1
00:00:00,840 --> 00:00:09,220
Bueno, pues vamos con el primer ejercicio de este examen de global, es un global de análisis de matemáticas 2.

2
00:00:10,619 --> 00:00:16,899
Vamos a empezar con un ejercicio, como veis ahí, que fue propuesto en Davao de septiembre de 2020 en Madrid.

3
00:00:17,420 --> 00:00:22,160
Es un ejercicio en el que nos van a pedir calcular una serie de cosas sobre una función que nos dan,

4
00:00:23,059 --> 00:00:26,980
que es la función potencia de una pila en función del tiempo.

5
00:00:26,980 --> 00:00:33,859
entonces, vamos allá, nos están dando esta función y nos van a pedir una serie de cosas

6
00:00:33,859 --> 00:00:42,179
que son calcular hacia qué valor tiende la potencia generada si se deja en funcionamiento indefinidamente

7
00:00:42,179 --> 00:00:43,899
vamos con este primer apartado

8
00:00:43,899 --> 00:00:53,460
qué significa que el valor de la función al que tiende cuando se deja indefinidamente

9
00:00:53,460 --> 00:01:02,469
lo primero que tenemos que pensar es que indefinidamente quiere decir que el tiempo crece hacia infinito.

10
00:01:03,369 --> 00:01:07,689
Es verdad que uno no va a pensar nunca que el tiempo pueda alcanzar a infinito,

11
00:01:07,849 --> 00:01:15,189
pero eso es la idea que nos tiene que dar cuando hablamos de un crecimiento indefinido de la variable independiente tiempo.

12
00:01:16,510 --> 00:01:23,510
Entonces, ¿qué habrá que hacer? Pues calcular en el apartado A el límite de la función p de t cuando el tiempo tiende a infinito.

13
00:01:23,510 --> 00:01:44,329
Eso es lo que hay que calcular, es este límite. Límite de 25t por elevado a menos t cuadrado partido por 4 cuando el tiempo tiende a infinito.

14
00:01:45,030 --> 00:01:50,569
Y ese valor, pues si lo vamos a ver mucho mejor si lo escribimos de la siguiente forma.

15
00:01:50,569 --> 00:01:59,840
y bueno pues fijaos, numerador esto es un polinomio

16
00:01:59,840 --> 00:02:06,519
y denominador es una exponencial

17
00:02:06,519 --> 00:02:13,879
nosotros sabemos que la exponencial crece mucho más rápido que el polinomio

18
00:02:13,879 --> 00:02:17,780
cuando el tiempo tiende a infinito, cuando la variable independiente tiende a infinito

19
00:02:17,780 --> 00:02:22,020
así que ese límite, como eso crece más despacio que el denominador

20
00:02:22,020 --> 00:02:23,460
pues eso va a tender a cero

21
00:02:23,460 --> 00:02:29,060
es decir que el límite de nuestra función en la potencia va a tender a cero

22
00:02:29,060 --> 00:02:32,719
la pila tiende a agotarse cuando el tiempo pasa indefinidamente

23
00:02:32,719 --> 00:02:37,340
lo lógico, ¿verdad? ese sería el apartado A

24
00:02:37,340 --> 00:02:40,259
y bueno, conviene destacar

25
00:02:40,259 --> 00:02:44,800
que esto es así porque la exponencial

26
00:02:44,800 --> 00:02:48,960
es un infinito de orden superior

27
00:02:48,960 --> 00:02:50,659
a veces se pone esto así, que

28
00:02:50,659 --> 00:02:57,439
el polinomio, ¿de acuerdo? es un infinito de orden superior

29
00:02:57,439 --> 00:03:03,639
Vamos con el apartado B que nos dicen que determine la potencia máxima que genera la pila

30
00:03:03,639 --> 00:03:05,560
Nos están pidiendo que calcule un máximo

31
00:03:05,560 --> 00:03:09,419
Es decir, vamos a calcular la potencia

32
00:03:09,419 --> 00:03:13,560
Vamos a ver, el momento donde se alcanza la potencia máxima

33
00:03:14,259 --> 00:03:16,139
Ese sería el tiempo máximo

34
00:03:16,139 --> 00:03:21,340
Y el valor de la potencia, ese sería la potencia máxima, el valor de la potencia

35
00:03:21,340 --> 00:03:27,120
Fijaos que nos piden el instante, ese sería el T sub máximo

36
00:03:27,120 --> 00:03:31,580
y la potencia, que sería el valor de la función en ese máximo.

