1
00:00:11,820 --> 00:00:20,559
Hola, en este nuevo vídeo vamos a ver otro ejemplo de ejercicio de potencia de una matriz cuadrada.

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00:00:21,320 --> 00:00:31,879
Que no es otro que el ejercicio 1A del examen de selectividad, bueno de la PAU, que era previa a la EBAU, de septiembre de 2017 de la opción B.

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00:00:31,879 --> 00:00:41,979
En este ejercicio se daban tres matrices pero en el apartado A del ejercicio pedían que determináramos la matriz C elevada a 40

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00:00:41,979 --> 00:00:45,079
Matriz C es una matriz cuadrada de orden 2

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00:00:45,079 --> 00:00:52,079
Ya sabéis que obviamente no vamos a hacer 40 multiplicaciones sino que vamos a generalizar la potencia

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00:00:52,079 --> 00:01:12,819
Para ello lo que vamos a hacer es comenzar calculando la matriz de C al cuadrado, la potencia al cuadrado de esta matriz que se calcula, como ya sabéis, multiplicando la matriz por sí misma y viendo a ver qué pasa y a ver qué pinta tiene el resultado.

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00:01:12,819 --> 00:01:18,400
Lo escribimos por aquí y vamos haciendo las multiplicaciones

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00:01:18,400 --> 00:01:22,099
Tendríamos por un lado menos 1 por menos 1 más 0 por 3

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00:01:22,099 --> 00:01:27,120
Mirad, yo os recomiendo que cuando en estos ejercicios os quede menos 1 por menos 1

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00:01:27,120 --> 00:01:31,900
En lugar de escribir 1, escribáis menos 1 al cuadrado

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00:01:31,900 --> 00:01:38,000
Es una recomendación que yo os hago para este tipo de ejercicios

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00:01:38,000 --> 00:01:42,319
Esto de menos 1 al cuadrado es 1, ya sabéis, pero lo dejamos escrito así

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00:01:42,319 --> 00:01:49,359
Y bueno, en el segundo término, en el término 2, 1, tendríamos menos 1 por 0 más 0 por 1, que es 0

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00:01:49,359 --> 00:01:57,260
Aquí abajo tendríamos ahora 3 por menos 1 más 1 por 3, es decir, menos 3 más 3, que se hace 0

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00:01:57,260 --> 00:02:02,400
Y por otro lado tendríamos 3 por 0 más 1 por 1, que es 1, ¿vale?

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00:02:02,400 --> 00:02:05,959
En este caso, como es 1 por 1, no lo vamos a escribir como al principio, ¿vale?

17
00:02:07,340 --> 00:02:11,699
Bueno, esto sería c al cuadrado, vamos a calcular ahora c al cubo, ¿de acuerdo?

18
00:02:12,319 --> 00:02:22,360
Mira, bueno, como ya sabemos, pues c al cubo es lo mismo que c al cuadrado por c, ¿vale? Yo puedo descomponer la potencia y, bueno, escribirla gracias a la propiedad asociativa como quiera.

19
00:02:23,020 --> 00:02:36,759
Entonces aquí lo que hago es directamente poner el resultado de c al cuadrado, ¿de acuerdo? Y justo detrás, pues nada, voy a multiplicar por la matriz original, ¿vale? Por menos 1, 0, 3, 1.

20
00:02:36,759 --> 00:02:40,139
Bueno, una vez que tengo escrito esto voy haciendo las operaciones

21
00:02:40,139 --> 00:02:44,300
Mirad, como primer término, el término en la posición 1, 1

22
00:02:44,300 --> 00:02:48,479
Tendríamos menos 1 al cuadrado por menos 1 más 0 por 3

23
00:02:48,479 --> 00:02:52,439
Es decir, menos 1 al cuadrado por menos 1

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00:02:52,439 --> 00:02:54,300
Que sería menos 1 al cubo, ¿vale?

25
00:02:54,360 --> 00:02:57,819
Si esto lo quisierais escribir como número, pues sabéis que es menos 1

26
00:02:57,819 --> 00:03:01,060
Pero es interesante que lo escribamos como potencia, ¿vale?

