1
00:00:00,000 --> 00:00:18,740
Bueno, ya he empezado a grabar, si alguien tiene algo en contra que lo diga y si no, pues ya consta que me gusta que todos estemos de acuerdo, que puedan compartir pantalla, aunque se vean algunas lágrimas de la lombra.

2
00:00:18,740 --> 00:00:33,100
Bueno, toda esta evaluación es de funciones. Para eso necesitáis tener una base de lo que es tercero y cuarto, que hablamos el otro día, de saber dibujar una recta y una parábola.

3
00:00:33,100 --> 00:00:44,880
No sé si os ha salido, lo habéis practicado. Y por otra parte, ejercicios de lo que es el dominio de una función. Podéis ir mirando ya ejercicios de examen porque ya hay cosas que han salido.

4
00:00:44,880 --> 00:00:59,540
Cuando tenéis una función definida a trozos, tenéis que saber que conocen las funciones elementales.

5
00:00:59,539 --> 00:01:08,219
Yo no voy a poner funciones raras, ni rarísimas, pero que sepáis que una función de primer grado es una recta,

6
00:01:08,680 --> 00:01:16,019
una función constante es una recta que es horizontal, una ecuación de segundo grado nos da, por resultado,

7
00:01:16,019 --> 00:01:25,900
como la gráfica, una parábola, ¿no? Y hoy veremos, bueno, la funcionalidad de inversa también la vimos en otro libro, ¿no?

8
00:01:25,900 --> 00:01:27,859
que sale una hiperbola

9
00:01:27,859 --> 00:01:29,300
que se llama la hiperbola

10
00:01:29,300 --> 00:01:31,940
entonces, como ejemplo de

11
00:01:31,940 --> 00:01:33,460
función a trozos

12
00:01:33,460 --> 00:01:35,719
es muy importante

13
00:01:35,719 --> 00:01:37,900
la función valor absoluto, para vosotros

14
00:01:37,900 --> 00:01:40,080
los de ciencias sociales

15
00:01:40,080 --> 00:01:40,700
no lo es

16
00:01:40,700 --> 00:01:44,200
a ver, la función absoluta de un número

17
00:01:44,200 --> 00:01:46,000
sabéis que consiste

18
00:01:46,000 --> 00:01:48,100
en hacer

19
00:01:48,100 --> 00:01:50,360
un cálculo y si el resultado es positivo

20
00:01:50,360 --> 00:01:54,219
dejáis el número

21
00:01:54,219 --> 00:01:56,039
tal cual, generalmente no se pone

22
00:01:56,039 --> 00:01:58,319
el signo, ni más ni menos

23
00:01:58,319 --> 00:01:59,920
y si el resultado es negativo

24
00:01:59,920 --> 00:02:01,079
se le quita el signo y queda

25
00:02:01,079 --> 00:02:04,439
un número que es positivo

26
00:02:04,439 --> 00:02:06,739
porque es la distancia al origen

27
00:02:06,739 --> 00:02:08,340
viene a la izquierda, viene a la derecha

28
00:02:08,340 --> 00:02:09,759
¿no? entonces

29
00:02:09,759 --> 00:02:12,139
¿cómo se pone

30
00:02:12,139 --> 00:02:14,020
una función valor absoluto

31
00:02:14,020 --> 00:02:15,919
como función definida?

32
00:02:16,699 --> 00:02:18,439
si yo tomo la función

33
00:02:18,439 --> 00:02:19,879
igual a valor

34
00:02:19,879 --> 00:02:21,159
absoluto de x

35
00:02:21,159 --> 00:02:24,120
yo creo que esto lo entendéis bastante

36
00:02:24,120 --> 00:02:32,439
Bien, que si x es positivo cero, el valor absoluto del número es x.

37
00:02:33,879 --> 00:02:34,360
¿No?

38
00:02:35,580 --> 00:02:40,240
Y si el número es negativo, ¿qué tengo que hacer?

39
00:02:40,400 --> 00:02:41,620
Cambiarlo de signo, ¿no?

40
00:02:42,560 --> 00:02:45,259
Y sabéis que cambiar de signo es lo mismo que poner un número.

41
00:02:47,259 --> 00:02:50,599
Esto analíticamente se tiene que escribir así.

42
00:02:50,939 --> 00:02:53,939
No hay otra forma de analíticamente decir que cambió el signo.

43
00:02:54,120 --> 00:02:57,920
Lo pongo menos delante y ya sé que se ha cambiado el signo, ¿no?

44
00:02:58,420 --> 00:03:03,599
Bueno, entonces, yo tengo esta función que no es exactamente igual al valor absoluto de x,

45
00:03:03,719 --> 00:03:05,819
sino que es el valor absoluto de x más 2.

46
00:03:07,120 --> 00:03:13,219
Entonces, tengo que ver dónde el valor absoluto es mayor o igual que 0.

47
00:03:14,740 --> 00:03:16,819
Y aquí volvemos a repasar esto.

48
00:03:17,000 --> 00:03:22,259
Para la gente que le quedó la primera, vamos a repasar continuamente cuentas del curso anterior

49
00:03:22,259 --> 00:03:32,780
que para resolver una inequación primero pongo la igualdad, la resuelvo y me queda x igual a menos 2.

50
00:03:35,679 --> 00:03:42,500
Dibujo una recta. Hay gente que lo hace de otra forma, pero ya veréis cuando sean ecuaciones de segundo grado

51
00:03:42,500 --> 00:03:44,620
este es el método

52
00:03:44,620 --> 00:03:46,180
que se puede utilizar siempre

53
00:03:46,180 --> 00:03:47,400
hay gente que dice

54
00:03:47,400 --> 00:03:48,800
que despeja

55
00:03:48,800 --> 00:03:51,979
manipulando inequaciones

56
00:03:51,979 --> 00:03:53,240
como si fueran ecuaciones

57
00:03:53,240 --> 00:03:56,000
pero yo prefiero que lo hagáis con intervalos

58
00:03:56,000 --> 00:03:57,400
porque esto vale siempre

59
00:03:57,400 --> 00:03:59,159
siempre

60
00:03:59,159 --> 00:04:01,280
entonces, aquí

61
00:04:01,280 --> 00:04:04,259
donde x es igual a menos 2 la función es 0

62
00:04:04,259 --> 00:04:06,460
decidme un punto aquí

63
00:04:06,460 --> 00:04:09,659
por ejemplo el 0

64
00:04:09,659 --> 00:04:11,659
si x es igual a 0

65
00:04:11,659 --> 00:04:13,740
me queda 0 más 2 que es positivo

66
00:04:13,740 --> 00:04:15,780
o sea que aquí

67
00:04:15,780 --> 00:04:16,480
es positivo

68
00:04:16,480 --> 00:04:21,680
y si aquí por ejemplo

69
00:04:21,680 --> 00:04:22,740
el

70
00:04:22,740 --> 00:04:25,120
menos 3

71
00:04:25,120 --> 00:04:27,939
menos 3 más 2

72
00:04:27,939 --> 00:04:29,259
es menos 1

73
00:04:29,259 --> 00:04:31,920
que es menor que 0, o sea que aquí la función

74
00:04:31,920 --> 00:04:32,699
es negativa

75
00:04:32,699 --> 00:04:35,939
vamos, la función, lo que hay

76
00:04:35,939 --> 00:04:38,199
dentro del valor absoluto

77
00:04:38,199 --> 00:04:39,319
conclusión

78
00:04:39,319 --> 00:04:43,839
tengo la función igual a valor absoluto

79
00:04:43,839 --> 00:04:44,959
de x más 2

80
00:04:44,959 --> 00:04:48,019
esta función

81
00:04:48,019 --> 00:04:50,339
como tal

82
00:04:50,339 --> 00:04:56,199
como tal sería

83
00:04:56,199 --> 00:04:59,060
bueno, tengo que distinguir

84
00:04:59,060 --> 00:05:03,180
si x es mayor o igual que menos 2

85
00:05:03,180 --> 00:05:05,800
o si x es menor que 2

86
00:05:05,800 --> 00:05:08,980
¿qué pasa si x es mayor o igual que menos 2?

87
00:05:09,319 --> 00:05:16,599
que esto es positivo, con lo cual esto lo dejo como está.

88
00:05:18,680 --> 00:05:21,860
¿Qué pasa si x es menor que menos 2?

89
00:05:22,540 --> 00:05:24,180
Que sale negativo, ¿no?

90
00:05:24,399 --> 00:05:25,819
¿Qué tengo que hacer con esto?

91
00:05:28,300 --> 00:05:30,879
Cambiarlo de signo, multiplicarlo por menos 1.

92
00:05:31,060 --> 00:05:37,000
Si cambio de signo x menos 2, me queda menos x menos 2, ¿no?

93
00:05:37,000 --> 00:05:45,920
Me salen dos rectas, que como vimos el otro día, para dar dos rectas, ¿cuántos puntos necesito?

94
00:05:46,120 --> 00:05:49,139
Para dar una recta necesito dos puntos.

95
00:05:50,060 --> 00:05:53,000
Pues decidme, para el primer trozo, ¿qué valor escogeríais?

96
00:06:00,199 --> 00:06:05,139
El menos tres, el cero no, porque cero no es menor que menos dos.

