1 00:00:12,400 --> 00:00:17,820 Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES 2 00:00:17,820 --> 00:00:22,719 arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases 3 00:00:22,719 --> 00:00:34,490 de la unidad AN5 dedicada a las integrales. En la videoclase de hoy estudiaremos las integrales 4 00:00:34,490 --> 00:00:48,609 reducibles a inmediatas y resolveremos el ejercicio propuesto 2. En esta videoclase 5 00:00:48,609 --> 00:00:54,109 vamos a estudiar las integrales que se dicen reducibles a inmediatas y que provienen de 6 00:00:54,109 --> 00:00:58,250 la lectura inversa de la regla de la cadena. Recordad que la regla de la cadena me dice 7 00:00:58,250 --> 00:01:05,329 que si yo tengo una cierta función cuyo argumento es otra función y aquí tengo f mayúscula 8 00:01:05,329 --> 00:01:12,209 de g de x, su derivada es la derivada de la función externa, la derivada de f es f minúscula 9 00:01:12,209 --> 00:01:17,750 con el mismo argumento multiplicado por la derivada de la función que tiene el argumento. 10 00:01:17,750 --> 00:01:26,930 De tal manera que si me encuentro la integral de una función que está expresada con un argumento que es a su vez una segunda función 11 00:01:26,930 --> 00:01:33,530 y tengo multiplicando la derivada de esa función en el argumento, puedo escribir esta integral de esta manera, 12 00:01:33,890 --> 00:01:39,390 la primitiva de la función externa con el argumento que le corresponde. Por supuesto, más k. 13 00:01:41,659 --> 00:01:49,200 Vamos a resolver como ejemplo este ejercicio propuesto en el que se nos indica que calculemos las siguientes integrales indefinidas 14 00:01:49,200 --> 00:01:51,480 que se nos dice que son reducibles a inmediatas. 15 00:01:51,980 --> 00:01:59,200 Vamos a comenzar con este primer apartado en el que se nos pide determinar la integral de logaritmo neperiano de x partido por x. 16 00:01:59,719 --> 00:02:06,599 Estoy pensando en, por un lado, la función logaritmo neperiano de x y, por otro lado, 1 partido de x, que es su derivada. 17 00:02:06,700 --> 00:02:10,539 Recordad, la derivada de logaritmo neperiano de x es 1 partido por x. 18 00:02:11,360 --> 00:02:16,599 Así que tengo que pensar en una cierta función que tenga como argumento logaritmo neperiano de x, 19 00:02:16,599 --> 00:02:22,479 puesto que tengo al lado, multiplicando su derivada, la derivada del logaritmo neperiano de x, que es 1 partido por x. 20 00:02:23,199 --> 00:02:30,539 La idea es escribir un 2 multiplicando dentro de la integral y un medio fuera, también multiplicando. 21 00:02:30,699 --> 00:02:35,860 Un medio por este 2 es 1. Esta transformación va a ser habitual, que la hagamos en muchas ocasiones. 22 00:02:36,860 --> 00:02:43,780 Y en este caso, haciendo de esta manera, lo que tenemos es 2 logaritmo neperiano de x partido por x. 23 00:02:43,780 --> 00:02:51,419 2 logaritmo neperiano de x y multiplicando la derivada de logaritmo neperiano de x, que es 1 partido por x. 24 00:02:52,099 --> 00:03:01,020 Podemos escribir esto como un medio de y la integral indefinida sería logaritmo neperiano al cuadrado del valor absoluto de x. 25 00:03:01,419 --> 00:03:06,319 Aquí lo que tenemos es, en el fondo, una integral relacionada con el logaritmo neperiano. 26 00:03:06,759 --> 00:03:08,759 Más k, por supuesto, más el término aditivo. 27 00:03:09,500 --> 00:03:15,539 ¿Por qué? Vamos a, como decíamos en la videoclase anterior, hablando de las integrales inmediatas, 28 00:03:16,180 --> 00:03:19,620 comprobar que la integral está bien hecha, sin más que haciendo la derivada. 29 00:03:20,479 --> 00:03:27,439 Un medio se queda tal cual, haciendo la derivada, y tenemos logaritmo neperiano al cuadrado. 30 00:03:27,659 --> 00:03:32,120 Esto es la función de una función. Tenemos que derivar utilizando la regla de la cadena. 