1
00:00:00,000 --> 00:00:06,879
Hola, vamos a ver los ejercicios de la parte de álgebra del modelo de este año, de la EBAO.

2
00:00:07,379 --> 00:00:11,119
A ver, en el apartado, bueno, me dan primeramente dos matrices de orden 2,

3
00:00:11,359 --> 00:00:14,160
una de ellas la matriz A con un parámetro A desconocido,

4
00:00:15,060 --> 00:00:21,579
y me piden en el apartado A que calcule los valores de A tales que la matriz A por A traspuesta sea una matriz diagonal.

5
00:00:22,120 --> 00:00:24,839
Entonces, lo primero que tenemos que recordar es que es una matriz diagonal.

6
00:00:24,839 --> 00:00:33,340
Una matriz diagonal es una matriz que tiene en la diagonal principal, es decir, aquí, números distintos de cero,

7
00:00:33,579 --> 00:00:39,700
al menos alguno distinto de cero, y en todos los demás elementos tenemos que tener ceros, ¿vale?

8
00:00:39,799 --> 00:00:41,700
Eso es una matriz diagonal.

9
00:00:42,460 --> 00:00:49,259
Entonces vamos a empezar, lo primero que tenemos que hacer es calcular la matriz A por A traspuesta, luego por lo...

10
00:00:49,259 --> 00:00:51,460
Empezamos calculando la traspuesta de A.

11
00:00:51,460 --> 00:00:56,939
La matriz traspuesta es intercambiar filas por columnas o columnas por filas, ¿vale?

12
00:00:57,340 --> 00:01:02,719
Entonces, a ver, la primera columna 2AA la ponemos en la primera fila, 2AA,

13
00:01:03,399 --> 00:01:07,299
y la segunda columna la ponemos en la segunda fila.

14
00:01:07,700 --> 00:01:10,000
Y ya tenemos calculada la matriz traspuesta.

15
00:01:10,180 --> 00:01:11,400
Ahora calculamos el producto.

16
00:01:11,959 --> 00:01:15,319
Recordad, el producto de matrices no es conmutativo,

17
00:01:15,439 --> 00:01:20,019
luego tenemos que ponerlo en el orden que me lo piden, me piden A por A traspuesta.

18
00:01:21,459 --> 00:01:38,480
Escribimos primero la matriz A, 2A menos 2A, 1, y lo multiplicamos por la matriz A traspuesta, que es 2A, A menos 2, 1.

19
00:01:40,680 --> 00:01:53,120
Aunque supongo que ya lo sabéis, pero bueno, vamos a recordar un poco para multiplicar matrices, tenemos que comprobar que las columnas de la primera coincidan con las filas de la segunda, es decir, el orden de estas dos matrices es 2 por 2, porque son matrices cuadradas.

20
00:01:53,159 --> 00:01:59,780
se pone siempre primero en la fila por la columna y en la segunda la fila por la columna

21
00:01:59,780 --> 00:02:05,900
y lo que os he dicho, la columna de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda

22
00:02:05,900 --> 00:02:14,219
y la matriz resultante tendrá por orden el número de filas de la primera por el número de columnas de la segunda

23
00:02:14,219 --> 00:02:18,979
en este caso obviamente como son matrices 2x2 va a ser también una matriz 2x2

24
00:02:18,979 --> 00:02:30,860
Bien, ¿cómo se multiplican matrices? Pues empezamos cogiendo la primera fila de la primera matriz y se la vamos a multiplicar por la primera columna de la segunda matriz, ¿vale?

25
00:02:31,620 --> 00:02:36,300
Multiplicando primer elemento por primer elemento más segundo elemento por segundo elemento, ¿vale?

26
00:02:36,900 --> 00:02:43,879
Por tanto sería 2a por 2a, 4a al cuadrado y menos 2 por menos 2 más 4.

27
00:02:43,879 --> 00:02:49,500
ahora hacemos lo mismo que hemos hecho con la primera columna

28
00:02:49,500 --> 00:02:53,460
lo multiplicamos por la segunda columna

29
00:02:53,460 --> 00:03:00,449
2a por a, 2a al cuadrado, menos 2 por 1, menos 2

30
00:03:00,449 --> 00:03:05,110
y ahora pasamos, si hubiera más columnas seguiríamos con más columnas

31
00:03:05,110 --> 00:03:10,289
como no hay pasamos a la segunda fila y hacemos exactamente lo mismo

32
00:03:10,289 --> 00:03:16,150
a por 2a, 2a cuadrado, 1 por menos 2, menos 2

33
00:03:16,150 --> 00:03:21,150
y primera fila por segunda columna, a por a, a cuadrado

34
00:03:21,150 --> 00:03:24,969
y 1 por 1, pues más 1, ¿vale?

