1
00:00:05,490 --> 00:00:10,949
En este vídeo vamos a ver cómo utilizar la regla de Ruffini para factorizar un polinomio.

2
00:00:11,310 --> 00:00:13,609
Lo primero que tenéis que acordar es de lo siguiente.

3
00:00:13,769 --> 00:00:19,769
La regla de Ruffini es una forma abreviada de hacer una división de un polinomio, el que sea entre x menos algo.

4
00:00:21,550 --> 00:00:23,850
También vamos a utilizar la prueba de la división.

5
00:00:24,449 --> 00:00:28,589
La prueba de la división dice que el dividendo es igual al divisor por el cociente más resto.

6
00:00:28,949 --> 00:00:30,109
¿Y qué es factorizar?

7
00:00:30,969 --> 00:00:34,609
Factorizar es poner como una multiplicación un polinomio.

8
00:00:35,490 --> 00:00:39,869
En este caso, si tenemos que escribir un polinomio como una multiplicación,

9
00:00:39,969 --> 00:00:44,469
vamos a utilizar la prueba de la división y necesitamos que el resto de la división sea cero

10
00:00:44,469 --> 00:00:46,409
para que salga una multiplicación.

11
00:00:47,390 --> 00:00:48,869
Vamos a ver ahora un ejemplo.

12
00:00:49,750 --> 00:00:50,710
Tenemos esta división.

13
00:00:51,189 --> 00:00:56,909
Si hacemos la división utilizando la regla de Ruffini, obtendríamos lo siguiente.

14
00:00:57,130 --> 00:01:03,649
Arriba ponemos los coeficientes del dividendo, que son el 1, el 3, el 3 y el 1,

15
00:01:03,649 --> 00:01:09,829
todos, incluidos los que no están. En la esquina recordad que ponemos el valor de a, que en este

16
00:01:09,829 --> 00:01:14,409
caso es menos 1, recordad que hay que cambiarlo de signo, y ahora bajamos el primer número y

17
00:01:14,409 --> 00:01:18,670
aplicamos la regla de Ruffini, multiplicamos 1 por menos 1 que es menos 1 y sumamos, y así

18
00:01:18,670 --> 00:01:26,650
sucesivamente, 2 por menos 1 menos 2 y sumamos, y 1 por menos 1 que es menos 1 y sumamos, y obtenemos

19
00:01:26,650 --> 00:01:35,640
el resto igual a 0. Recordad que estos son los coeficientes del cociente, es decir, que el

20
00:01:35,640 --> 00:01:42,560
cociente sería 1 por x elevado al cuadrado, recordad que es un grado menos porque lo de arriba

21
00:01:42,560 --> 00:01:51,859
es de grado 3, más 2 por x más 1, es decir, el cociente es x al cuadrado más 2x más 1. Ahora lo

22
00:01:51,859 --> 00:01:58,859
que vamos a hacer va a ser aplicar la prueba de la división. El dividendo es igual al divisor por

23
00:01:58,859 --> 00:02:06,280
el cociente más el resto. En nuestro caso, recordad que el resto es 0. En nuestro caso,

24
00:02:06,680 --> 00:02:11,139
el dividendo es esto de aquí arriba. Pues lo escribimos. ¿Dónde pone dividendo? El

25
00:02:11,139 --> 00:02:20,139
dividendo sería x al cubo más 3x al cuadrado más 3x más 1. Eso es igual al divisor, que

26
00:02:20,139 --> 00:02:35,930
es x más 1 lo escribimos por el cociente que es x al cuadrado más 2x más 1 que lo tenéis ahí y lo

27
00:02:35,930 --> 00:02:44,370
que nos va a ocurrir es que como el resto es 0 tenemos el polinomio de arriba ese x al cubo más

28
00:02:44,370 --> 00:02:50,530
3x al cuadrado más 3x más 1 escrito como una multiplicación un factor y otro factor eso es

29
00:02:50,530 --> 00:02:55,509
factorizar un polinomio. Ahora lo que vamos a ver es una propiedad que nos va a permitir

30
00:02:55,509 --> 00:03:00,250
buscar los números que tenemos que poner para poder hacer la división. Esta es la

31
00:03:00,250 --> 00:03:05,650
propiedad. Si un polinomio es divisible entre x menos a, recordad que ser divisible es que

32
00:03:05,650 --> 00:03:11,030
el resto es cero, que es lo que queremos, entonces lo que ocurre es que a es divisor

33
00:03:11,030 --> 00:03:18,289
del término independiente del polinomio. Es decir, el número que tenemos que poner

34
00:03:18,289 --> 00:03:25,830
Aquí, al hacer la división, es un divisor del término independiente del polinomio que nos dan.