97
00:06:05,139 --> 00:06:07,579
y luego si os acordáis del otro día

98
00:06:07,579 --> 00:06:09,680
a mí me gusta poner el menos 2

99
00:06:09,680 --> 00:06:11,060
diciendo que es hueco

100
00:06:11,060 --> 00:06:15,519
porque ahí es donde termina

101
00:06:15,519 --> 00:06:16,719
la serie recta

102
00:06:16,719 --> 00:06:19,680
entonces, si yo hago esta gráfica

103
00:06:20,599 --> 00:06:23,939
bueno, no he sustituido

104
00:06:23,939 --> 00:06:24,959
tengo que hacer

105
00:06:24,959 --> 00:06:27,659
menos 3, o sea sería

106
00:06:27,659 --> 00:06:29,060
menos menos 3

107
00:06:29,060 --> 00:06:31,500
menos 2

108
00:06:31,500 --> 00:06:32,039
que sale

109
00:06:32,039 --> 00:06:34,319
sale 1

110
00:06:34,319 --> 00:06:36,579
va a salir positivo siempre

111
00:06:36,579 --> 00:06:37,860
porque es un valor absoluto

112
00:06:37,860 --> 00:06:39,759
y menos 2

113
00:06:39,759 --> 00:06:41,579
menos 2 sale

114
00:06:41,579 --> 00:06:43,279
0

115
00:06:43,279 --> 00:06:45,500
o sea que me saldría el

116
00:06:45,500 --> 00:06:47,980
menos 2, 0, hueco

117
00:06:47,980 --> 00:06:52,060
y el menos 3

118
00:06:52,060 --> 00:06:53,199
menos 1

119
00:06:53,199 --> 00:06:54,860
que va por aquí

120
00:06:54,860 --> 00:07:01,759
es que pone menor que 2

121
00:07:04,319 --> 00:07:06,779
claro, es que ahora lo voy a rellenar

122
00:07:06,779 --> 00:07:07,819
en este caso sí

123
00:07:07,819 --> 00:07:09,860
si te acuerdas el otro día

124
00:07:09,860 --> 00:07:11,939
teníamos una función a trozos

125
00:07:11,939 --> 00:07:14,240
y esa función a trozos había un sitio

126
00:07:14,240 --> 00:07:16,420
donde se rellenaba y otro sitio

127
00:07:16,420 --> 00:07:17,560
donde no se rellenaba

128
00:07:17,560 --> 00:07:18,719
entonces eso depende

129
00:07:18,719 --> 00:07:22,120
y ahora si cojo el otro trozo

130
00:07:22,120 --> 00:07:25,860
¿qué valores tendría que tomar?

131
00:07:26,899 --> 00:07:28,920
si pone x mayor o igual que menos

132
00:07:28,920 --> 00:07:31,300
el 0

133
00:07:31,300 --> 00:07:34,939
y el menos 2 también vale

134
00:07:34,939 --> 00:07:37,699
y el menos 2 es bueno porque ahí es donde empieza a bajar

135
00:07:37,699 --> 00:07:40,300
si x vale menos 2 sale

136
00:07:40,300 --> 00:07:44,139
menos 2 más 2 que es 0

137
00:07:44,139 --> 00:07:46,600
y si x vale 2 sale

138
00:07:46,600 --> 00:07:49,519
0 más 2 que es 2

139
00:07:49,519 --> 00:07:51,980
o sea que

140
00:07:51,980 --> 00:07:54,220
el menos 2, 0

141
00:07:54,220 --> 00:07:58,939
este punto ahora no es hueco

142
00:07:58,939 --> 00:08:00,300
con lo cual se rellena

143
00:08:00,300 --> 00:08:02,339
y luego me sale el 0,2

144
00:08:02,339 --> 00:08:04,939
y me sale este trocito de 0, ¿sí?

145
00:08:07,540 --> 00:08:09,600
Por entonces, que sepáis

146
00:08:09,600 --> 00:08:12,420
que esto, sobre todo,

147
00:08:12,540 --> 00:08:13,819
lo que más se usa

148
00:08:13,819 --> 00:08:16,920
es esto de aquí.

149
00:08:19,579 --> 00:08:21,579
Porque ahora, cuando os diga esto,

150
00:08:21,659 --> 00:08:22,980
me vais a mandar a pasear.

151
00:08:23,879 --> 00:08:25,699
Otra forma de pintar una función

152
00:08:25,699 --> 00:08:27,699
valor absoluto es la siguiente.

153
00:08:28,939 --> 00:08:31,420
voy a coger esta función.

154
00:08:33,679 --> 00:08:35,559
Lo que pasa es que, a ver, a mí me interesa

155
00:08:35,559 --> 00:08:37,720
que analíticamente sepáis describir

156
00:08:37,720 --> 00:08:38,779
lo que es el valor absoluto.

157
00:08:39,559 --> 00:08:41,899
Imaginaos que yo la pinto esta función

158
00:08:41,899 --> 00:08:43,620
sin valor absoluto.

159
00:08:44,740 --> 00:08:45,820
¿Sabéis pintarla?

160
00:08:46,820 --> 00:08:47,600
¿Qué necesito?

161
00:08:49,000 --> 00:08:49,960
Darle valores.

162
00:08:50,139 --> 00:08:51,620
El dominio es r porque es una

163
00:08:51,620 --> 00:08:53,539
función polinómica de primer grado, ¿no?

164
00:08:53,759 --> 00:08:54,960
¿Y qué valores daríais?

165
00:08:54,960 --> 00:08:59,180
el 0 y 1

166
00:08:59,180 --> 00:09:01,680
si la x vale 0

167
00:09:01,680 --> 00:09:02,240
¿cuánto vale?

168
00:09:03,500 --> 00:09:05,500
0 más 2 que es 2

169
00:09:05,500 --> 00:09:05,660
¿no?

170
00:09:07,240 --> 00:09:09,139
y si la x vale 1

171
00:09:09,139 --> 00:09:12,940
1 más 2 que sería

172
00:09:12,940 --> 00:09:14,460
3 ¿no?

173
00:09:15,680 --> 00:09:17,540
entonces si yo divido

174
00:09:17,540 --> 00:09:19,180
si yo dibujo esta función

175
00:09:19,180 --> 00:09:23,660
me sale el punto

176
00:09:23,660 --> 00:09:24,540
0,2

177
00:09:24,960 --> 00:09:27,720
Y me sale el punto 1, 3.

178
00:09:28,639 --> 00:09:30,040
Me sale esta función, ¿verdad?

179
00:09:31,900 --> 00:09:33,400
Esta es la función g.

180
00:09:36,019 --> 00:09:39,800
Pues fijaos, ¿qué es tomar valor absoluto?

181
00:09:42,200 --> 00:09:44,100
Que todo salga positivo, ¿no?

182
00:09:45,300 --> 00:09:47,560
Esta función por aquí es positiva, ¿verdad?

183
00:09:48,720 --> 00:09:50,519
¿Y qué tengo que hacer con esto?

184
00:09:51,080 --> 00:09:52,600
Doblarlo y ponerlo para arriba.

185
00:09:54,960 --> 00:09:57,180
y si os fijáis sale lo mismo

186
00:09:57,180 --> 00:09:59,540
por ejemplo

187
00:09:59,540 --> 00:10:01,519
si tuvierais que pintar

188
00:10:01,519 --> 00:10:02,280
otro ejemplo

189
00:10:02,280 --> 00:10:05,519
que no tiene nada que ver

190
00:10:05,519 --> 00:10:09,660
otro ejemplo

191
00:10:09,660 --> 00:10:11,639
si yo tuviera

192
00:10:11,639 --> 00:10:13,660
que pintar el valor absoluto

193
00:10:13,660 --> 00:10:14,759
de esta parábola

194
00:10:14,759 --> 00:10:17,620
¿cómo lo haríais?

195
00:10:24,960 --> 00:10:29,580
pues los dos cuernos los dejaríais así, ¿no?

196
00:10:30,360 --> 00:10:32,540
¿Y qué tendréis que hacer con este gachito?

197
00:10:34,720 --> 00:10:36,019
Darle la vuelta, ¿no?

198
00:10:38,740 --> 00:10:44,700
Estas son cosas que os comento en cuanto a la función valor absoluto,

199
00:10:44,780 --> 00:10:51,300
que es una función importante, pues que esto es lo que tenéis que saber para dibujarla.

200
00:10:51,300 --> 00:11:02,700
Como os digo, podíais elegir directamente haber pintado esta función así sabiendo que es un valor absoluto, pero analíticamente es bueno que sepáis la forma.

201
00:11:03,960 --> 00:11:16,940
Bueno, aquí viene una de las cosas que os cuesta más, que necesito explicaros para cuando hagáis la regla de la cadena, y es lo que se llama la composición de funciones.

202
00:11:16,940 --> 00:11:37,260
A ver, yo puedo tener, por ejemplo, un producto, aplicarle un IVA y después aplicarle un descuento. Ahí estoy utilizando dos funciones. Primero le estoy haciendo una cosa y al resultado le estoy haciendo otra.

203
00:11:37,259 --> 00:11:54,559
No se lo estoy haciendo al original, sino al resultado. Entonces, se llama composición de funciones, esto es un redondelito, el golf se dice a veces, que es g compuesto con f, cuando si se lo apliquéis a un número,

204
00:11:54,560 --> 00:11:59,640
que al aplicarse a un número

205
00:11:59,640 --> 00:12:01,480
tenéis primero que calcular

206
00:12:01,480 --> 00:12:03,700
la función en ese

207
00:12:03,700 --> 00:12:05,620
número, en ese valor, para ese

208
00:12:05,620 --> 00:12:07,700
valor de la X y al resultado

209
00:12:07,700 --> 00:12:09,280
le tenéis que aplicar la otra función.

210
00:12:10,720 --> 00:12:11,700
Creo que me voy

211
00:12:11,700 --> 00:12:13,320
a explicar mucho mejor

212
00:12:13,320 --> 00:12:14,980
con el ejemplo.

213
00:12:16,120 --> 00:12:17,500
A ver, vamos a pensar

214
00:12:17,500 --> 00:12:18,140
por ejemplo.

