1
00:00:02,290 --> 00:00:20,589
Hola, tenemos otro problema de la PAO. Voy a hacer este problema enfrentándome a él por primera vez, sin haberlo leído previamente, para intentar transmitiros cómo haría yo cuando veo un problema por primera vez.

2
00:00:22,839 --> 00:00:26,660
Lo primero que tengo que decir es que es un problema de Galicia, de la modelo de 2025.

3
00:00:27,140 --> 00:00:28,320
Entonces empezamos a leer el problema.

4
00:00:29,079 --> 00:00:35,280
El número de ejemplares vendidos en una revista en miles de unidades, importante, esto ya es importante, en miles de unidades.

5
00:00:35,799 --> 00:00:38,240
O sea, esta función lo que nos da son miles de unidades.

6
00:00:38,799 --> 00:00:48,740
Y luego dicen los primeros 5 meses del año, aquí están los primeros 5 meses del año, en efecto, va desde 0 a 5.

7
00:00:49,259 --> 00:00:52,859
De 0 a 3 se comporta de una manera y de 3 a 5 de otra manera.

8
00:00:53,719 --> 00:00:59,299
Lo primero que me gusta ya de aquí, que nos va a facilitar bastante el problema, es que el dominio es un intervalo cerrado.

9
00:01:01,560 --> 00:01:03,659
Dominio es un intervalo cerrado, me lo voy a poner aquí.

10
00:01:04,599 --> 00:01:08,019
El dominio de la función es un intervalo que va de 0 a 5.

11
00:01:11,310 --> 00:01:18,370
Y luego nos dicen que el tiempo t es meses, por eso va de 0 a 5.

12
00:01:19,150 --> 00:01:20,250
Y nos hacen dos preguntas.

13
00:01:21,329 --> 00:01:22,349
Muy bien, vamos a empezar.

14
00:01:22,349 --> 00:01:26,769
la primera pregunta me dice crecimiento y decrecimiento

15
00:01:26,769 --> 00:01:28,269
ya sé lo que tengo que hacer

16
00:01:28,269 --> 00:01:31,730
la segunda pregunta me pregunta máximos y mínimos

17
00:01:31,730 --> 00:01:36,069
como no dice relativos son máximos y mínimos absolutos

18
00:01:36,069 --> 00:01:40,870
luego por eso estoy muy contento de que el dominio sea un intervalo cerrado

19
00:01:40,870 --> 00:01:44,129
y por último representa la gráfica ya con todo lo anterior

20
00:01:44,129 --> 00:01:46,870
pues seguro que voy a saber representar la gráfica

21
00:01:46,870 --> 00:01:48,930
entonces vamos a empezar con el primer punto

22
00:01:48,930 --> 00:01:51,310
el primer punto lo voy a llamar A

23
00:01:51,310 --> 00:01:53,530
y nos dicen crecimiento y decrecimiento.

24
00:01:53,709 --> 00:01:57,030
Entonces, para eso hay que estudiar el signo de la derivada.

25
00:01:58,849 --> 00:02:01,230
Acordaos que para crecimiento y decrecimiento, signo de la derivada.

26
00:02:01,909 --> 00:02:04,709
Muy bien, entonces, como es una función a trozos,

27
00:02:07,180 --> 00:02:10,219
ya sabemos lo que hay que hacer antes de ponernos a derivar como locos.

28
00:02:10,639 --> 00:02:14,620
Antes de ponernos a derivar como locos, hay que asegurarse de que sea continua,

29
00:02:14,780 --> 00:02:15,639
porque es importante.

30
00:02:16,080 --> 00:02:20,039
Además, luego nos piden representarla, entonces, hay que saber si es continua.

31
00:02:20,879 --> 00:02:25,680
Entonces, para saber si es continua, esto ya lo tenemos que hacer rapidito porque ya lo sabemos hacer.

32
00:02:26,539 --> 00:02:28,639
Pues el tramo 1. ¿Qué es el tramo 1?

33
00:02:29,340 --> 00:02:33,039
Ir pensándolo. ¿Qué es el tramo 2? Una recta.

34
00:02:33,520 --> 00:02:37,020
¿Qué es el tramo 1? Pues esto es una parábola.

35
00:02:40,189 --> 00:02:43,409
Bueno, pues entonces es continua. Ahí en los tramos es continua.

36
00:02:43,830 --> 00:02:47,129
Luego solo falta estudiar qué ocurre en el punto de cambio.