35
00:03:25,830 --> 00:03:28,270
¿Y qué es lo que queríamos? Que esta matriz sea diagonal

36
00:03:28,270 --> 00:03:35,289
es decir, lo que queremos es que este elemento sea 0

37
00:03:35,289 --> 00:03:39,710
y que este elemento sea 0

38
00:03:39,710 --> 00:03:45,090
para que la matriz sea diagonal.

39
00:03:46,469 --> 00:03:51,550
Justamente los dos elementos son iguales, por lo tanto lo único que tenemos que resolver es

40
00:03:51,550 --> 00:03:57,069
2a cuadrado menos 2 igualamos a 0 para calcular el valor de a,

41
00:03:57,770 --> 00:04:02,569
lo que es lo mismo que a cuadrado es igual, paso el 2 y lo divido entre 2,

42
00:04:02,569 --> 00:04:08,250
me queda a cuadrado es igual a 1, es decir, a es igual a más menos 1.

43
00:04:08,250 --> 00:04:13,090
Deberíamos también comprobar que efectivamente para estos valores

44
00:04:13,090 --> 00:04:17,529
Al menos uno de los dos van a ser distintos de cero

45
00:04:17,529 --> 00:04:20,810
Pero fijaros, como los dos son un cuadrado más un número

46
00:04:20,810 --> 00:04:22,509
Nunca van a ser cero

47
00:04:22,509 --> 00:04:26,110
Es decir, este va a ser siempre distinto de cero

48
00:04:26,110 --> 00:04:28,709
Y esto va a ser siempre distinto de cero

49
00:04:28,709 --> 00:04:31,389
Si no, de toda manera lo tendríamos que comprobar

50
00:04:31,389 --> 00:04:35,029
Porque a lo mejor lo que obtendríamos es la matriz cero

51
00:04:35,029 --> 00:04:36,050
Y no una matriz diagonal

52
00:04:36,050 --> 00:04:53,850
Vale, bueno, pues entonces contestamos, a por a traspuesta, a por a traspuesta va a ser diagonal, si y solo si, a es igual a más o menos 1, ¿vale?

53
00:04:53,850 --> 00:05:04,670
Y con esto ya sería el primer apartado. Para el apartado b, a ver, ahora ya lo que me están pidiendo es que calculemos los valores de a, nos tenemos que olvidar del apartado a, ¿vale?

54
00:05:04,670 --> 00:05:13,170
O sea, los valores que hemos obtenido en el apartado A, ya me olvido, es como si esto fuera un ejercicio diferente, aunque sea la misma matriz, ¿de acuerdo?

55
00:05:13,250 --> 00:05:28,189
Entonces me están pidiendo ahora calcular si existen los valores de A tales que A menos B por A más B sea igual a A cuadrado menos B cuadrado, ¿vale?

56
00:05:29,350 --> 00:05:35,290
Y aquí seguro que me podríais decir, pero si esta es la expresión notable que sabemos que se verifica, que os la hemos estado explicando siempre,

57
00:05:35,290 --> 00:05:37,589
sí, pero con números, ¿vale?

58
00:05:37,589 --> 00:05:39,970
estamos con matrices, las matrices no son conmutativas

59
00:05:39,970 --> 00:05:41,750
¿de acuerdo?

60
00:05:42,250 --> 00:05:43,769
entonces tenemos que tener cuidado con eso

61
00:05:43,769 --> 00:05:45,709
entonces una forma de hacerlo cuando me piden

62
00:05:45,709 --> 00:05:47,670
un ejercicio de este estilo en el que tenemos

63
00:05:47,670 --> 00:05:48,329
operaciones

64
00:05:48,329 --> 00:05:51,230
la forma que siempre sale es

65
00:05:51,230 --> 00:05:53,769
calculo la matriz a menos b, calculo la matriz a más b

66
00:05:53,769 --> 00:05:55,750
multiplico las matrices, calculo

67
00:05:55,750 --> 00:05:57,829
la matriz a cuadrado, calculo la matriz b cuadrado

68
00:05:57,829 --> 00:05:59,129
la resto, igualo

69
00:05:59,129 --> 00:06:00,610
y de ahí resuelvo el sistema

70
00:06:00,610 --> 00:06:03,389
lo que me queda es igualando elementos a elementos

71
00:06:03,389 --> 00:06:04,610
pero eso es bastante largo

72
00:06:05,569 --> 00:06:12,269
A veces nos conviene operar un poco, es decir, vamos a hacer el producto de la izquierda,

73
00:06:12,810 --> 00:06:16,910
teniendo cuidado con que no es conmutativo, es decir, lo escribimos en el orden que me lo dan.