37
00:03:32,280 --> 00:03:33,460
Bien, pues ¿qué habrá que hacer?

38
00:03:33,879 --> 00:03:39,300
Derivar, claro, para calcular un máximo, un extremo relativo, habrá que derivar igual a cero.

39
00:03:39,780 --> 00:03:44,340
Vamos con la función, la copiamos aquí, derivamos, igualamos a cero.

40
00:03:45,180 --> 00:03:49,340
25t con elevado menos t cuadrado partido por cuatro, hay que derivar.

41
00:03:50,020 --> 00:03:56,520
Derivemos aquí y esto, pues por el producto, vamos a estar calculando la derivada de la función.

42
00:03:57,120 --> 00:04:02,060
Será la derivada del primero es 25 por el segundo sin derivar, es un producto, ¿verdad?

43
00:04:02,840 --> 00:04:10,340
Más el primero sin derivar, 25t, por la derivada del segundo, que como es una exponencial, será la propia exponencial,

44
00:04:10,340 --> 00:04:19,339
por la derivada del exponente, que en este caso va a ser la derivada de menos t cuadrado partido por 4 es menos 2t cuartos.

45
00:04:20,100 --> 00:04:25,019
Ojo, conviene que esto no lo derivéis como un cociente, sino como un polinomio.

46
00:04:25,019 --> 00:04:32,259
Eso es menos un cuarto de t cuadrado. No se os ocurra aplicar la regla porque lo olvidéis muchísimo.

47
00:04:33,300 --> 00:04:37,459
Vamos a simplificar un poquito esto y nos ponemos a calcular el máximo.

48
00:04:38,600 --> 00:04:47,019
Venga, vamos allá. 25 elevado a menos t cuadrado partido por 4 menos 50 cuartos de...

49
00:04:47,240 --> 00:04:51,480
Bueno, podía haber simplificado entre 2 ya que estamos. Vamos a simplificar entre 2.

50
00:04:51,480 --> 00:04:59,620
Esto es un medio, así que menos 25 medios de t por elevado a menos t cuadrado partido por 4

51
00:04:59,620 --> 00:05:02,920
Esa es la potencia, la derivada de la potencia

52
00:05:02,920 --> 00:05:04,439
Y ahora, ¿qué vamos a hacer?

53
00:05:04,920 --> 00:05:07,439
Pues igual a cero y resolver esa ecuación

54
00:05:07,439 --> 00:05:10,480
Importante, factor común, vamos a sacar factor común

55
00:05:10,480 --> 00:05:12,319
Si podemos, el 25 también, ya de paso

56
00:05:12,319 --> 00:05:14,220
La exponencial

57
00:05:14,220 --> 00:05:18,600
Y ahora tendremos un 1 menos un medio de t

58
00:05:18,600 --> 00:05:22,019
y eso hay que igualarlo a cero

59
00:05:22,019 --> 00:05:25,339
si hemos salido a sacar factor común ahora está chupado

60
00:05:25,339 --> 00:05:29,199
porque esta parte no se anula nunca, es una exponencial

61
00:05:29,199 --> 00:05:33,300
que nunca vale cero, con lo cual solo tenemos que hacer cero esto

62
00:05:33,300 --> 00:05:38,019
es decir, uno menos un medio de t es cero

63
00:05:38,019 --> 00:05:41,839
y eso pues solo vale cero

64
00:05:41,839 --> 00:05:47,589
si la t vale un medio, no, equivocado, si la t vale dos

65
00:05:47,589 --> 00:05:49,889
hay que saber despejar

66
00:05:49,889 --> 00:05:51,850
t igual a 2 por 1 medio

67
00:05:51,850 --> 00:05:54,050
pues 1 menos 1 medio por 2, 0

68
00:05:54,050 --> 00:05:57,740
vale, ese sería el tiempo

69
00:05:57,740 --> 00:05:59,000
donde se alcanza

70
00:05:59,000 --> 00:06:01,560
la derivada máxima

71
00:06:01,560 --> 00:06:03,199
perdón, la derivada 0, es decir

72
00:06:03,199 --> 00:06:05,300
el valor de la potencia máxima

73
00:06:05,300 --> 00:06:07,740
y ahora esa potencia

74
00:06:07,740 --> 00:06:09,399
primero vamos a calcular, vamos a

75
00:06:09,399 --> 00:06:11,579
demostrar que eso efectivamente es un máximo

76
00:06:11,579 --> 00:06:13,540
y no un mínimo, calculando la segunda

77
00:06:13,540 --> 00:06:15,019
derivada y sustituyendo en el 2

78
00:06:15,019 --> 00:06:16,439
pues venga, vamos allá

79
00:06:16,439 --> 00:06:20,839
o si queremos vemos el signo a la izquierda y a la derecha

