1
00:00:00,430 --> 00:00:04,690
Vamos con el segundo ejercicio, que tampoco es complicado.

2
00:00:05,269 --> 00:00:08,570
Nos dicen que hallemos la ecuación de la recta normal.

3
00:00:08,830 --> 00:00:15,029
Entonces, evidentemente, si no nos sabemos la ecuación de la recta normal, pues tenemos un problema.

4
00:00:15,410 --> 00:00:19,410
Y luego es esta función, que es una función polinómica, súper fácil,

5
00:00:19,850 --> 00:00:25,609
y nos dice que queremos hallar la ecuación de la recta normal, pero en su punto de inflexión.

6
00:00:25,809 --> 00:00:28,769
Entonces, evidentemente, volvemos otra vez a la teoría matemática.

7
00:00:28,769 --> 00:00:43,770
Si yo no me sé la fórmula de la recta normal, este ejercicio no lo puedo hacer, pero es que si yo no hago el punto de inflexión, pues estamos en las mismas.

8
00:00:44,909 --> 00:00:59,270
Entonces, recordamos, la recta tangente, la recta tangente, utilizamos de todas las ecuaciones de la recta, utilizamos la de punto pendiente, que era igual.

9
00:00:59,270 --> 00:01:08,989
Y menos f de x sub cero es igual a f' de x sub cero por x menos x sub cero.

10
00:01:09,090 --> 00:01:11,489
x sub cero es precisamente el punto de tangencia.

11
00:01:11,769 --> 00:01:20,829
x sub cero es el punto de tangencia donde nosotros queremos hallar la recta tangente.

12
00:01:21,250 --> 00:01:22,250
¿Qué es lo que ocurre?

13
00:01:22,250 --> 00:01:27,890
Que la recta normal es perpendicular a la tangente.

14
00:01:27,890 --> 00:01:53,609
La recta normal es perpendicular a la recta tangente y hay una premisa también en teoría matemática donde si la recta normal tiene pendiente m' y la recta tangente tiene pendiente m resulta que al ser perpendiculares pues se cumple que m por m' es igual a menos 1.

15
00:01:53,609 --> 00:01:59,150
O lo que es mejor dicho, m' es igual a menos 1 partido de m.

16
00:01:59,609 --> 00:02:19,530
¿Con esto qué ocurre? Que yo ya sé que la resta normal va a ser y menos f de x sub 0 igual a menos 1 partido f' de x sub 0 por x menos x sub 0.

17
00:02:19,530 --> 00:02:39,349
¿Pero qué nos dice a nosotros el ejercicio? Lo que nos dice es que tenemos que hacerlo en su punto de inflexión y yo no sé cuál es el x0 pero sí puedo hallar el punto de inflexión de esta función polinómica.

18
00:02:39,349 --> 00:02:58,990
Pues resulta que el punto de inflexión es aquel cuya segunda derivada es 0. Por lo tanto, si yo tengo que mi función es 4x al cubo menos 2x cuadrado menos 10, su primera derivada, muy fácil, es 12 por x al cuadrado menos 4x.

19
00:02:58,990 --> 00:03:29,680
Pero es que su segunda derivada es más fácil todavía, ¿verdad? Porque tenemos 24x menos 4. ¿Y qué ocurre? Pues que la segunda derivada, el punto de inflexión, es aquel que realmente el punto de inflexión lo que hace es cuando cambia la curvatura, es decir, pasamos de cóncava a cónvesa o de cónvesa a cóncava, es decir, de curvatura positiva a curvatura negativa o viceversa.

20
00:03:30,680 --> 00:03:37,780
Por lo tanto, claro, cuando la segunda derivada es mayor que 0 es una curvatura positiva hacia arriba

21
00:03:37,780 --> 00:03:42,180
y cuando es menor que 0 una curvatura negativa hacia abajo.

22
00:03:42,180 --> 00:03:45,759
Entonces, precisamente cuando f segunda de x es igual a 0,

23
00:03:46,740 --> 00:03:51,500
y nosotros en este caso tenemos que 24x menos 4 es igual a 0,

24
00:03:52,039 --> 00:03:58,659
resulta que x es igual a 4 partido de 24, o lo mismo es un sexto.

25
00:03:58,659 --> 00:04:04,759
Entonces mi x sub cero, mi x sub cero en este caso es un sexto.