215
00:12:20,400 --> 00:12:20,920
Ejemplo.

216
00:12:21,660 --> 00:12:23,080
Luego ya nos podemos acalcular.

217
00:12:24,560 --> 00:12:27,780
A ver, si x es igual a 1, ¿sí?

218
00:12:30,500 --> 00:12:41,600
Voy a llamar f compuesto con g de 1 a, cuidado, la de la izquierda se come a la de la derecha, ¿sí?

219
00:12:41,720 --> 00:12:44,480
La de dentro es la primera que se hace, ¿sí?

220
00:12:45,600 --> 00:12:51,700
Entonces, aquí tenéis que saber muy bien en cada momento que estáis aplicando.

221
00:12:51,700 --> 00:13:11,700
Yo quiero calcular esto, ¿no? ¿Dónde lo busco? ¿En f o en g? En g, ¿no? Porque dice g de 1, ¿sí? Entonces, esto es f. ¿Y cuánto vale g de 1? 1 menos...

222
00:13:11,700 --> 00:13:16,220
pero la X vale 1

223
00:13:16,220 --> 00:13:19,379
¿cuánto es 1 menos 1 al cuadrado?

224
00:13:20,900 --> 00:13:21,660
0

225
00:13:21,660 --> 00:13:24,340
y ahora quiero calcular

226
00:13:24,340 --> 00:13:27,379
F de 0

227
00:13:27,379 --> 00:13:29,580
¿dónde busco F?

228
00:13:31,160 --> 00:13:32,540
aquí en la F

229
00:13:32,540 --> 00:13:36,540
¿y cómo calculo F de 0?

230
00:13:38,379 --> 00:13:39,660
2 menos

231
00:13:39,659 --> 00:13:41,740
7 por

232
00:13:41,740 --> 00:13:43,159
y la x vale 0.

233
00:13:44,039 --> 00:13:44,159
¿No?

234
00:13:45,480 --> 00:13:47,100
O sea que este resultado vale 2.

235
00:13:51,019 --> 00:13:52,620
Vamos a ver, por ejemplo,

236
00:13:53,539 --> 00:13:54,259
cuánto vale

237
00:13:54,259 --> 00:13:55,519
a ver si

238
00:13:55,519 --> 00:13:58,019
lo hemos conseguido.

239
00:13:58,399 --> 00:14:00,259
g compuesto con f

240
00:14:00,259 --> 00:14:01,039
de 1.

241
00:14:02,360 --> 00:14:04,019
¿Se pone dentro ahora?

242
00:14:04,199 --> 00:14:04,980
¿g o f?

243
00:14:07,659 --> 00:14:08,899
f dentro

244
00:14:08,899 --> 00:14:16,159
Y al resultado, después, más adelante, le calcularé G.

245
00:14:17,720 --> 00:14:21,340
Entonces, primero, calculo F.

246
00:14:21,980 --> 00:14:25,220
¿Dónde lo calculo? ¿En la roja o en la naranja?

247
00:14:28,379 --> 00:14:30,620
En la naranja, que es F, ¿no?

248
00:14:30,620 --> 00:14:31,519
¿Sí?

249
00:14:31,519 --> 00:14:42,699
Y entonces, ¿qué me saldría? 2 menos 7 por X. ¿Cuánto vale X? 1. ¿Lo veis?

250
00:14:45,539 --> 00:14:47,919
Evelyn, si no lo veis, lo repito. Voy más despacio.

251
00:14:47,920 --> 00:14:55,880
el 1 es que la x vale 1

252
00:14:55,880 --> 00:14:57,180
este es el valor de la x

253
00:14:57,180 --> 00:15:00,440
lo que siempre tienes dentro

254
00:15:00,440 --> 00:15:02,280
de la f

255
00:15:02,280 --> 00:15:04,200
es lo que tienes que sustituir

256
00:15:04,200 --> 00:15:05,580
en la fórmula de la f

257
00:15:05,580 --> 00:15:08,600
entonces esto si lo calculo

258
00:15:08,600 --> 00:15:09,220
¿cuánto vale?

259
00:15:10,640 --> 00:15:11,880
menos 5

260
00:15:11,880 --> 00:15:13,800
ahora

261
00:15:13,800 --> 00:15:15,300
tengo g

262
00:15:15,300 --> 00:15:18,000
Ahora, la x vale menos 5

263
00:15:18,000 --> 00:15:19,500
Y la g

264
00:15:19,500 --> 00:15:21,600
¿Dónde la busco?

265
00:15:21,660 --> 00:15:22,860
¿En la naranja o en la roja?

266
00:15:24,600 --> 00:15:25,800
En la roja

267
00:15:25,800 --> 00:15:27,020
¿Y qué tengo que hacer?

268
00:15:27,440 --> 00:15:28,960
1 menos

269
00:15:28,960 --> 00:15:31,600
Menos 5

270
00:15:31,600 --> 00:15:32,800
Al cuadrado

271
00:15:32,800 --> 00:15:35,740
Esto lo hacéis a mano

272
00:15:35,740 --> 00:15:37,260
Con calculadora y salen

273
00:15:37,260 --> 00:15:38,240
Los 24

274
00:15:38,240 --> 00:15:40,480
Como veis no tiene nada que ver

275
00:15:40,480 --> 00:15:42,200
F con g que es g con f

276
00:15:42,200 --> 00:16:05,400
¿Vale? Bueno, pues ahora vamos a ver cómo se calcula. Una vez lo hemos visto con un ejemplo. Vamos a ver. F compuesto con g de x. ¿Qué pongo primero y qué pongo dentro? ¿Qué pongo fuera?

277
00:16:05,399 --> 00:16:08,159
la f, ¿no?

278
00:16:08,439 --> 00:16:10,459
Y aquí, la g

279
00:16:10,459 --> 00:16:11,860
con la x, ¿sí?

280
00:16:13,819 --> 00:16:14,340
Ahora,

281
00:16:14,699 --> 00:16:16,500
esto, g de x, ¿cuánto

282
00:16:16,500 --> 00:16:17,360
vale g de x?

283
00:16:19,500 --> 00:16:20,419
¿Ya está puesto?

284
00:16:21,899 --> 00:16:22,679
1 menos

285
00:16:22,679 --> 00:16:24,179
x al cuadrado, ¿no?

286
00:16:25,360 --> 00:16:26,419
Aquí no tengo que

287
00:16:26,419 --> 00:16:28,159
sustituir en ningún valor.

288
00:16:28,379 --> 00:16:29,840
1 menos x al cuadrado.

289
00:16:30,439 --> 00:16:32,379
Y ahora, esto es lo que os cuesta más.

290
00:16:33,860 --> 00:16:34,439
Tengo que hacer

291
00:16:34,439 --> 00:16:34,899
f, ¿no?

292
00:16:35,399 --> 00:16:50,360
¿Qué fórmula es? La primera, ¿no? 2 menos 7 por, y ahora, en vez de la x, ¿qué tienes que poner?

293
00:16:50,360 --> 00:16:53,759
Lo que hay dentro de la f. ¿Y qué hay dentro de la f?

294
00:16:53,759 --> 00:17:00,779
1 menos x al cuadrado

295
00:17:00,779 --> 00:17:03,259
lo repito

296
00:17:03,259 --> 00:17:06,240
tengo que hacer la composición de f y de g

297
00:17:06,240 --> 00:17:10,279
la f se pone fuera y la g es la de dentro

298
00:17:10,279 --> 00:17:11,339
que es la que se hace primero

299
00:17:11,339 --> 00:17:14,500
la g como no tengo que sustituir

300
00:17:14,500 --> 00:17:16,480
ya directamente tengo g de x

301
00:17:16,480 --> 00:17:17,980
pongo 1 menos x al cuadrado

302
00:17:17,980 --> 00:17:18,980
hasta aquí creo que es bien

303
00:17:18,980 --> 00:17:23,019
y ahora, ¿cómo calculo f?

304
00:17:23,019 --> 00:17:25,539
¿a qué forma me tengo que ir a la bf?

305
00:17:27,480 --> 00:17:29,759
f es 2 menos 7 por x

306
00:17:29,759 --> 00:17:32,079
pero es que resulta

307
00:17:32,079 --> 00:17:33,920
que dentro de la f no tengo x

308
00:17:33,920 --> 00:17:36,400
sino que tengo 1 menos x al cuadrado

309
00:17:36,400 --> 00:17:38,099
entonces lo que estoy haciendo

310
00:17:38,099 --> 00:17:39,960
es sustituir

311
00:17:39,960 --> 00:17:41,839
esto de aquí

312
00:17:41,839 --> 00:17:45,019
por la x

313
00:17:45,019 --> 00:17:52,000
esto es lo que estoy

314
00:17:52,000 --> 00:17:52,740
haciendo aquí

315
00:17:52,740 --> 00:17:54,940
entonces, una vez hecho esto

316
00:17:54,940 --> 00:17:56,180
se hacen las cuentas

317
00:17:56,180 --> 00:17:58,079
¿cómo se hacen estas cuentas?

318
00:17:59,120 --> 00:17:59,900
2 menos

319
00:17:59,900 --> 00:18:02,440
7 por 1 que es 7

320
00:18:02,440 --> 00:18:05,000
y menos 7 por menos x cuadrado

321
00:18:05,000 --> 00:18:07,319
que es más 7x cuadrado

322
00:18:07,319 --> 00:18:07,500
¿no?

323
00:18:08,460 --> 00:18:10,859
bueno, yo como soy un maniático, pongo primero

324
00:18:10,859 --> 00:18:12,099
el x cuadrado

325
00:18:12,099 --> 00:18:14,920
y luego el término independiente, 2 menos 7

326
00:18:14,920 --> 00:18:15,799
que es menos 5

327
00:18:15,799 --> 00:18:20,960
intentamos

328
00:18:20,960 --> 00:18:23,519
el BOF en vez del FOG?

