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00:00:01,459 --> 00:00:08,779
En este vídeo vamos a recordar el concepto de raíz de un polinomio y vamos a ver cómo podemos obtenerlas.

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00:00:10,869 --> 00:00:14,369
Recordamos que la definición de raíz de un polinomio es la siguiente.

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00:00:15,250 --> 00:00:27,809
Un número a es raíz de mi polinomio p de x, si sólo si al hacer el valor numérico del polinomio en ese número, al hacer p de a, me sale igual a cero.

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00:00:27,809 --> 00:00:39,210
Por ejemplo, supongamos que tenemos este polinomio p de x igual a x a la cuarta más 3x al cubo menos 4x.

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00:00:40,189 --> 00:00:45,609
Nos preguntamos, por ejemplo, ¿el número 2 es raíz de p de x?

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00:00:46,090 --> 00:00:53,549
Para ello lo que tenemos que hacer es ver si p de 2 me sale igual a 0.

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00:00:53,549 --> 00:01:05,969
Cogemos mi polinomio y vamos a hacer p de 2 que sería 2 a la cuarta más 3 por 2 al cubo menos 4 por 2

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00:01:06,269 --> 00:01:18,930
Realizamos los cálculos, 2 a la cuarta es 16 más 3 por 2 al cubo que es 8 menos 4 por 2 que es 8

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00:01:18,930 --> 00:01:34,480
esto es igual a 16 más 24 menos 8 y si hacemos esos cálculos nos sale que eso es 32

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00:01:34,480 --> 00:01:48,700
como 32 es distinto de 0 pues entonces podemos decir que 2 no es raíz del polinomio p de x

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00:01:48,700 --> 00:01:57,140
ahora por ejemplo nos preguntamos si 1, si el número 1 es raíz de p de x

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00:01:57,140 --> 00:02:02,340
y hacemos lo mismo, tenemos que comprobar si p de 1 es igual a 0

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00:02:02,340 --> 00:02:15,979
pues sustituimos el valor 1 en mi polinomio y me quedaría 1 a la cuarta más 3 por 1 al cubo menos 4 por 1

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00:02:15,979 --> 00:02:30,599
Y eso es 1 a la cuarta, que es 1, más 3 por 1 al cubo, que es 1, menos 4 por 1, que es 4, es decir, 1 más 3 menos 4, que eso sí, que es igual a 0.

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00:02:30,780 --> 00:02:39,759
Con lo cual, podemos decir que 1 sí es raíz de p de x.

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00:02:39,759 --> 00:02:49,460
de esta manera si nos piden calcular las raíces de un polinomio

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00:02:49,460 --> 00:02:53,960
podríamos usar la definición que A es raíz del polinomio

18
00:02:53,960 --> 00:02:56,520
si al hacer P de A es igual a 0

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00:02:56,520 --> 00:03:02,819
pero claro, ¿qué números voy a sustituir para ver si me salen 0?

20
00:03:02,919 --> 00:03:04,159
para ver si son raíces

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00:03:04,159 --> 00:03:09,219
podría estar sustituyendo números al azar y que no me saliera ninguno o que me saliera 1

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00:03:09,219 --> 00:03:16,580
es decir, hay otras formas de poder calcular las raíces de un polinomio si me las piden

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00:03:16,580 --> 00:03:21,219
sin tener que estar probando al azar números, que es lo que vamos a ver a continuación.

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00:03:23,659 --> 00:03:33,020
Nosotros los polinomios ya sabemos factorizarlos, de hecho, este polinomio x a la cuarta más 3x al cubo menos 4x

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00:03:33,020 --> 00:03:38,620
es el polinomio que en el otro vídeo os he enseñado a factorizar.

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00:03:38,620 --> 00:03:55,259
Y habíamos obtenido que haciendo los pasos de la factorización, sacando factor común, las identidades notables y Ruffini, habíamos llegado a que este polinomio lo podíamos escribir como x por x menos 1 por x más 2 al cuadrado.

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00:03:55,259 --> 00:03:59,860
recordamos ahora la definición de raíz que hemos dado

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00:03:59,860 --> 00:04:06,280
que era que si un número es raíz de el polinomio p de x

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00:04:06,280 --> 00:04:10,439
se cumple que p de a es igual a 0

30
00:04:10,439 --> 00:04:18,860
entonces lo que queremos ver es cuando este polinomio

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00:04:18,860 --> 00:04:23,899
que tenemos arriba, el de x a la cuarta más 3x al cubo menos 4x

32
00:04:23,899 --> 00:04:30,860
es igual cuando se hace igual a cero por la definición de raíz.

