1
00:00:06,059 --> 00:00:10,300
El problema es el de hallar la perpendicular común a dos rectas que se cruzan.

2
00:00:10,880 --> 00:00:18,559
Bueno, para ello tenemos dos rectas que las expresamos ya en la forma más sencilla posible,

3
00:00:18,719 --> 00:00:21,079
que es con un punto y un vector, ambas.

4
00:00:23,579 --> 00:00:28,160
La perpendicular común es una inmunidad recta, y es que si cogemos los dos puntos de mínima distancia,

5
00:00:29,679 --> 00:00:33,840
va a ser la recta que corta a ambas y lo hace de forma perpendicular,

6
00:00:33,840 --> 00:00:37,539
de modo que este ángulo es recto y este ángulo es recto.

7
00:00:37,539 --> 00:00:47,960
Bien, el problema es si hay una forma de hallar la recta S de forma rápida

8
00:00:47,960 --> 00:00:53,159
La respuesta es que sí, de hecho, bastante rápida para lo que podría parecer

9
00:00:53,159 --> 00:00:57,780
Porque lo que uno haría inicialmente sería calcular estos dos puntos, calcular B

10
00:00:57,780 --> 00:01:02,460
Y coger el vector normal que los une y sumar, cosa que es correcta

11
00:01:02,460 --> 00:01:04,959
Pero lo que vamos a hacer es más rápido todavía

12
00:01:04,959 --> 00:01:14,780
Tenemos P1 y su vector, V1, P2 y su vector

13
00:01:14,780 --> 00:01:18,609
y el vector normal n

14
00:01:18,609 --> 00:01:23,269
n es muy fácil de calcular

15
00:01:23,269 --> 00:01:25,170
porque es el producto vectorial

16
00:01:25,170 --> 00:01:27,090
de v1 y v2

17
00:01:27,090 --> 00:01:29,109
eso está claro, además

18
00:01:29,109 --> 00:01:30,049
es recta perpendicular

19
00:01:30,049 --> 00:01:31,590
y eso se ve

20
00:01:31,590 --> 00:01:35,700
¿cuál va a ser el truco?

21
00:01:35,840 --> 00:01:37,599
el truco va a ser tomar dos planos

22
00:01:37,599 --> 00:01:38,379
pi1 y pi2

23
00:01:38,379 --> 00:01:39,459
muy bien

24
00:01:39,459 --> 00:01:42,459
muy fácilmente determinados

25
00:01:42,459 --> 00:01:44,260
¿cuáles son pi1 y pi2?

26
00:01:44,599 --> 00:01:45,200
bueno, pues

27
00:01:45,200 --> 00:01:47,859
lo que hacemos es lo siguiente

28
00:01:47,859 --> 00:01:53,709
bueno, tenemos aquí todos los datos

29
00:01:53,709 --> 00:02:02,200
y primero obteníamos el vector normal que hemos obtenido a ambas rectas

30
00:02:02,200 --> 00:02:11,889
y pi1 va a ser la recta 1 añadiendo el vector normal

31
00:02:11,889 --> 00:02:21,610
y pi2 va a ser la recta 2 añadiendo el vector normal y ya está.

32
00:02:21,610 --> 00:02:32,210
Con esto obtenemos dos ecuaciones y la recta S va a ser la formada por las dos ecuaciones.

33
00:02:33,169 --> 00:02:34,090
Y esto es muy rápido.

34
00:02:35,310 --> 00:02:36,590
Vamos a verlo numéricamente.

35
00:02:39,750 --> 00:02:41,550
Bueno, aquí tenemos el resumen de la información.

36
00:02:47,080 --> 00:02:48,400
Tomamos estas dos rectas.

37
00:02:55,439 --> 00:02:59,180
Automáticamente tenemos los dos puntos y los dos vectores.

38
00:03:02,419 --> 00:03:04,439
Obtenemos con los dos vectores el vector normal.

39
00:03:04,439 --> 00:03:07,919
en este caso menos 3, 6, 4

40
00:03:07,919 --> 00:03:17,979
y ahora pi1 va a ser el punto 1, el vector 1 y el normal

41
00:03:17,979 --> 00:03:22,870
que lo hacemos como sabemos, cogemos con la x y z

42
00:03:22,870 --> 00:03:29,639
los dos vectores y hallamos la ecuación

43
00:03:29,639 --> 00:03:34,780
después evaluamos la ecuación en el punto

44
00:03:34,780 --> 00:03:39,960
y así tenemos la ecuación del primer plano

45
00:03:39,960 --> 00:03:44,360
con pi2 hacemos lo mismo

46
00:03:44,360 --> 00:03:55,319
Y P2 se le coge el punto X, que serían P2, V2, más el vector normal.

47
00:03:58,800 --> 00:04:07,020
Con los dos vectores, V2 y el normal, hacemos la ecuación homogénea.

48
00:04:07,939 --> 00:04:20,699
Evaluamos la ecuación homogénea en el punto P2, obteniendo un número, y P2 es la ecuación igualada a ese número.

