1 00:00:00,690 --> 00:00:07,429 Vamos con el problema 70. Me dan dos vértices consecutivos de un paralelogramo, A y B, y el centro del paralelogramo. 2 00:00:07,990 --> 00:00:15,529 Y lo que nos piden es calcular las coordenadas de los otros vértices y luego una vez que tenemos los cuatro vértices, calcular el área del paralelogramo. 3 00:00:16,129 --> 00:00:26,969 Es importante el dato de que los vértices son consecutivos. Es decir, si por ejemplo este es mi vértice A, pues el vértice B puede ser directamente este. 4 00:00:26,969 --> 00:00:44,000 ¿Vale? Es un paralelogramo, vamos, pues vamos a dibujar cómo podría ser el paralelogramo, por ejemplo, algo así, y los vértices que queremos calcular son este, el c y el d, ¿vale? 5 00:00:44,320 --> 00:00:55,259 Al c le voy a llamar de coordenadas c1, c2, c3, ¿vale? Y al d, d1, d2, d3. 6 00:00:55,259 --> 00:00:59,679 ¿qué otro dato me están hablando? del centro del paralelogramo 7 00:00:59,679 --> 00:01:02,439 es decir, el centro del paralelogramo es donde se cortan las diagonales 8 00:01:02,439 --> 00:01:08,799 si yo hago la diagonal a C y hago la diagonal, bueno, dándonos por hecho que pasa por el punto C 9 00:01:08,799 --> 00:01:15,879 y hago la diagonal BD, el punto de intersección es justamente el centro 10 00:01:15,879 --> 00:01:17,700 y en este caso es el punto E 11 00:01:17,700 --> 00:01:20,500 a ver, se pueden hacer de varias formas, ¿vale? 12 00:01:20,500 --> 00:01:26,859 Una que yo veo fácil es que nos demos cuenta que el punto E es justamente el punto medio del segmento AC 13 00:01:26,859 --> 00:01:31,500 y también es el punto medio del segmento BD, ¿vale? Por simetrías del paralelogramo. 14 00:01:32,340 --> 00:01:36,280 Entonces yo lo voy a calcular, o sea, voy a calcular las coordenadas del C y del D 15 00:01:36,280 --> 00:01:42,500 utilizando lo que os acabo de decir, lo del punto medio, porque además me parece que es algo bastante sencillo. 16 00:01:43,040 --> 00:01:49,719 Entonces, por un lado, primero, lo que sabemos es que E es el punto medio del segmento AC. 17 00:01:50,500 --> 00:02:06,659 Del segmento AC, el punto medio, ¿recordáis cómo era? Era A más C, era el punto A más C partido por 2, ¿vale? Este era como se calculaba el punto medio. 18 00:02:06,659 --> 00:02:29,400 y vamos a calcularlo primeramente. El punto E es el 0, 0, 1 y A más C sería 1 más C1, 1 más C2, 1 más C3, ¿vale? 19 00:02:29,400 --> 00:02:35,879 este punto partido por 2, que partirlo por 2 también podría pasar el 2 a la izquierda 20 00:02:35,879 --> 00:02:39,759 y lo multiplicamos aquí, ¿vale? para que sea más fácil, y ahora igualamos coordenada 21 00:02:39,759 --> 00:02:48,680 a coordenada, ¿y qué me quedaría? que 0 es igual a 1 más c1, de donde c1 sería menos 22 00:02:48,680 --> 00:03:00,379 1, que 0 es igual a 1 más C2, de donde C2 también vale menos 1, y que 2 es igual a 23 00:03:00,379 --> 00:03:11,460 1 más C3, de donde C3 sería 1, ¿vale? Por lo tanto, de aquí sacamos que el punto C 24 00:03:11,460 --> 00:03:18,139 tiene por coordenadas menos 1, menos 1, 1, ¿vale? 25 00:03:18,340 --> 00:03:21,780 Y ahora lo mismo que he hecho con el punto E, lo hago con el punto D. 26 00:03:23,460 --> 00:03:35,840 Pues que el punto D es, no, el punto D no, el punto E es también el punto medio, pero ahora del segmento BD. 27 00:03:35,840 --> 00:03:45,099 Es decir, el punto medio del segmento BD es lo mismo como el más del B más D partido de 2 28 00:03:45,099 --> 00:03:49,740 Por lo