27
00:03:01,060 --> 00:03:05,060
Porque si os dais cuenta va coincidiendo ya aquí el exponente

28
00:03:05,060 --> 00:03:09,759
exponente con el exponente de la matriz, ¿vale? Entonces es interesante hacerlo así.

29
00:03:10,560 --> 00:03:15,539
Como segundo término tendríamos menos 1 al cuadrado por 0 más 0 por 1 que es 0, aquí

30
00:03:15,539 --> 00:03:24,099
tendríamos 0 por menos 1 más 0 por 3 que es 3 y luego 0 por 0 es 0 más 1 por 1 que

31
00:03:24,099 --> 00:03:32,599
es 1. Daos cuenta de una cosa, mirad, ahora mismo no tenemos ninguna garantía como pasó

32
00:03:32,599 --> 00:03:36,659
en el ejercicio anterior, donde teníamos la matriz B, no tenemos ninguna garantía

33
00:03:36,659 --> 00:03:44,159
de que aquí y allá podamos generalizar nada. Sí que, si os dais cuenta, tenemos ciertas

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00:03:44,159 --> 00:03:49,780
similitudes de esta matriz, la matriz C al cubo, con la matriz original. Similitudes

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00:03:49,780 --> 00:03:56,240
en el sentido de que aquí en ambas tenemos un 3 y aquí en el primer término, donde

36
00:03:56,240 --> 00:04:00,539
estaba aquí, menos 1 y aquí tenemos menos 1 elevado a 3, pues esto también tiene cierta

37
00:04:00,539 --> 00:04:05,759
similitud, ¿vale? Porque menos 1 no es otra cosa que menos 1 elevado a 1, ¿vale? Y esta

38
00:04:05,759 --> 00:04:12,120
matriz al estar sola es c elevado a 1, ¿vale? Tiene naturalmente el exponente 1. Entonces

39
00:04:12,120 --> 00:04:18,500
aquí sí que encontramos cierta regularidad, pero sin embargo, jolín, choca, que no seguimos

40
00:04:18,500 --> 00:04:24,199
la regularidad con c al cuadrado. Por tanto, lo que vamos a hacer es calcular una potencia

41
00:04:24,199 --> 00:04:29,939
más, ¿vale? Vamos a calcular c a la cuarta. La vamos a poner aquí debajo. Sabemos que

42
00:04:29,939 --> 00:04:35,660
c a la cuarta no es otra cosa que c al cubo por c, ¿vale? Vamos a escribir aquí el resultado

43
00:04:35,660 --> 00:04:47,810
de c al cubo, 3, 1, y lo vamos a multiplicar por la matriz original, menos 1, 0, 3, 1,

44
00:04:48,189 --> 00:04:53,629
¿de acuerdo? Así vamos haciendo las multiplicaciones en el primer término, menos 1 al cubo por

45
00:04:53,629 --> 00:05:00,949
menos 1 más 0 por 3 sería menos 1 a la cuarta, podéis poner 1, ¿vale? Luego tendríamos

46
00:05:00,949 --> 00:05:10,069
menos 1 al cubo por 0 más 0 por 1 que es 0, aquí tendríamos 3 por menos 1 más 1 por 3, es decir, menos 3 más 3 que es 0

47
00:05:10,069 --> 00:05:14,350
y por último tendríamos 3 por 0 que es 0 más 1 por 1 que es 1.

48
00:05:15,329 --> 00:05:24,389
Daos cuenta de una cosa, aquí, antes de seguir voy a marcar que aquí y aquí encontramos también cierta similitud, ¿vale?

49
00:05:24,389 --> 00:05:33,189
Y aquí ahora, en esta que acabo de calcular, ya sí encuentro algo de similitud con la matriz de c al cuadrado.

50
00:05:33,550 --> 00:05:39,350
Daos cuenta de una cosa, o sea, lo que es la diagonal secundaria tiene todos sus términos igual a cero

51
00:05:39,350 --> 00:05:45,689
y en la diagonal principal el primer término aquí era menos uno al cuadrado y aquí es menos uno a la cuarta.