80
00:06:20,839 --> 00:06:24,959
que quizás es más sencillo, mirad, si yo pongo la derivada

81
00:06:24,959 --> 00:06:29,360
alrededor del 2, a la izquierda del 2

82
00:06:29,360 --> 00:06:34,120
y a la derecha del 2, en el 2 yo sé que la derivada vale 0

83
00:06:34,120 --> 00:06:37,720
a la izquierda del 2 esto va a ser todo entero positivo

84
00:06:37,720 --> 00:06:40,980
y a la izquierda del 2, por ejemplo, en el 1

85
00:06:40,980 --> 00:06:45,240
1 menos 1 medio esto va a ser positivo y a la derecha del 2

86
00:06:45,240 --> 00:06:48,620
Por ejemplo, en el 3, 1 menos 3 medios, negativo, ¿verdad?

87
00:06:49,160 --> 00:06:54,959
Luego, eso quiere decir que la función, la propia función, no la derivada, que sería esto,

88
00:06:55,459 --> 00:06:58,839
sino la función función, sube la potencia y luego baja.

89
00:06:59,259 --> 00:07:00,560
Es decir, aquí hay un máximo.

90
00:07:01,199 --> 00:07:04,279
Es decir, t igual a 2 es un máximo.

91
00:07:05,500 --> 00:07:09,120
Conviene que demostremos que es un máximo y no lo demos por hecho.

92
00:07:09,819 --> 00:07:12,660
Y ahora vamos a calcular efectivamente el valor del máximo,

93
00:07:12,660 --> 00:07:16,699
Es decir, calcular la potencia en el tiempo en el instante 2.

94
00:07:17,220 --> 00:07:27,420
Nada más que sustituir en la función de partida, es decir, ahí, será 25 por 2, 50 menos 2 al cuadrado de 4 entre 4 a 1.

95
00:07:27,759 --> 00:07:30,399
Pues 50 por elevado a menos 1.

96
00:07:32,019 --> 00:07:37,959
Por favor, no utilicéis calculadora, haced las cuentas, que se pueden mentalmente, mentalmente.

97
00:07:37,959 --> 00:07:44,439
No, al final la calculadora lo único que os puede hacer es retrasar

98
00:07:44,439 --> 00:07:48,579
¿Que queréis dar ese valor en aproximado? Pues bueno, no hace falta en realidad

99
00:07:48,579 --> 00:07:54,660
Si lo queréis dar con calculadora al valor aproximado en decimales, pues lo podéis hacer

100
00:07:54,660 --> 00:07:58,300
¿Listo? Bueno, pues este ha sido el ejercicio

101
00:07:58,300 --> 00:07:59,980
Ah, perdón, que nos falta un apartado

102
00:07:59,980 --> 00:08:04,720
En el apartado C nos piden calcular la energía total generada por la pila

103
00:08:04,720 --> 00:08:07,720
Sabiendo que la derivada de la energía es la potencia

104
00:08:07,720 --> 00:08:12,120
Es decir, aquí nos están, sin decirnoslo, pidiendo una integral.

105
00:08:12,819 --> 00:08:14,079
Vamos con el apartado C.

106
00:08:15,079 --> 00:08:25,339
Nos dicen que la derivada de la energía es la potencia y nos piden que calculemos la energía entre qué valores.

107
00:08:26,220 --> 00:08:26,939
Pues vamos a ver.

108
00:08:26,939 --> 00:08:39,870
En el instante 0 tenemos una energía de 0 y calcular la energía producida por la pila entre el instante t igual a 0 y el instante t igual a 2

109
00:08:39,870 --> 00:08:41,129
¿Qué habrá que hacer?

110
00:08:41,129 --> 00:08:46,190
Bueno, pues nos están diciendo el valor inicial, el valor de la energía inicial, que es 0

111
00:08:46,190 --> 00:08:49,250
Y nos están pidiendo que integremos, ¿por qué?