31 00:03:32,740 --> 00:03:36,919 Primero, la función más externa, algo al cuadrado, su derivada es 2 por el algo, 32 00:03:36,919 --> 00:03:43,219 así que tengo 2 por el logaritmo neperiano de x, y multiplicado por lo que tenía dentro del cuadrado, 33 00:03:43,599 --> 00:03:48,520 la derivada de lo que tenía dentro del cuadrado, que es la derivada del logaritmo neperiano de x, 1 partido por x. 34 00:03:49,000 --> 00:03:54,199 Así que sería 2 por un medio que se cancela, logaritmo neperiano de x partido por x, 35 00:03:54,539 --> 00:03:57,479 lo que tenía en el argumento, lo que tenía integrando en este ejemplo. 36 00:03:58,319 --> 00:04:04,180 En el segundo ejemplo me encuentro con la integral de x por e elevado a x al cuadrado más 1. 37 00:04:04,180 --> 00:04:10,699 y pienso que esto que tengo aquí multiplicando es casi el argumento de la función exponencial 38 00:04:10,699 --> 00:04:13,500 que sería e elevado a x al cuadrado más 1. 39 00:04:13,979 --> 00:04:19,220 La derivada de este exponente es 2x, no lo tengo, pero puedo hacer como en el caso anterior. 40 00:04:19,680 --> 00:04:23,279 Si pongo un medio fuera multiplicando y un 2 multiplicando por dentro, 41 00:04:23,379 --> 00:04:27,740 esta transformación es lícita, 2 por un medio, tengo un 1, no estoy haciendo ningún cambio, 42 00:04:28,079 --> 00:04:31,899 pero de esta manera me encuentro que dentro de la integral tengo una cierta función 43 00:04:31,899 --> 00:04:37,079 que es e elevado a x al cuadrado más 1, y multiplicando la derivada de su argumento, 44 00:04:37,139 --> 00:04:39,639 la derivada de x al cuadrado más 1, que es 2x. 45 00:04:40,319 --> 00:04:44,720 Así que puedo hacer la integral y escribir un medio, el que tenía afuera, 46 00:04:45,300 --> 00:04:52,240 por e elevado a x al cuadrado más 1, que sería la integral de este e elevado a x al cuadrado más 1. 47 00:04:53,920 --> 00:04:56,259 Voy a hacer la derivada para comprobar que está bien hecha. 48 00:04:56,259 --> 00:05:05,740 Un medio que multiplica a la derivada de la función exponencial, que es ella misma, e elevado a x al cuadrado más 1, por la derivada del argumento, que sería 2x. 49 00:05:06,300 --> 00:05:14,500 El 2 se simplificaría con este y me queda e elevado a x al cuadrado más 1 por x, lo que tenía integrando en este ejemplo. 50 00:05:16,279 --> 00:05:19,579 Continuamos con esta integral de 5 elevado a x más 2. 51 00:05:20,180 --> 00:05:23,639 Podemos pensar en aplicar la misma técnica que en el apartado anterior. 52 00:05:23,639 --> 00:05:31,279 Y en este caso pienso la derivada del argumento de la función exponencial, la derivada de x más 2 es 1. 53 00:05:31,939 --> 00:05:36,079 No lo veo, pero en realidad sí que lo tengo. Fijaos que 1 es el elemento neutro de la multiplicación. 54 00:05:36,800 --> 00:05:41,899 Y esta integral es evidentemente igual a la integral de 1 por 5 elevado a x más 2 diferencial de x. 55 00:05:42,399 --> 00:05:50,819 Ahora ya veo que puedo aplicar la integración de la función exponencial y escribir que esta integral es 5 elevado a x más 2 56 00:05:50,819 --> 00:05:55,819 dividido entre el logaritmo neperiano de 5 y tengo la integral de la función exponencial más k que 57 00:05:55,819 --> 00:06:02,920 perteneciente a r. Como siempre, si hiciera la derivada, tendría 5 elevado a x más 2 por el 58 00:06:02,920 --> 00:06:07,959 logaritmo neperiano de 5 que cancelaría a este que tengo aquí dividiendo por la derivada del 59 00:06:07,959 --> 00:06:13,120 argumento que es 1, que no aparecería. Tengo lo que tenía inicialmente dentro del argumento. 60 00:06:13,120 --> 00:06:19,459 Aquí a continuación veo que tengo la integral de 1 partido de x más 1. 61 00:06:19,959 --> 00:06:22,839 Se parece mucho a la integral de una función logarítmica. 62 00:06:22,959 --> 00:06:29,379 Si fuera 1 partido por x, sin este más 1, sí que tendría logaritmo neperiano del valor absoluto de x. 63 00:06:29,500 --> 00:06:31,399 Pero no, no tengo x, tengo x más 1. 