1
00:00:12,269 --> 00:00:17,429
Hola a todos, soy Raúl Corraliza, profesor de matemáticas de bachillerato en el IES

2
00:00:17,429 --> 00:00:22,089
arquitecto Pedro Gumiel de Alcalá de Henares y os doy la bienvenida a esta serie de videoclases

3
00:00:22,089 --> 00:00:32,270
de la unidad AE1 dedicada a los polinomios y las fracciones racionales. En la videoclase

4
00:00:32,270 --> 00:00:36,409
de hoy estudiaremos la multiplicación de polinomios y las identidades notables.

5
00:00:46,939 --> 00:00:51,719
En esta videoclase vamos a comenzar estudiando la multiplicación de polinomios. Como podemos

6
00:00:51,719 --> 00:00:58,100
leer, el resultado de multiplicar dos polinomios p por q va a ser otro polinomio que se va a obtener

7
00:00:58,100 --> 00:01:04,079
multiplicando entre sí todos los términos de p por todos los términos de q. Esto quiere decir que si

8
00:01:04,079 --> 00:01:09,359
p tuviera, por ejemplo, tres términos y q tuviera cuatro términos, tendríamos que hacer 3 por 4 igual

9
00:01:09,359 --> 00:01:15,099
a 12 multiplicaciones de términos entre sí, todos los de p por todos los de q. En cuanto a cómo

10
00:01:15,099 --> 00:01:19,939
multiplicar dos términos entre sí, como podemos ver aquí, el resultado se va a obtener, en primer

11
00:01:19,939 --> 00:01:24,980
lugar multiplicando entre sí los coeficientes y en segundo lugar multiplicando entre sí las

12
00:01:24,980 --> 00:01:28,500
partes literales y lo que vamos a hacer es multiplicar entre sí las incógnitas que sean

13
00:01:28,500 --> 00:01:34,719
iguales y lo que vamos a hacer es expresar en última instancia el producto sumando los exponentes

14
00:01:34,719 --> 00:01:41,599
de los términos iniciales. Evidentemente cuando hagamos en este caso el ejemplo que he mencionado

15
00:01:41,599 --> 00:01:46,980
3 por 4 igual a 12 multiplicaciones de términos es posible que obtengamos términos que al hacer

16
00:01:46,980 --> 00:01:52,159
las multiplicaciones sean semejantes. Evidentemente, lo que tendremos que hacer será agrupar todos

17
00:01:52,159 --> 00:01:56,840
estos términos semejantes, sumarlos o restarlos según corresponda para tener un polinomio

18
00:01:56,840 --> 00:02:02,159
que tenga términos que no sean semejantes, un polinomio propiamente dicho. En lo que

19
00:02:02,159 --> 00:02:06,519
respecta al grado del polinomio producto, bueno, pues si lo que vamos a hacer es multiplicar

20
00:02:06,519 --> 00:02:11,180
entre sí las partes literales en última instancia, el grado de p por q va a ser la

21
00:02:11,180 --> 00:02:16,860
suma de los grados de p y de q. La excepción va a ser el caso en el cual alguno de los

22
00:02:16,860 --> 00:02:21,500
polinomios fuera idénticamente nulo. Algo similar a lo que nos pasaba cuando hablábamos en la

23
00:02:21,500 --> 00:02:26,139
videoclase anterior del producto de un polinomio por un número. En ese caso lo que vamos a obtener

24
00:02:26,139 --> 00:02:32,500
es un polinomio idénticamente nulo y su grado va a ser cero. Algo muy importante con respecto a la

25
00:02:32,500 --> 00:02:38,319
multiplicación de polinomios son las así llamadas identidades notables que se corresponden con

26
00:02:38,319 --> 00:02:44,580
ciertos productos de binomios y en concreto tenemos el cuadrado de una suma a más b al cuadrado. Aquí

27
00:02:44,580 --> 00:02:48,639
tenemos el desarrollo para que podáis comprobar de dónde se obtiene la fórmula final, que

28
00:02:48,639 --> 00:02:53,800
es a al cuadrado más 2 por a por b más b al cuadrado, lo que coloquialmente llamamos