329
00:18:23,720 --> 00:18:24,240
BOF.

330
00:18:30,000 --> 00:18:31,380
Bueno, pues ¿cómo hago esto?

331
00:18:33,380 --> 00:18:34,759
Pongo primero la C

332
00:18:34,759 --> 00:18:37,059
y dentro la F.

333
00:18:42,100 --> 00:18:43,740
Ahora, ¿cuánto vale la F?

334
00:18:46,259 --> 00:18:47,140
¿Estáis de acuerdo?

335
00:18:47,740 --> 00:18:48,940
2 menos 7X.

336
00:18:51,940 --> 00:18:55,319
Y ahora, antes de seguir, ¿cuál es la fórmula de la g?

337
00:18:59,579 --> 00:19:01,620
1 menos x al cuadrado, ¿no?

338
00:19:02,140 --> 00:19:08,600
Entonces yo pongo 1 menos, tendría que ser x elevado al cuadrado, ¿no?

339
00:19:10,240 --> 00:19:13,259
Pero como no es x, ¿qué tengo que poner dentro?

340
00:19:16,259 --> 00:19:20,019
2 menos 7x, 2 menos 7x, ¿sí?

341
00:19:20,960 --> 00:19:26,160
Es que esto, al principio os hacéis un lío y por eso quiero ir despacio.

342
00:19:26,299 --> 00:19:30,700
Bueno, aquí aplicáis las identidades notables o lo operáis como queráis.

343
00:19:31,180 --> 00:19:38,660
Bueno, aquí la verdad que así es mejor usarlo así, pero voy a no operarlo porque ya lo he dicho con el ángulo.

344
00:19:41,720 --> 00:19:50,539
Esto saldría menos 49x cuadrado más 14x menos 3.

345
00:19:50,960 --> 00:20:02,759
¿No? Bueno, pues esto es la composición de funciones, el GOF y el FOG. Eso es especialmente útil.

346
00:20:02,759 --> 00:20:13,960
A ver, voy a hacer

347
00:20:13,960 --> 00:20:15,660
a ver cómo andamos el tiempo

348
00:20:15,660 --> 00:20:17,259
voy a hacer la inversa

349
00:20:17,259 --> 00:20:19,680
la exponencial

350
00:20:19,680 --> 00:20:22,099
y la logaritmo

351
00:20:22,099 --> 00:20:24,220
las simétricas

352
00:20:24,220 --> 00:20:26,119
y tal, es bueno

353
00:20:26,119 --> 00:20:27,900
que lo veáis pero no es

354
00:20:27,900 --> 00:20:30,299
fundamental, voy a hacer

355
00:20:30,299 --> 00:20:32,319
alguna más, aunque ya os digo

356
00:20:32,319 --> 00:20:36,980
que lo más importante es la inversa, pero para la inversa hace falta que entendáis

357
00:20:36,980 --> 00:20:52,679
esto un poquito. Vamos a ver. Tengo aquí f compuesto con g de x, ¿no? Como siempre.

358
00:20:52,939 --> 00:20:59,240
Bueno, esto ya supongo que ya lo tenéis interiorizado. El FOX significa que primero hago la g y cuando

359
00:20:59,240 --> 00:21:10,839
se pase el resultado se lo aplica a un f ¿no? ¿Qué pongo aquí? La g que tiene su

360
00:21:10,839 --> 00:21:19,299
fórmula que es x cuadrado menos 2 partido por 3. Y ahora atención a esto. Tengo que

361
00:21:19,299 --> 00:21:32,980
hacer es que es f la raíz de 3 por x más 2 no y tengo que poner aquí

362
00:21:35,180 --> 00:21:39,779
en vez de la equis tienes que poner lo que hay dentro siempre es lo mismo

363
00:21:39,779 --> 00:21:55,799
es que creo que te vas a ir a la inversa

364
00:21:55,799 --> 00:21:57,379
que es lo siguiente que vamos a ver

365
00:21:57,379 --> 00:22:01,899
bueno, aquí este ejemplo

366
00:22:01,899 --> 00:22:04,519
está puesto con mucha intención

367
00:22:04,519 --> 00:22:07,259
porque este 3 multiplicando y este 3 dividiendo

368
00:22:07,259 --> 00:22:09,480
¿qué hacen? se van, ¿no?

369
00:22:10,779 --> 00:22:14,039
¿Y cuánto es x cuadrado menos 2 más 2?

370
00:22:15,879 --> 00:22:17,980
¿Y cuál es la raíz de x cuadrado?

371
00:22:18,839 --> 00:22:21,539
Aquí podríais decir, es más menos x.

372
00:22:22,059 --> 00:22:29,399
Os recuerdo que en funciones y en general en la vida, si no pone nada adelante se supone que es la positiva.

373
00:22:31,480 --> 00:22:37,779
Atención, hemos conseguido una función que al hacer la composición me devuelve la x.

374
00:22:37,779 --> 00:22:40,859
¿qué quiere decir eso? que lo que hace la G

375
00:22:40,859 --> 00:22:42,940
lo deshace la F

376
00:22:42,940 --> 00:22:44,259
¿no?

377
00:22:44,579 --> 00:22:46,339
a mí la G me manda a un sitio

378
00:22:46,339 --> 00:22:47,460
y esa G

379
00:22:47,460 --> 00:22:50,740
y se le aplico la F

380
00:22:50,740 --> 00:22:52,220
me vuelvo a donde estaba

381
00:22:52,220 --> 00:22:54,799
pues atención, que esto es para

382
00:22:54,799 --> 00:22:56,879
que entendáis lo que es una inversa

383
00:22:59,700 --> 00:23:01,160
a ver, esto es

384
00:23:01,160 --> 00:23:03,279
G de F de X

385
00:23:03,279 --> 00:23:03,480
¿no?

386
00:23:05,180 --> 00:23:05,740
vale

387
00:23:05,740 --> 00:23:07,420
¿qué pongo aquí?

388
00:23:07,779 --> 00:23:13,240
la raíz de 3x más 2

389
00:23:13,240 --> 00:23:15,700
y ahora, esto es la parte que más nos cuesta

390
00:23:15,700 --> 00:23:17,359
g, ¿qué fórmula tiene?

391
00:23:19,960 --> 00:23:22,099
x al cuadrado menos 2

392
00:23:22,099 --> 00:23:23,799
partido por 3

393
00:23:23,799 --> 00:23:26,339
pero en vez de la x, ¿qué tengo que poner aquí?

394
00:23:28,440 --> 00:23:30,700
raíz de 3x más 2

395
00:23:30,700 --> 00:23:31,019
¿no?

396
00:23:33,119 --> 00:23:35,799
atención, ¿qué pasa con el cuadrado y la raíz?

397
00:23:35,799 --> 00:23:37,700
que se van

398
00:23:37,700 --> 00:23:40,339
o sea que esto es 3x más 2

399
00:23:40,339 --> 00:23:42,259
menos 2 partido por 3

400
00:23:42,259 --> 00:23:44,619
¿qué pasa con el 2 y el menos 2?

401
00:23:45,779 --> 00:23:46,919
que se van

402
00:23:46,919 --> 00:23:49,159
¿y cuánto es 3x partido por 3?

403
00:23:50,240 --> 00:23:50,839
x

404
00:23:50,839 --> 00:23:53,940
bueno, pues esta es la definición

405
00:23:53,940 --> 00:23:55,859
f y g

406
00:23:55,859 --> 00:23:59,299
son inversas entre sí

407
00:23:59,299 --> 00:24:08,619
O sea, que f es la inversa de g y g es la inversa de f.

408
00:24:11,319 --> 00:24:17,299
Bueno, he puesto este ejemplo para que veáis lo que es la definición de función inversa.

409
00:24:20,639 --> 00:24:26,299
Y lo que es muy habitual que os caiga es que calculéis una función inversa.

410
00:24:29,299 --> 00:24:38,259
Bueno, como os he dicho, una función de f en la norma 1, esta es la que funcionaba antes como g.

411
00:24:38,819 --> 00:24:44,359
g es la función de f cuando al componer las dos y aplicárselo a la x, vuelvo a la x.

412
00:24:45,119 --> 00:24:52,220
¿Sí? Entonces, vamos a ver dos ejercicios de inversa que son muy típicos, que son los que más me gustan a mí.

413
00:24:52,740 --> 00:24:55,879
Y si veis el examen del año pasado, se dirige el examen de este.

414
00:24:55,880 --> 00:24:59,500
A ver, ¿cómo se calcula una función inversa?

415
00:25:09,180 --> 00:25:12,160
¿Cómo calculo una función inversa?

416
00:25:13,820 --> 00:25:16,160
Pues lo que voy a hacer es lo siguiente.

417
00:25:17,400 --> 00:25:23,620
Primero, cambio x, la x por la y.

418
00:25:25,880 --> 00:25:28,960
Y segundo, despejo Y.

419
00:25:32,980 --> 00:25:36,920
En este ejemplo creo que se va a ver bastante claro por qué se hace esto.

420
00:25:39,360 --> 00:25:43,740
A ver, yo tengo esta función que es Y igual a 7X más 5, ¿no?

421
00:25:45,920 --> 00:25:51,020
Primera parte, donde está la X pongo la Y, donde pongo la Y, donde está la Y pongo la X, ¿no?

422
00:25:51,019 --> 00:25:56,839
Y ahora, segunda parte

423
00:25:56,839 --> 00:25:58,000
¿Cómo despejo la Y?

