1
00:00:00,690 --> 00:00:09,250
Hola, vamos con el problema 69. Me piden que calculemos un vector v de R3, es decir, del espacio, sabiendo que cumple las tres condiciones siguientes.

2
00:00:09,470 --> 00:00:19,690
Que la suma de sus coordenadas es 3, que el vector v es combinación lineal de otros dos vectores y que los vectores, los que nos dan junto con el que queremos calcular, son linealmente dependientes.

3
00:00:19,690 --> 00:00:28,850
¿Vale? Fijaos, nos dicen que estamos en R3, es decir, que el vector v que estamos buscando tiene tres coordenadas.

4
00:00:29,250 --> 00:00:34,789
La vamos a llamar x, y, z, ¿vale? Para que sea más fácil. Eso es lo que significa que sea de R3.

5
00:00:35,549 --> 00:00:41,909
Y son tres incógnitas, luego vamos a necesitar tres ecuaciones, por eso tenemos tres condiciones.

6
00:00:41,909 --> 00:00:52,090
La primera condición que me dicen que la suma de sus coordenadas sea 3, es decir, que x más y más z tiene que ser 3.

7
00:00:52,729 --> 00:00:55,490
Esta es la ecuación que sacamos de la primera condición.

8
00:00:56,049 --> 00:01:02,070
La segunda condición lo que me dicen es que el vector u es combinación lineal de los vectores 2, 2, 2 y menos 1, 1, 0.

9
00:01:02,789 --> 00:01:09,950
¿Eso qué quiere decir? A ver, si lo pusiéramos como combinación lineal estaríamos metiendo más incógnitas que no nos sirven.

10
00:01:09,950 --> 00:01:20,569
Lo que tenemos que entender es el concepto. ¿Qué significa que sea una combinación lineal? Pues lo que significa es que los tres vectores son linealmente dependientes, lo mismo que nos dicen en el apartado siguiente.

11
00:01:20,569 --> 00:01:48,420
Es decir, lo que me están diciendo, si son linealmente dependientes, es que el determinante formado por el vector v, bueno, lo pongo directamente, x, y, z, el vector u, 2, 2, 2, y el vector menos 1, 1, 0, si son linealmente dependientes, significa que este determinante es 0.

12
00:01:48,420 --> 00:01:51,920
eso es lo que significa también que sea combinación lineal

13
00:01:51,920 --> 00:01:53,659
esa sería mi segunda ecuación

14
00:01:53,659 --> 00:01:56,480
y mi tercera ecuación pues lo mismo que acabo de hacer

15
00:01:56,480 --> 00:01:59,060
si los tres vectores son linealmente dependientes

16
00:01:59,060 --> 00:02:00,680
es que el determinante es 0

17
00:02:00,680 --> 00:02:05,560
1, 0, 1, 0, 1, 0

18
00:02:05,560 --> 00:02:09,039
y el v que es el x, y, y z

19
00:02:09,039 --> 00:02:14,219
y aquí tenemos las tres ecuaciones que necesitamos

20
00:02:14,219 --> 00:02:16,599
para poder, o sea lo que tendríamos que resolver

21
00:02:16,599 --> 00:02:17,759
este sistema de ecuaciones

22
00:02:17,759 --> 00:02:40,969
Entonces, venga, pues a ver, vamos a ello. Esto es x más y más z igual 3. Resolvemos el segundo determinante, me queda 0, 2 por z, 2z menos 2y más 2z, 0 menos 2x.

23
00:02:40,969 --> 00:02:45,789
Esto es 0, es decir, de aquí saco la ecuación

24
00:02:45,789 --> 00:02:49,449
Podemos simplificar todo entre 2, ¿vale?

25
00:02:50,169 --> 00:02:53,969
Y me quedaría menos entre 2, vamos a simplificar

26
00:02:53,969 --> 00:02:55,889
De hecho voy a simplificar entre menos 2

27
00:02:55,889 --> 00:03:04,569
Y me quedaría x más y menos 2z igual 0, ¿vale?

28
00:03:04,830 --> 00:03:06,909
Y el último determinante resolvemos

29
00:03:06,909 --> 00:03:16,110
Esto sería 0, zeta, perdón, 0, 0, menos x, 0, 0, igual a 0, ¿vale?

30
00:03:16,569 --> 00:03:19,270
Luego ya tenemos las tres ecuaciones.

31
00:03:20,990 --> 00:03:36,870
Vamos ahora a ponerlas aquí como si fuera el sistema que hacemos normalmente, x más y más zeta igual 3, y el x menos x más zeta igual 0.

32
00:03:36,909 --> 00:03:44,650
Y ahora, ¿cómo lo resolvemos? Pues si lo queréis resolver por Gauss, pues directamente lo resolvemos por Gauss.

33
00:03:47,310 --> 00:03:53,810
O directamente podemos hacer de la última ecuación lo que yo obtengo aquí es que x es igual a z.

34
00:03:55,590 --> 00:04:00,849
Por lo tanto puedo sustituir en las de arriba y tendríamos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

35
00:04:00,849 --> 00:04:10,770
Si la x y la z es la misma me quedaría, por ejemplo, sustituyo la z por x y que me quedaría 2x más y igual a 3

36
00:04:10,770 --> 00:04:20,870
Y en la segunda ecuación si sustituyo la z por x me quedaría x menos 2x, me quedaría menos x más y igual a 0

37
00:04:20,870 --> 00:04:25,810
y por ejemplo si resto

38
00:04:25,810 --> 00:04:28,810
me queda 2x menos x, 3x

39
00:04:28,810 --> 00:04:31,009
las x se me van, 3x igual a 3

40
00:04:31,009 --> 00:04:34,529
por lo tanto la x es igual a 1

41
00:04:34,529 --> 00:04:39,089
si la x es igual a 1, la z sabemos que también es 1

42
00:04:39,089 --> 00:04:40,769
y de la segunda ecuación

43
00:04:40,769 --> 00:04:45,009
que es lo que obtenemos, que la y es también igual a x

44
00:04:45,009 --> 00:04:48,850
por lo tanto la y también vale 1

45
00:04:49,550 --> 00:04:53,870
Fijaos que a veces podemos resolverlo, yo lo he hecho muy sencillo, por reducción,

46
00:04:53,949 --> 00:04:55,329
ni siquiera he aplicado Gauss ni nada.

47
00:04:55,850 --> 00:05:00,209
No tenemos por qué aplicar ninguna de las, o sea, lo podemos hacer directamente así.

48
00:05:00,930 --> 00:05:04,389
Y como lo que me estaban pidiendo es que determine las coordenadas del vector v,

49
00:05:04,550 --> 00:05:11,470
pues lo que contestamos es que v es el vector de coordenadas 1, 1, 1.

50
00:05:12,089 --> 00:05:12,829
Y ya estaría hecho.