74
00:06:17,529 --> 00:06:28,230
A por A es A cuadrado, A por B, es decir, he hecho A por A y ahora voy a hacer A por B, más A por B.

75
00:06:28,230 --> 00:06:39,870
Ahora multiplicamos por menos b, menos b por a es menos b a y menos b por b es menos b cuadrado, ¿vale?

76
00:06:40,209 --> 00:06:45,470
Y esto es igual a a cuadrado menos b cuadrado, ¿vale?

77
00:06:45,509 --> 00:06:52,670
Fijaos que con números a por b sería lo mismo que b por a y por lo tanto se me iría y me quedaría lo mismo a izquierda y a derecha, pero con matrices no

78
00:06:52,670 --> 00:06:58,689
¿Qué ocurre? Que la matriz a cuadrado sí que la podemos restar, si pasa restando se me va con esta a cuadrado

79
00:06:58,689 --> 00:07:02,730
Y la matriz menos b cuadrado si pasa sumando se me va con la otra

80
00:07:02,730 --> 00:07:07,850
¿Vale? Por lo tanto, para que se verifique la propiedad que me están pidiendo

81
00:07:07,850 --> 00:07:14,209
Es lo mismo que decir que a más b menos b por a tendría que ser cero

82
00:07:14,209 --> 00:07:21,029
¿Vale? O lo que es lo mismo, lo que queremos demostrar es que a por b tiene que ser igual a b por a

83
00:07:21,029 --> 00:07:28,670
Entonces, en lugar de demostrar lo primero, lo que voy a demostrar es si A por B es igual a B por A

84
00:07:28,670 --> 00:07:32,410
Y fijaos que entonces me estoy ahorrando operar mucho con matrices

85
00:07:32,410 --> 00:07:35,709
De la otra manera tendríamos que calcular más matrices

86
00:07:35,709 --> 00:07:39,589
El resultado lo obtendríamos también bien pero tardaríamos más

87
00:07:39,589 --> 00:07:42,009
Entonces lo primero vamos a calcular A por B

88
00:07:42,009 --> 00:07:48,910
A por B es matriz A, 2A, A, menos 2, 1

89
00:07:48,910 --> 00:07:54,689
por la matriz B, 1, menos 1, 2, 2.

90
00:07:56,410 --> 00:07:59,129
Y esto sería como antes, son matrices cuadradas por 2,

91
00:07:59,209 --> 00:08:00,189
pues se puede multiplicar.

92
00:08:00,829 --> 00:08:05,550
2A por 1 sería 2A, menos 2 por menos 1, más 2.

93
00:08:06,529 --> 00:08:08,709
Segunda, o sea, primera fila por segunda columna,

94
00:08:08,709 --> 00:08:13,550
2A por 2 sería 4A, menos 2 por 2, menos 4.

95
00:08:15,269 --> 00:08:17,509
A por 1, ahora paso a la segunda fila, ¿vale?

96
00:08:17,509 --> 00:08:24,829
A por 1, A, y 1 por menos 1, menos 1, si en algún momento me confundo con filas y columnas, ya sabéis que es mi dislexia, ¿vale?

97
00:08:25,670 --> 00:08:31,129
Y luego A por 2, 2A, y 1 por 2, 2, o sea, más 2.

98
00:08:31,870 --> 00:08:34,029
Luego ya tenemos cuánto es la matriz AB.

99
00:08:34,549 --> 00:08:36,850
Pues ahora vamos a calcular la matriz BA.

100
00:08:39,220 --> 00:08:44,679
La matriz BA es poner delante 1, menos 1, 2, 2, primero la matriz B,

101
00:08:44,679 --> 00:09:01,200
Y ahora la matriz A. 2A, menos 2, A, 1. Bien. Primera fila por primera columna, 1 por 2A, 2A, más 2 por A, 2A, 2A, más 2A, luego lo opero, ¿vale?

102
00:09:01,200 --> 00:09:08,340
1 por menos 2, menos 2, menos 2 más 2 por 1 es 2

103
00:09:08,340 --> 00:09:12,179
Lo podríamos operar directamente ya de cabeza, pero bueno, para que quede claro

104
00:09:12,179 --> 00:09:14,340
Menos 1, ahora estoy en la segunda fila, ¿vale?