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00:04:31,560 --> 00:04:35,920
Para eso cogemos la factorización que tenemos del polinomio,

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00:04:35,920 --> 00:04:46,040
es decir, p de x igual a x por x menos 1 por x más 2 al cuadrado

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00:04:46,040 --> 00:04:51,160
y lo igualamos a cero y queremos ver cuándo se cumple esto,

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00:04:51,160 --> 00:05:02,480
es decir, qué valores tiene que tomar la x para que este producto de x por x menos 1 por x más 2 al cuadrado sea igual a 0.

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00:05:06,279 --> 00:05:19,959
Esto es muy fácil de ver porque si os fijáis tenemos aquí el producto de tres factores de x por x menos 1 por x más 2 al cuadrado igual a 0.

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00:05:19,959 --> 00:05:26,560
Nos preguntamos, ¿cuándo el producto de tres cosas va a ser igual a cero?

39
00:05:27,000 --> 00:05:35,920
El producto, ¿vale? va a ser igual a cero si alguno de estos factores es igual a cero.

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00:05:36,360 --> 00:05:45,920
Entonces, vamos a poner tres casos, va a ser, este producto va a ser igual a cero si la x vale cero,

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00:05:45,920 --> 00:05:59,600
porque si la x vale 0 tendríamos 0 por un número, al sustituir x aquí por 0 me quedaría 0 menos 1 menos 1 por,

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00:05:59,600 --> 00:06:11,759
si sustituimos aquí la x por 0 sería 0 más 2, 2 al cuadrado que es 4, es decir 0 por menos 1 por 4 y eso es igual a 0

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00:06:11,759 --> 00:06:15,319
porque si el primero es 0, el producto de esos tres es 0.

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00:06:15,939 --> 00:06:25,199
También se va a cumplir cuando x menos 1 sea igual a 0, cuando el segundo factor sea igual a 0,

45
00:06:25,600 --> 00:06:31,300
porque si este segundo factor es igual a 0, me da igual lo que valgan estos dos de aquí,

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00:06:31,860 --> 00:06:36,379
el producto de estas tres cosas siendo este 0 va a ser igual a 0.

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00:06:36,379 --> 00:06:42,660
¿Y cuándo va a ser x menos 1 igual a 0? Pues cuando x valga 1.

48
00:06:43,819 --> 00:06:54,860
Y por último, también ese producto puede ser 0 cuando este último factor, x más 2 al cuadrado, sea igual a 0.

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00:06:55,519 --> 00:07:01,759
Entonces lo escribimos cuando x más 2 al cuadrado sea igual a 0.

50
00:07:01,759 --> 00:07:05,120
¿Cuándo x más 2 al cuadrado va a ser igual a 0?

51
00:07:05,379 --> 00:07:08,120
Cuando x más 2 sea 0

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00:07:08,120 --> 00:07:13,339
Es decir, cuando la base de esta potencia al cuadrado

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00:07:13,339 --> 00:07:15,300
Cuando este x más 2 sea 0

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00:07:15,300 --> 00:07:19,779
Tendremos 0 al cuadrado y 0 al cuadrado es igual a 0

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00:07:19,779 --> 00:07:23,579
Y ahora, ¿cuándo x más 2 va a ser 0?

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00:07:23,740 --> 00:07:26,319
Cuando x valga menos 2

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00:07:26,319 --> 00:07:41,480
De esta manera hemos obtenido estos tres valores x igual a 0, x igual a 1 y x igual a menos 2 que son las tres raíces de mi polinomio.

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00:07:42,199 --> 00:07:52,000
Al estar este factor elevado al cuadrado se dice que esta última raíz es doble, es como si me saliese dos veces.

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00:07:52,000 --> 00:08:02,540
y podéis, si queréis, comprobar que si cogéis que la x vale 0 y lo sustituimos aquí, me va a salir 0.

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00:08:03,079 --> 00:08:08,339
Si cogemos x igual a 1 y lo sustituimos aquí, me va a salir 0.

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00:08:08,819 --> 00:08:14,600
Y si cogemos x igual a menos 2 y lo sustituimos aquí, me va a salir 0 también.

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00:08:14,600 --> 00:08:23,480
Con lo cual las tres raíces de este polinomio van a ser x igual a 0, x igual a 1 y x igual a menos 2.