424
00:26:01,500 --> 00:26:03,259
Yo como soy un maniático

425
00:26:03,259 --> 00:26:04,799
y la Y está positiva

426
00:26:04,799 --> 00:26:05,619
la dejo aquí

427
00:26:05,619 --> 00:26:07,879
Entonces aquí ¿qué pondría?

428
00:26:09,359 --> 00:26:11,359
X menos 5

429
00:26:11,359 --> 00:26:12,119
¿Sí?

430
00:26:12,839 --> 00:26:14,400
Y ahora, ¿cómo despejo la Y?

431
00:26:16,400 --> 00:26:18,220
X2, X menos 5

432
00:26:18,220 --> 00:26:20,359
partido por 7

433
00:26:20,359 --> 00:26:20,759
¿Sí?

434
00:26:21,019 --> 00:26:34,460
Bueno, pues la función inversa de f, de x, perdón, f-1 de x es x-5 partido por c.

435
00:26:35,619 --> 00:26:38,680
Os dejo como ejercicio que lo comprobéis.

436
00:26:38,680 --> 00:26:44,259
esto tiene bastante lógica

437
00:26:44,259 --> 00:26:45,420
que es

438
00:26:45,420 --> 00:26:48,360
lo inverso

439
00:26:48,360 --> 00:26:50,420
de multiplicar 7

440
00:26:50,420 --> 00:26:52,640
y al resultado sumarle 5

441
00:26:52,640 --> 00:26:54,539
pues coger

442
00:26:54,539 --> 00:26:56,060
ese resultado

443
00:26:56,060 --> 00:26:58,039
restarle 5 y a lo que me queda

444
00:26:58,039 --> 00:27:00,620
estamos haciendo lo mismo pero al revés

445
00:27:00,620 --> 00:27:02,200
bueno, estamos haciendo

446
00:27:02,200 --> 00:27:04,240
no lo mismo sino lo estamos haciendo

447
00:27:04,240 --> 00:27:04,759
al revés

448
00:27:04,759 --> 00:27:08,340
entonces, este es el ejemplo

449
00:27:08,340 --> 00:27:10,720
habitual para que veáis

450
00:27:10,720 --> 00:27:12,900
un ejemplo sencillo

451
00:27:12,900 --> 00:27:14,560
yo tampoco me meto

452
00:27:14,560 --> 00:27:15,320
en grandes

453
00:27:15,320 --> 00:27:20,400
en grandes fregados pero

454
00:27:20,400 --> 00:27:21,700
esto para mí

455
00:27:21,700 --> 00:27:24,160
os sirve para

456
00:27:24,160 --> 00:27:27,060
estudiar la primera evaluación

457
00:27:27,060 --> 00:27:28,020
y la segunda

458
00:27:28,020 --> 00:27:30,340
pero vais teniendo ya una

459
00:27:30,340 --> 00:27:32,840
claridad de cómo se hacen las cuentas

460
00:27:32,840 --> 00:27:34,020
porque es importante

461
00:27:34,020 --> 00:27:35,840
para este año y para el próximo

462
00:27:36,840 --> 00:27:39,300
Entonces, yo quiero hacer la inversa de esta función.

463
00:27:41,300 --> 00:27:48,280
Esta función es y igual a 4x menos 3 partido por 7x más 5.

464
00:27:49,100 --> 00:27:50,760
¿Qué es lo primero que tengo que hacer?

465
00:27:53,420 --> 00:27:54,840
¿Dónde está la x?

466
00:27:57,720 --> 00:27:58,640
Pongo la y.

467
00:28:01,440 --> 00:28:05,000
¿Dónde está la x? Pongo la y aquí.

468
00:28:05,840 --> 00:28:21,820
Y ahora, esto está muy bien para ir repasando. Cuando yo tengo esta ecuación, ¿qué tengo que hacer con el denominador? Quitarlo, ¿no? Lo que está dividiendo pasa a multiplicar.

469
00:28:21,819 --> 00:28:28,379
esto os diría que lo repasaréis

470
00:28:28,379 --> 00:28:30,439
con más de una función, hay algún ejemplo

471
00:28:30,439 --> 00:28:33,899
porque esto es bastante indicador de que

472
00:28:33,899 --> 00:28:36,859
denomináis muchas cosas, después de quitar los denominadores

473
00:28:36,859 --> 00:28:40,179
se quitan los paréntesis

474
00:28:40,179 --> 00:28:43,399
7xy más 5x

475
00:28:43,399 --> 00:28:46,039
igual a 4y menos 3

476
00:28:46,039 --> 00:28:48,759
y aquí no me tengo que olvidar del objetivo

477
00:28:48,759 --> 00:28:51,159
¿qué es lo que quiero despejar? ¿la x o la y?

478
00:28:51,819 --> 00:29:00,819
No, no es la Y. Acuérdate de lo que os he puesto antes. Cambia la X por la Y, pero luego me interesa despejar la Y.

479
00:29:01,639 --> 00:29:09,819
Entonces, todo lo que tenga ahí lo paso al primer miembro y todo lo que no tenga ahí lo paso al segundo miembro.

480
00:29:13,740 --> 00:29:19,419
Entonces, ¿qué es lo que ocurre? Que tengo dos Ys. ¿Se os ocurre hacer algo?

481
00:29:21,819 --> 00:29:24,879
no, porque

482
00:29:24,879 --> 00:29:27,259
sí, pero entonces este 4

483
00:29:27,259 --> 00:29:27,759
¿qué hago?

484
00:29:28,059 --> 00:29:29,419
no, no se puede

485
00:29:29,419 --> 00:29:32,679
para pasar dividiendo

486
00:29:32,679 --> 00:29:34,659
tienes que sacar factor común

487
00:29:34,659 --> 00:29:36,659
entonces

488
00:29:36,659 --> 00:29:39,279
esto es 7x-4

489
00:29:39,279 --> 00:29:42,119
y esto es

490
00:29:42,119 --> 00:29:44,059
menos 3 menos 5

491
00:29:44,059 --> 00:29:46,599
y ahora puedes pasar dividiendo

492
00:29:46,599 --> 00:29:50,000
ahora podéis pasar dividiendo

493
00:29:50,000 --> 00:29:53,240
es un factor

494
00:29:53,240 --> 00:29:55,240
de todo el segundo mínimo

495
00:29:55,240 --> 00:29:59,619
conclusión

496
00:29:59,619 --> 00:30:01,940
la inversa

497
00:30:01,940 --> 00:30:03,740
de la función g

498
00:30:03,740 --> 00:30:05,680
es menos 3

499
00:30:05,680 --> 00:30:07,160
menos 5x

500
00:30:07,160 --> 00:30:09,400
partido por 7x

501
00:30:09,400 --> 00:30:10,619
menos 1

502
00:30:10,619 --> 00:30:12,720
y menos 4

503
00:30:12,720 --> 00:30:15,819
y menos 4

504
00:30:15,819 --> 00:30:18,779
ahora

505
00:30:18,779 --> 00:30:41,440
¿Qué queréis comprobarlo? Yo os reto a que hagáis la comprobación. ¿Sabéis cómo se comprueba esto? Tenéis que hacer f con f-1 y os tiene que dar x. O f-1 con f también os va a salir x.

506
00:30:41,440 --> 00:30:49,100
Si una función deshace lo que hace la otra, la otra deshace lo que no deshace la primera.

507
00:30:49,100 --> 00:31:03,120
Bueno, como veis

508
00:31:03,120 --> 00:31:05,020
tenéis ahí unas actividades propuestas

509
00:31:05,020 --> 00:31:07,140
y que

510
00:31:07,140 --> 00:31:08,360
básicamente es eso

511
00:31:08,360 --> 00:31:10,720
cambio la X por la Y

512
00:31:10,720 --> 00:31:11,800
y luego después voy

513
00:31:11,800 --> 00:31:15,200
y ahora nos vamos a algo más ligerito

514
00:31:15,200 --> 00:31:17,120
espero que sea más ligerito

515
00:31:17,120 --> 00:31:19,000
porque

516
00:31:19,000 --> 00:31:27,640
A mí me gusta mucho que tengáis las funciones en la cabeza cuando os diga una función que le preguntéis de qué familia es

517
00:31:27,640 --> 00:31:34,259
y que ya la tengáis trabajada.

518
00:31:35,019 --> 00:31:40,000
A ver, voy a hacerlo primero con números para que se vea más claro.

519
00:31:40,539 --> 00:31:45,900
Bueno, una función exponencial no es lo mismo potencial que exponencial.

520
00:31:45,900 --> 00:31:52,840
Por ejemplo, x elevado a 2 es una función potencial, porque es una potencia de x.

521
00:31:54,100 --> 00:31:58,380
2 elevado a x es una función exponencial porque la x está en el exponente.

522
00:31:58,860 --> 00:31:58,980
¿Sí?

523
00:31:59,620 --> 00:32:07,640
Entonces, primera cosa, antes de escribir esto de aquí, tengo x e y.

524
00:32:08,160 --> 00:32:09,660
¿Qué valores se os ocurriría darle?

525
00:32:11,200 --> 00:32:12,420
Esto, siempre.

526
00:32:13,860 --> 00:32:14,460
1.

527
00:32:15,900 --> 00:32:23,340
2. Vamos a dar valores negativos a ver qué es lo que pasa, ¿vale? Vamos a hacer esto.

528
00:32:24,540 --> 00:32:27,860
Bueno, entonces, ¿cuánto es 2 elevado a 0?

529
00:32:30,100 --> 00:32:33,019
Cualquier número elevado a 0 es 1. 2 elevado a 1.

530
00:32:35,640 --> 00:32:40,940
2. 2 elevado a 2. 4. 2 elevado a menos 1.