37
00:02:48,229 --> 00:02:49,990
Entonces esto es lo que hay que estudiar aquí.

38
00:02:49,990 --> 00:02:57,099
continuidad, lo hago a breve para no tardar mucho, en t igual a 3.

39
00:02:57,460 --> 00:03:01,669
Hay que estudiar tres cosas de este punto.

40
00:03:02,250 --> 00:03:05,849
El límite cuando t tiende a 3 por la izquierda de la función,

41
00:03:07,590 --> 00:03:16,210
el límite cuando t tiende a 3 por la derecha de la función y n de 3.

42
00:03:17,110 --> 00:03:20,250
Cuando voy por la izquierda estoy en el tramo 1, lo calculo rápidamente,

43
00:03:20,449 --> 00:03:23,050
3 menos 2, 1 por 3, 3, 8 menos 3, 5.

44
00:03:23,050 --> 00:03:28,050
Cuando estoy por la derecha, estoy en el tramo 2, 2 por 3 es 6, menos 1 es 5

45
00:03:28,050 --> 00:03:31,430
Y en el de 3, ¿dónde estoy? En el tramo 1, 5

46
00:03:31,430 --> 00:03:38,840
Luego esto me indica que la función es continua en t igual a 3

47
00:03:38,840 --> 00:03:45,099
Y por tanto, n de t es continua en su dominio

48
00:03:45,099 --> 00:03:47,879
Es continua en su dominio

49
00:03:47,879 --> 00:03:55,340
Que va de 0 a 5, cerrado, muy bien

50
00:03:55,340 --> 00:03:57,039
Bueno, ya estamos contentos

51
00:03:57,039 --> 00:04:01,439
Entonces, una vez que tengo esto, ya vamos a hacer la derivada.

52
00:04:02,099 --> 00:04:03,860
Entonces, vamos a hacer la derivada de esta función.

53
00:04:04,500 --> 00:04:04,560
Vale.

54
00:04:05,219 --> 00:04:10,319
Antes de eso, me voy aquí abajo.

55
00:04:11,620 --> 00:04:14,039
Voy a poner este tramo 1 más bonito.

56
00:04:15,659 --> 00:04:19,759
Como voy a derivar, 8 menos t cuadrado más 2t.

57
00:04:20,480 --> 00:04:21,279
¿Se entiende lo que ha hecho?

58
00:04:21,519 --> 00:04:22,639
Sí, profesor, has multiplicado.

59
00:04:22,839 --> 00:04:23,220
Pues, exacto.

60
00:04:23,500 --> 00:04:23,680
Vale.

61
00:04:23,939 --> 00:04:24,319
Seguimos.

62
00:04:24,319 --> 00:04:28,199
vamos entonces a calcular la derivada

63
00:04:28,199 --> 00:04:32,319
y aquí hay una cosa importantísima en la derivada, mirad

64
00:04:32,319 --> 00:04:35,899
por favor, que no se nos olvide nunca esto

65
00:04:35,899 --> 00:04:40,600
cuando voy a hacer la derivada, estos iguales hay que

66
00:04:40,600 --> 00:04:44,920
quitarlos, porque no se sabe lo que va a ocurrir ahí, no se sabe

67
00:04:44,920 --> 00:04:48,420
no lo puedo poner, así que esta derivada

68
00:04:48,420 --> 00:04:52,699
de la función es en estos, salvo en 3

69
00:04:52,699 --> 00:04:58,220
en 5, en 0. En este caso no nos preguntan si es derivable en 3, si no ya sabéis lo

70
00:04:58,220 --> 00:05:05,160
que habría que hacer, pero no nos lo preguntan. Entonces, derivada del primer tramo. El primer

71
00:05:05,160 --> 00:05:11,399
tramo lo tenía aquí abajo, lo veis, la derivada es menos 2t más 2. Derivada del

72
00:05:11,399 --> 00:05:17,300
segundo tramo, que está ahí, pues es 2. Bueno, ya voy bien. Entonces ya tengo ahí

73
00:05:17,300 --> 00:05:20,720
la derivada y entonces ahora lo que vamos a hacer es estudiar el signo de la derivada.

74
00:05:21,600 --> 00:05:22,939
Ya lo tengo ahí, perfecto.

75
00:05:23,879 --> 00:05:25,240
Vamos a estudiar el signo de la derivada.

