0 00:00:00,000 --> 00:00:09,000 Hola otra vez, vamos a ver si podemos resolver algunas dudas de dominio e imagen, ¿no? 1 00:00:09,000 --> 00:00:12,000 Entonces, ¿qué nos decían? 2 00:00:12,000 --> 00:00:15,000 O sea, ¿qué os decían el otro día? 3 00:00:15,000 --> 00:00:17,000 Que era el dominio. 4 00:00:17,000 --> 00:00:28,000 Entonces, el dominio de una función f de x, pues son todos los valores de la x donde existe la función, ¿vale? 5 00:00:28,000 --> 00:00:32,000 La x es la variable independiente, recordadlo. 6 00:00:32,000 --> 00:00:34,000 Entonces, ¿qué ocurre? 7 00:00:34,000 --> 00:00:42,000 Que depende de cómo sea la función, pues mi f de x existirá o no existirá. 8 00:00:42,000 --> 00:00:48,000 Entonces, en este caso, fijaos, os he puesto x cuadrado menos 1, ¿vale? 9 00:00:48,000 --> 00:00:53,000 Que es una parábola, es una función polinómica, polinómica de grado 2. 10 00:00:53,000 --> 00:00:55,000 Y yo sé que es una parábola. 11 00:00:55,000 --> 00:00:58,000 La dibujo y me da más o menos esto. 12 00:00:58,000 --> 00:01:04,000 Es decir, fijaos que cuando x igual a 0, mi f de x es, mi imagen es, menos 1. 13 00:01:04,000 --> 00:01:10,000 Y al revés, cuando la f de x es 0, ¿qué tengo? 14 00:01:10,000 --> 00:01:13,000 Que x cuadrado menos 1 es igual a 0. 15 00:01:13,000 --> 00:01:19,000 Por tanto, la x es 1 cuadrado 1. 16 00:01:19,000 --> 00:01:22,000 O sea, que la x es más menos raíz de 1, ¿vale? 17 00:01:22,000 --> 00:01:24,000 Es decir, x es igual a más menos 1. 18 00:01:24,000 --> 00:01:30,000 Quiere decir que cuando la x vale 1 y menos 1, mi es 0. 19 00:01:30,000 --> 00:01:32,000 Por eso sé que esta es la función. 20 00:01:32,000 --> 00:01:37,000 La he dibujado, he calculado 3 puntos y la he dibujado. 21 00:01:37,000 --> 00:01:38,000 ¿Qué ocurre? 22 00:01:38,000 --> 00:01:41,000 Que una función polinómica, ¿veis que puedo calcularla? 23 00:01:41,000 --> 00:01:45,000 Pues eso, con los x no hay ninguno que esté limitado. 24 00:01:45,000 --> 00:01:51,000 Puedo coger x igual a 3259. 25 00:01:51,000 --> 00:01:55,000 ¿A qué puedo calcular matemáticamente? 26 00:01:55,000 --> 00:01:58,000 ¿A qué es posible calcular esto? 27 00:01:58,000 --> 00:02:01,000 Al cuadrado menos 1. 28 00:02:01,000 --> 00:02:02,000 Puedo calcularlo. 29 00:02:02,000 --> 00:02:03,000 ¿Qué ocurre? 30 00:02:03,000 --> 00:02:04,000 Que me da un valor muy alto. 31 00:02:04,000 --> 00:02:09,000 Porque esta función, a medida que crece x, llega a un momento, eso que está muy arriba. 32 00:02:09,000 --> 00:02:10,000 ¿Vale? 33 00:02:10,000 --> 00:02:11,000 Pero existe. 34 00:02:11,000 --> 00:02:15,000 Con lo cual, en esta función, ¿cuánto vale el dominio de f? 35 00:02:15,000 --> 00:02:20,000 Pues no hay ningún valor de x que me dé un absurdo. 36 00:02:20,000 --> 00:02:23,000 Entonces es toda la recta real. 37 00:02:23,000 --> 00:02:29,000 O sea, puedo coger cualquier valor de x desde menos infinito a más infinito. 38 00:02:29,000 --> 00:02:32,000 Porque puedo siempre calcular su imagen. 39 00:02:32,000 --> 00:02:33,000 ¿Entendéis? 40 00:02:33,000 --> 00:02:35,000 Esto es el dominio. 41 00:02:35,000 --> 00:02:38,000 Es decir, ¿para qué valores de x va a existir esta función? 42 00:02:39,000 --> 00:02:41,000 Y voy a poder calcular su imagen. 43 00:02:41,000 --> 00:02:44,000 ¿Que existe para cualquiera? 44 00:02:44,000 --> 00:02:46,000 Pues no, no existe para cualquiera. 45 00:02:46,000 --> 00:02:52,000 Entonces hay dos ejemplos muy típicos, que son estos, que los hicimos el otro día. 46 00:02:52,000 --> 00:02:55,000 Si cojo una función racional, ¿qué ocurre? 