1 00:00:12,400 --> 00:00:18,199 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:18,199 --> 00:00:23,260 Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:23,260 --> 00:00:34,490 de la unidad AL2 dedicada a los determinantes. En la videoclase de hoy estudiaremos el rango 4 00:00:34,490 --> 00:00:52,539 de matrices. En esta videoclase vamos a estudiar el rango de matrices desde el punto de vista de 5 00:00:52,539 --> 00:00:57,119 los determinantes, pues lo que nos encontramos dentro de esa unidad. Antes de entrar en materia 6 00:00:57,119 --> 00:01:02,000 y analizar esto que tenemos aquí, vamos a volver atrás y vamos a recordar algo importante de la 7 00:01:02,000 --> 00:01:09,060 videoclase anterior. Vamos a revisar esta de las propiedades de los determinantes. Fijaos, si una 8 00:01:09,060 --> 00:01:15,120 matriz contiene una fila o columna de ceros, o bien igual a otra, o bien proporcional a otra, o bien 9 00:01:15,120 --> 00:01:20,099 igual a una combinación lineal de otras, su determinante es cero, una matriz cuadrada, por 10 00:01:20,099 --> 00:01:25,400 supuesto, porque si no, no existiría el determinante. ¿Qué es lo que quiere decir esto? ¿Qué es lo que 11 00:01:25,400 --> 00:01:31,420 quiere decir que el determinante sea cero, que nos encontramos con una fila o columna que es una 12 00:01:31,420 --> 00:01:38,019 combinación lineal de las otras, puesto que o bien es cero, o bien es igual a otra, o bien es 13 00:01:38,019 --> 00:01:43,280 proporcional a otra, o bien es combinación lineal de otras. En ese caso, desde el punto de vista del 14 00:01:43,280 --> 00:01:51,200 rango, esa fila o columna se puede eliminar y el rango no va a tomar el valor máximo posible. ¿A 15 00:01:51,200 --> 00:01:53,219 ¿A qué me refiero con esto del valor máximo posible? 16 00:01:53,760 --> 00:01:57,659 Bueno, fijaos, estamos hablando, puesto que estamos calculando el determinante de una matriz, 17 00:01:58,040 --> 00:01:59,319 de matrices que son cuadradas. 18 00:01:59,680 --> 00:02:02,620 Vamos a utilizar como ayuda visual estas dos que tenemos aquí. 19 00:02:03,340 --> 00:02:06,680 Vamos a volver a recordar qué nos decía el rango. 20 00:02:06,760 --> 00:02:10,659 El rango es un número que me indica el máximo número de filas o columnas 21 00:02:10,659 --> 00:02:12,599 que son linealmente independientes. 22 00:02:12,599 --> 00:02:16,919 El rango por filas o por columnas coincidía de tal forma que hablamos del rango directamente. 23 00:02:17,740 --> 00:02:23,780 El rango podía ser cero única y exclusivamente cuando todos los elementos de la matriz fuera cero. 24 00:02:24,139 --> 00:02:31,099 En estos ejemplos que tenemos aquí, en ninguno de los dos casos todos los elementos son cero, así que el rango será al menos uno. 25 00:02:31,939 --> 00:02:36,680 ¿Cuál es el máximo valor del rango? Bueno, pues será el menor entre el número de filas o columnas. 26 00:02:37,259 --> 00:02:42,819 Aquí estamos con matrices cuadradas, así que el rango será como máximo el orden de la matriz. 27 00:02:42,960 --> 00:02:46,599 Esta matriz es de orden dos, así que el rango será uno o dos. 28 00:02:46,919 --> 00:02:50,780 Esta matriz es de orden 3, así que el rango será 1, 2 o 3. 29 00:02:51,860 --> 00:02:55,479 Estamos relacionando el rango con el determinante de la matriz. 30 00:02:56,060 --> 00:02:58,219 Y lo que estamos haciendo es utilizar esta propiedad. 31 00:02:59,039 --> 00:03:04,539 Supongamos que calculamos el determinante de una de estas matrices y sale 0. 32 00:03:05,060 --> 00:03:06,400 ¿Qué es lo que quiere decir? 33 00:03:06,800 --> 00:03:11,719 Bueno, pues o bien tenemos una fila o columna toda de ceros, o bien tenemos una fila o columna igual a la otra, 34 00:03:11,719 --> 00:03:19,000 o bien tenemos una fila o columna proporcional a otra, o bien tenemos una fila o columna que va a ser combinación lineal de otras. 35 00:03:19,360 --> 00:03:28,060 En cualquiera de estos casos, esa fila o columna puede ser eliminada a efectos del rango, puesto que es combinación lineal de las otras. 