26
00:04:05,520 --> 00:04:13,280
Si yo me voy a la fórmula, pues yo tengo que hallar, ya tengo el x sub cero, tengo que hallar f de x sub cero, tengo que hallar f' de x sub cero.

27
00:04:14,099 --> 00:04:18,360
Y pues nada, y luego ya pues sustituimos.

28
00:04:18,720 --> 00:04:21,839
f de x sub cero hemos dicho que es un sexto.

29
00:04:22,300 --> 00:04:24,259
¿Cuánto vale f de x sub cero?

30
00:04:24,259 --> 00:04:27,620
Pues nada, es 4 por un sexto.

31
00:04:28,660 --> 00:04:34,740
Al cubo, menos 2 por un sexto al cuadrado, menos 10.

32
00:04:35,459 --> 00:04:35,759
¿De acuerdo?

33
00:04:36,980 --> 00:04:40,100
Vamos a sacar aquí la calculadora, un mantillo.

34
00:04:41,540 --> 00:04:45,139
Lo hacemos en la calculadora y a ver qué es lo que nos sale.

35
00:04:45,139 --> 00:04:51,779
4 por un sexto al cubo.

36
00:04:52,920 --> 00:04:54,620
Ahí lo he hecho mal.

37
00:04:54,620 --> 00:04:59,399
1 sexto al cubo

38
00:04:59,399 --> 00:05:07,870
menos 2 por 1 sexto al cuadrado

39
00:05:07,870 --> 00:05:09,189
menos 10, ¿verdad?

40
00:05:12,259 --> 00:05:15,959
Esto me sale menos 271 partido de 71.

41
00:05:16,220 --> 00:05:18,500
Un número feo, bueno, pero es un número

42
00:05:18,500 --> 00:05:20,620
de 27, perdón.

43
00:05:21,639 --> 00:05:23,759
271 partido de 27.

44
00:05:24,259 --> 00:05:27,779
¿Cuánto vale f' de x sub 0?

45
00:05:27,779 --> 00:05:35,220
Pues 12 por un sexto al cuadrado menos 4 por un sexto.

46
00:05:35,379 --> 00:05:40,399
Lo metemos en la calculadora y averiguamos cuánto vale.

47
00:05:40,779 --> 00:05:49,879
12 por 1 entre 6 al cuadrado menos 4 por 1 entre 6.

48
00:05:50,740 --> 00:05:53,279
Y esto me da menos un tercio.

49
00:05:54,660 --> 00:05:56,959
Esto me da menos un tercio.

50
00:05:57,779 --> 00:06:05,620
Pues nada, ahora lo que nos queda únicamente es sustituir, lo que nos queda es sustituir.

51
00:06:05,620 --> 00:06:13,040
Voy a copiar esto de aquí, me lo llevo aquí, ¿de acuerdo?

52
00:06:13,439 --> 00:06:27,920
Lo tengo esto de aquí y me voy a copiar la fórmula, vamos a ver, vamos a copiar la fórmula y me la llevo a esta página, ¿de acuerdo?

53
00:06:27,920 --> 00:06:33,019
Entonces, nada, yo lo que tengo que hacer únicamente es que no es complicado, es sustituir.

54
00:06:33,120 --> 00:06:49,439
Tengo y menos menos 271 partido de 27 es igual a menos 1 partido de menos un tercio por x menos un sexto.

55
00:06:49,439 --> 00:07:11,259
Entonces esto es y más 271 partido de 27, esto de aquí chavales da 3, esto es 3 por x menos 1 sexto, que esto es igual a 3x menos 1 medio.

56
00:07:11,259 --> 00:07:23,139
Por lo tanto, la resta será 3x menos 1 medio menos 271 partido de 27.

57
00:07:25,000 --> 00:07:34,699
Estoy mirando aquí la chuletilla, no la tengo aquí solucionada, pero bueno, para que veáis que no me he equivocado.

58
00:07:34,699 --> 00:08:02,110
Sí, efectivamente, está todo bien. Y esto me da 3x menos 569 partido de 54. Esta es la recta normal a la función, esta es la recta normal a la función en su punto de inflexión.