531
00:32:40,940 --> 00:32:59,779
O sea, que es 0,5. ¿Y 2 elevado a menos 2? 1 partido por 2 al cuadrado, que es un cuarto, que es 0,25. ¿Qué pasa si tomo elevado a menos 3?

532
00:32:59,779 --> 00:33:04,480
que sale un octavo

533
00:33:04,480 --> 00:33:06,359
cada vez sale más pequeño

534
00:33:06,359 --> 00:33:07,440
pero sale positivo

535
00:33:07,440 --> 00:33:09,879
¿y qué pasa si tomo

536
00:33:09,879 --> 00:33:11,619
2 elevado, perdón

537
00:33:11,619 --> 00:33:13,539
si la x vale 3

538
00:33:13,539 --> 00:33:15,039
si tomo 2 elevado a 3

539
00:33:15,039 --> 00:33:18,759
me sale 8

540
00:33:18,759 --> 00:33:22,240
¿qué pasa con esta función?

541
00:33:22,240 --> 00:33:31,200
a mi eso me encanta que lo digas

542
00:33:31,200 --> 00:33:33,140
porque muchas veces cuando tenéis

543
00:33:33,140 --> 00:33:35,059
una exponencial es muy bueno que sepáis

544
00:33:35,059 --> 00:33:36,380
que nunca va a salir negativa

545
00:33:36,380 --> 00:33:39,140
a ver, siempre pasa por aquí

546
00:33:39,140 --> 00:33:43,160
porque cualquier número elevado a 0

547
00:33:43,160 --> 00:33:43,599
es 1

548
00:33:43,599 --> 00:33:47,240
luego tiene el punto

549
00:33:47,240 --> 00:33:48,059
1, 2

550
00:33:48,059 --> 00:33:51,160
2, 4

551
00:33:52,240 --> 00:33:56,539
el 3,8

552
00:33:56,539 --> 00:34:02,900
y a partir de aquí empieza a subir un montón.

553
00:34:03,160 --> 00:34:06,460
Supongo que habéis oído hablar alguna vez del crecimiento exponencial.

554
00:34:07,839 --> 00:34:09,340
Esto se dispara.

555
00:34:09,820 --> 00:34:11,019
¿Y qué pasa por aquí?

556
00:34:13,019 --> 00:34:17,000
Pues que está con el punto 1,5,

557
00:34:17,639 --> 00:34:19,139
2, un cuarto,

558
00:34:19,760 --> 00:34:20,820
3, un octavo.

559
00:34:20,820 --> 00:34:23,900
como dices, es siempre positiva

560
00:34:23,900 --> 00:34:25,280
pero nunca, ¿no?

561
00:34:25,340 --> 00:34:27,539
se acerca mucho al cero, nunca llega a tocar

562
00:34:27,539 --> 00:34:29,640
el cero, pero es así

563
00:34:29,640 --> 00:34:29,860
¿no?

564
00:34:30,940 --> 00:34:33,519
esta gráfica, yo creo que

565
00:34:33,519 --> 00:34:35,519
no tiene ningún nombre técnico

566
00:34:35,519 --> 00:34:37,600
más que la gráfica de la función exponencial

567
00:34:37,600 --> 00:34:39,480
pero diríamos que tiene

568
00:34:39,480 --> 00:34:41,860
como, parece un tobogán

569
00:34:41,860 --> 00:34:42,019
¿no?

570
00:34:45,780 --> 00:34:48,120
más o menos diríamos que es un tobogán

571
00:34:48,120 --> 00:34:48,680
¿sí?

572
00:34:51,700 --> 00:34:54,260
Bueno, el significado de la...

573
00:34:54,260 --> 00:35:00,860
Voy a hacer dentro, con los mismos ejes, esta es la función igual a 2 elevado a x, ¿no?

574
00:35:02,080 --> 00:35:06,480
Voy a coger ahora un... Bueno, ¿qué pasaría si fuera 3 elevado a x?

575
00:35:06,880 --> 00:35:09,460
Que crecería mucho más todavía, ¿no?

576
00:35:10,039 --> 00:35:13,780
Pero, ¿qué pasa si tomo igual a 0,5 elevado a x?

577
00:35:13,780 --> 00:35:37,680
Voy a tomar los mismos valores. 0, 1, 2, menos 1, menos 2. ¿Cuánto es 0, 5 elevado a 0? Cualquier número elevado a 0 es 1. ¿Y 0, 5 elevado a 1? ¿Y 0, 5 elevado a 2? Sería 0, 25.

578
00:35:37,679 --> 00:35:45,099
Y ahora, si no lo sabéis, hacerlo con la calculadora. ¿Cuánto vale 0,5 elevado a menos 1?

579
00:35:50,739 --> 00:35:53,159
¿Cuánto vale 0,5 elevado a menos 1?

580
00:35:53,159 --> 00:36:02,059
¿Cómo está?

581
00:36:04,059 --> 00:36:05,500
¿Cómo puedo encontrarlo?

582
00:36:06,980 --> 00:36:10,279
Es que no lo he utilizado con la calculadora. 0,5 le va a dar menos.

583
00:36:11,859 --> 00:36:14,519
0,5 le va a dar menos. No, no, no, no.

584
00:36:14,519 --> 00:36:16,199
¿Tiene algún problema esto? No creo.

585
00:36:16,679 --> 00:36:18,000
¿Sabéis que es la flechita, no?

586
00:36:21,199 --> 00:36:22,119
¿Os sale 2?

587
00:36:23,159 --> 00:36:30,839
0.5 elevado a menos uno.

588
00:36:32,519 --> 00:36:33,519
A ver qué pasa aquí.

589
00:36:34,279 --> 00:36:37,659
1 elevado a menos uno.

590
00:36:40,259 --> 00:36:42,239
Bueno, entonces, esto es de dos.

591
00:36:42,399 --> 00:36:43,199
¿Sabéis por qué?

592
00:36:44,299 --> 00:36:45,719
0.5 es un medio, ¿no?

593
00:36:46,099 --> 00:36:48,719
Si lo eleváis a menos uno se le da la vuelta a la fracción.

594
00:36:49,399 --> 00:36:50,000
Pues sale dos.

595
00:36:50,219 --> 00:36:52,339
¿Y cuánto es 0.5 elevado a menos dos?

596
00:36:53,159 --> 00:36:58,920
Pues tendrá que salir 4, ¿no?

597
00:36:59,980 --> 00:37:13,420
Bueno, pues si veis los valores, si os fijáis, va a pasar por el mismo punto, va a pasar por el 1, 0, 5, el 1, 1 cuarto, y por aquí va por el menos 1, 2, y por aquí va por el menos 2, 4.

598
00:37:13,980 --> 00:37:21,159
Si os fijáis, os sale la función simétrica respecto del eje de las líneas.

599
00:37:21,159 --> 00:37:28,179
Entonces, si A es positiva, entonces es creciente

600
00:37:28,179 --> 00:37:34,179
Y si A es negativa, la función es decreciente

601
00:37:34,179 --> 00:37:40,839
¿Qué corte tiene con el eje de las X?

602
00:37:42,139 --> 00:37:44,559
No tiene corte con la X

603
00:37:44,559 --> 00:37:51,940
¿y qué corte tiene con OI?

604
00:37:54,960 --> 00:37:55,599
efectivamente

605
00:37:55,599 --> 00:37:56,880
con el eje OI

606
00:37:56,880 --> 00:37:59,420
siempre tengo el punto 0,1

607
00:37:59,420 --> 00:38:01,000
que es este

608
00:38:01,000 --> 00:38:05,759
y luego por otra parte

609
00:38:05,759 --> 00:38:07,019
por aquí como veis

610
00:38:07,019 --> 00:38:09,779
va cada vez más empinada

611
00:38:09,779 --> 00:38:11,719
pero nunca llega a ser vertical

612
00:38:11,719 --> 00:38:13,840
pero por aquí

613
00:38:13,840 --> 00:38:24,000
tiene una asíntota el eje o x o x os recuerdo que el eje o x tiene ecuación igual a cero porque la

614
00:38:24,000 --> 00:38:33,160
altura es cero tiene una asíntota horizontal que de esto ya hablaremos próximamente cuando hablemos

615
00:38:33,159 --> 00:38:44,539
de límites 5 si ya es mayor que cero la asíntota horizontal es por la izquierda y si es menor que

616
00:38:44,539 --> 00:38:46,579
cero, la asíntota

617
00:38:46,579 --> 00:38:48,619
horizontal es por la derecha.

618
00:38:49,960 --> 00:38:50,079
Sí.

619
00:38:50,400 --> 00:38:52,340
Pero con cinco es mayor que cero.

620
00:38:54,000 --> 00:38:54,460
Porque es

621
00:38:54,460 --> 00:38:54,900
anécdota.

622
00:38:56,719 --> 00:38:58,440
Ay, perdón, perdón, perdón, perdón,

623
00:38:58,519 --> 00:39:00,340
perdón, sí. Aquí es uno,

624
00:39:00,440 --> 00:39:01,300
es uno, es uno.

625
00:39:02,900 --> 00:39:03,380
Sí.

626
00:39:04,199 --> 00:39:06,360
Cada vez que multiplico por algo mayor

627
00:39:06,360 --> 00:39:07,659
que uno, va creciendo.

628
00:39:08,239 --> 00:39:10,519
Cada vez que multiplico por algo menor que uno,

629
00:39:10,800 --> 00:39:12,219
va decreciendo. Muchas gracias.

630
00:39:12,779 --> 00:39:13,320
Muchas gracias.

631
00:39:14,539 --> 00:39:19,659
Pues esta es la idea de lo que es la función exponencial, que la visualicéis.

632
00:39:19,659 --> 00:39:31,019
Ah, y lo que me has dicho, que siempre insisto mucho, ¿no? Es que a elevado a x siempre es positivo.

