1
00:00:05,099 --> 00:00:10,800
Bien, hoy vamos a ver un segundo vídeo con derivadas de funciones logarítmicas y exponenciales.

2
00:00:12,800 --> 00:00:16,579
Bien, vamos a empezar con la derivada de un logaritmo neperiano.

3
00:00:17,100 --> 00:00:26,160
Si es igual al neperiano de una función f de x, su derivada es f' de x partido por f de x.

4
00:00:26,719 --> 00:00:28,539
Entonces, bueno, en este caso sería así, ¿no?

5
00:00:28,539 --> 00:00:37,119
f' de x sería igual a la derivada de la función, derivada del polinomio, que es 2x menos 2,

6
00:00:37,740 --> 00:00:43,439
partido por la función sin derivada, x cuadrado menos 2x más 3, ¿vale?

7
00:00:44,000 --> 00:00:45,880
Y así nos quedaría, ¿no?

8
00:00:46,479 --> 00:00:52,100
Este otro, f de x igual al neperiano de un cociente de funciones.

9
00:00:52,600 --> 00:00:55,460
Bien, si aplicamos las propiedades de los logaritmos,

10
00:00:55,460 --> 00:01:08,120
Tenemos el logaritmo en base a de p partido por q, pues es igual al logaritmo en base a de p menos el logaritmo en base a de q.

11
00:01:08,260 --> 00:01:12,340
El logaritmo de un cociente se puede poner como una diferencia de logaritmos.

12
00:01:12,560 --> 00:01:23,359
Si lo hacemos así, f de x será igual al neperiano de 2x menos 1 menos el neperiano de x más 2.

13
00:01:23,359 --> 00:01:26,620
y en vez de derivar esta función derivamos esto

14
00:01:26,620 --> 00:01:28,719
pues yo creo que es un poquito más sencillo

15
00:01:28,719 --> 00:01:30,620
f' de x pues es

16
00:01:30,620 --> 00:01:32,579
derivada de neperiano

17
00:01:32,579 --> 00:01:34,319
derivada de neperiano es derivada de la función

18
00:01:34,319 --> 00:01:35,920
partido por la función sin derivar

19
00:01:35,920 --> 00:01:38,540
derivada de 2x menos 1 que es 2

20
00:01:38,540 --> 00:01:40,959
partido por 2x menos 1

21
00:01:40,959 --> 00:01:43,079
menos la derivada de x más 2

22
00:01:43,079 --> 00:01:43,579
que es 1

23
00:01:43,579 --> 00:01:45,760
partido por x más 2

24
00:01:45,760 --> 00:01:48,040
y ahora lo único que nos faltaría sería

25
00:01:48,040 --> 00:01:51,299
restar, reducir a como denominador

26
00:01:51,299 --> 00:01:53,340
y esto sería igual a

27
00:01:53,340 --> 00:02:09,780
2 por x más 2, menos 1 por 2x menos 1, partido por 2x menos 1 por x más 2.

28
00:02:09,780 --> 00:02:30,069
Bien, pues f' de x sería igual a 2x más 4 menos 2x más 1, partido por 2x menos 1 por x más 2.

29
00:02:30,629 --> 00:02:46,039
2x menos 2x se anula y f' de x pues será igual a 5 partido por 2x menos 1 por x más 2.

30
00:02:53,219 --> 00:03:01,080
Bien, otra forma de hacerlo sería simplemente haciendo la llevada del cociente.

31
00:03:02,300 --> 00:03:06,400
Y entonces en ese caso pues lo haríamos de la siguiente forma.

32
00:03:06,400 --> 00:03:26,789
f' de x sería igual a la derivada del cociente, y la derivada del cociente es la derivada del primero, que es 2, por x más 2, menos la derivada del segundo, que es 1 por 2x menos 1,

33
00:03:26,789 --> 00:03:42,979
dividido entre x más 2 al cuadrado y partido por la función sin derivar, 2x menos 1 entre x más 2.

34
00:03:42,979 --> 00:03:54,219
Esto es igual a, operamos aquí en el numerador, 2x más 4 menos 2x más 1,

35
00:03:54,219 --> 00:04:02,860
partido por x más 2 al cuadrado

36
00:04:02,860 --> 00:04:15,509
y dividido por 2x menos 1 entre x más 2.

