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00:00:12,269 --> 00:00:17,489
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

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00:00:17,489 --> 00:00:21,890
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

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00:00:21,890 --> 00:00:26,449
de la unidad PR4 dedicada a las variables aleatorias continuas y a la distribución

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00:00:26,449 --> 00:00:35,420
normal. En la videoclase de hoy estudiaremos las características de una variable aleatoria

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00:00:35,420 --> 00:00:50,270
normal y su función de densidad de probabilidad. En esta videoclase vamos a iniciar el estudio

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00:00:50,270 --> 00:00:56,469
de la distribución normal, que en lo que respecta a variables aleatorias continuas ejerce el mismo

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00:00:56,469 --> 00:01:03,969
papel de ser una distribución muy representativa y de terrible impetuacia que corresponde a las

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00:01:03,969 --> 00:01:09,290
distribuciones binomiales en el caso de variables aleatorias discretas. En lo que respecta a la

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00:01:09,290 --> 00:01:15,750
distribución normal, ésta se define a partir de su función de densidad de probabilidad conocida,

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00:01:15,750 --> 00:01:21,310
la media mu y la desviación típica sigma. Y entonces una distribución normal con esta media

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00:01:21,310 --> 00:01:26,189
y esta desviación típica es aquella que corresponde a una función de densidad de

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00:01:26,189 --> 00:01:31,310
probabilidad que se corresponde con 1 dividido entre la raíz cuadrada de 2pi por la varianza

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00:01:31,310 --> 00:01:38,049
al cuadrado por la función exponencial de menos x menos la media al cuadrado dividido entre dos

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00:01:38,049 --> 00:01:42,810
veces la varianza. A esta función de densidad de probabilidad se le conoce con el nombre de

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00:01:42,810 --> 00:01:50,150
normal o bien con el nombre de gaussiana. Y representaremos x sigue una distribución normal

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00:01:50,150 --> 00:01:56,569
con media mu y desviación típica sigma, la variable aleatoria normal con media mu y desviación

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00:01:56,569 --> 00:02:03,150
típica sigma. Como propiedades de esta función de densidad de probabilidad cabe destacar que

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00:02:03,150 --> 00:02:08,710
tanto los límites cuando x tiende a menos infinito como cuando x tiende a más infinito de la función

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00:02:08,710 --> 00:02:16,310
son cero. Desde que comenzáramos a dibujar la función en menos infinito tenemos una función

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00:02:16,310 --> 00:02:24,490
que es creciente hasta alcanzar un máximo en la abscisa que es igual a la media y a partir de aquí

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00:02:24,490 --> 00:02:30,229
tenemos una función que va a ser decreciente hasta que alcanzamos ese límite cuando x tenga más

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00:02:30,229 --> 00:02:37,949
infinito que es cero. Y esta función tiene también puntos de inflexión en las abscisas x igual a la

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00:02:37,949 --> 00:02:44,330
media menos la desviación típica, x igual a la media más la desviación típica. Por último esta

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00:02:44,330 --> 00:02:51,360
función es simétrica con respecto a la recta vertical que pasa por la media. Podemos observar

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00:02:51,360 --> 00:02:55,740
estas características representando gráficamente la función de densidad de probabilidad para

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00:02:55,740 --> 00:03:01,740
distintos valores de la media y de la varianza. En primer lugar representamos en azul el caso de

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00:03:01,740 --> 00:03:07,680
la función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal con media 0 y varianza

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00:03:07,680 --> 00:03:13,800
0,2. Y podemos ver cómo se cumplen las propiedades que hemos mencionado. Límite cuando x tiende a

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00:03:13,800 --> 00:03:19,819
menos infinito y cuando x tiende a más infinito es igual a cero. Desde menos infinito hasta cero,

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00:03:20,000 --> 00:03:25,080
que es el valor de la media, la función es creciente. Desde cero hacia más infinito tenemos

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00:03:25,080 --> 00:03:31,560
una función que es decreciente. Los puntos de inflexión se situarían por aquí en unas abstizas

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00:03:31,560 --> 00:03:36,699
iguales a la media menos y la media más la desviación típica. Y podemos comprobar cómo se

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00:03:36,699 --> 00:03:44,139
Se trata de una función perfectamente simétrica con respecto de la recta vertical que pasa por el máximo, que pasa por la media, muy igual a cero.