29
00:02:53,800 --> 00:02:58,639
el cuadrado del primero, el cuadrado del segundo y el doble del primero por el segundo, este

30
00:02:58,639 --> 00:03:04,300
2 por a por b. En el caso del cuadrado de la resta, a menos b al cuadrado, lo que vamos

31
00:03:04,300 --> 00:03:10,340
a obtener es a al cuadrado menos 2 por a por b más b al cuadrado, coloquialmente el cuadrado

32
00:03:10,340 --> 00:03:15,620
del primero, el cuadrado del segundo menos el doble del primero por el segundo. Y fijaos, esto es muy

33
00:03:15,620 --> 00:03:21,780
importante, que el cuadrado de una suma no es la suma de los cuadrados, no es a al cuadrado más b

34
00:03:21,780 --> 00:03:28,159
al cuadrado, puesto que tenemos también aquí este término 2 por a por b. Igualmente a menos b al

35
00:03:28,159 --> 00:03:34,800
cuadrado no es la resta de los cuadrados, no es a al cuadrado menos b al cuadrado, sino que es a al

36
00:03:34,800 --> 00:03:41,800
cuadrado más b al cuadrado y tenemos este menos 2 por a por b. Estas dos identidades,

37
00:03:41,900 --> 00:03:47,379
la siguiente que voy a discutir, nos aparecerán en muchísimas ocasiones, son terriblemente

38
00:03:47,379 --> 00:03:54,360
importantes y de ahí lo de identidades notables por la importancia que tienen. La tercera identidad

39
00:03:54,360 --> 00:04:01,780
notable que me falta es el resultado del producto de una suma por una diferencia a más b por a menos

40
00:04:01,780 --> 00:04:14,060
Y en este caso sí obtenemos la diferencia de los cuadrados. No es a menos b entre paréntesis al cuadrado, lo que es a cuadrado menos b al cuadrado, sino el resultado de suma por diferencia, a más b por a menos b.

41
00:04:14,419 --> 00:04:19,680
Coloquialmente decimos suma por diferencia igual a la diferencia de cuadrados. Llega un momento en que uno se queda con esta cantinela.

42
00:04:20,319 --> 00:04:26,920
Aquí tenemos la demostración, los términos cruzados se van a eliminar y por eso vamos a tener a al cuadrado menos b al cuadrado.

43
00:04:26,920 --> 00:04:43,240
Estas tres identidades, insisto, son terriblemente importantes, son identidades porque se verifican independientemente de que haya quien sea a quien sea b, podemos tener x más 2, podemos tener 3x menos 7 aquí por ejemplo,

44
00:04:43,240 --> 00:04:56,959
O podemos tener raíz cuadrada de x más 2 por raíz cuadrada de x menos 2. Independientemente de lo que haya allí, con tal de que tenga la misma estructura, vamos a obtener este resultado de lo de identidad y notable por la anterior importancia que tiene.

45
00:04:58,040 --> 00:05:08,019
Hay una extensión del cuadrado de una suma que se llama teorema del binomio, que es lo que ocurre cuando tengo una suma elevada a un coeficiente natural que no sea necesariamente 2.

46
00:05:08,579 --> 00:05:12,439
Puede ser el cubo de una suma, la potencia cuarta de una suma, la potencia quinta de una suma, etc.

47
00:05:12,860 --> 00:05:19,319
Aquí os presento el resultado. En el caso en el que n vale 2 se obtiene esta expresión que tenemos aquí.

48
00:05:19,879 --> 00:05:23,759
Contiene números combinatorios que se van a estudiar en la unidad AR4.

49
00:05:23,980 --> 00:05:30,139
Nosotros en nuestro primero o segundo de bachillerato no vamos a estudiar el tónema de binomio.

50
00:05:30,300 --> 00:05:32,560
Sencillamente os lo presento como curiosidad.

51
00:05:34,000 --> 00:05:37,759
Para practicar esto que acabo de comentar tenemos una vez más este mismo ejercicio.

52
00:05:38,019 --> 00:05:44,860
En el que teníamos estos polinomios P, Q y S y en este caso concreto se nos pide que multipliquemos P por Q.