76
00:05:26,240 --> 00:05:31,319
Entonces, para estudiar el signo de la derivada, primero poníamos X, los valores que puede tomar la X.

77
00:05:31,879 --> 00:05:32,639
Muy importante.

78
00:05:33,480 --> 00:05:36,319
0 y terminan 5.

79
00:05:36,860 --> 00:05:39,339
Cuidado, que esto es importante, hay que estar atento.

80
00:05:39,779 --> 00:05:41,639
Lo del dominio lo he remarcado muchísimas veces.

81
00:05:42,279 --> 00:05:43,860
Luego, ¿qué más puntos hay que marcar?

82
00:05:43,959 --> 00:05:44,839
Pues los puntos raros.

83
00:05:44,959 --> 00:05:45,759
¿Cuáles son los puntos raros?

84
00:05:45,759 --> 00:05:47,160
Pues el 3, pues lo marco.

85
00:05:47,740 --> 00:05:48,100
Muy bien.

86
00:05:48,620 --> 00:05:50,300
¿Y ahora qué puntos hay que marcar?

87
00:05:50,720 --> 00:05:56,079
importantísimo, aquellos puntos que hagan la derivada cero.

88
00:05:57,600 --> 00:06:01,680
Vamos a ver qué puntos de esta función, la derivada,

89
00:06:02,779 --> 00:06:05,779
qué valores de t hacen que esa derivada sea cero.

90
00:06:06,060 --> 00:06:07,500
Voy a empezar por el tramo 2.

91
00:06:08,060 --> 00:06:09,399
El tramo 2 vale 2.

92
00:06:09,839 --> 00:06:12,819
¿Cuándo 2 vale cero? Nunca, pues me olvido de ello.

93
00:06:13,399 --> 00:06:14,779
Tramo 1 es esto.

94
00:06:16,100 --> 00:06:17,480
¿Cuándo esto vale cero?

95
00:06:18,980 --> 00:06:20,060
Pues vamos a calcularlo.

96
00:06:20,060 --> 00:06:27,199
esto vale 0 si te vale 1 entonces muy importante hay que asegurarse hay que

97
00:06:27,199 --> 00:06:33,339
asegurarse de que el valor encontrado de igual a 1 esté en su dominio pertenezca

98
00:06:33,339 --> 00:06:37,939
a ese dominio pues claro que si está igual a 1 está en este dominio luego hay

99
00:06:37,939 --> 00:06:42,259
que ponerlo muy importante lo que he dicho imaginaros que aquí sale de igual

100
00:06:42,259 --> 00:06:48,259
así a 7 pues no nos interviene no valdría para nada o te igual a 4 pues

101
00:06:48,259 --> 00:06:50,579
Tampoco. Tiene que ser que esté en su dominio de 0 a 3.

102
00:06:51,100 --> 00:06:54,019
Muy bien, entonces aquí hay que marcar el punto 1.

103
00:06:55,839 --> 00:07:04,959
Y entonces ahora, sabiendo el signo de la derivada, sé el comportamiento de la función n de t.

104
00:07:05,680 --> 00:07:07,660
Vamos a empezar. Voy a cambiar de color. Verde.

105
00:07:09,399 --> 00:07:14,060
¿Qué sé del signo? Lo único que sé del signo de la derivada es que en 1 vale 0.

106
00:07:16,870 --> 00:07:18,430
Ahí vale 0. De aquí no sé nada.

107
00:07:18,430 --> 00:07:21,930
de aquí no sé nada, de aquí no sé nada

108
00:07:21,930 --> 00:07:26,329
alguien puede decir, profesor yo quiero saber si en el 3 es derivable, pues ya sabéis lo que tenéis que hacer

109
00:07:26,329 --> 00:07:30,230
sustituir, pum pum, os va a salir que no es derivable, ya lo he dicho

110
00:07:30,230 --> 00:07:33,790
bueno, vamos, de 0 a 1

111
00:07:33,790 --> 00:07:38,290
de 0 a 1 estoy aquí, cojo un valor

112
00:07:38,290 --> 00:07:41,889
entre 0 y 1, pues 0,5, menos 2 por 0,5

113
00:07:41,889 --> 00:07:45,709
menos 1 más 2, positivo

114
00:07:49,279 --> 00:07:51,899
Cojo un valor entre 1 y 3, el 2, estoy aquí.

115
00:07:52,680 --> 00:07:55,220
Menos 2 por 2, menos 4 más 2, negativo.