36 00:03:28,780 --> 00:03:34,939 Eso quiere decir que si eliminamos una fila o columna de cualquiera de estas matrices, el rango ya no puede ser el máximo. 37 00:03:35,159 --> 00:03:39,340 Si eliminamos una fila de esta, el rango ya no puede ser 2, puede ser como máximo 1. 38 00:03:39,340 --> 00:03:50,520 Y si en esta matriz eliminamos una fila o columna, el rango ya no puede ser 3, podrá ser 2, puesto que, recordemos, el rango puede ser como mucho igual al mínimo entre el número de filas y columnas. 39 00:03:50,900 --> 00:03:55,219 Si eliminamos una fila o una columna, el rango ya no puede ser igual al orden de la matriz. 40 00:03:56,360 --> 00:04:03,819 Así pues, si tenemos matrices cuadradas, calculando el determinante podemos determinar si el rango es máximo o no. 41 00:04:03,819 --> 00:04:11,520 No, eso es, adelantándome mucho, lo que venía como corolario de lo que vamos a discutir en lo que sigue de la videoclase. 42 00:04:12,039 --> 00:04:16,319 Una matriz cuadrada tiene rango máximo sí y sólo sí su determinante es no nulo. 43 00:04:16,399 --> 00:04:21,620 Y la justificación es precisamente esa propiedad del determinante que hemos discutido hace un momento. 44 00:04:22,579 --> 00:04:28,139 Vamos a ver qué es lo que podemos hacer cuando la matriz no es cuadrada, como podría ser este caso. 45 00:04:28,139 --> 00:04:33,279 ¿Qué podemos hacer? No podemos calcular el rango de B en este ejemplo directamente, puesto que B no es cuadrada. 46 00:04:33,279 --> 00:04:40,019 O bien, vamos a ver qué es lo que podemos hacer si calculamos el determinante de una matriz que es cuadrada y sale cero. 47 00:04:40,300 --> 00:04:42,740 El rango no es máximo, pero entonces, ¿cuál va a ser el rango? 48 00:04:43,639 --> 00:04:48,040 Para poder hacer la discusión vamos a dar en primer lugar algunas definiciones. 49 00:04:48,759 --> 00:04:51,560 Vamos a definir una submatriz de una matriz. 50 00:04:52,339 --> 00:04:58,899 Básicamente una submatriz es cualquier matriz que resulta de seleccionar de esa matriz un cierto número de filas y columnas. 51 00:04:58,899 --> 00:05:08,579 Por ejemplo, vamos a tomar esta matriz B y vamos a considerar la submatriz que se obtiene tomando las dos primeras filas y las tres primeras columnas de B. 52 00:05:09,060 --> 00:05:15,060 Serían los elementos que estarían aquí, en la fila 1, 0, menos 1 y en la siguiente fila 2, menos 1, 2. 53 00:05:15,439 --> 00:05:20,959 Lo que tendríamos es una matriz contenida dentro de M, una submatriz, en este caso 2 por 3. 54 00:05:21,879 --> 00:05:25,800 Las submatrices pueden tener cualquier tamaño, rectangulares de cualquier tamaño. 55 00:05:25,800 --> 00:05:34,959 Y por cierto, no necesariamente el primer elemento tiene que ser el 1, 1 y no necesariamente podemos o debemos tomar filas y columnas consecutivas. 56 00:05:35,540 --> 00:05:42,939 Podríamos haber tomado, por ejemplo, la fila 2 y la fila 4 y en cuanto a columnas, la columna 2 y las columnas 4 y 5. 57 00:05:43,500 --> 00:05:51,980 En ese caso tendríamos una submatriz también 2 por 3 con los elementos menos 1, 1, 3 y en la siguiente fila menos 2, 4, 9. 58 00:05:52,920 --> 00:05:56,819 Un tipo especial de submatriz que a nosotros nos va a interesar especialmente, 59 00:05:57,040 --> 00:06:01,819 puesto que estamos hablando de determinantes y los determinantes solamente se definen en matrices cuadradas, 60 00:06:02,060 --> 00:06:05,540 son las submatrices cuadradas contenidas dentro de una matriz. 61 00:06:06,000 --> 00:06:08,000 A eso se le llama menor de orden k. 62 00:06:08,800 --> 00:06:18,379 Por ejemplo, si nosotros tomáramos de esta matriz B la segunda fila y cuarta fila 63 00:06:18,379 --> 00:06:25,060 y también la segunda columna y cuarta columna, lo que tendríamos es un menor de orden 2 de esta matriz B. 64 00:06:25,519 --> 00:06:32,000 Puesto que tendríamos los elementos por filas menos 1, 1, y en la siguiente fila menos 2, 4. 