59
00:08:02,110 --> 00:08:10,370
pues nada, ahora tenemos que hacer esta segunda parte

60
00:08:10,370 --> 00:08:22,670
entonces nosotros tenemos una función f de x que es igual a un cuarto de x cuadrado más 4x menos 4

61
00:08:22,670 --> 00:08:28,730
y queremos hallar la recta tangente pero que pase por el punto 0 menos 8

62
00:08:28,730 --> 00:08:58,610
Nosotros lo primero que vamos a hacer es comprobar si es un punto interior o exterior, entonces resulta que si fuese un punto de la función, si yo hago f de 0 me tiene que salir 8, por lo tanto yo me pregunto, entonces f de 0 resulta que es 1 cuarto por 0 al cuadrado más 4 por 0 menos 4 y esto me da menos 4 que es distinto a menos 8.

63
00:08:58,730 --> 00:09:08,440
Esto es menos 8. Por lo tanto, es un punto exterior. Es un punto exterior.

64
00:09:11,299 --> 00:09:16,980
De nuevo, ¿yo sé x sub 0? Pues no lo sé. No lo sé.

65
00:09:18,159 --> 00:09:31,909
Lo que sí sé es que toda recta tangente es del tipo y menos f de x sub 0

66
00:09:31,909 --> 00:09:38,730
igual a f' de x sub cero por x menos x sub cero

67
00:09:38,730 --> 00:09:41,110
¿qué es lo que yo estoy forzando?

68
00:09:41,190 --> 00:09:47,330
yo estoy forzando que esta recta de aquí pase por el punto 0 menos 8

69
00:09:47,330 --> 00:09:57,629
eso que implica que esto de aquí sea menos 8 y que esto de aquí sea 0

70
00:09:57,629 --> 00:10:02,289
no estoy haciendo otra cosa diferente

71
00:10:02,289 --> 00:10:03,850
entonces, ¿qué ocurre?

72
00:10:03,850 --> 00:10:13,789
que yo tengo que f de x es igual a 1 cuarto de x cuadrado más 4x menos 4

73
00:10:13,789 --> 00:10:22,769
y f' de x es igual a 1 medio de x cuadrado más 4

74
00:10:22,769 --> 00:10:46,809
Por lo tanto, yo aquí que tengo menos 8 menos un cuarto de x sub 0 al cuadrado más 4 por x sub 0 menos 4 y esto es igual a qué? A un medio de x sub 0 al cuadrado más 4.

75
00:10:46,809 --> 00:10:58,850
Y aquí muy importante, porque algunos de ustedes habéis tenido fallos, yo pongo paréntesis porque todo esto, esto es un factor y esto es otro factor, ¿de acuerdo?

76
00:10:59,009 --> 00:11:07,730
Lo que pasa es que son factores que están formados por sumandos y todo esto lo multiplico por 0 menos x sub 0.

77
00:11:07,730 --> 00:11:14,330
Entonces, si os dais cuenta, yo aquí ya todo depende ya solamente de x sub cero.

78
00:11:15,230 --> 00:11:17,970
Pues nada, vamos a quitar los paréntesis.

79
00:11:18,250 --> 00:11:29,590
Esto es menos 8, esto es menos un cuarto de x sub cero al cuadrado, esto es menos 4x sub cero y esto es más 4.

80
00:11:29,990 --> 00:11:33,509
Si os dais cuenta, esto da menos x sub cero.

81
00:11:33,509 --> 00:11:54,379
Pues entonces menos x sub cero por un medio de x sub cero es menos un medio, ah y aquí me he equivocado, perdón, ya decía yo que esto es un medio de x y esto es un medio de x sub cero, perdón, vale, aquí me había equivocado y aquí tal.

82
00:11:54,379 --> 00:12:02,320
Entonces, esto sí que me sale menos 1 medio de x sub 0 al cuadrado menos 4x sub 0.

83
00:12:02,779 --> 00:12:08,059
Si os fijáis, este y este se me van y ¿qué es lo que me queda?

84
00:12:08,120 --> 00:12:12,059
Y aquí tened mucho cuidado porque hay mucha gente que ha fallado en esto y es una tontería.

85
00:12:12,220 --> 00:12:15,100
Yo tengo esto de aquí y esto de aquí.

86
00:12:15,100 --> 00:12:25,399
¿Y qué sería? Menos un cuarto, el menos un cuarto de aquí, y este menos un medio pasa al otro miembro sumando, más un medio.