112
00:08:49,250 --> 00:08:52,850
porque si la derivada de la energía es la potencia

113
00:08:52,850 --> 00:08:56,809
tendremos que la integral de la potencia

114
00:08:56,809 --> 00:08:58,950
pues será la propia energía

115
00:08:58,950 --> 00:09:03,129
nos están pidiendo calcular la energía, así que habrá que integrar

116
00:09:03,129 --> 00:09:06,850
entre los dos valores del instante que nos están pidiendo

117
00:09:06,850 --> 00:09:11,389
entre el 0 y el 2, y recuerdo que la función era 25t menos

118
00:09:11,389 --> 00:09:15,610
por e, perdón, elevado a menos t cuadrado

119
00:09:15,610 --> 00:09:18,789
partido por 4, diferencial de t

120
00:09:18,789 --> 00:09:30,450
Pues venga, vamos a integrar. Para integrar el 25, me lo puedo quitar del medio, me queda t dentro y elevado a menos t cuadrado partido por 4, diferencial de t.

121
00:09:30,450 --> 00:09:40,789
Y ahora esto, fijaos que es una exponencial elevada a una función, no a la t, sino a una función. Si yo esto lo llamo g de t, ¿cuál es la derivada de esto?

122
00:09:40,789 --> 00:09:51,429
Pues la derivada de g es menos 2t partido por 4, es decir, menos t medios, menos 1 medio de t.

123
00:09:52,389 --> 00:09:55,769
Entonces, ¿aquí qué me falta? Pues me falta un menos 1 medio.

124
00:09:56,190 --> 00:09:59,649
Si yo consigo aquí tener un menos 1 medio, asunto arreglado.

125
00:09:59,929 --> 00:10:02,769
Pero no lo tengo, por eso pues lo añado.

126
00:10:03,190 --> 00:10:08,889
Y para no cambiar las cosas, pues habrá que multiplicar también por un menos 2 para no cambiar las cosas.

127
00:10:08,889 --> 00:10:19,070
Y con este truquito, fijaos que menos 2 por menos 1 medio se iría y lo que hemos procurado aquí, lo que hemos conseguido es tener ahí la derivada del exponente.

128
00:10:19,789 --> 00:10:25,610
Y eso lo que implica necesariamente es que yo voy a tener aquí, esto es un menos 50, ¿verdad?

129
00:10:26,570 --> 00:10:37,309
Menos 50 por la integral de menos 1 medio de t, voy a volver a escribirlo para que lo veáis, por elevado a menos t cuadrado partido por 4, no habría falta de repetir esto, ¿verdad?

130
00:10:37,309 --> 00:10:42,549
donde aquí tenemos g elevado a g y aquí tenemos g'.

131
00:10:42,549 --> 00:10:45,590
Esto sería g' y esto sería g.

132
00:10:46,090 --> 00:10:50,169
Por lo tanto, la integral, y bueno, no os olvidéis los límites de integración

133
00:10:50,169 --> 00:10:58,169
que luego los calcularemos, la integral será menos 50 por e elevado a menos t al cuadrado

134
00:10:58,169 --> 00:10:58,929
partido por 4.

135
00:10:59,809 --> 00:11:02,370
Y hay que evaluar entre el 0 y el 2.

136
00:11:03,350 --> 00:11:04,009
Vamos con ello.

137
00:11:04,009 --> 00:11:14,649
Bueno, en realidad tendríamos que añadir la constante, pero es que la constante es cero, en el cero vale cero, así que no hay que hacer nada.

138
00:11:19,149 --> 00:11:34,179
Y entonces tendríamos que sustituir y ya está, elevado a menos uno, bien, menos uno.

139
00:11:34,179 --> 00:11:37,679
estaba yo temiéndome que nos diese negativo

140
00:11:37,679 --> 00:11:41,580
pero no, fijaos que 1 partido por e es menor que 1

141
00:11:41,580 --> 00:11:43,299
al restarle 1 te queda negativo

142
00:11:43,299 --> 00:11:44,639
por este negativo es positivo

143
00:11:44,639 --> 00:11:47,220
es decir, que el valor de la integral quedaría

144
00:11:47,220 --> 00:11:48,460
pues esto de aquí

145
00:11:48,460 --> 00:11:51,570
y ya estaría

146
00:11:51,570 --> 00:11:56,970
muy bien, pues hemos terminado con este ejercicio

147
00:11:56,970 --> 00:11:59,730
ahora sí, y enseguida pasamos

148
00:11:59,730 --> 00:12:01,690
enseguida pasamos al siguiente

149
00:12:01,690 --> 00:12:02,490
hasta luego