65 00:06:32,600 --> 00:06:36,519 Tendríamos cuatro elementos en dos filas y en dos columnas, contenido dentro de B, 66 00:06:36,819 --> 00:06:41,120 lo que tenemos es un 1 de los posibles menores de orden 2 de esta matriz B. 67 00:06:41,459 --> 00:06:46,279 Insisto en que no necesariamente tienen que empezar en el primer elemento, en la primera fila, en la primera columna, 68 00:06:46,279 --> 00:06:49,779 y no necesariamente las filas y las columnas tienen que ser adyacentes. 69 00:06:50,600 --> 00:06:57,839 Bien, pues el rango de una matriz va a coincidir con el orden del mayor de los menores que puede formarse con determinante no nulo. 70 00:06:59,040 --> 00:07:05,360 Para poder determinar utilizando menores, utilizando el determinante de los menores, el rango de una matriz, 71 00:07:06,000 --> 00:07:07,980 podemos utilizar dos técnicas. 72 00:07:08,579 --> 00:07:12,519 Una en orden creciente y otra en orden decreciente. 73 00:07:13,100 --> 00:07:21,660 Por ejemplo, supongamos que tenemos esta matriz A cuadrada y nos piden que determinemos el rango de esta matriz. 74 00:07:22,319 --> 00:07:29,300 Bueno, podemos empezar en orden creciente comenzando por ¿son todos los elementos cero? 75 00:07:30,180 --> 00:07:33,060 Si lo fueran, el rango es cero, hemos terminado. 76 00:07:33,699 --> 00:07:39,040 Si no lo son, vamos a tomar un elemento de la matriz que sea distinto de cero. 77 00:07:39,680 --> 00:07:43,639 Ese elemento lo que nos va a dar es un menor de orden 1, una fila y una columna. 78 00:07:44,100 --> 00:07:47,819 Por ejemplo, aquí, por comodidad, vamos a tomar el elemento a sub 1, 1. 79 00:07:48,180 --> 00:07:50,399 Este elemento 1 es distinto de 0. 80 00:07:50,800 --> 00:07:52,759 Bien, pues al menos el rango va a ser 1. 81 00:07:53,839 --> 00:07:57,920 Porque este menor de orden 1, con un único elemento que es 1, 82 00:07:58,519 --> 00:08:01,439 tiene determinante distinto de 0, en este caso coincide con 1. 83 00:08:02,199 --> 00:08:06,240 A partir de aquí nos preguntamos, ¿el rango va a ser al menos 1? 84 00:08:06,240 --> 00:08:09,339 Puede llegar hasta 3, puesto que esta matriz A es de orden 3. 85 00:08:09,959 --> 00:08:12,680 ¿Es de orden 2? ¿Vamos a ir creciendo de 1 en 1? 86 00:08:13,240 --> 00:08:21,540 Bueno, pues tomando este elemento, ¿podemos ampliar a un menor de orden 2 con este elemento, 87 00:08:21,660 --> 00:08:25,379 incluido que tenga determinante distinto de 0? 88 00:08:25,779 --> 00:08:29,420 Lo más habitual es, tenemos la primera fila, la primera columna, 89 00:08:29,860 --> 00:08:34,860 vamos a añadir una fila más, por ejemplo, la segunda, una columna más, por ejemplo, la segunda. 90 00:08:35,580 --> 00:08:42,659 Vamos a tomar este menor de orden 2 comenzando, o tomando como semilla, el menor de orden 1 que teníamos anteriormente 91 00:08:42,659 --> 00:08:46,600 y que ya nos daba un rango al menos 1 porque su determinante es distinto de 0. 92 00:08:47,340 --> 00:08:53,580 Vamos a calcular su determinante. En este caso, 1 por 5 es 5, menos 2 por 4 que es 8. 93 00:08:54,159 --> 00:08:57,919 El valor concreto no nos importa, vemos que va a ser distinto de 0, de hecho es menos 3. 94 00:08:57,919 --> 00:09:14,200 Bien, pues como hemos encontrado dentro de la matriz A un menor de orden 2 cuyo determinante es distinto de 0, podemos garantizar que el rango de esta matriz va a ser al menos 2, porque al menos estas dos filas o al menos estas dos columnas van a ser linealmente independientes. 