1
00:00:12,339 --> 00:00:17,300
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,300 --> 00:00:21,679
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares, y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:21,679 --> 00:00:33,219
de la unidad AR4 dedicada a las técnicas de conteo. En la videoclase de hoy estudiaremos

4
00:00:33,219 --> 00:00:36,820
las permutaciones con repetición y resolveremos el ejercicio propuesto 9.

5
00:00:47,259 --> 00:00:51,520
En esta videoclase vamos a estudiar las permutaciones con repetición. Si en las

6
00:00:51,520 --> 00:00:57,640
tres mutaciones sin repetición. Tenía L elementos distinguibles todos ellos y quería averiguar de

7
00:00:57,640 --> 00:01:02,979
cuántas formas posibles los podía ordenar todos. En este caso también tengo N elementos, también

8
00:01:02,979 --> 00:01:08,140
los quiero ordenar todos, pero no son todos distinguibles. La parte de con repetición quiere

9
00:01:08,140 --> 00:01:15,159
decir que esos N elementos pertenecen a una cierta cantidad R de categorías, de tal forma que tengo

10
00:01:15,159 --> 00:01:20,859
alfa 1 elementos de la primera categoría y todos esos elementos son iguales entre sí. Pero también

11
00:01:20,859 --> 00:01:26,159
tengo alfa dos elementos de la segunda categoría, esos elementos son iguales entre sí, pero a su

12
00:01:26,159 --> 00:01:31,420
vez son distinguibles frente a los de la primera, y así con todas las demás. Resulta que no tengo

13
00:01:31,420 --> 00:01:36,959
n elementos, todos ellos distintos, sino que algunos son iguales entre sí, pertenecen a la

14
00:01:36,959 --> 00:01:42,640
misma categoría, y categorías distintas están formadas por elementos distinguibles, por elementos

15
00:01:42,640 --> 00:01:50,219
diferentes. Llamamos permutaciones con repetición de n elementos agrupados alfa uno, alfa dos, hasta

16
00:01:50,219 --> 00:01:56,079
alfa r a esas formas posibles, número de formas posibles en que puedo ordenar

17
00:01:56,079 --> 00:02:01,780
esos n elementos, sabiendo que no son todos ellos iguales, sino que tengo alfa

18
00:02:01,780 --> 00:02:06,719
1, alfa 2, así hasta alfa r repetidos. Lo que vamos a hacer es utilizar una

19
00:02:06,719 --> 00:02:11,360
técnica similar al caso de la que utilizamos cuando hablamos de las

20
00:02:11,360 --> 00:02:15,639
combinaciones en repetición. Estas las determinábamos en función de las

21
00:02:15,639 --> 00:02:19,699
variaciones. Bueno, pues vamos a calcular estas permutaciones con repetición en

22
00:02:19,699 --> 00:02:24,099
base a las permutaciones. No en mano tengo n elementos y los quiero ordenar. Quiero ver de

23
00:02:24,099 --> 00:02:28,319
cuantas formas posibles los puedo ordenar. Bien, pues voy a partir de esas permutaciones de n

24
00:02:28,319 --> 00:02:34,319
elementos, este n factorial que tengo aquí en este numerador. ¿Qué es lo que ocurre? Pues que los

25
00:02:34,319 --> 00:02:40,439
alfa 1 elementos de la primera categoría, en las permutaciones sin repetición, estoy considerando

26
00:02:40,439 --> 00:02:44,580
que las distintas ordenaciones entre ellos son distintas, pero en realidad son la misma, puesto

27
00:02:44,580 --> 00:02:49,759
que no son distinguibles. Así que de las permutaciones de n elementos de este n factorial

28
00:02:49,759 --> 00:02:54,860
tengo que eliminar, por un lado, las formas posibles en que puedo ordenar estos alfa 1

29
00:02:54,860 --> 00:02:59,979
elementos que son indistinguibles y por eso divido entre alfa 1 factorial. También tengo que eliminar

30
00:02:59,979 --> 00:03:04,740
las distintas ordenaciones de los alfa 2 elementos de la segunda categoría, por eso estoy dividiendo

31
00:03:04,740 --> 00:03:11,539
entre alfa 2 factorial y así sucesivamente con todas las demás. Como ejemplo, supongamos que

32
00:03:11,539 --> 00:03:16,259
queremos, igual que hicimos en una videoclase anterior, determinar cuántas palabras con sentido

33
00:03:16,259 --> 00:03:21,740
o sin él podemos formar a partir de la palabra, pero no la palabra saco, que es la que utilizamos

34
00:03:21,740 --> 00:03:26,800
con las permutaciones sin repetición, con las cuatro letras distintas, sino en este caso con

35
00:03:26,800 --> 00:03:32,900
la palabra saca. Y vemos que tenemos cuatro elementos que pertenecen a tres categorías

36
00:03:32,900 --> 00:03:39,659
distintas. La primera categoría es la letra S. Hay un elemento que sea la letra S. La segunda

37
00:03:39,659 --> 00:03:46,419
categoría es la letra A y esa categoría tiene dos elementos puesto que tengo dos AEs. Y por último

38
00:03:46,419 --> 00:03:51,400
la tercera categoría va a ser la letra C y esa categoría tiene un único elemento puesto que

39
00:03:51,400 --> 00:03:58,620
tengo una única letra C. En este caso N, el número de elementos, es 4. Esos cuatro elementos, las cuatro

40
00:03:58,620 --> 00:04:05,919
letras, pertenecen a tres categorías. Tengo S, A y C. La primera categoría tiene un elemento, hay una S.

41
00:04:05,919 --> 00:04:13,280
la segunda categoría tiene dos elementos, hay dos aes, y la tercera categoría tiene otra vez un único elemento, hay una única c.

