la Y o variable dependiente que se calcula en este caso con la expresión 1 menos 2 por X.

67
00:08:48,000 --> 00:08:57,000
Comenzamos dando valores a la X. Por ejemplo si a X le damos el valor 0 la Y se calcula como 1 menos 2 por 0.

68
00:08:58,000 --> 00:09:03,000
Esto nos queda 1 menos 0 que es 1.

69
00:09:04,000 --> 00:09:08,000
De aquí obtenemos el punto del plano 0,1.

70
00:09:09,000 --> 00:09:15,000
Lo vamos a representar en nuestro sistema de ejes cartesianos que tenemos aquí a la derecha.

71
00:09:16,000 --> 00:09:19,000
0 de X, 1 de Y.

72
00:09:20,000 --> 00:09:25,000
Por lo tanto el punto lo tenemos aquí.

73
00:09:26,000 --> 00:09:36,000
Ahora vamos a dar a la X otro valor. Por ejemplo para X1 la Y sería 1 menos 2 por 1.

74
00:09:37,000 --> 00:09:40,000
Esto nos queda 1 menos 2 que es menos 1.

75
00:09:41,000 --> 00:09:46,000
De aquí obtenemos el punto 1, menos 1.

76
00:09:46,000 --> 00:09:53,000
Recordar que para representar los puntos en el plano primero se da la coordenada X y luego la coordenada Y.

77
00:09:54,000 --> 00:10:00,000
Así para representar el punto 1, menos 1 nos fijamos en X1 y en Y menos 1.

78
00:10:01,000 --> 00:10:07,000
La intersección de las dos líneas imaginarias nos proporciona el punto buscado.

79
00:10:08,000 --> 00:10:18,000
Uniendo los dos puntos con una regla obtenemos la recta correspondiente a la primera ecuación del sistema de ecuaciones que hemos llamado R1.

80
00:10:20,000 --> 00:10:27,000
Para representar la recta R2 correspondiente a la segunda ecuación del sistema 3X menos 2 igual a 5,

81
00:10:27,000 --> 00:10:31,000
lo primero que hacemos es despejar el término menos 2Y.

82
00:10:32,000 --> 00:10:34,000
Nos queda 5 menos 3X.

83
00:10:35,000 --> 00:10:39,000
Observar que el término 3X pasa a la derecha restando.

84
00:10:42,000 --> 00:10:46,000
Ahora tenemos que despejar la variable Y.

85
00:10:47,000 --> 00:10:53,000
Fijaros que el número que multiplica a la Y es 5 menos 3X.

86
00:10:53,000 --> 00:10:58,000
Fijaros que el número que multiplica a la Y es menos 2.

87
00:10:59,000 --> 00:11:03,000
Por lo tanto pasa dividiendo a los dos términos que tenemos a la derecha.

88
00:11:04,000 --> 00:11:07,000
Es decir, 5 menos 3X todo dividido entre menos 2.

89
00:11:08,000 --> 00:11:12,000
Para hacer esta división procedemos de la siguiente forma.

90
00:11:13,000 --> 00:11:15,000
Primero dividimos los signos.

91
00:11:16,000 --> 00:11:20,000
El 5, ¿qué signo tiene a la izquierda?

92
00:11:20,000 --> 00:11:23,000
El signo es positivo porque no tiene nada.

93
00:11:24,000 --> 00:11:26,000
Hacemos más entre menos.

94
00:11:27,000 --> 00:11:28,000
Eso nos queda menos.

95
00:11:29,000 --> 00:11:30,000
Y ahora dividimos los números.

96
00:11:31,000 --> 00:11:34,000
5 entre 2 nos queda 5 medios que lo dejamos en forma de fracción.

97
00:11:35,000 --> 00:11:37,000
Seguimos con el siguiente término.

98
00:11:38,000 --> 00:11:40,000
Realizamos menos entre menos.

99
00:11:41,000 --> 00:11:42,000
Nos queda más.

100
00:11:43,000 --> 00:11:44,000
Ahora dividimos los números.

101
00:11:45,000 --> 00:11:46,000
3 entre 2.

102
00:11:47,000 --> 00:11:48,000
Eso nos queda 3 medios.

103
00:11:49,000 --> 00:11:52,000
Y a la derecha va multiplicando la letra X.

104
00:11:55,000 --> 00:11:58,000
A continuación realizamos la tabla de valores.

105
00:11:59,000 --> 00:12:05,000
Si a la X le damos el valor 0, la Y la obtendremos como menos 5 medios más 3 medios por 0.

106
00:12:06,000 --> 00:12:07,000
Es decir, nos queda menos 5 medios.

107
00:12:08,000 --> 00:12:11,000
Y ahí obtenemos el punto 0 menos 5 medios.

108
00:12:12,000 --> 00:12:30,000
Para representarlo en nuestro sistema de ejes cartesianos, observar que hemos separado la distancia unidad, es decir, el 0 del 1 o del menos 1, que es el segmento unidad, lo hemos separado de dos cuadraditos, que es lo que indica o lo que marca el denominador de la fracción.

109
00:12:31,000 --> 00:12:40,000
De esta forma, menos 5 medios se encuentra en el eje de ordenadas a distancia de 5 cuadraditos hacia abajo.

110
00:12:42,000 --> 00:12:44,000
Es decir, en menos 2,5.

111
00:12:45,000 --> 00:12:48,000
Fijaros que menos 5 medios es lo mismo que menos 2,5.

112
00:12:49,000 --> 00:12:57,000
Así podemos dibujar el punto 0 de X menos 5 medios correctamente.

113
00:12:59,000 --> 00:13:05,000
Ahora, si a la X le damos el valor 1, la Y será menos 5 medios más 3 medios por 1.

114
00:13:06,000 --> 00:13:10,000
Es decir, menos 5 medios más 3 medios.

115
00:13:11,000 --> 00:13:14,000
Esto nos queda menos 2 medios, que es igual a menos 1.

116
00:13:15,000 --> 00:13:20,000
Este punto es más fácil porque obtenemos el punto 1 menos 1.

117
00:13:31,000 --> 00:13:38,000
Uniendo los dos puntos hallados, representamos la recta R2 correspondiente a la segunda ecuación del sistema.

118
00:13:38,000 --> 00:13:49,000
Las rectas R1 y R2 se cortan en el punto 1 menos 1, que es la solución del sistema de ecuaciones.