35
00:03:28,490 --> 00:03:39,650
Por ejemplo, en la división de antes, si os fijáis, lo que hemos puesto aquí, el menos 1, era un divisor del término independiente, de 1, que era el término independiente.

36
00:03:40,770 --> 00:03:43,030
Y al hacerlo, el resto nos ha salido 0.

37
00:03:44,330 --> 00:03:48,810
Eso quiere decir que todos los que pongamos ahí, todos los divisores, van a hacer que el resto sea 0.

38
00:03:48,810 --> 00:03:54,969
no. Lo que tendremos que hacer será probar cuáles de ellos hacen que el resto sea 0. Vamos a ver

39
00:03:54,969 --> 00:04:00,330
varios ejemplos para que lo veáis más claro. Vamos a intentar factorizar este polinomio. Lo

40
00:04:00,330 --> 00:04:06,310
primero que vamos a hacer es buscar el término independiente que en nuestro caso es menos 3 y

41
00:04:06,310 --> 00:04:13,009
calcular cuáles son los divisores de menos 3. Los divisores de menos 3 son el 1 y el 3 y recordad

42
00:04:13,009 --> 00:04:17,509
que tenemos que escribir tanto el positivo como el negativo. Tendríamos cuatro divisores más 1 menos

43
00:04:17,509 --> 00:04:23,790
1, más 3 y menos 3. Y ahora tenemos que probar, ir haciendo divisiones para probar. Escribimos

44
00:04:23,790 --> 00:04:29,129
primero los coeficientes de nuestro polinomio que son el 1, el 2 y el menos 3. Y ahora vamos

45
00:04:29,129 --> 00:04:33,430
a empezar a probar con los divisores del menos 3, con el 1 que es el primero. Hacemos la

46
00:04:33,430 --> 00:04:39,550
división por Ruffini y resulta que al hacer esta primera división nos sale como resto

47
00:04:39,550 --> 00:04:44,290
0. Tenemos ahí la prueba de la división, dividiendo es igual al divisor por cociente

48
00:04:44,290 --> 00:04:50,050
más resto. Como nuestro resto es 0, no lo vamos a escribir y ya tendremos el polinomio como una

49
00:04:50,050 --> 00:04:57,449
multiplicación. El polinomio es x al cuadrado más 2x menos 3, que sería el dividendo. El divisor

50
00:04:57,449 --> 00:05:06,750
sería x menos lo que hemos puesto en esta esquina, x menos 1, y ahora lo multiplicaríamos por el

51
00:05:06,750 --> 00:05:10,730
cociente, es decir, el resultado de la división. Recordad que esos son los coeficientes. Como eso

52
00:05:10,730 --> 00:05:18,589
de grado 2 empezaríamos por grado 1, sería 1 por x que es x más 3 y ya tenemos el polinomio

53
00:05:18,589 --> 00:05:24,550
escrito como una multiplicación de dos polinomios. Otro ejemplo, lo mismo empezamos con los divisores

54
00:05:24,550 --> 00:05:30,410
del término independiente, los divisores de más 6. Aquí tenemos unos pocos más de

55
00:05:30,410 --> 00:05:35,829
divisores, son el 1, el 2, el 3 y el más 6 y vamos a hacer la división probando. Empezamos

56
00:05:35,829 --> 00:05:43,269
con el 1, escribimos ahí el primer divisor de esa lista, que sería el 1, y hacemos la división. Al

57
00:05:43,269 --> 00:05:51,370
hacer la división, despacio, por Ruffini, observamos que al final nos queda de resto 2. Luego no nos

58
00:05:51,370 --> 00:05:59,269
sirve ese número y vamos a probar con el siguiente, con el menos 1. Tenemos que ir probando hasta que

59
00:05:59,269 --> 00:06:07,290
salga de resto 0. Si os dais cuenta ahora tampoco sale, sale de resto 12. Pues vamos a probar con

60
00:06:07,290 --> 00:06:13,410
el siguiente que sería el más 2. Escribimos el 1, el menos 5 y el 6 que son los coeficientes del

61
00:06:13,410 --> 00:06:20,579
polinomio y escribimos el más 2 y hacemos la división por Ruffini. Si no os acordáis mirad

62
00:06:20,579 --> 00:06:28,779
el vídeo de la división por Ruffini. Si os dais cuenta esta división si tenemos resto 0 por lo

63
00:06:28,779 --> 00:06:34,660
tanto en esa división aplicamos la prueba. Dividendo es divisor por cociente más resto en

64
00:06:34,660 --> 00:06:39,680
esa división y lo hacemos porque el resto de esa división es cero y nos va a quedar una

65
00:06:39,680 --> 00:06:45,740
multiplicación. Escribimos el dividendo que es x al cuadrado menos 5x más 6. Escribimos el divisor