87
00:12:26,039 --> 00:12:33,129
Y esto, chavales, tened mucho cuidado, porque esto es igual a un cuarto.

88
00:12:33,370 --> 00:12:35,169
Hay mucha gente aquí que me ha puesto un medio.

89
00:12:35,809 --> 00:12:41,990
Entonces aquí, ¿qué me queda? Me queda un cuarto de x sub cero al cuadrado.

90
00:12:42,789 --> 00:12:46,789
Menos ocho más cuatro, me queda menos cuatro.

91
00:12:46,789 --> 00:12:59,830
Y todo esto es igual a cero. Por lo tanto, un cuarto de x sub cero al cuadrado es igual a cuatro y x sub cero al cuadrado es igual a dieciséis.

92
00:13:00,169 --> 00:13:06,769
De donde x sub cero es igual a más menos la raíz de dieciséis, que es igual a más menos cuatro.

93
00:13:07,110 --> 00:13:14,789
Fijaros que yo lo que he hecho es, me piden las ecuaciones de las restas tangentes en dichos puntos.

94
00:13:14,789 --> 00:13:20,490
Es decir, hay a los puntos de la curva en los que la resta tangente a esta pase por el punto 0 menos 8.

95
00:13:20,850 --> 00:13:28,429
Yo no sé qué puntos de la resta son, pero yo sé que esas restas tangentes tienen que pasar por el punto 0 menos 8.

96
00:13:28,429 --> 00:13:33,730
entonces lo que yo he esforzado es en la ecuación general de la recta tangente

97
00:13:33,730 --> 00:13:38,169
yo esfuerzo que pasen por el punto 0 menos 8

98
00:13:38,169 --> 00:13:40,549
la y vale menos 8 y la x vale 0

99
00:13:40,549 --> 00:13:42,610
entonces ¿qué ocurre?

100
00:13:42,710 --> 00:13:44,389
que yo sé que va a haber un punto

101
00:13:44,389 --> 00:13:47,090
un punto o varios puntos x sub 0

102
00:13:47,090 --> 00:13:49,330
en este caso nos salen 2

103
00:13:49,330 --> 00:13:56,149
que resulta que van a pasar sus rectas tangentes por el 0 y por el menos 8

104
00:13:56,970 --> 00:14:09,509
Y entonces, ¿qué es lo que hago? Pues yo dejo todo en función de x sub cero, es decir, yo pongo la función en función de x sub cero y la primera derivada igual, que dependa de x sub cero.

105
00:14:09,509 --> 00:14:32,350
Aplico, esto es una ecuación de segundo grado, súper básica de segundo de la ESO y al final pues llego a los puntos de tangencia, es decir, x sub 0 igual a 4 y x sub 0 igual a menos 4 son los puntos de tangencia, son los puntos de tangencia, ¿vale?

106
00:14:32,350 --> 00:14:50,309
Y entonces, ¿qué tengo que hacer? Pues ahora, como x es igual a 4 y la función y la recta tangente es y menos f de x sub 0, sabiendo ya que x sub 0 es 4,

107
00:14:50,309 --> 00:14:56,509
igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0

108
00:14:56,509 --> 00:15:03,529
vamos a recordar un poco que f de x es un cuarto de x cuadrado

109
00:15:03,529 --> 00:15:12,049
un cuarto de x cuadrado más 4x menos 4

110
00:15:12,049 --> 00:15:18,809
y que f' de x es igual a un medio de x más 4

111
00:15:18,809 --> 00:15:35,309
Pues nada, teniendo esta información, pues yo qué voy a hacer. Voy a hallar f de 4. Y f de 4 es un 4, un cuarto por 4 al cuadrado, más 4 por 4, menos 4.

112
00:15:35,970 --> 00:15:43,190
4 por 4 es 16, 16 entre 4 es 4, esto es 4 más 16 menos 4 es igual a 16.

113
00:15:44,070 --> 00:15:54,230
Y f' de 4 que es 1 medio por 4 más 4, es decir, 2 más 4 es igual a 6.

114
00:15:54,230 --> 00:15:57,750
Pues ya teniéndolo todo, si os fijáis, ¿qué me va a dar?

115
00:15:57,750 --> 00:16:08,450
Pues y menos 16 es igual a 6 que multiplica a x menos 4.