37
00:04:15,909 --> 00:04:19,430
Bien, 2x menos 2x lo podemos simplificar

38
00:04:19,430 --> 00:04:21,209
y bueno, 4 más 1 es 5.

39
00:04:22,029 --> 00:04:24,430
Y ahora hacemos producto de los extremos

40
00:04:24,430 --> 00:04:26,449
entre el producto de los medios, ¿no?

41
00:04:27,089 --> 00:04:34,410
f' de x es igual a 5 por x más 2

42
00:04:34,410 --> 00:04:43,439
y dividido entre x más 2 al cuadrado por 2x menos 1.

43
00:04:44,660 --> 00:04:47,220
Este x más 2 con un x más 2 lo podemos simplificar

44
00:04:47,220 --> 00:04:57,220
y nos queda 5 partido por x más 2 por 2x menos 1, igual que antes.

45
00:04:58,120 --> 00:05:01,319
Voy a hacer de las dos formas y va a quedar el 2 seria.

46
00:05:02,699 --> 00:05:05,980
Bien, vamos a ver ahora la derivada de una función logarítmica,

47
00:05:05,980 --> 00:05:11,379
pero con base distinta al número, un logaritmo en base 3 en concreto.

48
00:05:12,180 --> 00:05:21,860
Bien, si es igual al logaritmo en base a de f de x, su derivada y prima es f' de x partido por f de x por n periano de a.

49
00:05:24,980 --> 00:05:34,220
Bien, pues en este caso, pues f' de x será igual a derivada de la función, que es 2x,

50
00:05:34,220 --> 00:05:42,100
partido por la función sin derivar, que es x cuadrado más 1, por el neperiano de la base, que es el neperiano de 3.

51
00:05:42,579 --> 00:05:43,420
Y así nos quedaría.

52
00:05:44,879 --> 00:05:52,180
Y en este otro ejemplo tenemos la derivada de un producto x por el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1.

53
00:05:52,939 --> 00:05:57,439
Recordamos, la derivada de un producto es derivada del primero por el segundo sin derivar,

54
00:05:57,600 --> 00:06:00,699
más derivada del segundo por el primero sin derivar.

55
00:06:00,699 --> 00:06:12,540
Por lo tanto, pues f' de x será igual a derivada de x, que es 1, por el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1,

56
00:06:13,839 --> 00:06:23,379
más la derivada del segundo, que es el logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1, que es derivada de la función derivada de x cuadrado menos 1,

57
00:06:23,379 --> 00:06:30,439
que es 2x, partido por la función sin derivar, x cuadrado menos 1, por el neperiano de la base.

58
00:06:33,300 --> 00:06:36,639
Y por el primero sin derivar.

59
00:06:37,480 --> 00:06:54,560
f' de x entonces nos queda logaritmo en base 2 de x cuadrado menos 1 más 2x cuadrado partido por x cuadrado menos 1 por el neperiano de 2.

60
00:06:56,120 --> 00:06:57,060
Y así se quedaría.

61
00:06:59,050 --> 00:07:03,709
Bien, vamos a ver ahora la derivada de las funciones exponenciales.

62
00:07:04,050 --> 00:07:06,569
Primero vamos a ver las que tienen base en número.

63
00:07:07,110 --> 00:07:15,970
Si es igual a e elevado a f de x, su derivada de prima es s prima de x por e elevado a la función sin derivar.

64
00:07:15,970 --> 00:07:32,149
Por lo tanto, f prima de x será igual a derivada de la función derivada de x cuadrado más 2x más 1 es 2x más 2 por e elevado a la función sin derivar.

65
00:07:32,149 --> 00:07:37,110
x cuadrado más 2x más 1, y ya estaría.

66
00:07:39,660 --> 00:07:43,060
Bien, en este caso también tenemos una función exponencial,

67
00:07:43,060 --> 00:07:49,060
pero la función que tenemos en el exponente es el producto de una constante por una función.

68
00:07:49,680 --> 00:07:54,680
Entonces, la derivada de una constante por una función es la constante por la derivada de la función.

69
00:07:55,459 --> 00:07:57,879
Luego, la función es una raíz cuadrada.