116
00:07:56,639 --> 00:07:58,939
Entre 3 y 5, ya estoy en el segundo tramo.

117
00:08:00,079 --> 00:08:02,620
Cojo el 4, ¿cuánto vale la derivada? 2, siempre positivo.

118
00:08:04,180 --> 00:08:04,660
Perfecto.

119
00:08:04,819 --> 00:08:15,680
Luego ya tengo que aquí la función crece, aquí la función decrece y aquí la función crece.

120
00:08:15,680 --> 00:08:18,339
Y ya podemos contestar a la primera pregunta.

121
00:08:21,519 --> 00:08:23,300
Acordaros siempre de contestar, por favor.

122
00:08:24,060 --> 00:08:26,160
Así que la primera pregunta era crecimiento y decrecimiento.

123
00:08:26,160 --> 00:08:34,379
Entonces, N de T crece de 0 a 1.

124
00:08:36,440 --> 00:08:37,639
Podemos poner abierto mejor.

125
00:08:38,679 --> 00:08:39,919
No, de 0 a 1 sí.

126
00:08:40,419 --> 00:08:41,019
Bueno, abierto.

127
00:08:41,440 --> 00:08:43,399
Bueno, unión 3, 5.

128
00:08:43,559 --> 00:08:45,679
Vamos a ver si esto hay que aclararlo.

129
00:08:45,779 --> 00:08:47,379
Da igual ponerlo abierto que cerrado.

130
00:08:47,559 --> 00:08:48,259
Da igual.

131
00:08:48,879 --> 00:08:49,440
Ya lo digo, ¿eh?

132
00:08:49,440 --> 00:08:55,480
Es que hay gente que, bueno, se puede poner invierto o cerrado.

133
00:08:55,720 --> 00:08:56,820
Bueno, pero esa es la solución.

134
00:08:57,639 --> 00:08:58,059
Ahí está.

135
00:08:59,700 --> 00:09:00,720
Voy a poner cerrado.

136
00:09:01,940 --> 00:09:03,899
En este caso da igual poner abierto o cerrado.

137
00:09:04,879 --> 00:09:05,500
Pues ya está.

138
00:09:05,659 --> 00:09:07,299
Ya la primera pregunta ya está contestada.

139
00:09:09,360 --> 00:09:09,799
Correcto.

140
00:09:10,120 --> 00:09:10,460
Muy bien.

141
00:09:11,460 --> 00:09:11,899
Sencillo.

142
00:09:12,860 --> 00:09:13,019
Bueno.

143
00:09:15,360 --> 00:09:18,159
Por cierto, ¿alguien sabe cómo se llama este punto 1?

144
00:09:18,720 --> 00:09:23,159
Que la derivada vale 0 y por aquí, a su izquierda, que decía aquí.

145
00:09:23,159 --> 00:09:24,740
Y pues esto se llama un máximo relativo.

146
00:09:27,860 --> 00:09:28,200
Muy bien.

147
00:09:28,679 --> 00:09:30,659
Ya veremos si es absoluto, pero es un máximo relativo.

148
00:09:32,220 --> 00:09:36,220
Pero es que este punto de aquí, el 3, ¿sabéis cómo se llama este punto de 3?

149
00:09:37,059 --> 00:09:40,820
Que aunque la derivada no existe, pues también se llama mínimo relativo.

150
00:09:42,559 --> 00:09:44,460
Eso es importante, ahora lo vamos a decir.

151
00:09:44,879 --> 00:09:49,220
Bueno, la segunda pregunta es encontrar el máximo y el mínimo absoluto de esa función.

152
00:09:49,879 --> 00:09:52,120
Y entonces aquí viene lo que tanto nos gusta.

153
00:09:52,120 --> 00:09:54,139
Lo voy a hacer aquí debajo, el apartado.

154
00:09:54,139 --> 00:09:58,059
Como el intervalo, no me canso de decirlo

155
00:09:58,059 --> 00:10:00,980
Como el dominio es un intervalo cerrado

156
00:10:00,980 --> 00:10:03,720
¿Cómo se hallan los máximos y mínimos absolutos?

157
00:10:03,799 --> 00:10:04,960
Muy fácil, profesor

158
00:10:04,960 --> 00:10:08,419
Hay que evaluar la función

159
00:10:08,419 --> 00:10:09,399
¿En qué valores?

