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00:00:05,339 --> 00:00:21,289
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:21,289 --> 00:00:25,890
Arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:25,890 --> 00:00:30,070
de la unidad F1 dedicada a las características globales de las funciones.

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00:00:31,929 --> 00:00:39,210
En la videoclase de hoy estudiaremos la continuidad de funciones.

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00:00:40,229 --> 00:00:51,399
A continuación vamos a estudiar la continuidad de una función.

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00:00:51,399 --> 00:00:58,380
En este momento la continuidad es algo que va a caracterizar el dibujo, la representación gráfica de la función.

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00:00:59,060 --> 00:01:02,140
Y vamos a dar una definición un tanto ad hoc.

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00:01:02,380 --> 00:01:07,359
Para nosotros una función va a ser continua cuando al trazar el dibujo de la función

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00:01:07,359 --> 00:01:13,040
no vamos a necesitar levantar el instrumento de escritura, en el caso del bolígrafo sobre el papel

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00:01:13,040 --> 00:01:17,799
o en el caso de un puntero sobre una tablet.

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00:01:18,319 --> 00:01:26,739
Vamos a ver aquí distintos ejemplos de funciones y vamos a ver a qué nos referimos con eso de función continua en un punto, función continua en un intervalo.

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00:01:27,239 --> 00:01:33,739
Vemos aquí una función que en principio sería una línea recta, salvo porque aquí vemos un punto vacío.

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00:01:34,680 --> 00:01:42,480
Y lo que ocurre es que cuando la x toma el valor menos 1, el valor de la imagen no es 1, lo que tendremos en el punto vacío, sino que es 2.

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00:01:43,459 --> 00:01:53,420
Si nosotros dibujamos la función de izquierda a derecha, lo que tendríamos que hacer es ir trazando la línea recta justo hasta llegar al valor de x igual a menos 1.

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00:01:54,420 --> 00:02:04,680
Levantamos el bolígrafo del papel relleno aquí y a partir de aquí volvemos a levantar el bolígrafo del papel para continuar con el trazado de la línea recta a partir de la x igual a menos 1.

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00:02:05,439 --> 00:02:11,039
Justo cuando la x toma el valor menos 1 hemos tenido que levantar el bolígrafo del papel para pintar este punto por aquí fuera.

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00:02:11,840 --> 00:02:20,120
Así pues, justamente cuando la x toma el valor menos 1, esta función no es continua, tiene una cierta discontinuidad, que estudiaremos más adelante.

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00:02:20,219 --> 00:02:27,699
En el resto, la función sí va a ser continua, puesto que la podemos trazar sin necesidad de levantar el bolígrafo del papel.

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00:02:29,120 --> 00:02:38,180
Aquí teníamos una discontinuidad porque el valor de la función en el punto x igual a menos 1 no está en este punto vacío, sino en este punto relleno.

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00:02:38,560 --> 00:02:46,719
En este segundo ejemplo también tenemos una discontinuidad, pero en este caso el valor de la función cuando x es igual a menos 1 no existe.

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00:02:47,319 --> 00:02:57,979
Estamos trazando la función, aquí hay un punto donde la función no existe, en principio tendríamos que saltar este punto para continuar trazando la función con este tramo recto.

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00:02:58,300 --> 00:03:04,219
Siempre que tengamos un punto vacío dentro de la definición de la función, ahí tendremos un punto de discontinuidad,

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00:03:04,219 --> 00:03:09,620
Ya sea porque la función esté en otro lugar, más arriba, más abajo, o bien porque la función no exista.

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00:03:10,120 --> 00:03:16,620
En el resto, excepto en x igual a menos 1, la función se puede pintar con un solo trazo y en esos puntos la función es continua.

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00:03:17,680 --> 00:03:21,659
Aquí tenemos otro caso de discontinuidad también en x igual a menos 1.

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00:03:22,379 --> 00:03:26,879
Empezamos pintando este tramo recto desde menos infinito y aquí tenemos un salto.

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00:03:27,780 --> 00:03:32,699
No es que la función tenga un punto vacío y luego volvamos a ella después de haber trazado este punto relleno,

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00:03:32,699 --> 00:03:37,599
sino que a partir de este punto relleno la función continúa con una definición distinta.

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00:03:38,379 --> 00:03:41,659
Aquí tenemos una discontinuidad que más adelante llamaremos de salto.