49
00:04:20,699 --> 00:04:28,610
Por último, la recta buscada sería tomar las dos ecuaciones

50
00:04:28,610 --> 00:04:32,920
Como se puede ver, esto es bastante rápido

51
00:04:32,920 --> 00:04:36,319
No es el único método, pero es un buen método

52
00:04:36,319 --> 00:04:44,689
Por su parecido voy a explicar un segundo problema

53
00:04:44,689 --> 00:04:47,089
Que también puede aparecer en la EBAU

54
00:04:47,089 --> 00:04:49,569
En el simulacro no parecido porque no estaban los enunciados

55
00:04:49,569 --> 00:04:55,529
Pero cuando lo puse en el examen de geometría

56
00:04:55,529 --> 00:05:01,069
Pues hubo gente que lo hizo pero por el método largo y lento

57
00:05:01,069 --> 00:05:03,189
Conviene saber un método rápido

58
00:05:03,189 --> 00:05:04,990
Y es lo que voy a explicar ahora

59
00:05:04,990 --> 00:05:10,980
Nos piden la proyección ortogonal de una recta sobre un plano

60
00:05:10,980 --> 00:05:21,819
Por definición, dicha recta está formada por tomar todos los puntos de la recta R

61
00:05:21,819 --> 00:05:28,910
Proyectarlos ortogonalmente en el plano pi

62
00:05:28,910 --> 00:05:31,269
Y unirlos formando la recta R'

63
00:05:31,269 --> 00:05:40,800
prima. Bien, el problema es, ¿hay algún modo más sencillo que hacerlo? Porque el método largo es

64
00:05:40,800 --> 00:05:46,959
coger dos puntos, proyectarlos y hallar la recta. Aunque uno de los dos sea fácil, que sea el punto

65
00:05:46,959 --> 00:05:53,899
de intersección, porque entonces si es el punto P, pues va a ser igual a la proyección P prima,

66
00:05:55,100 --> 00:06:03,100
hay un método todavía más fácil, que es el siguiente. La idea es que consideramos el siguiente

67
00:06:03,100 --> 00:06:11,480
plano. Por una parte el plano pi y por otra parte el plano pi' que es el plano perpendicular

68
00:06:11,480 --> 00:06:19,740
a pi que contiene a r. De esa forma la recta r' va a ser la intersección de los planos

69
00:06:19,740 --> 00:06:29,519
pi y pi' y con eso automáticamente ya tenemos sus ecuaciones simplificadas. Pi ya lo tenemos

70
00:06:29,519 --> 00:06:37,290
y vamos a ver que pi' es muy fácil de conseguir. ¿Qué tenemos al principio?

71
00:06:37,389 --> 00:06:46,089
Por una parte, la recta R. Si nos la dan en ecuaciones implícitas, siempre la pasamos a un punto y un vector, porque es la forma operativa de trabajar.

72
00:06:47,050 --> 00:06:55,550
Y lo mismo el plano pi. Si lo tenemos en otras ecuaciones, automáticamente lo pasamos a su ecuación implícita, porque es la forma operativa de trabajar.

73
00:06:56,709 --> 00:07:05,819
Una vez que tenemos esto, ya podemos obtener también automáticamente el vector normal a pi, que en este caso es ABC.

74
00:07:05,819 --> 00:07:27,319
Y ya con eso tenemos todos los ingredientes para encontrar pi' rápidamente, porque pi' va a ser el punto P más lambda V, todo esto igual a R, y luego más mu por el vector normal.

75
00:07:28,779 --> 00:07:32,740
Y ya está hecho. Lo que pasa es que luego hay que pasar a ocasiones implícitas.

76
00:07:32,740 --> 00:07:35,079
Resumiendo

77
00:07:35,079 --> 00:07:40,680
1. Hallamos el plano pi' que es perpendicular a pi contiene a r

78
00:07:40,680 --> 00:07:47,519
Dado por x igual al punto más lambda por v más 1 por el vector n

79
00:07:47,519 --> 00:07:52,689
En tal caso tendremos que pi' tendrá una ecuación

80
00:07:52,689 --> 00:07:58,540
Y la recta será la que tenga la ecuación del plano pi

81
00:07:58,540 --> 00:08:02,769
Más la nueva ecuación de pi' que acabamos de conseguir

82
00:08:02,769 --> 00:08:03,769
Y ya está

83
00:08:03,769 --> 00:08:06,490
Veamos un ejemplo con números

84
00:08:06,490 --> 00:08:11,819
Nos dan esta recta, nos dan este plano

85
00:08:11,819 --> 00:08:16,990
Lo primero que hacemos es sacar el vector normal

86
00:08:16,990 --> 00:08:22,389
Que sería, pues si tenemos 4, 3 y 7, pues 4, 3 y 7

87
00:08:22,389 --> 00:08:29,310
Y automáticamente, pi' va a ser la recta que ya teníamos

88
00:08:29,310 --> 00:08:32,649
Añadiéndole vector normal

89
00:08:32,649 --> 00:08:36,889
Y ya solo queda calcular sus ecuaciones

90
00:08:36,889 --> 00:08:41,080
Como siempre, tomamos los dos vectores

91
00:08:41,080 --> 00:09:08,879
Hacemos el determinante, con ello calculamos la parte homogénea de la ecuación implícita, en este caso sale todo múltiplo de 17, dividimos entre 17 para mayor simplicidad y después evaluamos la ecuación que nos queda en el punto obteniendo este número y entonces el primer va a ser la unión de esta información.

92
00:09:08,879 --> 00:09:23,039
Por último la recta R será el plano que teníamos al principio más el plano que acabamos de conseguir y ya está

93
00:09:23,039 --> 00:09:30,580
¿Qué nos lo piden ecuaciones paramétricas? Bueno pues con esto calculamos la ecuación paramétrica como ya se sabe