66
00:06:45,740 --> 00:06:56,480
que sería x menos 2 por el cociente como era de grado 2. Esos son los coeficientes y empezamos

67
00:06:56,480 --> 00:07:04,040
con coeficientes de grado 1, 1 por x menos 3 y ya estaría. Otro último ejemplo. Ahora tenemos que

68
00:07:04,040 --> 00:07:08,699
coger los divisores de 2, que es el término independiente, sería menos 2, pero son los mismos

69
00:07:08,699 --> 00:07:15,620
divisores, son el 1 y el 2. Y vamos probando. Escribimos los coeficientes del polinomio 1, 1 y

70
00:07:15,620 --> 00:07:22,720
menos 2 y probamos con el 1 a ver si sale de resto 0. En este nos ha salido la primera de resto 0 y

71
00:07:22,720 --> 00:07:27,519
volvemos a aplicar la prueba de la división. El dividendo es el divisor por el cociente, el resto

72
00:07:27,519 --> 00:07:32,939
yo no le pongo porque es 0. El dividendo en este caso es x al cuadrado más x menos 2. El divisor

73
00:07:32,939 --> 00:07:46,019
sería x menos lo que hemos puesto, es decir, x menos 1 y el cociente sería de grado 1, 1 por x

74
00:07:46,019 --> 00:07:52,540
más 2. Y ya lo tenemos escrito como una multiplicación. Vamos a hacer ahora una de grado

75
00:07:52,540 --> 00:07:58,240
de 3. Empezamos con los divisores del término independiente, que es menos 6. Son todos esos

76
00:07:58,240 --> 00:08:04,680
de ahí que ya los pusimos antes. Segundo paso. Escribimos los coeficientes del polinomio,

77
00:08:05,040 --> 00:08:11,120
todos, el 1, el 2, el menos 5 y el menos 6. Y vamos probando con todos los divisores del

78
00:08:11,120 --> 00:08:17,279
6 hasta que salga resto 0. Empezamos por el 1 y hacemos la divisor por Ruffini. Vamos

79
00:08:17,279 --> 00:08:23,899
multiplicando y sumando y resulta que como veis nos sale el resto menos 8. Como no ha salido el resto

80
00:08:23,899 --> 00:08:30,839
0 vamos a por el siguiente, vamos a por el menos 1. Volvemos a hacer la división por Ruffini con el

81
00:08:30,839 --> 00:08:41,730
menos 1. Si vais haciendo la división, como observáis, tenemos resto 0. Luego aplicamos la prueba de la

82
00:08:41,730 --> 00:08:48,970
división con esa. El dividendo ahora es x al cubo más 2x al cuadrado menos 5x más 6. El divisor sería

83
00:08:48,970 --> 00:08:54,649
x menos lo que hemos puesto, es decir, x más 1, cambiamos de signo, y el cociente que tiene

84
00:08:54,649 --> 00:09:00,730
un grado menos x al cuadrado más x menos 6. ¿Qué tenemos que hacer ahora? Este polinomio

85
00:09:00,730 --> 00:09:05,990
último, x al cuadrado más x menos 6, tenemos que factorizarlo haciendo exactamente lo mismo

86
00:09:05,990 --> 00:09:11,250
como veis. Cogemos los divisores del término independiente, no hace falta probar con el

87
00:09:11,250 --> 00:09:15,850
1 porque no nos va a salir 0, esto es un truco que tenéis que aprender. Con los que hemos

88
00:09:15,850 --> 00:09:21,409
probado ya, no probamos, no nos va a salir 0. Y probamos con los siguientes, con el menos 1.

89
00:09:22,309 --> 00:09:29,230
Nos sale menos 8, no nos vale. Vamos al siguiente número que sería el más 2. Y al hacer la división

90
00:09:29,230 --> 00:09:36,289
por Ruffini, si observáis, tenemos resto 0. ¿Eso qué quiere decir? Que nuestro polinomio que era

91
00:09:36,289 --> 00:09:43,190
x al cuadrado más x menos 6 es lo mismo que el divisor, que es x menos 2, por el cociente, que es

92
00:09:43,190 --> 00:09:52,769
x más 3 pero esto es el polinomio x al cuadrado más x menos 6 que es el que tenemos ahí arriba

93
00:09:52,769 --> 00:10:00,330
bueno pues qué vamos a hacer ahora vamos a sustituir ese x al cuadrado más x menos 6 por

94
00:10:00,330 --> 00:10:08,509
su valor tendríamos que es x más 1 que teníamos antes y ahora el x menos 2 por el x menos 3 lo

95
00:10:08,509 --> 00:10:14,870
escribimos arriba y nuestro polinomio quedaría x más 1 por x menos 2 por x más 3.