105
00:09:14,379 --> 00:09:19,460
Menos 1 por 2a es menos 2a, más 2 por a, 2a

106
00:09:19,460 --> 00:09:27,669
Y a ver, que me falta la segunda fila por segunda columna

107
00:09:27,669 --> 00:09:33,769
Menos 1 por menos 2, menos 1 por menos 2 es 2, más 2 por 1 es 2

108
00:09:33,769 --> 00:09:44,509
¿Vale? Si operamos, aquí me queda 2a más 2a es 4a, menos 2 más 2 es 0, menos 2a más 2a es 0 y 2 más 2 es 4.

109
00:09:45,190 --> 00:09:49,789
¿Vale? Y ahora lo único que tenemos que hacer es igualar las dos matrices, ¿vale?

110
00:09:50,750 --> 00:10:05,970
Uy, perdonad que esto está mal de antes. No sé qué hacía ahí. Es que he reutilizado una pizarra.

111
00:10:05,970 --> 00:10:21,450
Venga, vale, entonces lo que queremos es que A por B sea igual a B por A, por lo tanto lo que hacemos es igualar las dos matrices, 2A más 2, 4A menos 4, A menos 1 y 2A más 2.

112
00:10:21,450 --> 00:10:31,370
y lo que queremos es que esta matriz sea igual a la matriz 4A, 0, 0, 4.

113
00:10:31,889 --> 00:10:37,750
Y, como sabéis, para que dos matrices sean iguales tienen que ser uno del mismo orden, son 2 por 2, eso lo cumplen.

114
00:10:38,250 --> 00:10:41,509
Por lo tanto, lo que tiene que ocurrir es que cada elemento sea igual que el otro elemento,

115
00:10:41,509 --> 00:10:45,850
es decir, el A11 tendría que ser el B11, ¿de acuerdo?

116
00:10:45,850 --> 00:10:52,830
Bueno, por lo tanto lo que me queda es que el 2a más 2 es lo mismo que 4a, ¿vale?

117
00:10:52,850 --> 00:11:00,149
Es decir, este elemento tiene que ser igual a este, ahora el otro, el elemento 1, 2 de ambos,

118
00:11:00,610 --> 00:11:12,580
4a menos 4 tiene que ser igual a 0, el a menos 1 tiene que ser igual a 0 y el 2a más 2 tiene que ser igual a 4, ¿vale?

119
00:11:12,580 --> 00:11:19,200
Fijaos, son cuatro ecuaciones y en las cuatro ecuaciones la única incógnita que tengo es la a

120
00:11:19,200 --> 00:11:25,059
Para que se verifique lo que me están pidiendo, el valor de la a tiene que ser el mismo en las cuatro ecuaciones

121
00:11:25,059 --> 00:11:31,840
Si en alguna de ellas tuvieran valores diferentes, o sea, en el momento que obtenga dos valores distintos de a

122
00:11:31,840 --> 00:11:37,320
No existiría ningún valor para que se cumpla, ya que para que se cumpla todos tienen que ser el mismo

123
00:11:38,179 --> 00:11:42,559
Resuelvo la primera ecuación y que me queda aquí 2 es igual a 4a menos 2a

124
00:11:42,559 --> 00:11:54,320
es decir, 2a, por lo tanto la a es igual a 1, en esta me quedaría 4a igual a 4, por lo tanto a es igual a 1,

125
00:11:55,200 --> 00:12:05,299
aquí me quedaría que la a es igual a 1 y por último 2a es igual a 4 menos 2 que es 2, por lo tanto a es igual a 1, ¿vale?

126
00:12:05,299 --> 00:12:20,059
pues vemos que todos los valores de la a obtenido es la misma, por lo tanto, lo que sabemos ahora es que para que, o bueno, como tenía escrito antes, si a es igual a 1,

127
00:12:20,059 --> 00:12:27,840
Bueno, entonces lo que ocurre es que a por b es igual a b por a, ¿verdad?

128
00:12:28,340 --> 00:12:42,100
O lo que es lo mismo, lo que me pedían inicialmente, a menos b por a más b es igual a a cuadrado menos b cuadrado, ¿vale?

129
00:12:42,799 --> 00:12:44,879
Pues ya lo tendríamos hecho, así el ejercicio.

130
00:12:44,879 --> 00:12:54,259
Entonces recordad siempre que en este tipo de ejercicios, en los que me están pidiendo que calcule algo con diferentes matrices, siempre tenemos las dos opciones.

131
00:12:54,399 --> 00:13:06,220
Bueno, hay veces que no hay más opciones que ponerme a operar con las matrices e igualar para llegar a un sistema del estilo que tenemos aquí, a este de aquí.

132
00:13:06,679 --> 00:13:13,279
Pero hay veces que sí que es cierto que podemos operar previamente con las letritas para que todo sea más sencillo.