64 00:06:32,079 --> 00:06:37,300 Lo que pasa es que tengo multiplicando la derivada, que es este 1, o bien este 1 que voy a poner aquí expreso para que se vea mejor. 65 00:06:37,300 --> 00:06:47,240 Por supuesto, de esta manera veo que esto, la integral de 1 entre x más 1, es el logaritmo neperiano del valor absoluto de x más 1, más k, por supuesto. 66 00:06:48,060 --> 00:06:55,079 Y fijaos, la derivada sería 1 partido por el argumento, 1 partido por x más 1, por la derivada del argumento por 1. 67 00:06:55,199 --> 00:07:00,040 Este que tengo aquí, o bien, si lo quiero pensar de esta otra manera, este otro 1 que tengo aquí. 68 00:07:01,889 --> 00:07:06,230 Aquí tengo la integral de 3x dividido entre x al cuadrado más 9. 69 00:07:06,230 --> 00:07:13,490 Y pienso en la línea de lo anterior. Podría ser la integral de un logaritmo neperiano. 70 00:07:14,350 --> 00:07:18,170 Tengo, pienso, 1 partido de x al cuadrado más 9. 71 00:07:18,870 --> 00:07:24,610 El argumento sería este x al cuadrado más 9 en ese hipotético logaritmo neperiano que estoy intentando construir. 72 00:07:25,350 --> 00:07:30,269 Lo que pasa es que la derivada del argumento sería 2x, no 3x. ¿Qué es lo que puedo hacer? 73 00:07:30,870 --> 00:07:34,009 Bueno, pues siempre que tenga factores multiplicativos constantes como este, 74 00:07:34,790 --> 00:07:37,149 La técnica es muy sencilla y siempre la misma. 75 00:07:37,889 --> 00:07:40,649 Yo no quiero tener este 3, así que lo voy a sacar fuera de la integral. 76 00:07:41,490 --> 00:07:44,129 Me gustaría, a cambio, tener este 2 que tengo aquí. 77 00:07:44,129 --> 00:07:49,930 Y lo que voy a hacer es, al tiempo que pongo este 2 multiplicando dentro de la integral, poner un 2 dividiendo fuera. 78 00:07:50,689 --> 00:07:56,029 Esta técnica de poner dentro multiplicando y fuera dividiendo una constante ya la hemos aplicado anteriormente. 79 00:07:56,730 --> 00:07:59,649 Ahora sí veo que tengo lo que me gustaría tener. 80 00:08:00,509 --> 00:08:06,629 1 partido de x al cuadrado más 9, pienso que esto sea la integral del logaritmo neperiano de x al cuadrado más 9. 81 00:08:07,110 --> 00:08:11,810 Lo que pasa es que tendría que tener multiplicando al lado la derivada del argumento y si la tengo es este 2x. 82 00:08:12,189 --> 00:08:19,110 Así que tendría 3 medios, este que tengo afuera, logaritmo neperiano del valor absoluto de x al cuadrado más 9. 83 00:08:19,290 --> 00:08:20,189 Por supuesto, más k. 84 00:08:22,379 --> 00:08:29,220 En este caso, a partir de aquí, esto ya es para los estudiantes de ciencias, tengo funciones trigonométricas. 85 00:08:30,120 --> 00:08:35,019 Aquí tengo en primer lugar la integral de e elevado a x por el seno de e elevado a x. 86 00:08:35,480 --> 00:08:38,639 Y pienso que la integral del seno es menos el coseno. 87 00:08:39,179 --> 00:08:41,659 Claro que aquí dentro del seno tengo una cierta función. 88 00:08:42,500 --> 00:08:45,700 Ojalá estuviera multiplicando la derivada de esa función. 89 00:08:45,899 --> 00:08:52,399 Y sí, la tengo. Así que puedo aplicar directamente la regla y tener menos el coseno de e elevado a x. 90 00:08:52,899 --> 00:08:54,220 Más k, por supuesto. 91 00:08:54,899 --> 00:08:55,679 ¿Cuál es la derivada? 92 00:08:55,679 --> 00:09:04,279 Bueno, pues la derivada de menos el coseno de una función es el seno de esa función, por, aplicando la regla de la cadena, la derivada del argumento, que sería este e elevado a x. 93 00:09:04,440 --> 00:09:05,519 Todo se corresponde. 94 00:09:07,120 --> 00:09:12,840 Aquí tengo la integral de coseno de 2x por e elevado al seno de 2x. 95 00:09:13,240 --> 00:09:14,460 Estamos en las mismas de antes. 96 00:09:14,600 --> 00:09:18,639 Lo que pasa es que ahora ya no tengo únicamente dos funciones una dentro de otra. 97 00:09:18,740 --> 00:09:19,679 Tengo tres funciones. 