1
00:00:05,360 --> 00:00:08,839
En este vídeo vamos a deducirnos la ecuación de un dioptrio esférico.

2
00:00:09,800 --> 00:00:16,780
Tenemos representado aquí un dioptrio esférico en el cual tenemos un punto P en el primer medio con índice de refracción n

3
00:00:16,780 --> 00:00:22,420
y su imagen P' en el segundo medio que tiene índice de refracción n'.

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00:00:22,420 --> 00:00:28,739
También hemos dibujado ya la distancia objeto, la distancia imagen, el radio de este dioptrio.

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00:00:28,739 --> 00:00:34,579
tenemos dibujada esta altura I, que es la altura donde inciden los puntos

6
00:00:34,579 --> 00:00:38,200
y tenemos dibujados los ángulos que vamos a utilizar

7
00:00:38,200 --> 00:00:50,270
En este caso, lo primero que vamos a hacer es relacionar los ángulos cita, fi y el ángulo de incidencia

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00:00:50,270 --> 00:00:58,810
Observamos que en valor absoluto este ángulo cita más el ángulo fi

9
00:00:58,810 --> 00:01:08,140
más el ángulo este de aquí arriba, alfa, suman 180 grados porque están en un triángulo.

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00:01:10,140 --> 00:01:19,370
Y el ángulo de incidencia y el ángulo alfa en valor absoluto también suman 180 grados

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00:01:19,370 --> 00:01:23,129
porque con la normal forman 180 grados.

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00:01:23,129 --> 00:01:34,030
Combinando estas dos ecuaciones observamos que en valor absoluto i es igual a zita más fi.

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00:01:34,370 --> 00:01:45,719
Si recordamos los criterios de signos, el ángulo zita es un ángulo con el eje que gira en sentido horario, por lo tanto es un ángulo negativo.

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00:01:46,359 --> 00:01:52,299
El ángulo fi, al ser también un ángulo con el eje pero que gira en sentido antihorario, es un ángulo positivo.

15
00:01:52,299 --> 00:01:59,219
positivo y el ángulo y es un ángulo con la normal que gira en sentido horario, por lo tanto es positivo.

16
00:01:59,920 --> 00:02:06,579
Entonces nos queda que y y fi son positivos y cita es negativo.

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00:02:07,780 --> 00:02:14,379
Respetando el criterio de signos podemos escribir entonces que y es fi menos cita.

18
00:02:14,659 --> 00:02:18,180
Le ponemos el signo menos para que nos quede positivo como en el valor absoluto.

19
00:02:18,180 --> 00:02:25,289
A continuación vamos a relacionar los ángulos phi, zeta prima y r.

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00:02:26,389 --> 00:02:28,849
Para ello haremos el mismo razonamiento.

21
00:02:28,849 --> 00:02:40,599
En valor absoluto, zeta prima más r más el ángulo beta suman 180 grados.

22
00:02:43,889 --> 00:02:51,539
Phi más beta también suman 180 grados.

23
00:02:51,539 --> 00:02:57,599
Los primeros porque están en un triángulo, los segundos porque están contra el eje.

24
00:02:59,680 --> 00:03:09,659
Si relacionamos estas dos ecuaciones observaremos que zeta prima en valor absoluto más r coinciden con el ángulo phi.

25
00:03:13,090 --> 00:03:20,789
Si ahora aplicamos los criterios de signos anteriores recordamos que r es un ángulo positivo porque gira en sentido horario hacia la normal,

26
00:03:20,789 --> 00:03:27,909
phi ya hemos dicho antes que era positivo y zeta prima gira hacia el eje en sentido antihorario por lo tanto también es positivo

27
00:03:27,909 --> 00:03:39,479
todos estos ángulos son positivos zeta prima r y phi y por lo tanto podemos escribir esta ecuación simplemente quitando el valor absoluto

28
00:03:40,280 --> 00:03:49,180
y la reescribimos de esta manera porque la vamos a utilizar así a continuación despejando la r

29
00:03:49,180 --> 00:03:53,960
muy bien, ahora que tenemos relacionados los ángulos con esta ecuación

30
00:03:53,960 --> 00:03:57,680
y esta de aquí, podemos aplicar la ley de Snell

31
00:03:57,680 --> 00:04:05,620
la ley de Snell, que nos dice, recordamos que

32
00:04:05,620 --> 00:04:09,120
n por el seno del ángulo de incidencia

33
00:04:09,120 --> 00:04:14,939
es igual a n' por el seno del ángulo de refracción

34
00:04:14,939 --> 00:04:19,579
lo que vamos a aplicar además de la ley de Snell

35
00:04:19,579 --> 00:04:23,740
es lo que se llama aproximación paraxial

36
00:04:23,740 --> 00:04:30,680
aproximación paraxial

37
00:04:30,680 --> 00:04:36,439
y esto lo vamos a hacer siempre que trabajemos en óptica geométrica

38
00:04:36,439 --> 00:04:39,279
¿por qué? porque siempre que trabajemos en óptica geométrica