tanto hacemos lo mismo, voy a pasar el 2 multiplicando al E 29 00:03:49,740 --> 00:03:53,759 Y me queda 2 por el punto E que es el mismo, 0, 0, 1 30 00:03:53,759 --> 00:03:59,699 Igual a, sumo el B, que las coordenadas del B son 0, 2, 0 31 00:03:59,699 --> 00:04:02,699 por lo tanto sería 0 más 32 00:04:02,699 --> 00:04:03,979 le he llamado de 1 33 00:04:03,979 --> 00:04:08,759 2 más de 2 34 00:04:08,759 --> 00:04:12,819 y el otro sería directamente de 3 ya que es 0 35 00:04:12,819 --> 00:04:15,520 igualamos coordenadas como hemos hecho antes 36 00:04:15,520 --> 00:04:17,579 y que me queda que 0 es igual a de 1 37 00:04:17,579 --> 00:04:23,620 que 0 es igual a 2 más de 2 38 00:04:23,620 --> 00:04:28,540 de donde de 2 es menos 2 39 00:04:28,540 --> 00:04:33,439 Y por otro lado me queda que 2 es igual a D3 40 00:04:33,439 --> 00:04:36,680 ¿Vale? Aquí es que no tenemos ya ni que calcular nada 41 00:04:36,680 --> 00:04:40,959 Y por lo tanto obtenemos que las coordenadas del punto D buscado 42 00:04:40,959 --> 00:04:47,139 Son 0, menos 2, 0, menos 2, 2 43 00:04:47,139 --> 00:04:48,100 ¿Vale? 44 00:04:48,920 --> 00:04:51,079 Y esto sería el apartado A 45 00:04:51,079 --> 00:04:52,740 Que es calcular las coordenadas de los vértices 46 00:04:52,740 --> 00:04:55,899 Con el tema del punto medio yo creo que sale bastante sencillito 47 00:04:55,899 --> 00:05:16,139 Esto sería el apartado A. Y para el apartado B me piden calcular el área del paralelogramo. Bueno, pues el área del paralelogramo, el área, sabemos que es el módulo del producto vectorial, por ejemplo, del vector AB por el vector AD. 48 00:05:16,139 --> 00:05:21,120 entonces tendríamos que calcular los vectores 49 00:05:21,120 --> 00:05:28,610 el vector AB tiene de coordenadas es B-A 50 00:05:28,610 --> 00:05:33,910 por tanto 0-1, 2-1, 1, 0-1 51 00:05:33,910 --> 00:05:41,100 el vector AD, el de lo acabo de calcular 52 00:05:41,100 --> 00:05:48,139 0-1, menos 2-1, menos 3 y 2-1, 1 53 00:05:48,139 --> 00:05:59,439 por lo tanto ahora tenemos que calcular el producto vectorial de AB por AD 54 00:05:59,439 --> 00:06:03,279 ay que se me ha cambiado la letra 55 00:06:03,279 --> 00:06:12,160 tendría que haber bajado, voy a bajar un poco porque es que si no lo estoy haciendo aquí como demasiado justo 56 00:06:12,160 --> 00:06:15,560 y que iba a quedar que no se va a entender bien 57 00:06:15,560 --> 00:06:20,199 voy a coger más espacio 58 00:06:20,199 --> 00:06:24,180 Vale, y lo hago mejor abajo para que no nos liemos. 59 00:06:25,000 --> 00:06:44,519 Venga, pues el producto vectorial de AB por AD es el IJK y aquí ponemos el menos 1, 1, menos 1, menos 1, menos 3, 1. 60 00:06:44,519 --> 00:07:12,040 Y esto es, de la coordenada I sería 1 menos 3, que sería menos 2I, menos la coordenada J, que sería menos 1, menos 1, menos 2, por lo tanto, más 2J, y la coordenada K, que sería 3 menos 1, 3, no, 3 menos menos 1, ¿vale? 61 00:07:12,040 --> 00:07:38,199 por lo tanto sería 3 menos menos es más, 3 más 1 es 4, más 4k, si no me he equivocado, espero no haberme equivocado, lo voy a repasar, vale, de la coordenada i era 1, menos 3 menos 2, de la j sería menos 1, menos 1 es menos 2, con el menos se hace más, y de la k sería 3 más 1 es 4, vale, 62 00:07:38,199 --> 00:08:04,100 Es decir, que es el vector menos 2, 2, 4. Y por lo tanto, el área que me pide, el área, es el módulo de ese vector, por lo tanto es la raíz cuadrada de 4 más 4 más 16, es decir, raíz de 24 unidades al cuadrado.