47 00:02:55,000 --> 00:02:58,000 Que en el denominador está la x. 48 00:02:58,000 --> 00:02:59,000 ¿Vale? 49 00:02:59,000 --> 00:03:02,000 Y un denominador no puede ser cero. 50 00:03:02,000 --> 00:03:08,000 Porque cualquier número el que sea partido de cero, esto es infinito. 51 00:03:08,000 --> 00:03:15,000 Con lo cual, no puedo admitir que mi denominador sea cero. 52 00:03:15,000 --> 00:03:18,000 Entonces calculo, ¿cuándo mi denominador puede ser cero? 53 00:03:18,000 --> 00:03:20,000 Pues lo igualo a cero. 54 00:03:20,000 --> 00:03:22,000 Digo x-3 igual a cero. 55 00:03:22,000 --> 00:03:29,000 Con lo cual, con x igual a 3, ya sé que no existe la función. 56 00:03:29,000 --> 00:03:30,000 Me daría infinito. 57 00:03:30,000 --> 00:03:31,000 Y eso no puede ser. 58 00:03:31,000 --> 00:03:33,000 ¿Cuánto vale mi dominio entonces? 59 00:03:33,000 --> 00:03:44,000 Pues mi dominio vale toda la recta real, o sea cualquier valor de x, excepto el valor 3. 60 00:03:44,000 --> 00:03:45,000 ¿De acuerdo? 61 00:03:45,000 --> 00:03:47,000 ¿Y cómo lo ponemos? 62 00:03:47,000 --> 00:03:49,000 Pues lo ponemos así, tal cual. 63 00:03:49,000 --> 00:03:51,000 Menos el valor 3. 64 00:03:51,000 --> 00:03:52,000 ¿Vale? 65 00:03:52,000 --> 00:03:54,000 ¿Que me hubiera dado dos valores? 66 00:03:54,000 --> 00:03:55,000 Pues los pones. 67 00:03:55,000 --> 00:03:58,000 Otro caso típico, el que os he puesto aquí. 68 00:03:58,000 --> 00:04:01,000 Que tenga una raíz con un índice par. 69 00:04:01,000 --> 00:04:03,000 Por ejemplo, una raíz cuadrada como aquí. 70 00:04:03,000 --> 00:04:11,000 ¿Existe la imagen de una función f de x si esto de aquí dentro es menor que cero? 71 00:04:11,000 --> 00:04:13,000 No, no puede ser. 72 00:04:13,000 --> 00:04:22,000 Es decir, esta función solo existe cuando x más 2 es mayor que cero. 73 00:04:22,000 --> 00:04:24,000 ¿Y esto qué quiere decir? 74 00:04:24,000 --> 00:04:29,000 Pues que mi x tiene que ser mayor que menos 2. 75 00:04:29,000 --> 00:04:31,000 ¿De acuerdo? 76 00:04:31,000 --> 00:04:38,000 Entonces, cuando es igual a menos 2 justo me daría cero, que no habría ningún problema. 77 00:04:38,000 --> 00:04:41,000 ¿Cuál es mi dominio? 78 00:04:43,000 --> 00:04:53,000 En este caso, pues mi dominio será r, pero no todo r, sino el tramo de la recta que es mayor que cero. 79 00:04:53,000 --> 00:04:55,000 La recta que es mayor que menos 2. 80 00:04:55,000 --> 00:04:58,000 ¿Eso cómo lo expreso? Pues con un intervalo. 81 00:04:58,000 --> 00:05:03,000 Y digo, pues tiene que ser desde menos 2 a más infinito. 82 00:05:03,000 --> 00:05:15,000 Porque yo sé que desde menos 2 para acá no existe, es imposible. 83 00:05:15,000 --> 00:05:18,000 Este tramo no va a existir la función. 84 00:05:18,000 --> 00:05:20,000 ¿Vale? 85 00:05:20,000 --> 00:05:22,000 Entonces, esto es el dominio. 86 00:05:22,000 --> 00:05:26,000 ¿Y la imagen? La imagen solo os voy a decir que la calculéis gráficamente. 87 00:05:26,000 --> 00:05:32,000 Porque la manera de calcularla, pues hay que saber algunas cosas que aún no sabemos. 88 00:05:32,000 --> 00:05:36,000 Con lo cual tengo que poneros ejercicios relativamente fáciles. 89 00:05:36,000 --> 00:05:40,000 Es decir, por ejemplo, la parábola. 90 00:05:40,000 --> 00:05:45,000 ¿La parábola? ¿Qué i's existen? ¿Dónde tengo imagen? 91 00:05:45,000 --> 00:05:50,000 Pues fijaos que estamos aquí arriba. 92 00:05:50,000 --> 00:05:55,000 ¿Y cómo sé yo dónde es justo ese punto? 93 00:05:55,000 --> 00:06:01,000 ¿Dónde existe? Pues tiene que ser en el mínimo de la parábola tal cual la he dibujado. 