98 00:09:20,039 --> 00:09:24,419 Tengo la exponencial de, el seno de, y luego tengo 2x. 99 00:09:25,080 --> 00:09:32,000 Aquí lo que necesito es tener multiplicando no solamente la derivada del primer argumento, sino también del argumento que tiene este. 100 00:09:32,600 --> 00:09:43,080 Así que, pensando en igual que antes la función exponencial del seno de 2x, necesitaría tener la derivada del seno de 2x, que es este coseno de 2x. 101 00:09:43,740 --> 00:09:46,879 También tenía que tener el 2, que es la derivada de este 2x. 102 00:09:47,379 --> 00:09:49,940 Bueno, pues necesito este 2 aquí dentro de la integral. 103 00:09:49,940 --> 00:09:55,600 a cambio va a poner un medio fuera dividiendo, bueno, perdón, multiplicando, dos dividiendo, un medio multiplicando. 104 00:09:56,240 --> 00:10:04,700 Y así lo que tengo es e elevado al seno de 2x, su integral es e elevado al seno de 2x, este un medio es el que tengo aquí, 105 00:10:05,539 --> 00:10:10,700 más k por supuesto y si fuera a hacer la derivada para comprobar que está bien hecho tendría el un medio. 106 00:10:11,799 --> 00:10:19,740 La derivada de e elevado al seno de 2x que es ella misma por la derivada del seno de 2x que es el coseno de 2x. 107 00:10:19,940 --> 00:10:22,559 Por la derivada de 2x, que es 2. 108 00:10:23,279 --> 00:10:30,639 El 2 con este 1 medio se simplifican y que me quedaría coseno de 2x por e elevado al seno de 2x, el argumento de la integral. 109 00:10:32,490 --> 00:10:35,950 Aquí me encuentro con que tengo seno al cubo de x. 110 00:10:36,429 --> 00:10:38,610 Y en este caso lo que tengo que hacer es lo siguiente. 111 00:10:38,610 --> 00:10:44,370 Voy a descomponer seno de x al cubo como seno de x por seno al cuadrado de x. 112 00:10:44,370 --> 00:11:10,649 Y a su vez voy a aplicar la primera relación fundamental de la trigonometría para escribir este seno cuadrado de x como 1 menos coseno al cuadrado de x, pensando en que voy a poder descomponer esta integral como por un lado la integral del seno de x, que es inmediata, y a continuación más la integral de este menos, seno de x por coseno cuadrado de x que tenemos aquí. 113 00:11:10,649 --> 00:11:30,690 En este caso voy a pensar en que tengo coseno al cuadrado de x, tengo al cuadrado la función coseno de x y me gustaría tener, pensando en que tengo la integral de una función potencial, al lado multiplicando la derivada del argumento, que en este caso es el coseno de x y veo que tengo aquí menos seno de x. 114 00:11:30,690 --> 00:11:54,370 Así que lo que voy a hacer es, pensando en este coseno al cuadrado, tengo la función al cuadrado, voy a poner multiplicando este 3 y voy a poner dividiendo este 3 para tener 3 coseno al cuadrado de x y pensar en que estoy integrando una función potencial, que sería 3 algo elevado al cuadrado, en este caso el coseno elevado al cuadrado. 115 00:11:55,110 --> 00:12:00,789 La integral de 3, el argumento elevado al cuadrado, es el argumento al cubo. 116 00:12:00,929 --> 00:12:06,909 Y entonces, ahora lo que hago es, la integral del seno de x es inmediata menos el coseno de x. 117 00:12:07,710 --> 00:12:09,330 Este un tercio lo tengo aquí. 118 00:12:10,210 --> 00:12:15,009 Y ahora tendría la integral del coseno al cuadrado multiplicado por 3. 