116
00:16:08,909 --> 00:16:12,470
Lo único que tengo que hacer, no tengo que hacer más nada.

117
00:16:12,889 --> 00:16:22,690
Es menos 16 es igual a 6x menos 24 y es igual a 6x menos 8.

118
00:16:22,690 --> 00:16:29,509
Y esto es súper importante porque hay mucha gente que se ha equivocado y no sabe realmente con lo que está haciendo.

119
00:16:29,850 --> 00:16:38,549
¿Esta recta pasa por el punto 0 menos 8? Pues yo creo que es más que evidente, ¿no?

120
00:16:39,610 --> 00:16:49,509
Fijaros que si yo hago la x igual a 0 y es igual a 6 por 0 menos 8, esto es menos 8, ¿vale?

121
00:16:49,509 --> 00:17:05,029
Recordad que en una recta la m es la pendiente y n se llama la ordenada en el origen.

122
00:17:05,029 --> 00:17:14,710
Por lo tanto, tanto para x igual a x sub 0 igual a 4, como lo que vamos a hacer ahora de x sub 0 igual a menos 4,

123
00:17:15,309 --> 00:17:26,069
siempre la n, si pasa por el punto 0 menos 8, va a tener que ser un número por x y luego le resto 8, ¿de acuerdo?

124
00:17:26,069 --> 00:17:29,650
para que pueda pasar por el punto 0 menos 1.

125
00:17:30,609 --> 00:17:41,650
Pues nada, hacemos lo mismo y menos f de x sub 0 es igual a f' de x sub 0 por x menos x sub 0.

126
00:17:42,849 --> 00:17:46,130
Ahora lo que ocurre es que x sub 0 vale menos 4.

127
00:17:46,289 --> 00:17:48,670
¿Cuánto vale f de menos 4?

128
00:17:48,670 --> 00:17:58,289
Pues nada, sustituimos 1 cuarto por menos 4 al cuadrado, más 4 por menos 4, menos 4.

129
00:17:58,670 --> 00:18:05,089
Esto que es 4 menos 16 menos 4 es menos 16.

130
00:18:05,789 --> 00:18:17,490
Y f' de menos 4 es igual a 1 medio por menos 4 más 4, es decir, menos 2 más 4 es igual a 2.

131
00:18:17,490 --> 00:18:36,289
Pues ya teniendo esto lo que hago es sustituir y menos menos 16 es igual a 2 por x menos menos 4 y esto que es 2 por x más 4.

132
00:18:36,289 --> 00:18:58,109
Entonces, y más 16 es igual a 2x más 8, ¿verdad? Y fijaros otra vez de nuevo que al pasar esto de aquí, el más 16, esto es 2x más 8 menos 16, por lo tanto y es igual a 2x menos 8.

133
00:18:58,109 --> 00:19:03,210
nos tiene que salir menos 8 para que tenga que pasar por el punto 0 menos 8

134
00:19:03,210 --> 00:19:07,349
si nos dijeran que tiene que pasar por el punto 0 menos 5

135
00:19:07,349 --> 00:19:10,710
pues este número de aquí en vez de ser menos 8 sería menos 5

136
00:19:10,710 --> 00:19:15,849
si tuviera que pasar por el punto 0 12 esto sería algo por x más 12

137
00:19:15,849 --> 00:19:22,700
entonces las rectas tangentes son 2

138
00:19:22,700 --> 00:19:30,559
son y es igual a 6x menos 8 y es igual a 2x menos 8.

139
00:19:31,200 --> 00:19:37,859
Yo este ejercicio lo veo súper completo, no lo veo difícil, pero ¿qué tenemos que tener en cuenta?

140
00:19:38,359 --> 00:19:42,400
Pues tenemos que tener en cuenta que además este lo hemos hecho en clase,

141
00:19:42,400 --> 00:19:50,619
pues evidentemente saber lo que es una recta normal, saber lo que es una recta tangente,

142
00:19:50,619 --> 00:19:55,339
saber cómo se halla la recta tangente

143
00:19:55,339 --> 00:19:58,440
de un punto exterior

144
00:19:58,440 --> 00:20:00,359
y esto ya os comento

145
00:20:00,359 --> 00:20:02,920
que hemos hecho varios en clase

146
00:20:02,920 --> 00:20:04,880
espero que os valga