160
00:10:09,820 --> 00:10:11,799
En los valores críticos que nos hayan salido

161
00:10:11,799 --> 00:10:15,000
¿Cuáles son los valores críticos que nos han salido?

162
00:10:15,000 --> 00:10:21,980
Son los extremos del intervalo

163
00:10:21,980 --> 00:10:24,679
Los puntos conflictivos como es el 3

164
00:10:24,679 --> 00:10:26,759
Es un punto de cambio en la función

165
00:10:26,759 --> 00:10:33,100
y el punto que nos ha salido la derivada 0.

166
00:10:33,639 --> 00:10:35,840
Lo vuelvo a repetir, que es importante esto.

167
00:10:36,419 --> 00:10:37,059
Lo vuelvo a repetir.

168
00:10:37,980 --> 00:10:40,840
Estos son los valores que pueden ser máximos o mínimos asuntos.

169
00:10:41,519 --> 00:10:48,580
Siempre, gracias a que esto es un intervalo cerrado, el dominio.

170
00:10:48,879 --> 00:10:49,159
Muy bien.

171
00:10:49,539 --> 00:10:50,759
Vamos entonces a evaluar.

172
00:10:51,320 --> 00:10:52,659
¿Cuánto vale n de 0?

173
00:10:52,700 --> 00:10:54,379
n de 0, estoy ahí, 0, 8.

174
00:10:56,940 --> 00:10:58,740
¿Cuánto vale n de 5?

175
00:10:58,740 --> 00:11:01,799
Estoy en el tramo de abajo, 2 por 5, 10, menos 1, 9.

176
00:11:02,620 --> 00:11:03,779
¿Cuánto vale n de 3?

177
00:11:04,059 --> 00:11:07,419
Estoy en el intervalo de arriba, 3 menos 2, ya lo hemos dicho, 5.

178
00:11:09,039 --> 00:11:10,559
¿Y cuánto vale n de 1?

179
00:11:10,659 --> 00:11:14,559
Vamos a calcularlo, 1 menos 2, menos 1, por menos 1, 1, 9.

180
00:11:15,539 --> 00:11:26,429
Bueno, y entonces, 5 menos 2, 2 por 5, aquí he hecho una cosa mal y no me lo habéis dicho.

181
00:11:27,029 --> 00:11:27,450
Otra vez.

182
00:11:28,690 --> 00:11:30,090
Muy bien, el que se haya dado cuenta.

183
00:11:30,570 --> 00:11:33,769
N de 5, estoy en el tramo 2, 2 por 5, 10 menos 1, 9.

184
00:11:34,389 --> 00:11:35,610
Bueno, pues ya está.

185
00:11:35,690 --> 00:11:39,309
Entonces aquí el valor mayor es el máximo y el menor es el mínimo.

186
00:11:39,309 --> 00:11:49,169
Entonces aquí tenemos máximo, aquí tenemos máximo y aquí tenemos mínimo.

187
00:11:51,360 --> 00:11:56,740
Así que el mayor valor es el máximo absoluto y el menor valor es el mínimo absoluto.

188
00:11:56,740 --> 00:12:01,740
Ahora sí que vamos a contestar y vamos a ver, esto tiene que quedar clarísimo.

189
00:12:03,679 --> 00:12:04,899
Entonces, contesto.

190
00:12:05,779 --> 00:12:10,679
Por cierto, por cierto, acordaros que los puntos tienen dos coordenadas.

191
00:12:11,580 --> 00:12:27,559
Los máximos absolutos son los puntos A19 y B59.

192
00:12:27,559 --> 00:12:34,600
9. Quiere decir que en el mes 1 se venden 9.000 ejemplares.

193
00:12:34,820 --> 00:12:36,740
¡Ay! Quien ponga 9 ejemplares.

194
00:12:37,740 --> 00:12:41,899
Y en el mes 5 se venden 9.000 ejemplares.

195
00:12:42,399 --> 00:12:43,100
Ese es el máximo.

196
00:12:44,019 --> 00:12:50,289
Y el mínimo absoluto se da en el mes 3.

197
00:12:50,909 --> 00:12:53,549
Por cierto, el mínimo absoluto es el punto C35.

198
00:12:54,029 --> 00:12:56,750
Y se venden 5.000 ejemplares.