119 00:12:15,009 --> 00:12:17,970 Y esa integral es el coseno al cubo. 120 00:12:18,629 --> 00:12:22,909 Lo que tengo para la integral de la potencia al cuadrado es la potencia al cubo. 121 00:12:22,909 --> 00:12:25,809 dividido entre 3, que cancelaría este 3 que tengo aquí. 122 00:12:26,470 --> 00:12:31,509 Así que, aplicando y juntándolo todo, lo que me va a quedar es que esta integral sería 123 00:12:31,509 --> 00:12:34,909 menos el coseno de x más un tercio del coseno al cubo de x. 124 00:12:35,269 --> 00:12:41,070 Si yo la derivara, la derivada de menos el coseno de x es el seno de x, 125 00:12:41,529 --> 00:12:46,309 la derivada de un tercio por el coseno al cubo de x sería un tercio, 126 00:12:46,990 --> 00:12:52,809 la derivada del coseno al cubo es 3 coseno al cuadrado, el 3 con este 3 se simplificaría, 127 00:12:52,909 --> 00:12:59,730 Tendría coseno al cuadrado de x y ahora lo que tendría es la derivada del coseno que sería menos el seno de x. 128 00:12:59,730 --> 00:13:04,769 Y tendría seno de x y a continuación menos seno de x por coseno al cuadrado de x. 129 00:13:05,370 --> 00:13:08,750 Deshaciendo los cambios algebraicos volvería a tener seno al cubo de x. 130 00:13:09,909 --> 00:13:17,169 Fijaos que aquí en esta integral me he dado cuenta de que aparte de esas pequeñas técnicas de reconocer 131 00:13:17,169 --> 00:13:39,210 Cuando tengo una cierta función que puedo integrar fácilmente con un argumento que no es x, sino a su vez otra función y que tengo al lado multiplicando en el integrando la derivada de esa otra función, aquí vemos que en ocasiones tengo que hacer otra amplia colección de transformaciones teniendo en cuenta otra serie de relaciones. 132 00:13:39,210 --> 00:13:45,129 Entonces, darme cuenta de que puedo descomponer seno al cubo como seno por seno al cuadrado no siempre es fácil. 133 00:13:45,850 --> 00:13:54,970 Darme cuenta de que tengo que aplicar una de las relaciones fundamentales de la trigonometría para así ver cómo una función es la derivada de la otra no es sencillo. 134 00:13:55,070 --> 00:14:03,389 Y en muchas ocasiones, al aire de este ejemplo se ve muy bien, hacer una integral no es tan inmediato como me pudiera parecer. 135 00:14:03,389 --> 00:14:26,169 Eso va a ocurrir únicamente con las integrales inmediatas, sino que en muchas ocasiones es un arte y necesito una cierta experiencia para saber cómo tengo que, en cierta medida, transformar lo que tengo en el integrando para que sea reconocible poder convertirlo siquiera a una integral reducible inmediata, que son las siguientes más fáciles después de las inmediatas, que son las únicas que directamente voy a poder resolver. 136 00:14:26,169 --> 00:14:32,029 Al ir de esto que acabo de decir, en este último ejemplo tenemos la integral de la cotangente de x. 137 00:14:32,549 --> 00:14:45,409 Bien, si yo transformo la cotangente en su definición coseno partido por seno y me doy cuenta de que esto es 1 partido por el seno y lo que tengo es la derivada del seno, que es el coseno, multiplicando, 138 00:14:45,830 --> 00:14:53,570 en ese caso puedo escribir que la integral de la cotangente de x es el logaritmo neperiano del valor absoluto del seno de x, por supuesto, más k. 139 00:14:54,110 --> 00:14:58,529 Fijaos que de cotangente a logaritmo neperiano del seno hay un trecho bastante largo. 140 00:14:58,850 --> 00:15:02,909 En realidad no, la transformación es muy sencilla, pero desde el punto de vista conceptual, 141 00:15:02,909 --> 00:15:09,070 viendo cotangente por un lado y logaritmo neperiano del seno, esto no parece directamente relacionado con lo anterior. 142 00:15:09,649 --> 00:15:15,269 Una vez más, insisto, en ciertas ocasiones, ciertas integrales, pese a que sean reducibles a inmediatas 143 00:15:15,269 --> 00:15:22,990 y entonces la integral en sí misma sea muy sencilla, el llegar hasta ahí, a la transformación que me permite hacer esa integral, 144 00:15:22,990 --> 00:15:28,750 reducible inmediata puede ser complicado, bien algebraicamente, bien conceptualmente. 145 00:15:31,049 --> 00:15:36,769 En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios. 146 00:15:37,509 --> 00:15:43,370 Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web. No dudéis en traer 147 00:15:43,370 --> 00:15:49,129 vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual. Un saludo y hasta pronto.