42
00:04:14,120 --> 00:04:20,319
Si utilizamos la fórmula de las permutaciones con repetición, son permutaciones con repetición de cuatro elementos

43
00:04:20,319 --> 00:04:26,420
pertenecientes a categorías con un elemento, dos elementos y un elemento.

44
00:04:27,279 --> 00:04:34,899
¿Qué me dice la fórmula? Pues que haga 4 factorial, que es n factorial, dividido entre 1 factorial, 2 factorial y 1 factorial.

45
00:04:35,399 --> 00:04:38,300
4 por 3 por 2 y por 1 es el factorial de 4, que es 24.

46
00:04:38,819 --> 00:04:40,040
1 factorial es 1.

47
00:04:40,579 --> 00:04:42,899
2 factorial es 2 por 1, 24 entre 4.

48
00:04:43,279 --> 00:04:48,519
Hay 12 palabras diferentes que se pueden formar con estas letras S, A, C, A.

49
00:04:50,250 --> 00:04:54,209
En este caso, al igual que hicimos en la videoclase de las permutaciones sin repetición,

50
00:04:54,209 --> 00:04:59,290
sí podemos utilizar un diagrama de árbol para contar todas estas posibilidades.

51
00:05:00,089 --> 00:05:03,709
Y vamos a hacerlo en este caso en concreto de esta manera, un tanto peculiar.

52
00:05:04,189 --> 00:05:08,029
Partimos de este nodo vacío y vamos a elegir una de las cuatro letras.

53
00:05:08,329 --> 00:05:16,829
Tenemos para nuestra disposición la S, la primera A, la C o la segunda A de la palabra SACA.

54
00:05:17,850 --> 00:05:23,829
Una vez que hemos elegido la primera letra, vamos a elegir la segunda a partir de las tres restantes.

55
00:05:23,829 --> 00:05:30,410
Y si hemos elegido una S, la siguiente letra podrá ser la primera A, la C o la segunda A.

56
00:05:30,829 --> 00:05:38,050
Si hemos extraído la S y la A, para la tercera letra tenemos dos posibilidades, o bien la C o bien la segunda A.

57
00:05:38,709 --> 00:05:48,250
Y una vez que supongamos que hemos extraído la S, la primera A y la C, como última opción no nos queda más que una única letra, que sería la última A, la segunda A.

58
00:05:49,550 --> 00:05:54,689
Si hacemos esto, vemos que aquí lo que tenemos son 24 posibilidades.

59
00:05:55,189 --> 00:06:01,829
Estas 24 que teníamos aquí en este numerador, porque en el fondo lo que tenemos son permutaciones de 4 elementos.

60
00:06:02,410 --> 00:06:06,970
Y es que tal y como lo he estado contando, estoy distinguiendo la primera A de la segunda A.

61
00:06:08,290 --> 00:06:14,990
En realidad esto no es así. Nosotros no vamos a tener en cuenta el orden. Las A son indistinguibles.

62
00:06:14,990 --> 00:06:29,189
Y fijaos en una cosa. Yo aquí tengo la combinación saca y tengo la misma combinación saca un poco más abajo. Aquí la tengo. La tengo dos veces. ¿Por qué?

63
00:06:29,189 --> 00:06:46,250
Porque he considerado que esta combinación primera sería con la S, la primera A, la C y la segunda A, mientras que aquí tengo la S, la segunda A, la C y la primera A.

64
00:06:46,810 --> 00:06:54,709
He formado las mismas combinaciones, la misma combinación saca, pero primera A, segunda A y aquí segunda A, primera A.

65
00:06:54,709 --> 00:07:03,089
Si los elementos fueran todos distinguibles, si tuviera una A de color azul y una A de color rojo, entonces sí, estas dos combinaciones son distintas.

66
00:07:03,529 --> 00:07:11,689
Pero tal y como lo tengo, me dicen que las A son indistinguibles, esta combinación saca y esta combinación saca son la misma.

67
00:07:12,350 --> 00:07:14,370
No debería contar dos, debería contar solo una.

68
00:07:15,430 --> 00:07:18,209
Eso me pasa con todas las combinaciones.

69
00:07:18,769 --> 00:07:21,910
Si las miráis, todas están dos veces.

70
00:07:21,910 --> 00:07:23,910
Y la razón de ser es precisamente esta.

71
00:07:23,910 --> 00:07:30,129
En una de las combinaciones tengo una A, que es la primera, y a continuación una A, que es la segunda,

72
00:07:30,449 --> 00:07:35,490
y en otra de las combinaciones tengo una A, que es la segunda, y otra A, que es la primera.

73
00:07:35,990 --> 00:07:41,550
Si fueran de colores distintas, las palabras que formaría serían distinguibles, pero no siendo el caso,

74
00:07:41,970 --> 00:07:46,509
resulta que tengo todas las combinaciones duplicadas, por el hecho de que tengo dos AEs.

75
00:07:47,069 --> 00:07:51,569
Así que de estas 24, en realidad tengo 12. Debería dividir 24 entre 2.

76
00:07:51,569 --> 00:07:56,449
Eso es lo que ha ocurrido aquí cuando he dividido entre este 2, que es el 2 factorial.

77
00:07:56,949 --> 00:08:02,990
Para eliminar esas combinaciones duplicadas, porque tengo dos aes, debo dividir entre dos.

78
00:08:03,089 --> 00:08:06,569
Por eso en esta fórmula dividimos entre todos los alfas factorial.

79
00:08:09,439 --> 00:08:14,980
En el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios.

80
00:08:15,720 --> 00:08:19,819
Asimismo, tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web.

81
00:08:20,680 --> 00:08:25,399
No dudéis en traer vuestras dudas e inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual.

82
00:08:25,959 --> 00:08:27,360
Un saludo y hasta pronto.