52
00:05:46,550 --> 00:05:52,290
Por tanto, aquí cuando generalicemos en este ejercicio y en otro que haremos en clase, que es bastante parecido,

53
00:05:52,290 --> 00:06:00,649
El otro de clase es, no sé si del modelo, no, no es del modelo, es de uno de los exámenes de julio de este año, ¿vale?

54
00:06:01,329 --> 00:06:03,769
Del examen coincidente de julio

55
00:06:03,769 --> 00:06:06,410
Entonces, ¿qué sucede?

56
00:06:06,410 --> 00:06:12,829
Hay veces que no encontramos una potencia general, ¿vale?

57
00:06:12,889 --> 00:06:22,230
Sino que encontramos como una tendencia para unas matrices, para ciertas potencias de unas matrices y otra tendencia para otras

58
00:06:22,230 --> 00:06:26,930
¿En qué se basa esa tendencia? Se basa en la paridad del exponente

59
00:06:26,930 --> 00:06:30,850
¿Qué quiere decir esto de la paridad? Pues daos cuenta que aquí estoy marcando en amarillo

60
00:06:30,850 --> 00:06:40,649
He deducido la pinta que tienen las matrices que tienen su exponente impar

61
00:06:40,649 --> 00:06:44,990
¿De acuerdo? Cuando el exponente es impar, el primer término está elevado a exponente impar

62
00:06:44,990 --> 00:06:49,949
¿Vale? Y aquí en el término 2, 1, de la posición 2, 1 aparece un 3

63
00:06:49,949 --> 00:07:10,209
Mientras que en las potencias de exponente par, c al cuadrado y c a la cuarta, también el primer término, bueno, pues como lo hemos puesto en general, aparece elevado a 2 o aparece elevado a 4, pero a diferencia de las otras, el término de la posición 2, 1 es 0, ¿de acuerdo?

64
00:07:10,209 --> 00:07:23,750
¿Por qué es esto importante? Pues porque aquí mi ejercicio realmente lo que me está pidiendo es que determine la potencia número, bueno, la potencia 40, ¿de acuerdo?

65
00:07:23,750 --> 00:07:52,490
40 es un número par, por tanto, la potencia 40 va a tener la siguiente forma, daos cuenta, el primer término va a estar aquí, bueno, si os dais cuenta, cuando yo hice c al cuadrado el primer término estaba elevado al cuadrado, cuando yo hice c a la cuarta el primer término estaba elevado a la cuarta, por tanto, es fácil deducir que cuando yo haga la potencia 40 el primer término estará elevado a 40, ¿vale?

66
00:07:52,490 --> 00:08:17,589
Aquí tendré siempre un 0, en la posición 2, 1 también tendré un 0 y en la posición 2, 2 tendré un 1, ¿vale? Por tanto, bueno, pues es bastante fácil calcular que el término que, bueno, la potencia 40 de la matriz C sería una matriz identidad, ¿vale?

67
00:08:17,589 --> 00:08:25,129
Ahora sí que voy a desarrollar la potencia del primer término, menos 1 elevado a potencia par es algo positivo, ¿de acuerdo?

68
00:08:26,709 --> 00:08:29,209
Y el resto de términos pues ya los habría deducido.

69
00:08:30,029 --> 00:08:31,910
¿Con qué os tenéis que quedar de este ejercicio?

70
00:08:31,910 --> 00:08:45,389
Pues que hay veces en la que, al contrario que en el ejemplo anterior, calculáis la matriz al cuadrado, calculáis la matriz al cubo y os dais cuenta de que todavía no veis claro qué cosas hay en común, todavía no podéis generalizar.

71
00:08:45,389 --> 00:08:54,230
En ese caso tenéis que sacar la potencia elevada a la cuarta e identificar si ya encontráis similitudes entre las potencias pares y las potencias impares.

72
00:08:54,590 --> 00:09:04,269
Como luego os pedirán determinar cierta potencia que puede ser par o impar, pues ya tomáis la generalización de las pares o de las impares y expresáis el resultado.