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00:03:42,580 --> 00:03:46,659
Y igual que antes, cuando x es igual a menos 1 tenemos una discontinuidad,

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00:03:46,800 --> 00:03:50,500
hemos necesitado levantar el lápiz del papel para poder continuar el dibujo,

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00:03:50,979 --> 00:03:52,719
en el resto la función es continua.

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00:03:54,060 --> 00:03:57,819
Aquí tenemos un salto finito, desde x igual a 1 hasta x igual a 2.

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00:03:58,479 --> 00:04:01,180
Podríamos tener también un salto que fuera infinito.

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00:04:01,180 --> 00:04:21,519
Y en este caso tenemos una discontinuidad que más adelante veremos que se va a llamar asintótica. Vemos que empezamos dibujando la función siguiendo esta rama, que deberíamos elevar hasta el infinito, y a partir de ahí tenemos que dar un salto desde más infinito hasta menos infinito para poder continuar pintando la segunda rama de la función.

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00:04:21,519 --> 00:04:26,939
en este caso en x igual a 2 tenemos una discontinuidad porque pasamos de pintar la

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00:04:26,939 --> 00:04:32,319
función hacia arriba a levanto el bolígrafo pintarla desde abajo y en este caso tenemos

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00:04:32,319 --> 00:04:36,160
un salto igual que ocurría en el ejemplo inmediatamente anterior pero el salto ya no

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00:04:36,160 --> 00:04:40,819
es finito sino que es infinito hemos acabado pintando la función en arriba más infinito

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00:04:40,819 --> 00:04:46,160
igual a tendiendo a más infinito y hemos empezado en y tendiendo a menos infinito

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00:04:47,160 --> 00:04:50,660
En este caso también tenemos otras discontinuidades.

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00:04:51,680 --> 00:04:58,019
Vemos que empezamos pintando la función con esta rama y cuando nos vamos a ir aproximando al valor x igual a menos 2,

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00:04:58,600 --> 00:05:03,660
la función tiende hacia más infinito y tenemos que pintar la rama prolongándola hacia más infinito.

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00:05:04,040 --> 00:05:11,060
En este caso nos cae un salto. En este caso es que de menos 2 hacia adelante, desde menos 2 en concreto hasta 0,

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00:05:11,060 --> 00:05:15,879
este intervalo no pertenece al dominio de la función. Con lo cual, no es que desde aquí saltemos

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00:05:15,879 --> 00:05:20,939
para continuar pintando la función. Es que una vez que hayamos hipotéticamente alcanzado el valor

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00:05:20,939 --> 00:05:27,519
x igual a menos 2 en ese límite y tendiendo hacia más infinito, a partir de ahí la función no

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00:05:27,519 --> 00:05:32,560
continúa. No damos un salto. Sencillamente es que la función deja de existir. Eso también se

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00:05:32,560 --> 00:05:39,019
corresponde con una discontinuidad. Igualmente nos ocurre en esta segunda rama. La función

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00:05:39,019 --> 00:05:45,800
súbitamente comienza cuando la x toma el valor cero o próximo a cero y comienza con esa rama

51
00:05:45,800 --> 00:05:51,680
partiendo, se supone, desde menos infinito. En este caso no es que haya un salto, igual que ocurrió

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00:05:51,680 --> 00:05:57,279
anteriormente, es que la función comienza a existir en x igual a cero y ahí volvemos a tener otro

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00:05:57,279 --> 00:06:03,060
punto de discontinuidad. Las continuidades en las representaciones gráficas, los intervalos donde la

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00:06:03,060 --> 00:06:09,360
funciones continua son muy fáciles de ver. Son todos estos tramos donde yo veo una sucesión de

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00:06:09,360 --> 00:06:16,839
puntos de tal manera que veo un dibujo continuado y que puedo dibujar sin necesidad de levantar el

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00:06:16,839 --> 00:06:22,399
bolígrafo, el lápiz o el instrumento de escritura en general sobre el papel o sobre la pantalla. Y

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00:06:22,399 --> 00:06:27,199
las discontinuidades también se van a ver muy claras. Un punto vacío y un punto relleno por

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00:06:27,199 --> 00:06:31,579
encima por debajo un punto vacío directamente un salto que puede ser

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00:06:31,579 --> 00:06:38,240
finito o infinito o bien una función que comienza de no existir o que una vez que

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00:06:38,240 --> 00:06:43,439
acabado el dibujo deja de existir aquí tenemos la definición con tanto