633
00:39:36,300 --> 00:39:40,759
Esto ya os lo comenté, creo, en la primera evaluación en las ecuaciones exponenciales,

634
00:39:40,760 --> 00:39:53,740
Que si yo, por ejemplo, os digo a elevado a x, por ejemplo, si tenéis la función 2 elevado a x igual a menos 3, esto no tiene solución.

635
00:39:55,280 --> 00:40:05,820
No sé si os acordáis de la primera evaluación, que nos podía salir esto, que si tenéis una potencia de base positiva, nunca puede el resultado ser negativo.

636
00:40:05,820 --> 00:40:11,519
bueno, os dejo como ejercicio

637
00:40:11,519 --> 00:40:13,059
que hagáis con la función

638
00:40:13,059 --> 00:40:14,660
en realidad lo hemos hecho

639
00:40:14,660 --> 00:40:17,539
porque un medio elevado a x es 0.5 elevado a x

640
00:40:17,539 --> 00:40:19,580
pero bueno, lo podéis hacer con cualquier

641
00:40:19,580 --> 00:40:20,780
otra función

642
00:40:20,780 --> 00:40:23,820
y nos queda solo la función logaritmo

643
00:40:23,820 --> 00:40:25,039
con lo cual

644
00:40:25,039 --> 00:40:28,100
vale

645
00:40:28,100 --> 00:40:31,480
vale

646
00:40:31,480 --> 00:40:33,200
la función logaritmo

647
00:40:33,200 --> 00:40:34,780
de x

648
00:40:34,780 --> 00:40:39,780
A ver, aquí en la parte de funciones lo que me interesa es que os quedéis con la gráfica.

649
00:40:42,200 --> 00:40:46,740
Pero, a ver, la primera cosa.

650
00:40:47,680 --> 00:40:49,860
¿Cuándo existe el logaritmo de un número?

651
00:40:55,480 --> 00:41:02,580
Para que exista el logaritmo.

652
00:41:04,780 --> 00:41:07,420
de un número

653
00:41:07,420 --> 00:41:15,360
debe ser mayor que cero.

654
00:41:24,200 --> 00:41:26,320
¿En qué influye aquí esto?

655
00:41:26,800 --> 00:41:28,700
Pues en que el dominio

656
00:41:28,700 --> 00:41:31,640
de la función que tengo

657
00:41:31,639 --> 00:41:34,480
es el intervalo

658
00:41:34,480 --> 00:41:35,879
cero infinito

659
00:41:35,879 --> 00:41:39,519
esto lo dije el otro día

660
00:41:39,519 --> 00:41:41,259
cuando hablábamos de dominio

661
00:41:41,259 --> 00:41:42,279
no sé si os acordáis

662
00:41:42,279 --> 00:41:46,679
el dominio de una función polinómica

663
00:41:46,679 --> 00:41:48,099
son todos los números reales

664
00:41:48,099 --> 00:41:50,279
una racional, el denominador tiene que ser

665
00:41:50,279 --> 00:41:52,839
distinto de cero y para una logarítmica

666
00:41:52,839 --> 00:41:54,400
para una radical

667
00:41:54,400 --> 00:41:56,679
el índice par tiene que ser

668
00:41:56,679 --> 00:41:57,940
el radicando

669
00:41:57,940 --> 00:42:00,539
positivo cero y para una logarítmica

670
00:42:00,539 --> 00:42:01,960
lo que hay dentro del logaritmo

671
00:42:01,960 --> 00:42:04,579
tiene que ser positivo estrictamente

672
00:42:04,579 --> 00:42:05,579
no puede ser feo

673
00:42:05,579 --> 00:42:09,000
entonces el dominio de la función logarítmica

674
00:42:09,000 --> 00:42:09,679
es este

675
00:42:09,679 --> 00:42:12,679
y ahora es importante

676
00:42:12,679 --> 00:42:14,380
que sepáis que

677
00:42:14,380 --> 00:42:16,980
la función logaritmo

678
00:42:16,980 --> 00:42:18,139
en base 2 de x

679
00:42:18,139 --> 00:42:20,940
es inversa

680
00:42:20,940 --> 00:42:23,440
de la función

681
00:42:23,440 --> 00:42:26,840
inversa

682
00:42:26,840 --> 00:42:28,300
de la función

683
00:42:28,300 --> 00:42:29,860
2 elevado a x

684
00:42:29,860 --> 00:42:34,280
porque esa es la definición del logaritmo

685
00:42:34,280 --> 00:42:35,039
en el fondo

686
00:42:35,039 --> 00:42:37,180
y esto es lo fundamental

687
00:42:37,180 --> 00:42:39,380
que sepáis que los números negativos

688
00:42:39,380 --> 00:42:40,680
no tienen logaritmo

689
00:42:40,680 --> 00:42:43,220
y además que sepáis esto

690
00:42:43,220 --> 00:42:45,079
¿por qué?

691
00:42:47,840 --> 00:42:48,880
vamos a ver

692
00:42:48,880 --> 00:42:51,400
si yo tengo la gráfica

693
00:42:51,400 --> 00:42:52,840
de la función exponencial

694
00:42:52,840 --> 00:42:55,780
la gráfica de la función exponencial

695
00:42:55,780 --> 00:42:59,480
la tabla, mejor dicho

696
00:42:59,480 --> 00:43:12,340
Es 0, 1, 2, 1, 2, 2, 4, ¿qué más? 4, perdón, 3, 8, ¿no?

697
00:43:14,340 --> 00:43:23,179
Bueno, pues si yo sé que esta función es inversa de esta, para hacer la tabla de la función logaritmo, ¿qué tengo que hacer?

698
00:43:23,179 --> 00:43:26,299
Cambiar la x con la y.

699
00:43:27,139 --> 00:43:28,319
O sea, que aquí ¿qué pondría?

700
00:43:29,000 --> 00:43:39,519
En vez de 0, 1, 1, 0, aquí, 2, 1, 4, 2, 8, 3, así sucesivamente.

701
00:43:40,480 --> 00:43:46,000
Si queréis repasar logaritmos, el logaritmo en base 2 de 2 es 1.

702
00:43:46,480 --> 00:43:52,480
El logaritmo en base 2 de 4, que es 2 al cuadrado, es 2.

703
00:43:53,179 --> 00:43:58,480
El logaritmo en base 2 de 8, que es 2 al cubo, es 3.

704
00:44:00,259 --> 00:44:04,179
¿No? Os recuerdo un poquito de logaritmos porque esta es la definición de logaritmo.

705
00:44:06,179 --> 00:44:12,179
Entonces, si yo dibujo

706
00:44:12,179 --> 00:44:28,500
dibujo. La función 2 elevado a x la voy a volver a dibujar. Acordaos que pasa por aquí,

707
00:44:29,299 --> 00:44:40,559
que pasa por aquí. 1, 2, 3 y 4 pasa por aquí. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8 pasa por aquí. Esta

708
00:44:40,559 --> 00:44:43,299
es la función exponencial.

709
00:44:45,960 --> 00:44:47,420
Esto se me va un poquito así.

710
00:44:48,980 --> 00:44:49,159
Vale.

711
00:44:51,900 --> 00:44:52,239
A ver.

712
00:44:59,980 --> 00:45:02,099
Y ahora cambio la x por la y.

713
00:45:02,099 --> 00:45:03,619
Este es el punto 0,1.

714
00:45:04,079 --> 00:45:06,980
Esta es la función igual a 2 elevado a x.

715
00:45:06,980 --> 00:45:10,559
este es el punto

716
00:45:10,559 --> 00:45:13,139
1, 0

717
00:45:13,139 --> 00:45:15,219
este es el punto

718
00:45:15,219 --> 00:45:17,159
si aquí tenía el punto 1, 2

719
00:45:17,159 --> 00:45:18,320
este es el 2, 1

720
00:45:18,320 --> 00:45:23,119
el punto 4, 2 sería este

721
00:45:23,119 --> 00:45:29,079
el punto 8, 3

722
00:45:29,079 --> 00:45:32,099
sería este

723
00:45:32,099 --> 00:45:35,840
luego vendría el 16, 4

724
00:45:35,840 --> 00:45:42,340
el 16.4 está por aquí

725
00:45:42,340 --> 00:45:43,700
si os fijáis

726
00:45:43,700 --> 00:45:46,160
lo que tiene el crecimiento

727
00:45:46,160 --> 00:45:49,000
más lento del mundo es la función logarítmica

728
00:45:49,000 --> 00:45:51,340
al revés que la exponencial

729
00:45:51,340 --> 00:45:54,000
la exponencial es de crecimiento rápido

730
00:45:54,000 --> 00:45:56,539
y la logarítmica es creciente

731
00:45:56,539 --> 00:46:00,200
pero de crecimiento lentísimo

732
00:46:00,200 --> 00:46:08,400
y si siguierais

733
00:46:08,400 --> 00:46:10,320
seguiría por aquí

734
00:46:10,320 --> 00:46:12,620
si le dais la tabla

735
00:46:12,620 --> 00:46:14,680
si le dais la vuelta a la tabla

736
00:46:14,680 --> 00:46:16,820
de la función exponencial, sale así

737
00:46:16,820 --> 00:46:18,900
¿vale? entonces

738
00:46:18,900 --> 00:46:21,020
ya he dicho que el dominio

739
00:46:21,020 --> 00:46:22,700
son los números

740
00:46:22,700 --> 00:46:24,620
reales positivos

741
00:46:24,620 --> 00:46:24,840
¿no?

742
00:46:26,260 --> 00:46:28,700
esta gráfica, esto es lo primero

743
00:46:28,700 --> 00:46:46,140
Lo segundo es simétrica de f de x, que es 2 elevado a x.