53
00:05:45,279 --> 00:05:49,819
Fijaos que lo que he dicho es que tenemos que multiplicar todos los términos de P por todos los términos de Q.

54
00:05:50,399 --> 00:05:59,319
P tiene, vemos, tres términos, Q tiene también tres términos y eso quiere decir que tenemos que multiplicar 3 por 3 en total nueve términos entre sí.

55
00:05:59,560 --> 00:06:01,259
Quiero decir, nueve parejas de términos.

56
00:06:01,959 --> 00:06:05,740
Empezaríamos por 2X al cubo por X al cuadrado, que va a ser 2X a la quinta.

57
00:06:06,279 --> 00:06:09,079
2x al cubo por x, que va a ser 2x a la cuarta.

58
00:06:09,680 --> 00:06:12,480
2x al cubo por 2, que va a ser 4x al cubo.

59
00:06:12,600 --> 00:06:13,519
Y así sucesivamente.

60
00:06:14,240 --> 00:06:19,740
Lo que haremos hacer al final es no quedarnos con esos nueve términos, muchos de ellos serán semejantes.

61
00:06:20,160 --> 00:06:22,720
Y entonces lo que tendremos que hacer será sumarlos entre sí.

62
00:06:23,180 --> 00:06:27,680
Y es que, por ejemplo, menos x por este 2 es menos 2x.

63
00:06:28,160 --> 00:06:33,959
Al mismo tiempo que menos 4 por x va a ser menos 4x, esos dos términos serán semejantes.

64
00:06:33,959 --> 00:06:43,079
menos 2x menos 4x acabaremos expresando menos 6x ¿de acuerdo? En cuanto a el grado del producto cuando

65
00:06:43,079 --> 00:06:49,060
multipliquemos 2x al cubo que es el término con mayor grado de p por x al cuadrado que es el término

66
00:06:49,060 --> 00:06:55,779
con mayor grado de q veremos que obtenemos 2x a la quinta con grado 5 y se corresponde con la suma

67
00:06:55,779 --> 00:07:01,620
de 3 más 2 evidentemente puesto que estamos multiplicando vamos a sumar los exponentes los

68
00:07:01,620 --> 00:07:05,259
exponentes en este caso se corresponden con los grados, pues ahí tenemos la

69
00:07:05,259 --> 00:07:09,199
conclusión. Como he dicho ya se puede resolver este

70
00:07:09,199 --> 00:07:13,240
apartado de multiplicar p por q y también se puede resolver este ejercicio

71
00:07:13,240 --> 00:07:17,339
3, donde se nos pide que calculemos aquí el cuadrado de una suma, identidad

72
00:07:17,339 --> 00:07:22,540
notable, el cuadrado de una diferencia, también identidad notable, y aquí vemos

73
00:07:22,540 --> 00:07:28,160
que tenemos 3x cuadrado menos 2, una resta, por 3x cuadrado más 2, el mismo

74
00:07:28,160 --> 00:07:31,379
binomio pero en lugar de una resta con una suma, lo que se denomina el

75
00:07:31,379 --> 00:07:38,379
conjugado. Esta expresión, 3x al cuadrado menos 2, es conjugada de 3x al cuadrado más 2 porque la

76
00:07:38,379 --> 00:07:43,899
diferencia está únicamente en esta operación. La relación de ser conjugado es recíproca. 3x

77
00:07:43,899 --> 00:07:49,639
cuadrado más 2 es conjugado de 3x al cuadrado menos 2. Bien, pues aplicando las fórmulas que

78
00:07:49,639 --> 00:07:53,639
hemos visto en esta videoclase, también ya se podría resolver este ejercicio 3 que resolveremos

79
00:07:53,639 --> 00:07:56,560
en clase. Probablemente resolveremos en alguna videoclase posterior.

80
00:07:56,560 --> 00:08:05,139
en el aula virtual de la asignatura tenéis disponibles otros recursos y cuestionarios

81
00:08:05,139 --> 00:08:11,720
asimismo tenéis más información en las fuentes bibliográficas y en la web no dudéis en traer

82
00:08:11,720 --> 00:08:17,500
vuestras dudas inquietudes a clase o al foro de dudas en el aula virtual un saludo y hasta pronto