39
00:04:39,279 --> 00:04:41,759
estamos considerando que nosotros somos los que estamos mirando

40
00:04:41,759 --> 00:04:45,839
y al estar mirando no vamos a mirar desde un ángulo muy muy grande

41
00:04:45,839 --> 00:04:49,360
si nos ponemos las gafas normalmente giramos la cabeza entera

42
00:04:49,360 --> 00:04:51,519
para mirar una cosa y no miramos como de reojo

43
00:04:51,519 --> 00:04:54,139
porque el ojo sale de la gafa entonces no lo vemos

44
00:04:54,139 --> 00:04:57,079
si ponemos una lupa también ponemos la lupa justo entre medio

45
00:04:57,079 --> 00:04:58,560
lo que queremos ver y nuestro ojo

46
00:04:58,560 --> 00:05:06,899
Entonces consideraremos que todos los ángulos que existan en nuestro dibujo o que nos interesen van a ser pequeños.

47
00:05:07,339 --> 00:05:14,720
Ángulos pequeños, recordamos que significa que x tiene que ser menor o del orden de 15 grados.

48
00:05:15,939 --> 00:05:24,899
En este caso, la aproximación paraxial nos dice que el seno de este ángulo va a ser más o menos igual que el propio ángulo,

49
00:05:24,899 --> 00:05:29,319
medido en radianes y va a ser más o menos igual

50
00:05:29,319 --> 00:05:33,439
que la tangente de este ángulo

51
00:05:33,439 --> 00:05:38,139
pues bien, podemos usar la aproximación paraxial

52
00:05:38,139 --> 00:05:42,480
diciendo que el seno de I va a ser aproximadamente I

53
00:05:42,480 --> 00:05:45,980
y que el seno de R va a ser aproximadamente R

54
00:05:45,980 --> 00:05:53,920
entonces N por I será igual a N' por R

55
00:05:53,920 --> 00:06:00,850
además podemos sustituir utilizando las ecuaciones que hemos deducido antes

56
00:06:00,850 --> 00:06:08,009
el ángulo de incidencia y el ángulo de refracción por sus valores en función de los ángulos del dibujo

57
00:06:08,009 --> 00:06:19,709
y observamos que entonces n por phi menos zita va a ser igual a n' por phi menos zita'

58
00:06:19,709 --> 00:06:28,350
Y ahora podemos ver que Φ es aproximadamente igual a la tangente de Φ.

59
00:06:31,230 --> 00:06:40,750
Observamos que la tangente de Φ se puede hacer con este triángulo de aquí, en el que tiene la altura I y el cateto contiguo R.

60
00:06:41,269 --> 00:06:50,930
Es cierto que I debería de partir del centro óptico, pero como todos los ángulos son muy pequeños, esta curva de aquí podemos considerar que es también muy poco pronunciada

61
00:06:50,930 --> 00:06:54,410
y por lo tanto esta I es prácticamente como si estuviese en O.

62
00:06:56,089 --> 00:07:00,910
Entonces esto de aquí es I sobre R.

63
00:07:02,569 --> 00:07:05,069
Podemos hacer lo mismo con el ángulo cita.

64
00:07:06,029 --> 00:07:10,329
Observamos que ahora el triángulo es S y I.

65
00:07:11,209 --> 00:07:19,250
Entonces la tangente del ángulo cita va a ser I dividido entre S.

66
00:07:19,949 --> 00:07:22,089
No debemos preocuparnos por el signo del ángulo cita,

67
00:07:22,089 --> 00:07:26,709
es negativo porque S es negativa, pero ya lo hemos tenido en cuenta cuando aquí hemos

68
00:07:26,709 --> 00:07:31,589
trabajado con valores absolutos, con lo cual esto tiene el signo adecuado. Por último

69
00:07:31,589 --> 00:07:40,769
Z' va a ser aproximadamente igual a la tangente de Z' que si observamos el triángulo va a

70
00:07:40,769 --> 00:07:49,569
ser I entre S'. Ahora que tenemos todas las tangentes descritas podemos ir sustituyendo

71
00:07:49,569 --> 00:08:09,050
cada uno de estos ángulos y tendremos que n por y sobre r menos y sobre s va a ser igual a n' por y sobre r menos y sobre s'.

72
00:08:09,050 --> 00:08:18,790
Observamos que todos los términos tienen y, por lo tanto esa y puede simplificarse y podemos reordenarlo de tal manera que s y s' queden en un lado

73
00:08:18,790 --> 00:08:36,009
y el resto sea únicamente función del radio. Observamos que entonces nos va a quedar que n' sobre s' menos n sobre s es n' menos n dividido entre r.

74
00:08:36,009 --> 00:08:59,460
Y esta de aquí es la ecuación de un dioptrio esférico. Podemos fijarnos que el lado derecho de la ecuación únicamente depende del dioptrio y de los índices de refracción de los medios, mientras que el lado izquierdo es el que tiene en cuenta el objeto y la imagen.