70
00:07:57,879 --> 00:08:04,480
La derivada de la raíz cuadrada de f de x es f' de x partido por 2 raíz de f de x.

71
00:08:05,120 --> 00:08:11,639
Bueno, entonces vamos a aplicar la regla de la cadena y f' de x será igual a

72
00:08:11,639 --> 00:08:20,680
derivada de la función, que es la constante, por la derivada de la función, que es

73
00:08:21,360 --> 00:08:29,060
Derivada de x cuadrado menos 2, que es 2x partido por dos veces la raíz de x cuadrado menos 2,

74
00:08:29,879 --> 00:08:32,179
por e elevado a la función sin derivar.

75
00:08:32,460 --> 00:08:47,710
El 2 y el 2 se puede simplificar y nos queda que f' de x es 4x partido por la raíz de x cuadrado menos 2,

76
00:08:49,129 --> 00:08:53,029
por e elevado a 4 raíz de x cuadrado menos 2.

77
00:08:53,029 --> 00:09:05,009
Bien. Vamos a ver ahora la derivada de una función exponencial, pero con base distinta al número y.

78
00:09:05,409 --> 00:09:15,330
Bien, pues si y es igual a a elevado a f de x, y' es la derivada de la función por a elevado a la función sin derivar por el neperiano de a.

79
00:09:15,610 --> 00:09:25,009
¿Vale? Bien, aquí la función que tenemos que derivar es esta, que es menos x más 1 partido por 2 y menos es como si fuese una constante.

80
00:09:25,870 --> 00:09:28,789
Y x más 1 partido por 2, pues, se puede interpretar como un cociente

81
00:09:28,789 --> 00:09:31,750
o se puede interpretar simplemente que es un polinomio.

82
00:09:31,850 --> 00:09:38,549
x más 1 partido por 2 es lo mismo que x medios más 1 medio, ¿no?

83
00:09:38,990 --> 00:09:42,590
Y esto es un polinomio cuyo coeficiente de la x es 1 medio.

84
00:09:43,269 --> 00:09:48,629
Entonces, f' de x es derivada de x medios, 1 medio.

85
00:09:49,070 --> 00:09:53,659
Bueno, el menos es la menos 1 medio, ¿no?

86
00:09:53,659 --> 00:10:08,460
Es la constante, que es menos, derivada de x medios es un medio, por 2 elevado a la función sin derivar, menos, más 1, partido por 2, por el neperiano de 2.

87
00:10:09,399 --> 00:10:11,759
Bueno, y ya estaría, ¿no? Eso es lo que tenemos ahí.

88
00:10:16,799 --> 00:10:21,000
2 elevado a x cuadrado menos 1, partido por x cuadrado.

89
00:10:21,000 --> 00:10:25,700
Aquí ahora la función se trata de un cociente, entonces hay que hacer la derivada de un cociente.

90
00:10:26,340 --> 00:10:37,700
Entonces, f' de x será igual a, derivada de la función, que como es un cociente, será 2x por el denominador sin derivar,

91
00:10:38,600 --> 00:10:47,080
menos la derivada del denominador, que es 2x, por el de arriba sin derivar, y partido por el denominador al cuadrado.

92
00:10:47,080 --> 00:11:07,450
En este caso sería x a la cuarta, ¿no? Por 2 elevado a x cuadrado menos 1 partido por x cuadrado. 2 elevado a la función en derivar por el neperiano de 2.

93
00:11:07,450 --> 00:11:19,009
f' de x pues sería igual a 2x cubo menos 2x cubo más 2x menos por menos más

94
00:11:19,009 --> 00:11:22,090
partido por x a la cuarta

95
00:11:22,090 --> 00:11:30,309
por 2 elevado a x cuadrado menos 1 entre x al cuadrado por el neperiano de 2

96
00:11:30,750 --> 00:11:33,190
2x cubo menos 2x cubo se anula

97
00:11:33,190 --> 00:11:51,909
Y este 2x con x a la cuarta podemos simplificar también una x y nos queda f' de x es igual a 2 partido por x al cubo por 2 elevado a la función sin derivar x al cuadrado menos 1 partido por x al cuadrado por el neperiano de 2.

98
00:11:51,909 --> 00:12:04,169
Bien. Y por último, ya para terminar, pues vamos a hacer la derivada de un cociente donde aparecen logaritmos y funciones exponenciales y en neperiano de una raíz cuadrada.