744
00:46:47,120 --> 00:46:51,580
¿Cuál sería el eje de simetría?

745
00:46:51,900 --> 00:46:55,160
Esta recta, que si os fijáis, es y igual a x.

746
00:46:55,159 --> 00:47:00,259
el espejo de cualquier función y su inversa

747
00:47:00,259 --> 00:47:03,639
es igual a X, porque aquí es donde exactamente son iguales

748
00:47:03,639 --> 00:47:06,500
y a partir de ahí cuando cambiéis una por otra

749
00:47:06,500 --> 00:47:08,099
os haréis un complejo de una a la otra

750
00:47:08,099 --> 00:47:13,699
y bueno

751
00:47:13,699 --> 00:47:16,000
como pasaba antes

752
00:47:16,000 --> 00:47:18,679
si A es mayor que 1

753
00:47:18,679 --> 00:47:20,679
es creciente

754
00:47:20,679 --> 00:47:25,239
y si A es menor que 1

755
00:47:25,239 --> 00:47:26,739
es decreciente

756
00:47:26,739 --> 00:47:28,879
ahora la voy a pintar con A menor que 1

757
00:47:28,879 --> 00:47:31,559
¿sí?

758
00:47:32,179 --> 00:47:35,099
bueno, pues esto es lo que tenéis que saber de la función logarítmica

759
00:47:35,099 --> 00:47:38,779
importante, porque de esto ya hablaremos

760
00:47:38,779 --> 00:47:41,739
el límite cuando x tiende a infinito

761
00:47:41,739 --> 00:47:43,899
de la función exponencial es infinito

762
00:47:43,899 --> 00:47:48,139
cuando x tiende a menos infinito es cero

763
00:47:48,139 --> 00:47:48,879
¿sí?

764
00:47:48,880 --> 00:47:53,380
lo veis, cuando yo me voy hacia menos infinito en la x

765
00:47:53,380 --> 00:47:56,900
la función se acerca mucho al valor 0

766
00:47:56,900 --> 00:48:00,039
esto ya de cara a los límites

767
00:48:00,039 --> 00:48:06,240
el límite cuando x se acerca a 0 por la derecha es menos infinito

768
00:48:06,240 --> 00:48:12,559
y el límite cuando x tiende a infinito de la función logarítmico es infinito

769
00:48:12,559 --> 00:48:16,000
pero es un infinito que crece muy lentamente

770
00:48:16,000 --> 00:48:18,500
pero esta función no tiene ningún tope

771
00:48:18,880 --> 00:48:30,119
Bueno, pues estas son las cosas que a mí me gusta contar de las funciones porque se llaman familias de funciones y de lo que trata es que para vosotros sean como de la familia.

772
00:48:30,119 --> 00:48:53,119
Bueno, entonces, para terminar, aunque lo dejo como ejercicio, pues la voy a esbozar nada más, que sepáis que si a es menor que 1, bueno, tiene que estar entre 0 y 1,

773
00:48:53,119 --> 00:48:57,420
si yo dibujo la función exponencial

774
00:48:57,420 --> 00:49:00,819
hemos dicho que si a es menor que 1

775
00:49:00,819 --> 00:49:03,219
la función exponencial iba así

776
00:49:03,219 --> 00:49:09,719
esto cuesta un poquito más verlo

777
00:49:09,719 --> 00:49:14,259
os he dicho que esto tenía que ser simétrico con esto

778
00:49:18,259 --> 00:49:21,239
el simétrico de este punto es este

779
00:49:21,240 --> 00:49:26,940
el simétrico de este punto

780
00:49:26,940 --> 00:49:29,100
sería este

781
00:49:29,100 --> 00:49:34,720
el simétrico de este punto

782
00:49:34,720 --> 00:49:37,340
pues sería este

783
00:49:37,340 --> 00:49:39,720
es que esto es más difícil de ver

784
00:49:39,720 --> 00:49:42,520
bueno, pues la función logaritmo

785
00:49:42,520 --> 00:49:45,180
cuando la base es menor que 1

786
00:49:45,180 --> 00:49:46,820
es muy clara, es así

787
00:49:46,820 --> 00:49:50,300
tenéis que hacer un esfuerzo de imaginación

788
00:49:50,300 --> 00:50:00,740
porque la cosa no es demasiado sencilla, pero si os fijáis, esta figura azul y la roja son simétricas con la recta igual a X.

789
00:50:02,000 --> 00:50:12,140
Como os he dicho, como os he puesto en un ejercicio, hacedlo con una tabla de valores, repaséis logaritmos y así creo que la cosa se puede entender un poquito mejor.

790
00:50:12,139 --> 00:50:16,819
en cuanto a

791
00:50:16,819 --> 00:50:18,500
bueno, esto viene

792
00:50:18,500 --> 00:50:20,639
en cuanto a lo que tenéis

793
00:50:20,639 --> 00:50:21,839
que mirar de funciones

794
00:50:21,839 --> 00:50:24,460
es importante

795
00:50:24,460 --> 00:50:26,339
pero yo no suelo preguntarlo

796
00:50:26,339 --> 00:50:28,440
lo que son las simetrías y las funciones

797
00:50:28,440 --> 00:50:30,500
periódicas, el que pueda verlo

798
00:50:30,500 --> 00:50:32,259
pues mucho mejor para él que también

799
00:50:32,259 --> 00:50:33,779
pero

800
00:50:33,779 --> 00:50:35,539
yo no suelo

801
00:50:35,539 --> 00:50:38,319
preguntarlo y luego

802
00:50:38,319 --> 00:50:40,539
en cuanto a lo que os digo

803
00:50:40,539 --> 00:50:41,199
siempre

804
00:50:41,200 --> 00:51:07,840
De preparar exámenes, pues vamos a ir viendo poco a poco, todos los días, lo que nos depara la tercera evaluación, porque esta evaluación tenéis que ser muy prácticos con el tema de asignatura, evaluación de las clases, preparación de exámenes.

805
00:51:07,840 --> 00:51:24,840
Con la preparación de los exámenes tengo que colgaros que todavía no lo he hecho en los finales del año pasado, porque es que al final los exámenes de la tercera evaluación os sirven de referencia por repertorio de ejercicios.

806
00:51:24,840 --> 00:51:26,660
pero

807
00:51:26,660 --> 00:51:32,079
así como modelo de examen

808
00:51:32,079 --> 00:51:34,160
yo creo que sirve más el final del año pasado

809
00:51:34,160 --> 00:51:36,280
porque la tercera es un final en realidad

810
00:51:36,280 --> 00:51:39,760
bueno, entonces, fijándonos en esto

811
00:51:39,760 --> 00:51:43,140
¿sabréis calcular el dominio de una función con raíz

812
00:51:43,140 --> 00:51:46,720
par o de una función racional?

813
00:51:49,400 --> 00:51:51,519
¿sabréis calcular la inversa de esta función?

814
00:51:52,440 --> 00:51:54,240
bueno, pues esto es lo que hemos visto hasta ahora

815
00:51:54,240 --> 00:51:58,540
lo más importante. Bueno, sabéis representar esta gráfica

816
00:51:58,540 --> 00:52:02,760
que hicimos en la matemática. Entonces, yo os diría

817
00:52:02,760 --> 00:52:06,760
que ya vayáis viendo esto de aquí, para que os vayáis

818
00:52:06,760 --> 00:52:10,820
viendo qué es lo que sabéis de lo que hemos dado, tal si

819
00:52:10,820 --> 00:52:13,940
lo domináis o no. Como veis, dominio de una función

820
00:52:13,940 --> 00:52:16,260
y dominio de una función racional.

821
00:52:18,240 --> 00:52:22,560
Segunda parte, obten la función inversa. Y aquí he añadido

822
00:52:22,559 --> 00:52:23,440
el apartado B

823
00:52:23,440 --> 00:52:25,820
que tengo esta F

824
00:52:25,820 --> 00:52:28,159
y una G que me he inventado

825
00:52:28,159 --> 00:52:29,380
y que hagáis la composición

826
00:52:29,380 --> 00:52:32,420
y que hagáis una

827
00:52:32,420 --> 00:52:33,779
gráfica de una función

828
00:52:33,779 --> 00:52:36,820
que como veis no pongo las más difíciles

829
00:52:36,820 --> 00:52:38,139
del mundo, pongo una parábola

830
00:52:38,139 --> 00:52:39,940
una recta horizontal y una recta

831
00:52:39,940 --> 00:52:41,940
y de momento eso es lo que

832
00:52:41,940 --> 00:52:44,279
esos son los ejercicios

833
00:52:44,279 --> 00:52:45,860
más clave que tenéis que hacer

834
00:52:45,860 --> 00:52:47,059
¿vale?

835
00:52:48,639 --> 00:52:50,199
Bueno, no sé si tenéis alguna

836
00:52:50,199 --> 00:52:52,500
pregunta o alguna cosa

837
00:52:52,500 --> 00:52:54,119
No sé si os va a...

838
00:52:54,119 --> 00:52:56,500
Dame directo si os sirven las grabaciones de...

839
00:52:58,039 --> 00:52:59,260
Porque os subo.

840
00:53:00,599 --> 00:53:01,940
No sé si las habéis visto alguna.

841
00:53:03,559 --> 00:53:05,000
Pero sabéis entrar, ¿no?

842
00:53:05,099 --> 00:53:06,719
Como os he explicado al principio.

843
00:53:07,500 --> 00:53:10,500
En el aula virtual, en recursos generales...

844
00:53:11,320 --> 00:53:14,239
Sí, sí, está grabada, sí.

845
00:53:15,579 --> 00:53:17,619
Bueno, entonces, detenemos esta grabación.