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00:03:45,060 --> 00:03:55,099
En rojo tenemos a continuación una función de densidad de probabilidad de una variable normal con la misma media, muy igual a cero, pero con una varianza superior igual a uno.

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00:03:55,099 --> 00:04:02,360
Y fijaos en qué es lo que ocurre. Tenemos una función con el mismo aspecto general, pero más bajita.

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00:04:02,900 --> 00:04:07,360
No solamente más bajita, este mínimo está más abajo, sino que esta es más ensanchada.

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00:04:08,620 --> 00:04:14,780
En el caso de la función azul, tiende a cero muy rápidamente, tanto cuando x tiende a más como a menos infinito,

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00:04:14,939 --> 00:04:17,579
y en este caso tiende a cero algo más lentamente.

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00:04:18,220 --> 00:04:24,519
Y en cuanto a los puntos de inflexión, que estarían por aquí situados en estas abstizas, en el caso de la función azul,

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00:04:24,980 --> 00:04:29,540
en este caso estarían más a la derecha y más a la izquierda, en el caso de la función roja.

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00:04:30,160 --> 00:04:37,420
Estarían en unas abstizas igual a la media menos la desviación típica, la media más la desviación típica.

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00:04:37,839 --> 00:04:40,000
Siendo mayor la varianza, es mayor la desviación típica.

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00:04:40,939 --> 00:04:44,600
¿Qué ocurre en el caso de la función que estamos pintando en color amarillo?

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00:04:44,720 --> 00:04:52,459
Pues que la media es la misma, con lo cual tenemos la misma función centrada en x igual a 0, simétrica,

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00:04:52,920 --> 00:04:59,519
pero en este caso la varianza es 5, superior a las anteriores, y vista la tendencia, observamos lo que esperábamos.

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00:04:59,540 --> 00:05:17,959
Si la función con varianza 0,2 es más alta y más estrecha, la función con varianza igual a 1 es más baja y más ancha, cuando subimos a una varianza incluso mayor o igual a 5, tenemos una función aún más baja, el mínimo está más abajo, y aún más ancha.

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00:05:18,639 --> 00:05:25,180
Recordad que los puntos de inflexión se sitúan en las abstizas x menos la desviación típica, x más la desviación típica.

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00:05:25,180 --> 00:05:31,620
Al aumentar la varianza, aumenta la desviación típica y esos puntos de inflexión se apartan del valor de la media.

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00:05:32,680 --> 00:05:39,199
En todos estos casos tenemos una función de densidad de probabilidad centrada en x igual a 0 y no es casualidad,

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00:05:39,459 --> 00:05:45,480
es que este es el valor de la media y es el punto central de esta función de densidad de probabilidad.

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00:05:46,379 --> 00:05:53,860
En este otro caso, en el caso de la función que hemos pintado en verde, tenemos una media igual a menos 2 y una varianza igual a 0,5.

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00:05:54,540 --> 00:06:01,680
Y fijaos en que la forma de la función es la misma que en los casos anteriores, la representación general es la misma,

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00:06:01,680 --> 00:06:10,759
pero en este caso el máximo se encuentra en menos 2, como corresponde, puesto que la media es menos 2 y la media se corresponde con el máximo, el punto de simetría.

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00:06:10,759 --> 00:06:37,100
Y en cuanto a cómo de ancha o de estrecha es esta función de densidad o en dónde se encuentra, a qué altura se encuentra el máximo, fijaos que con una varianza de 0,5 intermedia entre el 0,2 de la distribución azul y del 1 de la función roja, el máximo se encuentra en una altura comprendido entre la altura de la distribución azul y de la distribución roja.

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00:06:37,100 --> 00:06:48,060
Y en cuanto a cómo de ancha es la distribución, es ligeramente más ancha que la distribución azul, no tanto como en el caso de la distribución roja, por supuesto centrada en el menos 2 en lugar de en el 0.

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00:06:49,279 --> 00:06:57,100
Con esto que hemos visto, ya podríamos resolver este ejercicio 4, que resolveremos en clase, podremos resolver en una videoclase posterior.

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00:06:57,100 --> 00:07:05,399
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios

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00:07:05,399 --> 00:07:10,240
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web

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00:07:10,240 --> 00:07:15,860
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual

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00:07:15,860 --> 00:07:17,759
Un saludo y hasta pronto