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00:06:43,439 --> 00:06:46,699
sui generis de función continua en un punto en función de si podemos o no

62
00:06:46,699 --> 00:06:52,199
podemos pintarla levantando o sin levantar el lápiz del papel y aquí

63
00:06:52,199 --> 00:06:55,860
tenemos la función la definición de función continua en un intervalo una

64
00:06:55,860 --> 00:07:00,980
función es continua en intervalos y lo es en todos sus puntos. Hemos hecho una definición un tanto

65
00:07:00,980 --> 00:07:07,220
sui generis de continuidad, es una definición gráfica, porque la definición estricta la vamos

66
00:07:07,220 --> 00:07:13,300
a ver más adelante cuando estudiamos la unidad correspondiente a límites y ahí daremos una

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00:07:13,300 --> 00:07:22,910
definición algebraica rigurosa de continuidad de una función. Vamos a ver un ejemplo de continuidad

68
00:07:22,910 --> 00:07:27,410
de una función, cómo caracterizar la continuidad de una función, utilizando la función que hemos

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00:07:27,410 --> 00:07:33,970
visto en las dos videoclases. En este caso se nos da la misma representación gráfica y se nos pide

70
00:07:33,970 --> 00:07:42,149
que demos los intervalos en los que la función es continua. Solamente con ver la función vemos

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00:07:42,149 --> 00:07:50,589
claramente que esta función está dibujada en tres trozos. Hay un segmento recto, aquí levantamos el

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00:07:50,589 --> 00:07:57,629
lápiz para poder dibujar este tramo curvo y aquí volvemos a levantar el lápiz. Hay un intervalo

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00:07:57,629 --> 00:08:03,829
dentro del cual la función no existe y vuelve a aparecer a partir de aquí y tenemos un intervalo

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00:08:03,829 --> 00:08:08,910
hasta más infinito donde la función vuelve a existir. Así pues vemos claramente que hay

75
00:08:08,910 --> 00:08:15,670
discontinuidades en x igual a menos 4 y aquí vemos un salto. Hay una discontinuidad en x igual a menos

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00:08:15,670 --> 00:08:21,230
un medio porque la función deja de existir y también hay una discontinuidad en x igual a 0

77
00:08:21,230 --> 00:08:26,329
porque justamente aquí la función comienza a existir. También podríamos decir que tenemos

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00:08:26,329 --> 00:08:30,970
discontinuidades en este punto que es donde la función comienza y entonces lo que tenemos son

79
00:08:30,970 --> 00:08:37,950
como intervalos donde la función es continua desde x igual a menos 6 hasta x igual a menos 4 por un

80
00:08:37,950 --> 00:08:45,509
lado, desde x igual a menos 4 hasta x igual a menos un medio y desde x igual a 0 hasta x igual a más

81
00:08:45,509 --> 00:08:51,330
infinito. Todos los intervalos de continuidad van a ser por definición abiertos, entonces lo que

82
00:08:51,330 --> 00:08:58,029
tenemos es intervalos donde la función es continua de menos 6 a menos 4 abierto, unión de menos 4 a

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00:08:58,029 --> 00:09:04,789
menos un medio, unión de 0 a más infinito. En más infinito la función no existe, más infinito no es

84
00:09:04,789 --> 00:09:10,950
un valor que podamos encontrar. En x igual a 0, en x igual a menos un medio, en x igual a menos 6,

85
00:09:10,950 --> 00:09:14,049
la función se inicia o finaliza.

86
00:09:14,769 --> 00:09:16,730
Antes de x igual a menos 6 la función no existía.

87
00:09:17,289 --> 00:09:19,850
Antes de igual de x igual a 0 la función no existía.

88
00:09:20,350 --> 00:09:22,389
Después de x igual a menos 1 medio la función no existe.

89
00:09:23,149 --> 00:09:26,210
Y lo que ocurre en x igual a menos 4 es que tenemos un salto.

90
00:09:26,809 --> 00:09:30,330
Todo esto lo podremos caracterizar desde un punto de vista mucho más riguroso,

91
00:09:30,370 --> 00:09:33,149
insisto, cuando lleguemos a la unidad de límites de funciones.

92
00:09:33,149 --> 00:09:42,210
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

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00:09:42,929 --> 00:09:47,049
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

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00:09:47,870 --> 00:09:52,610
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

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00:09:53,190 --> 00:09:54,570
Un saludo y hasta pronto.