199
00:12:56,750 --> 00:13:01,929
Estas cosas son importantes, esto conviene escribirlo un poquito mejor y con buena letra

200
00:13:01,929 --> 00:13:04,909
Yo lo hago rápido para que no perdamos mucho tiempo

201
00:13:04,909 --> 00:13:08,570
Por cierto, se me ha olvidado deciros que los problemas de la PAU

202
00:13:08,570 --> 00:13:15,350
Están preparados y pensados para que un alumno, una alumna tarde 15 minutos como máximo en hacerlo

203
00:13:15,350 --> 00:13:18,190
15 minutos máximo en hacerlo

204
00:13:18,190 --> 00:13:21,490
Muy bien, bueno pues ya lo tenemos ahí

205
00:13:21,490 --> 00:13:25,149
Y ahora entonces lo que vamos a hacer es el último apartado que es dibujar la función

206
00:13:25,149 --> 00:13:53,409
Pero ya con todo esto, la función es que es facilísimo, porque ya te lo da la función, ya, la función ya está, bueno, vamos a ver, la función, vamos a dibujar los ejes, voy a dibujar los ejes así, aquí, voy a dibujar así los ejes, pues no, profesor, porque si el dominio solo va de 0 a 5, ¿para qué vas a dibujar eso? Tenéis razón, para nada, porque es una tontería, así que me dibujo mis ejes aquí, de 0 a 5, empezamos,

207
00:13:53,409 --> 00:14:18,190
voy a empezar a poner puntos importantes, vale, en el punto 0, aquí es el 0, no, en el 0 voy a marcar el 1, voy a marcar el 3, voy a marcar el 5,

208
00:14:18,610 --> 00:14:32,100
son los puntos claves, venga, vamos a dibujar la gráfica, la voy a dibujar en rojo, en rojo, vale, en el punto 0, ¿qué valía la función? 8, yo que sé, aquí,

209
00:14:33,100 --> 00:14:38,000
En el punto 1, ¿qué valía la función? 9, pues la voy a poner aquí, por arriba.

210
00:14:38,480 --> 00:14:43,639
En el punto 3, ¿qué valía la función? 5, bueno, aquí valía 8, aquí 9.

211
00:14:44,179 --> 00:14:46,320
En el punto 3, ¿valía 5? Pues por aquí.

212
00:14:49,159 --> 00:14:51,580
Y en el punto 5, ¿qué valía? 9, pues igual que tú.

213
00:14:53,940 --> 00:14:54,919
Pues ya es facilísimo.

214
00:14:55,419 --> 00:14:57,940
Mirad, de 3 a 5 era una recta.

215
00:14:58,120 --> 00:15:03,899
De 3 a 5, lo voy a escribir aquí, de 3 a 5 era 2t menos 1, es una recta, o de 3 a 5 es así.

216
00:15:03,899 --> 00:15:27,850
Y ahora de 0 a 3, ¿qué era? Era una parábola. Como este es el máximo de la parábola, pues ya está. Ahí está. ¿Lo veis? Muy bien. Entonces aquí ya terminamos y lo que queremos remarcar es esto.

217
00:15:27,850 --> 00:15:33,169
Que los máximos absolutos, hay dos máximos absolutos, ahí y ahí, y un mínimo absoluto que es esto.

218
00:15:33,950 --> 00:15:39,230
Quiero remarcar una cosa de este mínimo, quiero remarcarla, quiero remarcarla, y por eso la voy a remarcar.

219
00:15:39,230 --> 00:15:46,570
Este mínimo, este mínimo, que es un mínimo relativo y también absoluto, no tiene derivada.

220
00:15:47,090 --> 00:15:51,750
Es que hay mucha gente que cree que los mínimos, para que sea mínimo tiene que tener derivada igual a cero.

221
00:15:51,950 --> 00:15:54,730
Mentira, este ni siquiera es derivable y es un mínimo.

222
00:15:54,730 --> 00:15:58,190
bueno, pues esta es la gráfica de la función

223
00:15:58,190 --> 00:16:02,049
al principio C, luego va subiendo, baja y sube otra vez

224
00:16:02,049 --> 00:16:06,490
bueno, 16 minutos

225
00:16:06,490 --> 00:16:09,549
hemos tardado y porque me entretengo mucho en

226
00:16:09,549 --> 00:16:14,370
hablar, pues muchas gracias por escucharos y esperamos que

227
00:16:14,370 --> 00:16:18,710
este vídeo os sirva, gracias por escuchar

228
00:16:18,710 --> 00:16:19,389
adiós