94 00:06:01,000 --> 00:06:04,000 En este caso es el mínimo, este punto. 95 00:06:04,000 --> 00:06:08,000 Entonces, ¿dónde va a existir? 96 00:06:08,000 --> 00:06:11,000 Desde esta recta de aquí. 97 00:06:11,000 --> 00:06:13,000 ¿Vale? Ah, para arriba. 98 00:06:13,000 --> 00:06:18,000 ¿Cuánto vale aquí la i? Menos 1. 99 00:06:18,000 --> 00:06:20,000 ¿Por qué es que es una recta constante? 100 00:06:20,000 --> 00:06:27,000 Pues pondría así, desde donde la i es igual a menos 1 para arriba, es mi imagen. 101 00:06:27,000 --> 00:06:31,000 ¿Vale? Mi imagen de f de x. 102 00:06:31,000 --> 00:06:33,000 Y gráficamente me lo indica. 103 00:06:33,000 --> 00:06:38,000 Ya digo que esta es una recta i igual a menos 1, porque es constante. 104 00:06:38,000 --> 00:06:42,000 Pues la imagen nunca va a estar abajo, siempre va a estar ahí arriba. 105 00:06:42,000 --> 00:06:43,000 Y listo. 106 00:06:43,000 --> 00:06:46,000 ¿Qué ocurre? Por ejemplo, una recta como esta. 107 00:06:46,000 --> 00:06:53,000 Imaginaos que esta recta es, pues, x igual a 2x. 108 00:06:53,000 --> 00:06:56,000 Perdón, f de x igual a 2x. 109 00:06:56,000 --> 00:07:00,000 Bueno, pues existiría en todo, todo, todo mi espacio. 110 00:07:00,000 --> 00:07:04,000 ¿Ok? Existiría en todo mi espacio. 111 00:07:04,000 --> 00:07:06,000 La imagen es todo, todo, todo. 112 00:07:06,000 --> 00:07:11,000 Todos los valores de i son posibles. 113 00:07:11,000 --> 00:07:13,000 ¿Qué ocurre si yo, en cambio, os digo? 114 00:07:13,000 --> 00:07:22,000 No, mira, calculamos una función que sea el precio de los tomates. 115 00:07:24,000 --> 00:07:26,000 ¿Vale? Dada esta tabla. 116 00:07:28,000 --> 00:07:29,000 Esta tabla. 117 00:07:30,000 --> 00:07:36,000 Y digo donde x son los kilos de tomates y la f son los euros. 118 00:07:36,000 --> 00:07:40,000 ¿Cuánto cuesta? 0 kilos de tomates, 0 pesetas. 119 00:07:40,000 --> 00:07:44,000 Digo pesetas, a menos que estoy bien yo. Me he remontado ahí a los años 90. 120 00:07:45,000 --> 00:07:48,000 1 kilo de tomates, pues cuesta 2 euros. 121 00:07:48,000 --> 00:07:51,000 Y así os seguiría dando, ¿vale? 122 00:07:51,000 --> 00:07:56,000 Por ejemplo, 2 me daría 4, porque voy a coger esta misma. 123 00:07:56,000 --> 00:08:02,000 ¿Pero qué ocurre? La imagen es la misma que en el caso de aquí arriba. 124 00:08:02,000 --> 00:08:06,000 Pues no, porque no tengo precios negativos. 125 00:08:06,000 --> 00:08:09,000 Es decir, no puedo poner menos 3 kilos. 126 00:08:09,000 --> 00:08:12,000 Me cuesta menos 6, porque no tiene un sentido. 127 00:08:12,000 --> 00:08:15,000 ¿Vale? Porque estoy con un problema y en un problema, 128 00:08:15,000 --> 00:08:19,000 aunque matemáticamente yo puedo calcular 2x, 129 00:08:19,000 --> 00:08:22,000 en este ejercicio no tiene ningún sentido. 130 00:08:22,000 --> 00:08:27,000 Entonces, todos mis valores negativos no existen. 131 00:08:27,000 --> 00:08:34,000 Todos los valores de la i, de mi i, tienen que ser positivos. 132 00:08:34,000 --> 00:08:38,000 ¿Vale? Entonces, el tramo de mi imagen, ¿cuál será? 133 00:08:38,000 --> 00:08:44,000 Pues será eso, tramos positivos, desde 0 hasta infinito. 134 00:08:44,000 --> 00:08:48,000 ¿Ok? La imagen, mi i, toma estos tramos. 135 00:08:48,000 --> 00:08:53,000 ¿Ok? Desde 0 a infinito. 136 00:08:53,000 --> 00:08:58,000 Aquí arriba era desde el menos 1, desde menos 1 hasta infinito. 137 00:08:58,000 --> 00:09:00,000 ¿Vale? Más infinito, claro. 138 00:09:00,000 --> 00:09:02,000 Bueno, espero que os haya quedado más claro.