95 00:09:14,200 --> 00:09:18,179 seguimos ampliando, podrá ser el rango igual a 3 96 00:09:18,179 --> 00:09:22,419 bueno, pues lo que vamos a hacer es tomando como semilla 97 00:09:22,419 --> 00:09:27,600 este menor de orden 2, el que tiene las dos primeras filas y dos primeras columnas 98 00:09:27,600 --> 00:09:32,059 vamos a ver si le podemos añadir una fila más, en este caso solo podemos añadir la tercera 99 00:09:32,059 --> 00:09:35,559 y una columna más, en este caso solamente podemos añadir la tercera 100 00:09:35,559 --> 00:09:39,519 y nos preguntamos si el determinante es 0 o distinto de 0 101 00:09:39,519 --> 00:09:42,960 si calculamos el determinante y es distinto de 0 102 00:09:42,960 --> 00:09:49,860 bien, tenemos garantizado que el rango de la matriz es al menos 3, puesto que el máximo rango de A es 3, porque es de orden 3, 103 00:09:50,340 --> 00:09:52,820 tenemos que el rango de esta matriz es 3, igual al máximo. 104 00:09:53,600 --> 00:10:01,340 ¿Que el determinante es igual a 0? Bueno, pues entonces el rango de A no puede ser 3, puesto que A es la única forma, el único menor, 105 00:10:01,879 --> 00:10:04,080 contenido dentro de ella de orden 3, la misma matriz. 106 00:10:04,659 --> 00:10:09,840 No puede ser 3, al menos es 2, en ese caso habríamos garantizado que el rango es 2. 107 00:10:09,840 --> 00:10:13,379 Esto lo vamos a discutir en clase y en alguna videoclase posterior. 108 00:10:14,320 --> 00:10:20,940 La técnica inversa consiste en comenzar por el máximo valor del rango e ir yendo hacia abajo. 109 00:10:21,559 --> 00:10:23,360 Empezamos por la matriz A. 110 00:10:23,759 --> 00:10:27,620 Vamos a calcular directamente como primer paso el determinante de A. 111 00:10:28,200 --> 00:10:33,940 Porque si el determinante de A es distinto de 0, tenemos garantizado que el rango es 3, el valor máximo. 112 00:10:34,299 --> 00:10:35,720 Y a partir de aquí, se acabó. 113 00:10:35,720 --> 00:10:47,419 Si el determinante de A no fuera, perdón, fuera igual a 0, el rango de A no podría ser 3 y entonces teníamos que ir hacia abajo y preguntarnos ¿será 2 una unidad inferior? 114 00:10:47,960 --> 00:10:59,440 En ese caso lo que tenemos que hacer es tomar una submatriz de orden 2, eliminando una fila y una columna de A, calcular el determinante y ver si ese determinante es distinto de 0 o no. 115 00:10:59,860 --> 00:11:07,080 Si es distinto de 0, garantizamos que el rango de A es 2, puesto que al menos tenemos un menor de orden 2 con determinante distinto de 0. 116 00:11:07,379 --> 00:11:09,240 Si es 0, tendríamos que probar otro. 117 00:11:10,080 --> 00:11:16,340 Tan solo cuando todos los menores de un cierto orden tienen determinante igual a 0, 118 00:11:16,679 --> 00:11:19,840 tenemos garantizado que el rango no puede ser igual a ese orden. 119 00:11:19,940 --> 00:11:26,279 Tan solo cuando todos los determinantes de orden 2, de todos los menores de orden 2, perdón, son 0, 120 00:11:26,279 --> 00:11:32,139 podemos deducir que el rango no va a ser 2 y bajamos una unidad a ver si el rango fuera 1. 121 00:11:33,179 --> 00:11:39,559 Con 1 que haya con determinante distinto de 0 ya tenemos garantizado que el rango es igual a ese orden. 122 00:11:41,019 --> 00:11:46,440 Esta técnica es útil, especialmente útil, cuando tenemos matrices cuadradas. 123 00:11:46,440 --> 00:11:52,500 Cuando tenemos matrices rectangulares como esta, lo más habitual es empezar con el criterio creciente. 124 00:11:52,500 --> 00:11:57,600 En este caso, con esta matriz B, 4 por 5, el rango como mucho va a ser 4. 125 00:11:58,120 --> 00:12:04,200 Podríamos empezar con el máximo valor posible del rango, que fuera 4, y considerar qué pasa, 126 00:12:04,879 --> 00:12:13,460 cómo podría calcular el determinante de esta submatriz de orden 4, tomando las cuatro primeras filas y cuatro primeras columnas. 127 00:12:14,240 --> 00:12:18,419 Pero lo más habitual, ya os digo, en este caso va a ser utilizar el término creciente. 128 00:12:19,399 --> 00:12:25,559 Como decía, estos ejemplos los resolveremos en clase y también los discutiremos en videoclases posteriores. 129 00:12:25,559 --> 00:12:34,110 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 130 00:12:34,830 --> 00:12:38,929 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. 131 00:12:39,750 --> 00:12:44,509 No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. 132 00:12:45,049 --> 00:12:46,450 Un saludo y hasta pronto.