99
00:12:04,169 --> 00:12:17,909
Y empezamos con esta, la derivada de un cociente. Aquí tenemos, recordamos la derivada de un cociente, pues f' de x es igual a la derivada del primero, 1 partido por x, por el segundo por el de abajo sin derivar,

100
00:12:17,909 --> 00:12:21,970
menos la derivada de elevado a x, que es elevado a x,

101
00:12:22,750 --> 00:12:26,429
por el de arriba sin derivar, neperiano de x,

102
00:12:26,690 --> 00:12:29,289
y partido por el denominador al cuadrado.

103
00:12:29,970 --> 00:12:30,110
Bien.

104
00:12:30,690 --> 00:12:34,769
Arriba tenemos un elevado a x, en ambos mandos podemos sacar factor común.

105
00:12:35,590 --> 00:12:39,009
Y f' de x, pues es elevado a x,

106
00:12:40,470 --> 00:12:45,350
por 1 partido por x, menos neperiano de x,

107
00:12:45,350 --> 00:12:50,029
partido por e elevado a x al cuadrado.

108
00:12:51,330 --> 00:12:55,029
Podemos simplificar y nos queda...

109
00:12:55,570 --> 00:12:59,330
Bien, arriba sumamos, reducimos a común denominador x

110
00:12:59,330 --> 00:13:03,470
y nos quedaría 1 menos x neperiano de x

111
00:13:03,470 --> 00:13:07,570
partido por x, partido por e elevado a x.

112
00:13:08,730 --> 00:13:10,470
Bueno, volvemos a dividir

113
00:13:10,470 --> 00:13:25,990
Y f' de x, pues, será igual a 1, producto de los extremos, producto de los medios, 1 menos x neperiano de x, partido por x por elevado a x.

114
00:13:26,909 --> 00:13:27,950
¿Vale? Ya estaría.

115
00:13:30,450 --> 00:13:37,590
Y ya, para terminar, le voy a hacer la derivada de neperiano de la raíz de 2x menos 1.

116
00:13:38,570 --> 00:13:45,809
Bueno, recordamos un momento, la derivada del neperiano es derivada de la función partido por la función sin derivada.

117
00:13:46,850 --> 00:13:55,129
Y la derivada de la raíz, pues es derivada de la función partido por dos veces la raíz cuadrada de la función sin derivada.

118
00:13:56,070 --> 00:14:01,669
Bien, pues entonces f' de x será igual a la derivada de la raíz.

119
00:14:01,669 --> 00:14:06,669
Y la derivada de la raíz es la derivada de la decanda, ¿no?

120
00:14:06,669 --> 00:14:08,889
De lo que tenemos ahí dentro, que es 2.

121
00:14:09,289 --> 00:14:12,929
Partido por 2 raíz de 2x menos 1.

122
00:14:14,450 --> 00:14:21,289
Y dividido por la función sin derivar, la raíz de 2x menos 1.

123
00:14:22,789 --> 00:14:26,429
Este 2 con este 2 se puede simplificar y nos quedaría 1.

124
00:14:27,289 --> 00:14:31,009
f' de x, bueno, y aquí multiplicamos, ¿no?

125
00:14:31,669 --> 00:14:33,610
producto de los extremos, producto de los medios.

126
00:14:34,389 --> 00:14:46,090
Nos queda que f' de x es igual a 1 partido por raíz de 2x menos 1 por la raíz de 2x menos 1.

127
00:14:48,230 --> 00:14:50,509
La raíz por la raíz es la raíz al cuadrado.

128
00:14:50,509 --> 00:14:52,730
El cuadrado con la raíz se puede simplificar.

129
00:14:53,649 --> 00:15:00,250
Entonces, esto es 1 partido por la raíz de 2x menos 1 al cuadrado.

130
00:15:00,250 --> 00:15:09,379
por lo tanto f' de x es igual a 1 partido por 2x menos 1

131
00:15:09,379 --> 00:15:17,159
bueno y ya estaría, nos quedaría ya solamente ver pues un vídeo más

132
00:15:17,159 --> 00:15:22,240
sobre derivadas de funciones trigonométricas sencillas